Condizionali stretti. Tempo di guardarsi intorno. Condizionali stretti. Condizionali stretti e necessità

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1 Tempo di guardarsi intorno Condizionali stretti Sandro Zucchi S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 1 Finora, abbiamo visto una sola teoria dei condizionali. Secondo questa teoria, le condizioni di verità dei condizionali indicativi sono le stesse degli enunciati della forma ϕ ψ dei linguaggi della logica proposizionale (condizionali materiali). Questa teoria lascia aperta la questione di come analizzare i condizionali controfattuali, cioè quei condizionali che presuppongono la falsità dell antecedente. Inoltre, come abbiamo visto, l analisi dei condizionali indicativi come condizionali materiali va incontro a diverse difficoltà. È tempo di considerare altre analisi dei condizionali. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 2 Condizionali stretti C. I. Lewis, a partire dal 1912, ha proposto in una serie di lavori di analizzare i condizionali non come condizionali materiali, ma come condizionali stretti ( strict conditionals ). Il simbolo che Lewis usa per rappresentare i condizionali stretti è questo:. Per Lewis, ϕ ψ è un abbreviazione di (ϕ ψ) (Lewis e Langford 1932, pp ). Nei linguaggi modali che abbiamo considerato, siamo già in grado di rappresentare i condizionali stretti, in quanto abbiamo a disposizione i simboli e (assumo che l operatore nei condizionali stretti sia da intendersi nel senso della necessità metafisica). Condizionali stretti e necessità Notate che rappresentare i condizionali dell italiano come condizionali stretti, cioè come enunciati della forma (ϕ ψ), di per sé non ci dice ancora esattamente come dovremmo interpretare i condizionali dell italiano. Infatti, abbiamo visto che non c è un unica interpretazione di : anche se ci limitiamo a considerare la nozione di necessità metafisica, non è ovvio quale dei linguaggi modali che abbiamo considerato sia adeguato ad esprimere questo tipo di necessità. Oggi, il linguaggio solitamente ritenuto adeguato per questo scopo è LS5. Ma abbiamo visto che alcuni studiosi favoriscono sistemi più deboli. Nel valutare la tesi che i condizionali dell italiano sono condizionali stretti, dovremo dunque tenere presente le diverse interpretazioni dell operatore nei linguaggi modali LT, LS4, LS5. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 3 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 4

2 Teorie a confronto Antecedenti falsi e conseguenti veri materiali predice che i condizionali (1)-(3) siano tutti veri: Torniamo ora ai problemi che avevamo sollevato per la tesi che i condizionali dell italiano sono condizionali materiali. stretti evita le difficoltà che sorgono per l analisi dei condizionali come condizionali materiali? Vediamo. (1) Se New York è in Nuova Zelanda, allora 2+2=4. (2) Se New York è negli Stati Uniti, allora la Seconda Guerra Mondiale è finita nel (3) Se la Seconda Guerra Mondiale è finita nel 1941, allora l oro è un acido. Questa predizione dipende dal fatto che, per i condizionali materiali, sia la falsità dell antecedente che la verità del conseguente sono sufficienti ad assicurare la verità del condizionale. Il problema è che (1)-(3) non sembrano affatto veri. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 5 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 6 Implicazione stretta e paradossi dell implicazione materiale Se i condizionali dell italiano sono condizionali stretti, né la falsità dell antecedente né la verità del conseguente sono sufficienti ad assicurare la verità del condizionale. Infatti, le affermazioni seguenti sono false per tutti i linguaggi modali che abbiamo considerato: ψ = (ϕ ψ), per ogni formula ϕ e ψ. ϕ = (ϕ ψ), per ogni formula ϕ e ψ. Un contro-modello Il contro-modello (classe di modelli) seguente per LS5, LS4, LT mostra che, per un condizionale stretto, la verità del conseguente o la falsità dell antecedente non è sufficiente a garantire la verità del condizionale stretto: (a) q LS5\LS4\LT (p q) (b) p LS5\LS4\LT (p q) W = {w0, w1} w0rw0, w0rw1, w1rw1, w1rw0 ν(p, w0) = 0 ν(q, w0) = 1 ν(p, w1) = 1 ν(q, w1) = 0 In questo contro-modello, le premesse degli argomenti (a)-(b) sono vere al mondo w0, ma la loro conclusione è falsa a w0. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 7 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 8

