Logiche sottostrutturali, complessità e astrazione

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1 16 ottobre 2009

2 Il calcolo LK Regole strutturali e significato dei connettivi Regole strutturali e paradossi Sequente: Γ dove Γ e sono liste di formule, eventualmente vuote. La lettura intesa è Γ

3 Il calcolo LK Regole strutturali e significato dei connettivi Regole strutturali e paradossi Regole logiche (1) Γ Θ, α β, Λ L α β, Γ, Θ, Λ α, Γ Θ, β Γ Θ, α β, R α i, Γ Θ α 1 α 2, Γ Θ L, i {1, 2} Γ Θ, α Γ Θ, β R Γ Θ, α β α, Σ Θ β, Σ Θ L α β, Σ Θ Γ Θ, α L α, Γ Θ Γ Θ, α i R, i {1, 2} Γ Θ, α 1 α 2 α, Γ Θ R Γ Θ, α

4 Il calcolo LK Regole strutturali e significato dei connettivi Regole strutturali e paradossi Regole logiche (2) A[x/t], Γ Θ L xa, Γ Θ Γ Θ, A[x/t] Γ Θ, xa R Γ Θ, A[x/z] Γ Θ, xa R, z FV (Γ Θ, xa) A[x/z], Γ Θ L, z FV ( xa, Γ Θ) xa, Γ Θ

5 Il calcolo LK Regole strutturali e significato dei connettivi Regole strutturali e paradossi Regola di cesura Γ Θ, α α, Λ [Cut] Γ, Θ, Λ

6 Il calcolo LK Regole strutturali e significato dei connettivi Regole strutturali e paradossi Regole strutturali Scambio, α, β, Γ Θ el, β, α, Γ Θ Γ Λ, α, β, Θ er Γ Λ, β, α, Θ Indebolimento Γ Θ wl α, Γ Θ Γ Θ Γ Θ, α wr Contrazione α, α, Γ Θ cl α, Γ Θ Γ Θ, α, α cr Γ Θ, α

7 Il calcolo LK Regole strutturali e significato dei connettivi Regole strutturali e paradossi LJ: versione intuizionista di LK al massimo 1 formula nel conseguente eliminazione della regola di contrazione a destra

8 Il calcolo LK Regole strutturali e significato dei connettivi Regole strutturali e paradossi Le regole strutturali hanno un riscontro e una giustificazione nella pratica argomentativa usuale, oltre che nella attività matematica: è naturale pensare che un argomento valga pur nella variazione dell ordine delle premesse, nell aggiunta di premesse vacue o nel ripetere più volte la stessa premessa (o analogamente: nel considerare un argomento che usa n volte la premessa αcome dipendente semplicemente da α stessa). Tale naturalezza può però venir meno col variare della prospettiva filosofica in cui si considera l attività deduttiva.

9 Il calcolo LK Regole strutturali e significato dei connettivi Regole strutturali e paradossi Consideriamo il caso della contrazione: ammettere una regola siffatta equivale a dire che si può non tener conto della ripetizione dell uso di una premessa in un argomentazione. Da dove viene quest esigenza? Un assunzione simile appare naturale se si è interessati ai rapporti di verità tra proposizioni. Se si legge una sequenza Γ come la verità delle formule in Γ garantisce la verità di almeno una delle formule in, è legittimo sostenere che, pur avendo usato una certa formula in una dimostrazione più di una volta, la validità della dimostrazione poggia sulla formula in sé, e non sulle sue occorrenze.

10 Il calcolo LK Regole strutturali e significato dei connettivi Regole strutturali e paradossi Da un punto di vista più generale, il passaggio può essere visto così: la logica si è occupata tradizionalmente di proposizioni: proposizioni intese come tipi, oggetti astratti di cui gli enunciati materialmente impiegati sono mere istanziazioni (token). Le cose cambiano se si passa da questa visione statica a una visione dinamica, in cui si è interessati a considerare processi di inferenza in un senso algoritmico; in questo caso, di primario interesse sono le formule nelle loro occorrenze concrete, che costituiscono quasi la materia prima di una dimostrazione.

11 Il calcolo LK Regole strutturali e significato dei connettivi Regole strutturali e paradossi Intenzione di Gentzen: le regole logiche devono bastare a definire il connettivo (come le regole di introduzione per NJ e NK). Ma le regole strutturali non sono ininfluenti.

