Introduzione alla Fisica dello Stato Solido

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1 Introduzione alla Fisica dello Stato Solido Docente: Paolo Giannozzi, Stanza L1-1-BE ai Rizzi, Tel.: Ricevimento ufficiale Venerdì 10:30-12:30 Orario: Me 17-19, Gi 17-19, salvo diverso avviso Pagina web: Testo: esistono molti buoni libri, perlopiù testi specialistici massicci e pesanti, ma anche testi un po più leggeri. Qualche indicazione di massima: Introduction to solid state physics, C. Kittel (un classico) Solid state physics, G. Grosso, G. Pastori Parravicini (un buon libro recente) Fisica dei semiconduttori, L. Colombo (un testo più accessibile) che si trovano anche in biblioteca. Inoltre: slides, note e indicazioni bibliografiche fornite di volta in volta. Typeset by FoilTEX

2 Cos è la fisica dello stato solido? La fisica dello stato solido è nata alla fine degli anni 40, con lo studio dei solidi cristallini. Nel corso degli anni è stata inglobata nella fisica della materia condensata, che studia i fenomeni che avvengono nei sistemi a molti corpi: solidi (cristallini o amorfi) ma anche liquidi e altri sistemi più esotici. Per un excursus storico: When condensed-matter physics became king, Joseph D. Martin, che contiene anche varie considerazioni sul rapporto fra fisica fondamentale, fisica applicata, industria. La fisica della materia condensata è un campo vastissimo. Questo corso si limita a dare un introduzione ad alcuni argomenti classici di fisica dello stato solido: periodicità e simmetria cristallina, diffrazione di raggi X modelli di coesione: cristalli molecolari, ionici, covalenti, metalli stati elettronici: struttura a bande, isolanti, semiconduttori e metalli fino a toccare le basi fisiche dei dispositivi a semiconduttore.

3 Programma di massima delle lezioni Il corso è di 28h: 14 lezioni di 2h. Programma rivisto: 1. Reticolo cristallino: simmetria traslazionale discreta, reticoli di Bravais, cella primitiva, convenzionale, di Wigner e Seitz 2. Esempi di cristalli, piani cristallini, indici di Miller 3. Diffrazione di Bragg e di von Laue, reticolo reciproco 4. Cristallografia: fattore di forma e di struttura, fattore di Debye-Waller 5. Simmetria dei cristalli: gruppi puntuali, restrizione cristallografica, gruppi spaziali, quasicristalli. 6. Modelli di coesione nei cristalli: strutture di equilibrio, classificazione dei tipi di legame, cristallo di Lennard-Jones, modello dei cristalli ionici, energia di Madelung. 7. Richiamo di meccanica quantistica: equazione di Schrödinger, livelli di energia, stati di particella libera, onde piane

4 8. Metalli come gas di elettroni liberi: energia e sfera di Fermi, effetto della temperatura finita. 9. Stati elettronici nei cristalli: potenziale cristallino, teorema di Bloch, struttura a bande 10. Qualche esempio di struttura a bande: isolanti, semiconduttori semplici, metalli semplici, grafene 11. Conduzione nei metalli: approssimazione semiclassica, massa effettiva, conduzione da lacune 12. Semiconduttori: presenza di gap, densità di portatori liberi, conduttività in funzione della temperatura; impurezze n e p, livelli di accettore e donore 13. Semiconduttori drogati: giunzione p-n

5 Stati della materia La materia in condizioni (per noi) normali si presenta sotto vari stati di aggregazione: solido, liquido, gas. I solidi sono caratterizzati dall avere un volume proprio, come i liquidi e diversamente dai gas. In più, hanno una forma propria e resistenza agli sforzi di taglio (vedi sotto). Quello che misuriamo a livello macroscopico è una media: a livello microscopico la materia è formata da atomi. Se le proprietà macroscopiche di un sistema non dipendono dalla posizione, il sistema è detto omogeneo; se non dipendono dalla direzione, isotropo. Liquidi e gas sono omogenei e isotropi. Gli atomi possono diffondere nei liquidi e nei gas, ma non nei solidi, dove (in condizioni normali) possono solo oscillare attorno alle loro posizioni di equilibrio. A destra, il comportamento tipico dello spostamento quadratico medio di una particella in un solido e in un fluido.

