Esercizi Struttura della Materia

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1 Esercizi Struttura della Materia 1. Si consideri un gas di particelle identiche non interagenti in cui ogni particella può assumere i valori di energia 0,ɛ, 2ɛ, 3ɛ,.. Si consideri il gas classico e si calcoli i) la funzione di partizione nell ensemble canonico, ii) il calore specifico per particella, iii) il potenziale chimico. Si discuta per quali temperature è valida l approssimazione classica. 2. Si consideri l atomo di elio nello stato eccitato 1s2p. Stimare l energia di interazione elettrone-elettrone per funzioni d onda idrogenoidi sapendo che il potenziale prodotto dall elettrone 1s può essere descritto dal potenziale centrale con a o raggio di Bohr. U(r) = e2 4πɛ o r e2 ( πɛ o a o r )e 4r/ao 3. Si consideri una molecola di Ne 2 (massa atomica = uma). Il potenziale adiabatico tra due atomi di Ne sia dato da v(r) = 4ε((σ/r) 12 (σ/r) 6 ) con ε=3.08 mev e σ=275 pm in funzione della separazione r tra i due nuclei. Si valuti l energia di legame di tale dimero, tenendo conto del moto quantistico di punto zero, e si stimi il numero di stati vibrazionali legati in approssimazione armonica. 4. Si consideri un gas degenere di elettroni confinati in una dimensione con densita di 1/a o con a o raggio di Bohr. Calcolare il calore specifico a 300 K in unita di k B. 5. Si consideri l atomo di Be 2+ nello stato fondamentale con funzioni d onda idrogenenoidi e carica efficace assegnata dal principio variazionale. Calcolare la probabilità di trovare entrambi gli elettroni in una sfera di raggio a o centrata sul nucleo. 6. Si consideri il moto rotazionale della molecola 6 Li 18 F con distanza di equilibrio di 2.64 a o e stato elettronico 1 Σ. La funzione d onda rotationale è ψ(θ, φ) = C(cosθ + cosφsenθ) con C costante di normalizzazione. Calcolare il valor medio dell energia rotazionale. 7. L argento è un metallo monovalente con massa atomica M= u.m.a, e densità ρ=10.49 g/cm 3. Calcolare il contributo elettronico alla conducibilità termica sapendo che il libero cammino medio degli elettroni è di 50 nm. Si consideri il modello di elettroni liberi con massa efficace pari alla massa elettronica. 8. Si consideri la molecola biatomica CB. Discutere lo stato elettronico di stato fondamentale nello schema MO-LCAO ed assegnare il simbolo di termine e la sua degenerazione. 9. Un gas perfetto è composto da particelle distinguibili che hanno quattro possibili stati

2 di energia interna -E, 0, 0, +E con E=10 mev. Calcolare l entropia media per particella in funzione della temperatura. Calcolare la frazione di particelle sullo stato a energia 0 a 300 K. 10. Si consideri la molecola HF di lunghezza d=0.917 Å e momento di dipolo 0.8 Å e o. Calcolare la vita media del primo stato eccitato rotazionale. 11. Considerare la molecola B-H e il potenziale di Morse con livelli di energia hω(n ) - hωχ(n )2 con hωχ=40 cm 1 e hω =2368 cm 1. Stimare l energia media vibrazionale a temperatura ambiente in approssimazione armonica e la correzione anarmonica. 12. Utilizzando il modello di Hueckel, calcolare i livelli di energia, la loro degenerazione e occupazione per la molecola H 2 C=C=C=CH 2. Discutere lo stato di ibridizzazione dei diversi atomi di carbonio nella molecola. 13. Si determini la velocità del suono in un solido unidimensionale costituito da atomi di massa M=40 u.m.a, legati da potenziali armonici V ({x i }) = 1 2 K i(x i+1 x i a) 2 con K=300 kg s 2 e passo reticolare a=0.25 nm. 14. Si consideri una particella di massa m in una dimensione sottoposta al potenziale V (x) = + per x < 0 e V (x) = gx per x > 0 con g costante positiva. Si stimi l energia di stato fondamentale utilizzando il principio variazionale e la funzione di prova xexp( αx) con α parametro variazionale. 15. Si consideri un gas di elettroni liberi in 2 dimensioni. Calcolare l energia media per elettrone a temperatura zero per un gas ad una densità superciale di 3 elettroni/å Si consideri un gas di atomi di Li nello stato elettronico 2 S in presenza di un campo magnetico di 1 Tesla. Calcolare il contributo al calore specifico a 10 K dovuto all accoppiamento con il campo magnetico esterno. 17. Un sistema in equilibrio termico alla temperatura T é composto da N particelle distinguibili e non interagenti tra loro. Ogni particella ha a disposizione 2 stati degeneri di energia E 0 =0 e 4 stati degeneri di energia E 1 =25 mev. Calcolare l entropia per particella a 300 K. 18. Un campione di H 35 Cl gassoso alla temperatura di 1000 K é sottoposto ad un esperimento di spettroscopia di assorbimento infrarosso. Conoscendo la distanza molecolare d equilibrio R 0 =1.27 Å e la frequenza di vibrazione ν = 89.6 THz, si determini il numero quantico rotazionale dello stato inizialmente piú popolato, e le frequenze delle transizioni rotovibrazionali piú intense osservate nei rami P ed R.