3 Il problema della negazione dei condizionali materiali predice che gli argomenti (4) e (5) sono validi, in quanto un condizionale materiale è falso se e solo se l antecedente è vero e il conseguente è falso: (4) Non è vero che, se il numero tre è pari, allora è primo. Dunque, il numero tre è pari. (5) Non è vero che, se vado alla festa stanotte, allora mi ubriacherò stanotte. Dunque, non mi ubriacherò stanotte. Il problema è che (4) e (5) non sembrano affatto validi in italiano. Negazione dei condizionali e implicazione stretta Le affermazioni seguenti sono false per LT, LS4 e LS5: (ϕ ψ) = ϕ, per ogni formula ϕ e ψ. (ϕ ψ) = ψ, per ogni formula ϕ e ψ. Possiamo renderci conto che sono false con questo ragionamento: se (ϕ ψ) è vera a un mondo w, non è necessario né che ϕ sia vera a w né che ψ sia vera a w, ma è sufficiente che ci sia un mondo accessibile w (non necessariamente identico a w) a cui ϕ e ψ sono vere. Dunque, il problema sollevato dalla negazione dei condizionali non sorge per la tesi che i condizionali dell italiano sono condizionali stretti: la falsità del condizionale non richiede né che l antecedente sia vero né che il conseguente sia falso. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 9 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 10 Un contro-modello Il modello (classe di modelli) seguente per LT, LS4 e LS5 mostra che la rappresentazione in questi linguaggi degli argomenti (4)-(5) è invalida: le premesse sono vere al mondo w0 e la conclusione è falsa a w0. (4) Non è vero che, se il numero tre è pari, allora è primo. Dunque, il numero tre è pari. (5) Non è vero che, se vado alla festa stanotte, allora mi ubriacherò stanotte. Dunque, non mi ubriacherò stanotte. (4) (p q) LS5\LS4\LT p (5) (p q) LS5\LS4\LT q W = {w0, w1} w0rw0, w0rw1, w1rw1, w1rw0 ν(p, w0) = 0 ν(q, w0) = 1 ν(p, w1) = 1 ν(q, w1) = 0 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 11 Il problema della transitività materiali predice che l argomento (6) è valido, in quanto il connettivo è transitivo: (6) Se il governo cade, Berlusconi scappa alle Bahamas per evitare i processi. Se Berlusconi va in galera, il governo cade. Dunque, se Berlusconi va in galera, Berlusconi scappa alle Bahamas per evitare i processi. Il problema è che (6) non sembra valido. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 12

4 Transitività e implicazione stretta Ecco una prova che l argomento delle Bahamas sarebbe valido, se i condizionali dell italiano fossero stretti. Notate che questa è una derivazione in T(NAT), e dunque anche in S4(NAT) e S5(NAT): Il connettivo di implicazione stretta è transitivo, cioè l affermazione seguente è vera: (ϕ ψ), (ψ ξ) = LS5\LS4\LT (ϕ ξ), per ogni formula ϕ, ψ e ξ. Dunque, il problema posto dalla invalidità di (6) in italiano rimane per la tesi che i condizionali dell italiano sono condizionali stretti: (6) Se il governo cade, Berlusconi scappa alle Bahamas per evitare i processi. Se Berlusconi va in galera, il governo cade. Dunque, se Berlusconi va in galera, Berlusconi scappa alle Bahamas per evitare i processi. 1. (p q) 2. (q r) 3. Prova: (p r) 4. p q 5. q r 6. Prova: p r 7. p 8. q 9. r p: Berlusconi va in galera q: il governo cade r: Berlusconi scappa alle Bahamas per evitare i processi P P I E, 1 E, 2 I Ass E, 4, 7 E, 5, 8 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 13 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 14 Il problema del rafforzamento dell antecedente materiali predice che l argomento (7) è valido: (7) Se metto un pizzico di sale nella zuppa, la zuppa avrà un buon sapore. Dunque, se metto un pizzico di sale nella zuppa e metto del gasolio nella zuppa, la zuppa avrà un buon sapore. Il problema è che questo argomento è chiaramente invalido. Rafforzamento dell antecedente e implicazione stretta Il connettivo di implicazione stretta rende valido il rafforzamento dell antecedente, ovvero l affermazione seguente è vera: (ϕ ψ) = LS5\LS4\LT ((ϕ ξ) ψ), per ogni formula ϕ, ψ e ξ. Dunque, il problema posto dalla invalidità di (7) in italiano è un problema anche per la tesi che i condizionali dell italiano sono condizionali stretti: (7) Se metto un pizzico di sale nella zuppa, la zuppa avrà un buon sapore. Dunque, se metto un pizzico di sale nella zuppa e metto del gasolio nella zuppa, la zuppa avrà un buon sapore. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 14 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 15