6 Lo stato cristallino L esistenza di cristalli, ovverosia di solidi caratterizzati da facce regolari e da direzioni preferenziali per la rottura (cleavage) è nota sin dall antichità. Moltissimi solidi sono cristallini, ovvero formati da atomi disposti su di una struttura regolare periodica. I solidi reali hanno di solito una struttura microcristallina, ovvero sono formati da cristalli di dimensioni microscopiche (dell ordine dei micron, ovvero 1µm = 10 6 m) orientati in modo casuale, per cui la regolarità tipica dei cristalli sfugge ad occhio nudo (ma non agli strumenti) e il solido appare isotropo. Esistono però anche cristalli di dimensioni macroscopiche, chiaramente riconoscibili come tali! In condizione opportune si possono crescere cristalli di grandi dimensioni e di grande perfezione.

7 Il reticolo cristallino Possiamo farci un modello atomistico di un cristallo perfetto come una struttura in cui uno o più atomi, che formano la base, sono ripetuti periodicamente tramite un reticolo: cristallo }{{} Fisica = base }{{} Chimica + reticolo }{{}. Geometria Chiamiamo R n i vettori del reticolo, d µ le posizioni dell atomo µ della base. Gli atomi (o più esattamente, i loro nuclei) sono centrati nelle posizioni τ µ,n = d µ + R n. La base può contenere da un solo atomo fino a molte migliaia

8 Il reticolo cristallino II In N dimensioni, i vettori del reticolo sono combinazioni lineari a coefficienti interi di N vettori (assi) cristallini. In tre dimensioni: R = n 1 a + n 2 b + n3 c, n 1, n 2, n 3 Z. Il parallelepipedo individuato dai tre assi definisce la cella unitaria: una zona di spazio che periodicamente ripetuta riempie tutto lo spazio. Né la cella unitaria né gli assi cristallini sono univocamente definiti. Gli assi cristallini sono primitivi se generano una cella primitiva di volume minimo (e base minima). Si parla di supercella quando si descrive uno stesso cristallo con una cella di volume multiplo di quella primitiva. Un cristallo perfetto si estende all infinito ed ha invarianza (o simmetria) traslazionale discreta: se lo trasliamo di un vettore di reticolo qualunque ( T in figura), rimane esattamente uguale a se stesso. Il cristallo visto da un generico punto r è indistinguibile dal cristallo visto da un punto traslato r = r + T.

9 Reticolo cristallino in una dimensione In una dimensione, non c è molta scelta: un reticolo è formato da una serie di punti equidistanti su una retta, nelle posizioni R n = na, n Z. Il parametro a (una lunghezza) è detto parametro reticolare. Possiamo introdurre un vettore primitivo (unidimensionale) a = aî (definito a meno di un segno) che genera tutti i punti del reticolo se moltiplicato per un numero intero: R n = n a, n Z. Possibili scelte della cella unitaria (in questo caso, un segmento) sono per esempio il segmento [0, a[, oppure il segmento centrato attorno all origine [ a/2, a/2[. E anche possibile scegliere un vettore a di lunghezza doppia: a = 2aî, con una base raddoppiata (per ogni atomo in d µ, un altro atomo in d µ + a) e una cella pure doppia (per esempio, [ a, a[). Questo è il caso più semplice di supercella.