12 Il calcolo LK Regole strutturali e significato dei connettivi Regole strutturali e paradossi Consideriamo due regole diverse per la congiunzione α, β, Γ Θ L α β, Γ Θ Γ Θ, α Λ, β R Γ, Θ, Λ, α β

13 Il calcolo LK Regole strutturali e significato dei connettivi Regole strutturali e paradossi Proposizione In presenza di un gruppo, le regole dell altro gruppo sono ammissibili nel calcolo. Dimostrazione. Per [ ]: α, β, Γ Θ 1 α β, β, Γ Θ e, 2 α β, α β, Γ Θ c α β, Γ Θ

14 Per [ ]: Il calcolo LK Regole strutturali e significato dei connettivi Regole strutturali e paradossi Per [ 1 ]: Γ Θ, α Λ, β w w Γ, Θ, Λ, α Γ, Θ, Λ, β Γ, Θ, Λ, α β α, Γ Θ w α, β, Γ Θ α β, Γ Θ e analogamente per [ 2 ]; mentre per [ ] Γ Θ, α Γ Θ, β Γ, Γ Θ, Θ, α β c Γ Θ, α β

15 Il calcolo LK Regole strutturali e significato dei connettivi Regole strutturali e paradossi In presenza delle regole strutturali, i due insiemi di regole definiscono lo stesso connettivo; in loro assenza, però, i due connettivi hanno proprietà diverse.

16 Il calcolo LK Regole strutturali e significato dei connettivi Regole strutturali e paradossi Apertura di filoni sottostrutturali: controllo sull indebolimento: logiche rilevanti controllo su contrazione e indebolimento:logica lineare...

17 Il calcolo LK Regole strutturali e significato dei connettivi Regole strutturali e paradossi La regola di contrazione gioca un ruolo essenziale nei paradossi della teoria ingenua degli insiemi.

18 Il calcolo LK Regole strutturali e significato dei connettivi Regole strutturali e paradossi Principio di comprensione Il principio di comprensione naif può essere così formulato in forma di sequenze: α[x/t], Γ t {x α}, Γ L Γ, α[x/t] Γ, t {x α} R

19 Il calcolo LK Regole strutturali e significato dei connettivi Regole strutturali e paradossi Paradosso di Russell Si definisca, come di consueto, l insieme r := {x x x} e si consideri la derivazione seguente.

20 Il calcolo LK Regole strutturali e significato dei connettivi Regole strutturali e paradossi Paradosso di Russell r r r r r r r r r r, r r r r [ L] [ R] [C R] r r r r r r r r [ R] r r, r r [ L] r r [C L] [Cut]

21 Estensionalità Punto fisso Idea: conservare il concetto ingenuo di insieme, modificando la logica sottostante. In particolare, si elimina la regola di contrazione, e si controlla che non torni ad essere ammissibile a causa di altre caratteristiche della teoria. Prendiamo il calcolo LK privato della regola di contrazione, esteso con le regole corrispondenti al principio di comprensione. Prendiamo la regola additiva per la disgiunzione e la regola moltiplicativa per la congiunzione.

22 Estensionalità Punto fisso Teorema Il calcolo gode di eliminazione delle cesure Dimostrazione. Si fa induzione sull -livello della formula di cesura, e sulla lunghezza delle dimostrazioni. Corollario Il calcolo è consistente

23 Estensionalità Punto fisso Identità La presenza della relazione permette di definire leibnizianamente l identità, pur restando al primo ordine Definizione t = u def x(t x u x).

24 Estensionalità Punto fisso Identità Proposizione 1. t = t; 2. t = u, α[x/t] α[x/u]; 3. t = u u = t; 4. t = u u = r t = r; 5. t = u t = u t = u

25 Estensionalità Punto fisso Identità definita e identità sintattica Proposizione t = u se e solo se t u. Dimostrazione. Si prova il sequente t = u, t x u x: si veda la dimostrazione t x t x u x u x t x, t x u x u x t x, x(t x u x) u x Se vale t = u, allora anche il sequente t x u x è dimostrabile. Per eliminazione delle cesure, quest ultimo deve essere un assioma, quindi t e u sono sintatticamente identiche.

26 Estensionalità Punto fisso Estensionalità (1) Definiamo la relazione di equiestensionalità t = E s df x(x t x s) y(y s y t). Proposizione t = s t = E s Dimostrazione. E essenziale la proprietà di contrazione per le formule con identità. t = s, y t y s t = s y t y s t = s y(y t y s) t = s, s = t t = E s t = s, t = s t = E s t = s t = E s s = t, y s y t s = t y s y t s = t y(y s y t)

27 Estensionalità Punto fisso Estensionalità (2) Assioma di estensionalità: Γ, t = E s, t r s r [ext] Estendiamo il calcolo con tutte le istanze dello schema [ext]; il calcolo prova allora la contrazione a sinistra per le formule atomiche. Teorema t s t s t s. Dimostrazione. Si usano le proprietà di =-contrazione e facili proprietà insiemistiche. Corollario Il calcolo esteso con principio di comprensione illimitata è inconsistente.

