Seminario Matlab-Simulink per l Ingegneria Simulink & grafica. Gennaio 2016.

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1 Seminario Matlab-Simulink per l Ingegneria Simulink & grafica. Gennaio Motore in corrente continua Sottosistemi (subsystems ) Maschere (mask) Creazione di grafici in Matlab con dati generati in Simulink Gestione di modelli Simulink mediante script (funzione sim) Uso del blocco Simulink Matlab Function Esercizi su creazione grafici Grafici multipli, grafici speciali, grafici 3D

2 Partiamo dal modello Simulink del motore in corrente continua Equazioni differenziali

3 Partiamo dal modello Simulink del motore in corrente continua Equazioni differenziali

4 Partiamo dal modello Simulink del motore in corrente continua Equazioni differenziali in forma esplicita t di dt d dt t 1 L 1 J v k t Ri t k t T i t T t b t res V

5 File: Mot_DC.slx Si desidera visualizzare l andamento della velocità a vuoto (cioè con Tres=0) quando si applica una tensione di alimentazione costante di ampiezza V=10 Volts

6 Prima di avviare la simulazione, configurare il solutore numerico come in figura (la simulazione con un passo superiore, ad es. 0.01, diverge per problemi numerici)

7 % Taratura motore DC % Parametri elettromeccanici R=0.4; % resistenza L=1e-3; % induttanza k_t=0.3; % costante di coppia k_v=0.3; % costante di forza c.e.m. J=1; % momento di inerzia b=0.8; % coefficiente di attrito viscoso % Ingressi V=10; Tres=0; % tensione di alimentazione % coppia resistente

8 Sottosistemi (Subsystem) Ora vogliamo compattare il modello simulink del motore DC come un sottosistema con ingressi e uscite Tensione di alimentazione V Posizione angolare Coppia resistente Tres MOTORE IN CORRENTE CONTINUA Velocità angolare Corrente Segnali di ingresso Segnali di uscita

9 Bisogna ricollocare i blocchi del modello affinché sia possibile tracciare sul modello un rettangolo nel quale entrino i segnali di ingresso e dal quale escano i segnali di uscita

10 Tracciare con il mouse il rettangolo rosso della slide precedente, tasto destro, selezionare Create Subsystem from Selection o premere Ctrl+G

11 Riordinare e ridimensionare i blocchi

12 Ora vogliamo che nei terminali di ingresso e uscita compaiano dei nomi maggiormente rappresentativi Visualizzare il contenuto del Subsystem facendo doppio click su di esso

13 Cambiare di nome ai blocchetti di In e Out Cambiare di nome anche il subsystem, e chiamarlo Motore DC Simulare e visualizzare i grafici nei blocchetti scope

14 Mascherare (mask) i subsystems Le maschere consentono, tra le altre cose, di costruire una comoda finestra di parametrizzazione all interno della quale inserire i parametri elettromeccanici del motore

15 Mask editor

16 Menu Initialization Le istruzioni di assegnazione dei parametri possono esere inserite nella parte di testo.

17 Vogliamo creare una maschera interattiva di parametrizzazione Cancellare le istruzioni dal menu Initialization Selezionare il menu Parameters Add parameter

18 Per ciascun parametro, inserire il testo descrittivo ( Prompt ) ed il nome della variabile ( Variable ). Come Type lasciare il valore di default ( edit ) Apply

19 Mask editor nelle versioni di Matlab successive alla R2014

20 Mask editor nelle versioni di Matlab successive alla R2014

21 Facendo doppio click sul Subsystem ora si apre la finestra di parametrizzazione con caselle di testo all interno delle quali inserire il valore del parametro (o una costante simbolica) Completare la finestra di parametrizzazione aggiungendo i valori numerici dei parametri elettromeccanici mancanti.