3 19. Si consideri un esperimento di fotoemissione su un campione di sodio metallico (densitá ρ=0.95 g cm 3, peso atomico A=23, lavoro di estrazione 2.75 ev). Per gli elettroni nella banda di conduzione si assuma il modello di fermioni liberi non interagenti a temperatura nulla. Impiegando fotoni di lunghezza d onda 88 nm, quali sono la minima e massima energia cinetica degli elettroni fotoemessi dalla banda di conduzione? 20. L atomo di Nickel ha un primo stato eccitato [Ar]3d 9 4s che si trova 25.4 mev al di sopra dello stato fondamentale [Ar]3d 8 4s 2. Si assegni il simboli di termine dello stato eccitato e dello stato eccitato con le regole di Hund. Si valuti il contributo di questa eccitazione elettronica al calore specifico per unità di volume di vapori atomici di Nickel alla temperatura di 3200 K. 21. Calcolare la funzione di partizione gran canonica di un gas ideale classico di particelle di massa m a temperatura T e la relazione che intercorre tra potenziale chimico e numero medio di particelle nell ensemble gran canonico; verificare che, per quest ultima, si ottiene la stessa espressione dedotta nell ensemble canonico. 22. Si consideri l atomo di elio nello stato fondamentale con funzioni d onda idrogenenoidi. Calcolare la probabilità di trovare entrambi gli elettroni in una sfera di raggio a o centrata sul nucleo. 23.Si considerino particelle con spin 1/2 in un campo magnetico d intensità B, trascurando i gradi di libertà traslazionali, calcolare l energia media per particella in funzione della temperatura. 24. Si consideri la molecola planare ciclica C 4 H 4 (ciclobutadiene) con ibridizzazione sp 2. Calcolare i livelli di energia e la loro occupazione nello stato fondamentale utilizzando il modello di Huckel con elementi di matrice diagonali e fuori diagonale rispettivamente pari a α e β. 25.Calcolare la lunghezza di legame e il quanto di energia vibrazionale della molecola di HF assumendo che il potenziale d interazione tra i due atomi di in funzione della lunghezza di legame r della molecola sia dato da V (r) = V o (1 e a(r ro) ) 2 V o con V o =5.875 ev, r o =0.917 Å e a=2.25 Å Un campione di H 35 Cl gassoso alla temperatura di 1000 K é sottoposto ad un esperimento di spettroscopia di assorbimento infrarosso. Sapendo che la distanza molecolare d equilibrio R 0 =1.27 Å, si determini l energia della riga di assorbimento rotazionale piú intensa. 27. Si consideri la molecola N + 2 nello stato eccitato 1σ 2 g1σ 2 u2σ 2 g1π 2 u1π 1 g (solo elettroni di