28 Estensionalità Punto fisso Operazioni insiemistiche fondamentali Definizione 1. = df {x 0}; 2. {t} = df {x x = t}; 3. {t, u} = df {x x = t x = u}; 4. {t 1,..., t n } = df {x x = t 1... x = t n }; 5. t u = df {x x t x u}; 6. t u = df {x x t x u}; 7. t, u = df {{t}, {t, u}}; 8. t 1,..., t n = df = df t 1, t 2,..., t n 1, t n,...,,.

29 Estensionalità Punto fisso Proposizione 1. y(y ); 2. t {u} t = u; 3. t {u, v} t = u t = v; 4. t, u = r, s t = r u = s.

30 Estensionalità Punto fisso Teorema (Punto fisso) Per ogni formula α esiste un termine f tale che è dimostrabile per ogni t. Dimostrazione. Sia s il termine così definito: t f α[y/f, x/t] s = df {z e v(z = u, v α[y/{w w, v v}, x/u])} Il punto fisso di α è allora il termine f = df {w w, s s}

31 Il problema La teoria SG Definizione Una funzione f : N N è detta computabile in tempo polinomiale [ f P ] se e solo se esistono un polinomio p e una macchina di Turing M tali che, avviando la computazione su un input (t), dopo P( t ) passi di calcolo l output di M è f (t).

32 Il problema La teoria SG Caratterizzazioni della classe P: esplicite: funzioni iniziali e condizioni di chiusura implicite: elaborare una logica intrinsecamente polinomiale

33 Il problema La teoria SG Antecedenti: Light Linear Logic (Girard 1998) Light Affine Set Theory (Terui 2001) Soft Linear Logic (Lafont 2004)

34 Il problema La teoria SG Chiamiamo SG la teoria ottenuta estendendo il calcolo precedente con le regole per l esponenziale!: Γ α Γ, α (n) β Soft Promotion!Γ!α Multiplexing Γ,!α β

35 Il problema La teoria SG La modalità lineare soft Per usare il principio di comprensione illimitata, non basta semplicemente limitare la regola di contrazione; essa va completamente eliminata. Ricordiamo che nella logica lineare, tra le regole per le modalità, vale anche la contrazione delle formule del tipo!a; in tale contesto, si ricostruisce il paradosso di Russell. Il passaggio alla modalità soft avviene, dunque, dapprima sostituendo alle regole della logica lineare le tre regole equivalenti: Γ A!Γ!A [SP] A (n), Γ B [M]!A, Γ B!!A, Γ B [digging]!a, Γ B in cui [SP] è detta regola di promozione soft, [M] è detta multiplexing, e il digging permette di contrarre sequenze arbitrarie di! in uno solo.

36 Il problema La teoria SG Rinunciando poi al digging, si elimina la possibilità di contrarre formule del tipo!a. La regola di contrazione della logica lineare è infatti ottenibile solo con la seguente derivazione:!a,!a, Γ [M]!!A, Γ [digging]!a, Γ In ciascuna applicazione della regola di multiplexing, il valore n che compare nella premessa è detto rango di quell applicazione.

37 Il problema La teoria SG Eliminazione delle cesure per SG La presenza di una modalità impedisce di dimostrare l eliminabilità della regola di cesura mediante le consuete induzioni su complessità della formula recisa e sull altezza delle dimostrazioni. Si definisce allora una misura più complessa, il peso di una dimostrazione, che tiene conto dei due parametri suddetti, più il rango massimale delle applicazioni della regola di multiplexing. Si arriva a un risultato più forte: la procedura di cut elimination ha un numero di passi al più polinomiale nella lunghezza della derivazione di partenza.

38 Il problema La teoria SG Si dà una definizione di insieme e funzione rappresentabile in SLST. Risulta che l insieme N e gli insiemi W n, per ciascun n, sono rappresentabili in due modi in SLST : da un termine ottenuto per definizione esplicita, e da un termine ottenuto grazie al teorema di punto fisso. Si conclude mostrando che le funzioni rappresentabili sono tutte e sole le funzioni computabili in tempo polinomiale.

39 Il problema La teoria SG 1. Tutte le funzioni polytime sono rappresentabili: si assume che una f sia calcolata in tempo polinomiale da una macchina di turing T, e si mostra che l insieme degli stati e delle configurazioni sono rappresentabili, così come la funzione di transizione. 2. Tutte le funzioni rappresentabili sono polytime: si trasformano le deduzioni in SLST in giudizi di tipaggio nel Soft Lambda Calculus, un calcolo (Baillot-Mogbil), che gode di normalizzazione forte con bound polinomiale. Se vale la rappresentabilità di una funzione f, allora si ha la derivazione di un giudizio di tipabilità; dato che vale normalizzazione forte in tempo polinomiale, segue che f è calcolabile in tempo polinomiale.