TEORIA DEI GRAFI. Tecniche reticolari

Transcript

1 TORIA I GRAFI I problemi di ottimizzazione che riguardano la teoria dei grafi sono: Percorso ottimo; Problemi di flusso a costo minimo; Problemi di costo a massimo flusso. Tecniche reticolari Permettono la risoluzione del seguente quesito: quanto tempo è necessario affinché un progetto possa essere completato?. Per progetto si intende l insieme di attività che si susseguono nel tempo. Un qualsiasi progetto può essere rappresentato da un grafo, di cui: I nodi rappresentano gli eventi; Gli archi rappresentano le attività; I costi associati da ogni arco rappresentano la durata temporale di ogni attività. Per tale motivo è necessario: 1) efinire gli eventi e le attività; 2) Rappresentare il progetto attraverso grafo orientato; 3) Avanzare una modellizzazione matematica Il problema da risolvere è quindi il calcolo del tempo minimo. sistono tre grandi famiglie di strumenti per la ricerca del tempo minimo: TRMINISTIC MOL i. CPM STHOCASTIC MOL i. GAN ii. GRT PRT CPM - CRITICAL PATH MTHO OBITTIVO: Individuazione di un cammino critico (insieme di nodi ed archi percorsi una sola volta). IPOTSI: 1) Ogni arco deve essere individuato da 2 nodi;

2 2) Gli archi devono essere orientati; 3) Non devono crearsi loop; 4) Non devono presentarsi circuiti. RGOL: 1) ipendenza logica: ati tre eventi (i, j, ) collegati tra loro per mezzo di due archi (A ij, A j ), la dipendenza logica impone che la seconda attività inizia solo se la prima è terminata. 2) Convergenza logica: i j Ai Aj Al l ati quattro eventi (i, j,, l) collegati come in figura, la convergenza logica impone che l attività A l inizia solo se sono terminate entrambe le attività a monte. 3) ivergenza logica: i Aij j Aj Ajl l ati quattro eventi (i, j,, l) collegati come in figura, la divergenza logica impone che le attività A j e A jl iniziano solo se l attività a monte è terminata. L individuazione del cammino critico può essere ottenuta mediante due dei seguenti algoritmi: Algoritmo dell ANALISI IN AVANTI; Algoritmo dell ANALISI ALL INITRO.

3 sercizio Individuare il percorso minimo del grafo rappresentato in figura per mezzo della metodologia CPM F 3 A 5 3 H 4 B C 7 4 G 5 Algoritmo dell ANALISI IN AVANTI Si individua l evento iniziale per cui viene assegnato il tempo T (A) 0, per poi assegnare ai nodi successivi: { } ( j) max T ( i) + ; T ( ) T + ij j i ij j j Ottenendo nel caso in esame: NOO T A 0 B 4 C F 26 G 23 H 29

4 Algoritmo dell ANALISI ALL INITRO Si individua l evento finale, valutando il tempo massimo T L (H) T (A), che permette di arrivare all evento senza che ci sia un aumento del tempo totale del progetto. Per poi assegnare ai nodi successivi: L { } () i min T () i + ; T () i T + L ij L ij i ij i j Ottenendo nel caso in esame: NOO T L A 0 B 4 C F 26 G 24 H 29 È ora possibile determinare il TMPO I SLACK o tempo di scorrimento, indicante l intervallo temporale massimo di cui può scorrere l evento senza che vari il tempo totale del progetto: S N () i T () i T ( i) per gli eventi L S A ( ij) TL ( j) T ( i) ij per le attività ai valori ottenuti è possibile individuare il cammino critico, costituito dai nodi e dagli archi per cui il valore del tempo di slac è nullo:

5 ARCO S A AB 0 A 6 BC 1 NOO T T L S N B 0 A B 4 B C 1 C CG F 8 F F 0 G G 1 H H 10 FH 0 GH 1 Cammino critico F A H B

6 PRT - PROGRAMM VALUATION RVIW TCNIQU Tale approccio si basa su ipotesi deterministiche utilizzando in seguito una modellizzazione di tipo stocastico; individuato il cammino critico si avanzano le seguenti ipotesi: 1) le durate delle attività hanno una distribuzione probabilistica di tipo beta; 2) le durate delle singole attività sono indipendenti tra di loro. Quindi le durate associate agli archi non assumono un valore fisso ma una funzione di probabilità: a + 4 n + b (1) 6 dove: a stima ottimistica di una certa attività; b stima pessimistica di una certa attività; n valore medio. Il valore costituisce il valore medio della distribuzione, mentre la varianza delle attività è data dalla seguente formulazione: 2 2 b a 6 σ p (2) In definitiva la durata totale del progetto risulta pari alla somma delle durate delle attività critiche, e la varianza del progetto è data dalla somma delle varianze delle attività critiche: n ( ) TOT ij 1 (3) dove: n numero attività.

7 sercizio Individuare il percorso minimo del grafo rappresentato in figura per mezzo della metodologia PRT Attività Arco urata (giorni) Scavi Fondazioni Muri esterni Tubazioni esterne Costruzione tetto Impianto elettrico Tubazioni interne Rivestimenti interni Pannelli Infissi esterni Pavimentazione Tinteggiatura interna Tinteggiatura esterna Infissi interni

8 ARCO URATA S A NOO T T L S N Cammino critico Le durate probabilistiche delle attività si ricavano mediante la formulazione citata in precedenza, conoscendo i parametri statistici degli archi costituenti il percorso critico mostrato in figura: Arco n a b 1-2 2, , , , ,5 5 1

9 alla (1) si ricava il valore della durata media di ogni attività, mentre dalla (2) è possibile stimare la varianza che caratterizza la distribuzione ipotizzata, per poter misurare anche il valore minimo ed il valore massimo che potrebbe assumere, sottraendo e sommando rispettivamente il valore della scarto quadratico medio alla stima ottima valutata: σ 2 σ min max 2,5 0,25 0,50 2,00 3,00 4 1,00 1,00 3,00 5, ,00 2,00 8,00 12,00 4 0,44 0,67 3,33 4,67 5 1,00 1,00 4,00 6,00 8 1,00 1,00 7,00 9,00 5 1,00 1,00 4,00 6,00 4,7 0,44-0,67 5,33 4,00 Per chiarezza si espone nel seguito il calcolo relativo al primo arco, 1-2: , ,5 giorni σ , σ 1 2 σ 0,5 giorni 6 ( 2,5 0,5) giorni 2 giorni 1 2 _ min 1 2 σ ( 2,5 + 0,5) giorni 3 giorni 1 2 _ max σ È possibile indicare la durata complessiva per l attuazione delle attività critiche per mezzo della (3), ottenendo: TOT ij n 1 ( ) ( 2, ,7) giorni 43,2 giorni