5 La prova seguente in T(NAT), S4(NAT) e S5(NAT) mostra che l argomento della zuppa sarebbe valido, se i condizionali dell italiano fossero stretti: Il problema della contrapposizione (p q) Prova: ((p r) q) p q Prova: (p r) q p r p q P I E, 1 I Ass E, 5 E, 3, 6 materiali predice che l argomento (8) è valido: (8) Se avremo preso l auto, non si romperà per strada. Dunque, se l auto si romperà per strada, non l avremo presa. Il problema è che questo argomento non sembra affatto valido. p: metto un pizzico di sale nella zuppa q: la zuppa avrà un buon sapere r: metto del gasolio nella zuppa S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 16 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 16 Contrapposizione e implicazione stretta La prova seguente in T(NAT), S4(NAT) e S5(NAT) mostra che l argomento dell auto sarebbe valido, se i condizionali dell italiano fossero stretti: È facile mostrare che il connettivo di implicazione stretta rende valide le inferenze per contrapposizione, vale a dire l affermazione seguente è vera: (ϕ ψ) = LS5\LS4\LT ψ. (ψ ϕ), per ogni formula ϕ e Dunque, l invalidità dell argomento (8) in italiano è un problema anche per la tesi che i condizionali dell italiano sono implicazioni strette: (8) Se avremo preso l auto, non si romperà per strada. Dunque, se l auto si romperà per strada, non l avremo presa. 1. (p q) 2. Prova: (q p) 3. p q 4. Prova: q p 5. q 6. Prova: q 7. q 8. q 9. p p: avremo preso l auto q: l auto si romperà per strada P I E, 1 I Ass I Ass R, 5 E*, 6, 3 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 17 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 18

6 Il problema della disgiunzione Implicazione stretta e il problema della disgiunzione materiali predice che l enunciato (9) è valido: (9) Se io ho ragione, anche voi avete ragione oppure se voi avete ragione anch io ho ragione. Il problema, come ha osservato Read, è che è facile immaginare una situazione in cui la disgiunzione in (9) è falsa: basta pensare a un caso in cui voi ed io stiamo sostenendo tesi incompatibili. L affermazione seguente è falsa per LT, LS4 e LS5: = LP (ϕ ψ) (ψ ϕ), per ogni formula ϕ e ψ. Dunque, il problema sollevato da (9) non sorge per la tesi che i condizionali dell italiano sono condizionali stretti. (9) Se io ho ragione, anche voi avete ragione oppure se voi avete ragione anch io ho ragione. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 18 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 19 Un contro-modello Ecco un contro-modello (una classe di modelli) che rende falsa al mondo w0 la rappresentazione di (9) in LT, LS4 e LS5 per mezzo di condizionali stretti: (9) Se io ho ragione, anche voi avete ragione oppure se voi avete ragione anch io ho ragione. (9) (p q) (q p) p: io ho ragione q: voi avete ragione W = {w0, w1} w0rw0, w0rw1, w1rw1, w1rw0 ν(p, w0) = 1 ν(q, w0) = 0 ν(p, w1) = 0 ν(q, w1) = 1 Implicazione stretta e controfattuali materiali viene solitamente ristretta ai condizionali indicativi dell italiano. La ragione, come abbiamo visto, è che i condizionali controfattuali (i condizionali che presuppongono la falsità dell antecedente, espressi solitamente al congiuntivo) sollevano delle serie difficoltà per la tesi che i condizionali dell italiano sono condizionali materiali. Come si comporta in questo rispetto la tesi che i condizionali dell italiano sono condizionali stretti? Ci permette di rendere conto in modo più adeguato delle condizioni di verità dei condizionali controfattuali oppure no? S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 20 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 21