22 Inserire il valore numerico impiegato in precedenza nello script File: Mot_DC2.slx Simulare e visualizzare i grafici nei blocchetti scope

23 Creazione di grafici in Matlab con dati generati in Simulink Mostriamo come esportare i dati da Simulink verso il workspace di Matlab, e creare con il comando plot dei grafici corredati da etichette esplicative Inserire tre blocchi To workspace dalla libreria Sinks e disporli come in Figura

24 Finestra di parametrizzazione del primo blocco To Workspace Inserire il nome dell oggetto che verra esportato Modalita di default TimeSeries Eseguire la simulazione, e verificare quali nuovi variabili compaiano nel workspace dopo che la simulazione è terminata

25 Script per creare il grafico della velocità dopo che sia stato lanciato il file simulink figure(1) plot(velocita), grid, title('velocità angolare del motore') ylabel('velocita [rad/s]')

26 Script con istruzioni di formattazione del grafico e delle etichette figure(2) plot(velocita,'k','linewidth',2),grid, title('velocità angolare del motore','fontsize',14) ylabel('velocita [rad/s]','fontsize',14) xlabel('tempo [secondi]','fontsize',14) set(gca,'fontsize',14) Realizzare i grafici delle altre variabili di stato (corrente e posizione angolare)

27 In un oggetto di tipo Timeseries con nome generico var si accede ai vettori dei tempi e al vettore del segnale con var.time var.data

28 Script per creare il grafico della velocità sovrapposto a quello della corrente figure(3) plot(velocita.time,velocita.data,corrente.time,corrente.data,'linewidth',2),grid, title('velocità angolare [rad/s] e corrente [A]','FontSize',14) xlabel('tempo [secondi]','fontsize',14) set(gca,'fontsize',14) legend('velocita','corrente') Velocità angolare [rad/s] e corrente [A] Velocita Corrente File: Mot_DC3.slx Tempo [secondi]

29 Gestione di modelli Simulink mediante script (funzione sim) Vogliamo imparare ad aprire ed eseguire i file Simulink per mezzo di uno script Matlab che impartisca i relativi comandi % Ingressi V=10; Tres=0; % tensione di alimentazione % coppia resistente open_system('mot_dc3') sim('mot_dc3') Apre il file Esegue il file

30 Ora mostriamo l utilita della gestione mediante script dei file simulink Si desidera confrontare le risposte in velocita di tre motori in corrente continua aventi parametri elettromeccanici differenti. % Parametri elettromeccanici motore #1 R=0.4; % resistenza L=1e-3; % induttanza k_t=0.3; % costante di coppia k_v=0.3; % costante di forza c.e.m. J=1; % momento di inerzia b=0.8; % coefficient di attrito viscoso % Parametri elettromeccanici motore #2 R=1; % resistenza L=1e-2; % induttanza k_t=0.5; % costante di coppia k_v=0.5; % costante di forza c.e.m. J=1; % momento di inerzia b=1; % coefficient di attrito viscoso % Parametri elettromeccanici motore #3 R=0.9; % resistenza L=5e-3; % induttanza k_t=0.3; % costante di coppia k_v=0.3; % costante di forza c.e.m. J=0.5; % momento di inerzia b=0.7 % coefficient di attrito viscoso Si considerano le medesime condizioni (di ingresso dei test precedenti (V=10V, Tres=0).

31 Ora mostriamo l utilita della gestione mediante script dei file simulink Inserire nella maschera di parametrizzazione del subsystem costanti simboliche

32 clear all, close all, clc % Ingressi V=10; Tres=0; % tensione di alimentazione % coppia resistente % Parametri elettromeccanici motore #1 R=0.4; % resistenza L=1e-3; % induttanza k_t=0.3; % costante di coppia k_v=0.3; % costante di forza c.e.m. J=1; % momento di inerzia b=0.8; % coefficient di attrito viscoso open_system('mot_dc4') sim('mot_dc4') corrente1=corrente; velocita1=velocita; posizione1=posizione; % Parametri elettromeccanici motore #3 R=0.9; % resistenza L=5e-3; % induttanza k_t=0.3; % costante di coppia k_v=0.3; % costante di forza c.e.m. J=0.5; % momento di inerzia b=0.7; % coefficient di attrito viscoso sim('mot_dc4') corrente3=corrente; velocita3=velocita; posizione3=posizione; % Parametri elettromeccanici motore #2 R=1; % resistenza L=1e-2; % induttanza k_t=0.5; % costante di coppia k_v=0.5; % costante di forza c.e.m. J=1; % momento di inerzia b=1; % coefficient di attrito viscoso sim('mot_dc4') corrente2=corrente; velocita2=velocita; posizione2=posizione; Il Workspace al termine della simulazione