4 valenza). Assegnare i possibili simboli di termine e le loro degenerazioni. 28. Si consideri la molecola planare AlCl 3 con l atomo di Al in configurazione sp 2. Calcolare il calore specifico per molecola ad alta temperatura applicando il principio di equipartizione dell energia. 29. Si consideri la molecola O 2 nello schema MO-LCAO. Calcolare le energie degli stati σ (leganti e antileganti) ottenuti dagli orbitali atomici 2s e 2p. Si trascuri l integrale di overlap e il mescolamento degli orbitali s e p (< u 2s (A) H u 2p (B) >= 0). Si assuma < u 2s (A) H u 2s (A) >= ev, < u 2p (A) H u 2p (A) >= ev, < u 2s (A) H u 2s (B) >= 7.32 ev, < u 2p (A) H u 2p (B) >= ev, dove A e B si riferiscono ai due atomi della molecola. 30. Si valuti la lunghezza della molecola di acido cloridrico deuterato D 35 Cl, sapendo che, in fase gassosa, due righe contigue del suo spettro di assorbimento rotazionale hanno lunghezza d onda pari a e µm, rispettivamente. Si indichi quale tra queste righe sia la più intensa con il campione alla temperatura di 300 K. 31. Si consideri un cristallo unidimensionale finito formato da N=6 siti con un elettrone per sito e con condizioni periodiche al contorno. Nell approssimazione tight-binding a un orbitale per sito, i livelli elettronici sono descritti dalla banda : E(k) = b 2tcos(ka), dove b=-5 ev e t=2 ev, a è la distanza tra atomi adiacenti, e k è il vettore d onda. Identificando i valori di k permessi dalla condizione al contorno di periodicità, si assegni l energia dell ultimo stato occupato. 32. Si consideri la funzione d onda elettronica (due elettroni) della molecola H 2 (d = 0.74 Å) nello schema MO-LCAO. Calcolare la probabilità relativa di trovare un elettrone su uno dei due nuclei rispetto alla probabilità di trovarlo nel punto medio della distanza internucleare per i) lo stato fondamentale, ii) il primo stato eccitato. L integrale di overlap S per lo stato atomico 1s vale S = Supponendo che gli elettroni di conduzione del potassio (Numero di massa= 39 a.m.u., ρ=0.87 g/cm 3 ) siano assimilabili ad un gas di elettroni liberi, calcolare l energia di Fermi a T=0 K e il calore specifico a 300 K. 34. Si consideri un gas di molecole di H 35 Br e si valutino i contributi traslazionale, rotazionale e vibrazionale all energia interna per molecola del gas a temperatura di 380 K sapendo che la distanza di legame è di 1.41 Å e la frequenza di vibrazione è di 2650 cm Calcolare la configurazione di stato fondamentale dell atomo Re [Xe]3f 14 4d 5 6s 2 nello schema jj.

5 36. Si consideri l atomo di Cl nello stato fondamentale 2 P. Lo splitting dovuto all interazione spin-orbita è di 881 cm 1. Calcolare il contributo al calore specifico (in unità di k B ) a 300 K dovuto all eccitazione elettronica tra i due stati della configurazione 2 P. 37. Si consideri un gas di molecole di H 2 O con tre le frequenze vibrationali ω 1 = 3741 cm 1, ω 2 = 3650 cm 1, ω 3 = 1589 cm 1. Calcolare il contributo vibrazionale al calore specifico a basse temperature, T= 10 K. 38. L argento è un metallo monovalente con massa atomica M= u.m.a, e densità ρ=10.49 g/cm 3. Calcolare la conducibilità elettrica sapendo che il libero cammino medio degli elettroni è di 50 nm. Si consideri il modello di elettroni liberi con massa efficace pari alla massa elettronica. 39.Stimare l energia di stato fondamentale dell atomo Be 2+ utilizzando funzioni d onda idrogenoidi e il principio variazionale. 40.Calcolare la vita media del primo stato eccitato vibrazionale della molecola di HF con potenziale interatomico descritto da un potenziale alla Morse V (r) = V o (1 e a(r ro) ) 2 V o con V o =5.87 ev, r o =0.917 Å lunghezza della molecola e a=2.25 Å 1. Si condideri un legame ionico e carica efficace pari alla carica elettronica. 41. Si consideri un semiconduttore con gap diretto di 1 ev nel punto Γ. La massa efficace di elettroni e buche è 0.1 m e. Si supponga di drogare il sistema n con una densità di donori N d e che i donori siano tutti ionizzati a 300 K. Calcolare la densità di donori N d in modo che la densità di buche p sia pari a 10 5 /cm 3. Il semiconducttore è non degenere? 42. Si consideri un atomo di azoto nello stato eccitato 1s 2 2s 1 2p 3 3d 1. Assegnare il simbolo di termine dello stato a più bassa energia secondo Hund.