7 Implicazione stretta e controfattuali Si rammentino gli enunciati (10) e (11) che abbiamo discusso in precedenza: (10) Se Oswald non ha sparato a Kennedy, qualcun altro lo ha fatto. (11) Se Oswald non avesse sparato a Kennedy, qualcun altro lo avrebbe fatto. Questi enunciati differiscono nel loro valore di verità: (10) è vero e (11) è falso. stretti, di per sé, non spiega la differenza in valore di verità di (10) e (11). Questo fatto non mostra che l analisi dei condizionali dell italiano in termini condizionali stretti sia sbagliata. Mostra però che questa analisi deve essere integrata in qualche modo per rendere conto di casi come (10) e (11). Un problema simmetrico Notate che, in relazione a (10) e (11), la tesi che i condizionali dell italiano sono condizionali stretti soffre di un problema simmetrico rispetto al problema a cui va incontro la tesi che i condizionali dell italiano sono condizionali materiali: (10) Se Oswald non ha sparato a Kennedy, qualcun altro lo ha fatto. (11) Se Oswald non avesse sparato a Kennedy, qualcun altro lo avrebbe fatto. materiali ha difficoltà a spiegare come mai il condizionale (11) ci appare dubbio, benché sappiamo che il suo antecedente è falso. D altra parte, la tesi che i condizionali dell italiano sono condizionali stretti ha difficoltà a spiegare come mai il condizionale (10) ci appare vero. Infatti, se (10) ha la forma (ϕ ψ), allora (10) è vero se e solo se non esiste un mondo possibile in cui né Oswald né qualcun altro spara a Kennedy. Tuttavia, un mondo del genere non pare affatto impossibile e dunque (10) dovrebbe risultare falso, secondo questa analisi. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 22 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 23 Una diagnosi Un modo di descrivere la difficoltà precedente è questo: la tesi che i condizionali dell italiano sono condizionali materiali (cioè, hanno la forma logica ϕ ψ ) impone condizioni troppo deboli per la verità dei condizionali, in quanto la falsità dell antecedente è sufficiente a garantire la verità del condizionale; la tesi che i condizionali dell italiano sono condizionali stretti (cioè, hanno la forma logica (ϕ ψ) ) impone condizioni troppo forti per la verità dei condizionali, in quanto richiede che il condizionale materiale corrispondente ( ϕ ψ ) sia vero in ogni mondo possibile. Chiaramente, ci sono molti condizionali (sia indicativi che controfattuali) che sono veri anche se il condizionale materiale corrispondente non è vero in tutti i mondi possibili. Ad esempio, gli enunciati in (12)-(13) sono chiaramente veri, ma è facile descrivere un mondo in cui l antecedente è vero e il conseguente falso (immaginate che io salti e passi un astronave che mi afferra al volo oppure che i prezzi salgano, ma lo stato ridistribuisca la ricchezza): (12) se saltassi dalla finestra, cadrei di sotto (13) se i prezzi salgono, gli operai saranno in difficoltà. I paradossi dell implicazione stretta Concludiamo la discussione menzionando un ultima proprietà dell implicazione stretta. Nel caso dei condizionali materiali, come sappiamo, la falsità dell antecedente e la verità del conseguente sono entrambe condizioni sufficienti a rendere il condizionale vero. Per i condizionali stretti, abbiamo visto che non è così. Tuttavia, se l antecedente è necessariamente falso oppure il conseguente è necessariamente vero, allora il condizionale stretto è vero (questi fatti sono chiamati paradossi dell implicazione stretta ): ψ = LS5\LS4\LT (ϕ ψ), per ogni formula ϕ e ψ. ϕ = LS5\LS4\LT (ϕ ψ), per ogni formula ϕ e ψ. La ragione è questa: se ψ è vero a un mondo w, allora ψ è vero in ogni mondo possibile accessibile da w, dunque ϕ ψ è vero in ogni mondo possibile accessibile da w, dunque (ϕ ψ) è vero a w. E se ϕ è vero a un mondo w, allora ϕ è falso in ogni mondo possibile accessibile da w, dunque ϕ ψ è vero in ogni mondo possibile accessibile da w, dunque (ϕ ψ) è vero a w. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 24 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 25