33 time1=velocita1.time; vel1=velocita1.data; time2=velocita2.time; vel2=velocita2.data; time3=velocita3.time; vel3=velocita3.data; Istruzioni che generano il grafico di confronto (da inserire alla fine dello script precedente) figure(4) plot(time1,vel1,time2,vel2,time3,vel3,'linewidth',2),grid, title('velocità angolare dei motori [rad/s] ','FontSize',14) xlabel('tempo [secondi]','fontsize',14) set(gca,'fontsize',14) legend('motore 1','Motore 2','Motore 3') 8 Velocità angolare dei motori [rad/s] Motore 1 Motore 2 Motore Tempo [secondi]

34 34 Embedded Matlab Function block Matlab Function block in Matlab R2013

35 35 Consente di scrivere ed eseguire un function file Matlab direttamente all interno di un modello Simulink Default Se si fa doppio click sul blocco lo si apre nell editor

36 36 Modifichiamo il file function [y1,y2] = fcn(u1, u2, u3) %#codegen y1 = sin(u1)+u2; y2= u1*u2+u3 Tre ingressi e due uscite L aspetto del blocco cambia e compaiono i nuovi terminali di input ed output L aspetto del blocco cambia e compaiono i nuovi terminali di input ed output

37 37 function [y1,y2] = fcn(u1, u2, u3) %#codegen y1 = sin(u1)+u2; y2= u1*u2+u3 All interno di un Matlab function non sono visibili le variabili del workspace, neanche se queste vengono definite come globali. Si possono eseguire complesse operazioni matriciali che rendono particolarmente utile questo blocco elementare nell ambito di modelli di particolare complessità.

38 Ora modelliamo il motore DC impiegando il blocco Matlab function t di dt d dt d t dt t 1 L 1 J v t Ri t k t k t T i t T t b t res V % Taratura motore DC % Parametri elettromeccanici R=0.4; % resistenza L=1e-3; % induttanza k_t=0.3; % costante di coppia k_v=0.3; % costante di forza c.e.m. J=1; % momento di inerzia b=0.8; % coefficiente di attrito viscoso % Ingressi V=10; Tres=0; % tensione di alimentazione % coppia resistente

39 File: Mot_DC_MF.slx

40 Contenuto del blocco Matlab Function function [i_dot,omega_dot,teta_dot] = fcn(v,tres,i,omega) %#codegen % Parametri elettromeccanici R=0.4; % resistenza L=1e-3; % induttanza k_t=0.3; % costante di coppia k_v=0.3; % costante di forza c.e.m. J=1; % momento di inerzia b=0.8; % coefficiente di attrito viscoso i_dot=(1/l)*(v-r*i-k_v*omega); omega_dot=(1/j)*(k_t*i-tres-b*omega); teta_dot=omega;

41 Setting Up Your Compiler Before building your MATLAB Function block, you must set up your C compiler by running the mex -setup command, as described in the documentation for mex in the MATLAB Function Reference. You must run this command even if you use the default C compiler that comes with the MATLAB product for Microsoft Windows platforms. You can also use mex to choose and configure a different C compiler, as described in Building MEX-Files in the MATLAB External Interfaces documentation. Supported Compilers for Simulation Builds. To view a list of compilers for building models containing Embedded MATLAB Function blocks for simulation: Navigate to the Supported and Compatible Compilers Web page [ Select your platform. In the table for Simulink and related products, find the compilers checked in the column titled Simulink (Embedded MATLAB).

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43 Esercizio 43

44 44 clear all, close all, clc x=0:0.001:0.2; y=1./((1-x).^2); y2=1+2*x+3*x.^2; y3=1+2*x+3*x.^2+4*x.^3; y4=1+2*x+3*x.^2+4*x.^3+5*x.^4; figure(1) plot(x,y,x,y2,x,y3,x,y4) legend('y','y2','y3','y4','location','best') %legend('y','y2','y3','y4','location','northwest') title('funzione y(x) e sue approssimazioni con McLaurin','FontSize',14) xlabel('variabile indipendente [x]','fontsize',14) set(gca,'fontsize',14),grid Funzione y(x) e sue approssimazioni con McLaurin Y Y2 Y3 Y Variabile indipendente [x]

45 Esercizio

46 ylabel clear all, close all, clc t=0:0.01:5; y1 = log (1 + t.*abs(sin(t)))+ 1./(1 + cos(t).^2); y2 = cos(y1.*y1).*exp(-t); z=sqrt(y1.^2+y2.^4)./(1+abs(y1)); figure(1) plot(t,z),grid,xlabel('xlabel'),ylabel('ylabel'),title('titolo') t=1:0.01:3; y1 = log (1 + t.*abs(sin(t)))+ 1./(1 + cos(t).^2); y2 = cos(y1.*y1).*exp(-t); z=sqrt(y1.^2+y2.^4)./(1+abs(y1)); [massimo pos]=max(z); val_max=massimo t_max=t(pos) titolo xlabel

47 47 Creazione di grafici multipli

48 48 Esempio Alessandro Pisano - pisano@diee.unica.it

49 Alessandro Pisano - pisano@diee.unica.it 49

50 Alessandro Pisano - pisano@diee.unica.it 50

51 Alessandro Pisano - pisano@diee.unica.it 51

52 52 Come recuperare i dati da una figura salvata in formato fig x1=linspace(0,4*pi,50); x2=linspace(0,4*pi,1000); y1=5*sin(x1).*cos(x1).^2; y2=5*sin(x2).*cos(x2).^2; plot(x1,y1,'b--',x2,y2,'r-','linewidth',3),grid clear x1 x2 y1 y2 % salvare il grafico come "ex3.fig" h=hgload('ex3.fig'); ch=get(h,'children'); l=get(ch,'children') x=get(l,'xdata'); y=get(l,'ydata'); time1=x{1,1}; time2=x{2,1}; data1=y{1,1}; data2=y{2,1}; plot(time1,data1,time2,data2)

53 Alessandro Pisano - pisano@diee.unica.it 53

54 54 Inoltre, dopo avere abilitato la EditPlot nel menu Tools (v. Figura) si può, cliccare sopra la figura con il tasto destro del mouse, accedendo a tutta una serie di proprietà ulteriori. Alessandro Pisano - pisano@diee.unica.it

55 55 Formattazione avanzata delle Label Il seguente codice di esempio costruisce il grafico di una curva gaussiana con i valori di media e varianza specificati nelle variabili med e var. Il codice mostra come visualizzare il valore numerico delle variabili med e var all interno di una stringa. clear all close all med=2; var=5; x=linspace(-10,10,1000); y=exp(-(x-med).^2./ var); plot(x,y,'linewidth',2); title([ Curva gaussiana con media =,num2str(med), e varianza=,num2str(var)]); grid axis([ ]) Curva gaussiana con media =2 e varianza=5 0.5 Alessandro Pisano - pisano@diee.unica.it

56 clear all, close all med=2; var1=5; var2=2; x=linspace(-10,10,1000); y1=exp(-(x-med).^2./ var1); y2=exp(-(x-med).^2./ var2); plot(x,y1,'b','linewidth',2); hold on plot(x,y2,'r','linewidth',2); hold off legend(['varianza =',num2str(var1)],['varianza=',num2str(var2)]) grid axis([ ]) 56

57 57 Lettere greche Per l inserimento di lettere greche in una Label si possono utilizzare direttamente i seguenti identificatori Lettere minuscole Lettere maiuscole Es. title('angolo \psi - Varianza \Sigma','FontSize',16); Alessandro Pisano - pisano@diee.unica.it

58 58 Per inserire in una label delle formule matematiche più complesse, ad esempio l espressione analitica della funzione Gaussiana, si sfrutta la compatibilità di Matlab con le istruzioni del programma grafico (open source) LaTex 2e Una buona guida in italiano può essere reperita sul web all indirizzo: Si veda in particolare il Capitolo 3 Scrivere formule matematiche Sostituire il comando title : title('funzione $e^{-\frac{x-\mu}{\sigma}}$', 'Interpreter', 'latex','fontsize',20); Alessandro Pisano - pisano@diee.unica.it

59 59 Frecce e caselle di testo Alessandro Pisano - pisano@diee.unica.it

60 60 Grafici avanzati Types of MATLAB Plots Alessandro Pisano - pisano@diee.unica.it

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62 62 Scale logaritmiche x=1:1000; y=1./x; subplot(2,2,1), plot(x,y,'r') subplot(2,2,2), semilogx(x,y,'m') subplot(2,2,3), semilogy(x,y,'b') subplot(2,2,4), loglog(x,y,'g') Alessandro Pisano - pisano@diee.unica.it