8 Conseguenze dei paradossi dell implicazione stretta Dunque, la tesi che i condizionali dell italiano sono condizionali stretti, mentre evita la conseguenza che (2) sia vero, predice che i condizionali (1), (14) e (15) siano veri, in quanto il conseguente di (1) e (14) è necessariamente vero e l antecedente di (15) è necessariamente falso: (2) Se New York è negli Stati Uniti, allora la Seconda Guerra Mondiale è finita nel (1) Se New York è in Nuova Zelanda, allora 2+2=4. (14) Se Roma è in Italia, c è un infinità di numeri naturali. (15) Se non c è un infinità di numeri naturali, Parigi è in Italia. Implicazione stretta e pragmatica Presumibilmente, la tesi che i condizionali dell italiano sono condizionali stretti deve fare appello a principi pragmatici aggiuntivi per spiegare perché (1) (14) e (15) non sembrano veri: (1) Se New York è in Nuova Zelanda, allora 2+2=4. (14) Se Roma è in Italia, c è un infinità di numeri naturali. (15) Se non c è un infinità di numeri naturali, Parigi è in Italia. Ma quali principi? Ma i condizionali (1), (14) e (15) non sembrano veri. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 26 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 27 Implicazione stretta e massima della quantità Se i condizionali dell italiano sono condizionali stretti, (14) è equivalente a (16) e (15) è equivalente a (17): (14) Se Roma è in Italia, c è un infinità di numeri naturali. (16) Necessariamente, Roma non è in Italia o c è un infinità di numeri naturali. (15) Se non c è un infinità di numeri naturali, Parigi è in Italia. (17) Necessariamente, c è un infinità di numeri naturali o Parigi è in Italia. Notate che, in base alla definizione di informatività che abbiamo assunto (secondo la quale A è più informativo di B sse A implica B, ma non viceversa), non possiamo sostenere che (16) e (17) hanno una bassa asseribilità in quanto potremmo essere più informativi asserendo (18): (18) Necessariamente, c è un infinità di numeri naturali. Infatti, dal momento che è vero in ogni mondo possibile che c è un infinità di numeri naturali, (16), (17) e (18) sono veri esattamente nelle stesse circostanze. Dunque, (18) non è più informativo di (16) e (17), secondo la definizione che abbiamo assunto. Rivedere la definizione di informatività? Una strategia possibile per cercare di evitare il problema sollevato dai paradossi dell implicazione stretta è quella di cercare una definizione di informatività più adeguata. Dopotutto, per qualcuno che non è informato sulle capitali e sulla cardinalità dell insieme dei numeri naturali, (18) pare essere più informativo di (16) o (17): (16) Necessariamente, Roma non è in Italia o c è un infinità di numeri naturali. (17) Necessariamente, c è un infinità di numeri naturali o Parigi è in Italia. (18) Necessariamente, c è un infinità di numeri naturali. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 28 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 29

9 Implicazione stretta e massima del modo Un altra ipotesi possibile è che la bassa asseribilità di (14) e (15) sia dovuta alla massima del modo, che richiede di evitare parafrasi complesse, quando lo stesso contenuto può essere trasmesso da asserzioni più semplici: (14) Se Roma è in Italia, c è un infinità di numeri naturali. (15) Se non c è un infinità di numeri naturali, Parigi è in Italia. Secondo questa ipotesi, (14) e (15) sono scarsamente asseribili, in quanto, essendo condizionali stretti, lo stesso contenuto può essere espresso dall enunciato più semplice in (18): (18) Necessariamente, c è un infinità di numeri naturali. Controfattuali asseribili con antecedenti impossibili Si noti tuttavia che l ipotesi che (15) abbia bassa asseribilità in quanto meno informativo o meno conciso di (18), se si applica a (15), dovrebbe applicarsi a tutti i condizionali con un antecedente impossibile: (15) Se non c è un infinità di numeri naturali, Parigi è in Italia. (18) Necessariamente, c è un infinità di numeri naturali. Il problema è che la mossa di dichiarare veri ma inasseribili i condizionali che hanno un antecedente è impossibile non pare praticabile in alcuni casi. Il controfattuale seguente proposto da Priest (2008) sembra asseribile, benché l antecedente sia impossibile: (19) Se Hobbes fosse riuscito a quadrare il cerchio, sarebbe diventato un famoso matematico. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 30 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 31 Riassumendo stretti evita i paradossi dell implicazione materiale e non incorre nel problema della disgiunzione sollevato da Read. Tuttavia, in molti casi sembra imporre condizioni troppo forti per la verità dei condizionali. Inoltre, al pari della tesi che i condizionali dell italiano sono condizionali materiali, rende valide le inferenze per transitività, rafforzamento dell antecedente e contrapposizione (inferenze apparentemente invalide in italiano). Infine, genera i cosiddetti paradossi dell implicazione stretta. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi Condizionali stretti 32