63 Slow Decay 63 Fast Decay close all x=0.1:0.01:20; y1=200*exp(-0.05*x).*sin(x); y2=0.8*exp(-0.5*x).*sin(10*x); [AX,H1,H2]=plotyy(x,y1,x,y2) set(get(ax(1),'ylabel'),'string','slow Decay') set(get(ax(2),'ylabel'),'string','fast Decay') set(h1,'linestyle','--','linewidth',3) set(h2,'linestyle',':','linewidth',3) Alessandro Pisano - pisano@diee.unica.it

64 64 STAIRS Il grafico viene realizzato interpolando i punti (x.y) con una funzione costante a tratti. x=linspace(-2*pi,2*pi,40) stairs(x,sin(x)),grid Alessandro Pisano - pisano@diee.unica.it

65 Utile per rappresentare segnali a tempo discreto (sequenze numeriche) Alessandro Pisano - pisano@diee.unica.it

66 66 PIE/PIE3 Diagrammi a torta 9% 6% Diagramma relativo al % x=[ ]; pie(x), 25% 24%

67 67 x=[ ]; pie(x,{'petrolio','gas','carbone','nucleare','rinnovabili'}) Labels Rinnovabili Nucleare Petrolio Carbone Gas

68 68 x=[ ]; h=pie(x); textobjs = findobj(h,'type','text'); oldstr = get(textobjs,{'string'}); Names = {'Petrolio:';'Gas:';'Carbone:';'Nucleare:';'Rinnovabili:'}; newstr = strcat(names,oldstr); set(textobjs,{'string'},newstr); Rinnovabili:9% Nucleare:6% Petrolio:36% Labels & percentuali Carbone:25% Gas:24%

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70 70 Rinnovabili:9% Nucleare:6% Petrolio:36% Carbone:25% Gas:24%

71 71 Versione 3d x=[ ]; h=pie3(x); textobjs = findobj(h,'type','text'); oldstr = get(textobjs,{'string'}); Names = {'Petrolio:';'Gas:';'Carbone:';'Nucleare:';'Rinnovabili:'}; newstr = strcat(names,oldstr); set(textobjs,{'string'},newstr); Rinnovabili:9% Nucleare:6% Carbone:25% Petrolio:36% Gas:24%

72 72 x=[ ]; explode = zeros(size(x)); [c,offset] = max(x); explode(offset) = 1; h=pie3(x,explode); textobjs = findobj(h,'type','text'); oldstr = get(textobjs,{'string'}); Names = {'Petrolio:';'Gas:';'Carbone:';'Nucleare:';'Rinnovabili:'}; newstr = strcat(names,oldstr); set(textobjs,{'string'},newstr); Scorpora la fetta più grande Rinnovabili:9% Nucleare:6% Carbone:25% Petrolio:36% Gas:24%

73 Consumi energetici mondiali [Mtep] 73 Diagrammi a barre Y=[ ; ; ; ]; bar([ ],Y,'stack') legend('petrolio','gas','carbone','nucleare', 'Rinnovabili') xlabel('anno') ylabel('consumi energetici mondiali [Mtep]') grid on x 104 Petrolio Gas Carbone Nucleare Rinnovabili Anno

74 74 Diagrammi a barre Peso percentuale di ciascuna fonte Y=[ ; ; ; ]; Yperc=zeros(size(Y)); Yperc(1,:)=100*Y(1,:)/sum(Y(1,:)); Yperc(2,:)=100*Y(2,:)/sum(Y(2,:)); Yperc(3,:)=100*Y(3,:)/sum(Y(3,:)); Yperc(4,:)=100*Y(4,:)/sum(Y(4,:)); bar([ ],Yperc,'stack') legend('petrolio','gas','carbone','nucleare', 'Rinnovabili') xlabel('anno') ylabel('percentuale sul totale') grid on Legenda delle fonti

75 75 Diagramma a barre orizzontale Y=[ ; ; ; ]; Y(1,:)=100*Y(1,:)/sum(Y(1,:)); Y(2,:)=100*Y(2,:)/sum(Y(2,:)); Y(3,:)=100*Y(3,:)/sum(Y(3,:)); Y(4,:)=100*Y(4,:)/sum(Y(4,:)); barh([ ],Y,'stack') legend('petrolio','gas','carbone','nucleare', 'Rinnovabili') ylabel('anno') xlabel('percentuale sul totale') grid on

76 76 COMET (grafico animato) t=linspace(0,4*pi,1000); comet(t,sin(t)),

77 77 Risoluzione di equazioni per via grafica Modellando un processo chimico di distillazione si ottiene la seguente relazione in cui L rappresenta la quantità di liquido (in moli) che resta nel distillatore, ed x è la frazione di benzene nel residuo. La variabile x assume valori nell intervallo [0, 0.6]. Si desidera individuare il valore della frazione residua x in corrispondenza del quale restano nel distillatore L= 70 moli di liquido Alessandro Pisano - pisano@diee.unica.it

78 78 x=[0:0.001:0.6]; L=100*(x/0.6).^(0.625).*((1-x)/0.4).^(-1.625); figure(1) plot(l,x),grid,xlabel('l [mol])'),ylabel('x mol B/mol') figure(2) plot(x,l),grid,xlabel('x'),ylabel('l ') Soluzione x 0.52 Alessandro Pisano - pisano@diee.unica.it

79 79 Identificazione automatica della soluzione x=[0:0.001:0.6]; L=100*(x/0.6).^(0.625).*((1-x)/0.4).^(-1.625); errore=abs(l-70); plot(x,errore),grid [minimo indice]=min(errore); x_sol=x(indice)

80 80 Grafici 3D Alessandro Pisano - pisano@diee.unica.it

81 81 [X,Y] = meshgrid(-8:.2:8); R = sqrt(x.^2 + Y.^2) + eps; Z = sin(r)./r; mesh(x,y,z) Alessandro Pisano - pisano@diee.unica.it

82 Alessandro Pisano - pisano@diee.unica.it 82

83 Alessandro Pisano - pisano@diee.unica.it 83

84 Cambio colorazione 84

85 Insert -> colorbar 85

86 [X,Y] = meshgrid(-8:.2:8); R = sqrt(x.^2 + Y.^2) + eps; Z = sin(r)./r; surf(x,y,z,'facecolor','interp','edgecolor','none','facel ighting','phong') daspect([5 5 1]) axis tight view(-50,30) camlight left 86

87 Z 87 Curve parametriche in 3D t = 0:pi/50:10*pi; plot3(sin(t),cos(t),t), grid xlabel('x') ylabel('y') zlabel('z') Alessandro Pisano - pisano@diee.unica.it Y X

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90 Interpretando il segnale u(t)=t 1 come un ingresso esterno applicato al sistema di equazioni differenziali, si rappresenti il modello Simulink mediante un Subsystem nella forma seguente

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92 x=0:0.001:2; g1=x.^2-2; g2=log10(x); figure(1) plot(x,g1,'b',x,g2,'r'),grid figure(2) subplot(1,2,1) plot(x,g1,'b',x,g2,'r'),grid title('prima intersezione') axis([ ]) xlabel('asse x') subplot(1,2,2) plot(x,g1,'b',x,g2,'r'),grid axis([ ]) title('seconda intersezione') xlabel('asse x') prima intersezione seconda intersezione Asse x Asse x

93 Scrivere un file script che produca un grafico in cui siano riportati sovrapposti i profili temporali del segnale y(t) corrispondenti ai tre valori M=3, M=6, M=10. Corredare il grafico di opportune etichette esplicative.

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95 function M = cream(n) A=zeros(n); for i=1:n A(i,i)=n; end for i=1:n for j=1:n if abs(i-j)==1 A(i,j)=2; end end end B=zeros(n); for i=1:n for j=1:n if (j>=i) B(i,j)=3; end end end M=[A B;B' A]; end

96 clc, i=10:1:30; vettore_autovalori0n=zeros(1,length(i)); max_somme_righe=zeros(1,length(i)); ind=0; for n=i ind=ind+1; M=creaM(n); eigm=eig(m) num=0; for j=1:length(eigm) if (eigm(j)>=0 && eigm(j)<=n) num=num+1; end end vettore_autovalori0n(ind)=num; max_somme_righe(ind)=max(sum(m')); end %% plot(i,vettore_autovalori0n,i,max_somme_righe),grid xlabel('n') legend('autovalori compresi tra 0 ed n','massimo delle somme delle righe di M(n)')

97 Autovalori compresi tra 0 ed n Massimo delle somme delle righe di M(n) n

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