10 Reticoli cristallini in due dimensioni In due dimensioni, possiamo definire 5 tipi diversi di reticoli cristallini, tramite due vettori (o assi) primitivi a e b di lunghezza a = a e b = b ad angolo α ( 0!). I vettori di reticolo sono R = n 1 a + n 2 b, con n1, n 2 Z. Tipo di reticolo lunghezza assi, angoli assi 1. quadrato a = b, α = 90 a = a(1, 0), b = a(0, 1) 2. triangolare o esagonale a = b, α = 120 a = a(1, 0), b = a( 1 2, 3 2 ) 3. rettangolare a b, α = 90 a = (a, 0), b = (0, b) 4. rettangolare centrato a b, α 90 a = (a, 0), b = ( a 2, b 2 ) 5. obliquo a b, α 90 a = (a, 0), b = (a cos α, b sin α) Da notare che il caso 3) è equivalente al caso 4) con una base di atomi d µ e d µ +( a 2, b 2 ). Nel primo caso si parla di assi primitivi, nel secondo di assi convenzionali. Gli assi convenzionali sono più semplici da usare e sono quindi spesso preferiti. Notate che anche qui la scelta dei vettori primitivi non è unica, e che la simmetria dei reticoli differisce fra i quattro casi 1), 2), 3)+4), 5). Per simmetria si intendono l insieme di operazioni, in aggiunta alle traslazioni discrete, che lasciano invariato il reticolo: rotazioni attorno ad un asse, riflessioni rispetto a un piano.

11 Reticoli cristallini in due dimensioni II Nella figura sopra sono mostrate delle possibili scelte di vettori primitivi di celle unitarie (in grigio chiaro) per i 5 reticoli bidimensionali. A lato, qualche esempio di scelte diverse di vettori e celle per il reticolo quadrato: quali di queste sono supercelle? La superficie della cella unitaria è data da S = ab sin α, o più in generale, S = a b (prodotto vettore).

12 Cella di Wigner e Seitz Fra le varie possibili scelte per la cella unitaria, quella tipicamente preferita è la cella di Wigner e Seitz. Si ottiene con una costruzione come quella in figura (che dipende solo dal reticolo, non dalla base!): i piani sono ortogonali alla congiungente fra il punto centrale e gli altri punti del reticolo e la tagliano a metà. La cella di Wigner e Seitz è il luogo dei punti più vicino ad un certo punto del reticolo. Ha la stessa simmetria del reticolo ma può avere forme strane : nell esempio mostrato qui accanto, ha più di 4 lati. Nonostante ciò, riempie tutto lo spazio (è quello che si chiama un tiling) se periodicamente ripetuta.

13 Un vero cristallo bidimensionale: il grafene Un singolo strato di grafite si chiama grafene. Benché osservato con microscopia elettronica già nel 1962, il grafene è rimasto un giocattolo per teorici fino al 2004, quando Novoselov e Geim trovarono una tecnica exfoliation o peeling per produrlo a partire dalla grafite, usando... del comune nastro adesivo! Da allora l interesse per il grafene è esploso (e Novoselov e Geim hanno vinto il premio Nobel). Il grafene ha un reticolo triangolare con parametro reticolare a = 2.46 Å e una base di due atomi: d 1 = (0, 0, 0), d2 = (0, 3 a, 0), 3 (la nebbia nella figura qui a fianco è una isosuperficie di densità di carica elettronica) Si parla di sottoreticolo per indicare il reticolo centrato su ogni atomo della base. In questo caso, la struttura cristallina è formata da due sottoreticoli. Notate come la presenza di due atomi nella base trasformi un reticolo fatto di triangoli in una struttura fatta di esagoni. Notate anche che la distanza minima fra gli atomi, che è uguale al lato degli esagoni, non è a ma d = a/ 3 = 1.40 Å.

14 Reticoli cristallini in tre dimensioni In tre dimensioni, esistono 14 tipi diversi di reticoli cristallini, detti reticoli di Bravais. Questi 14 reticoli sono a loro volta classificati come P (semplice), F (a facce centrate), I (a corpo centrato), C (a base centrata), R (romboedrico) e suddivisi in 7 classi di simmetria: Classe di simmetria lunghezza assi angoli fra assi cubico (P, F, I) a = b = c α = β = γ = 90 tetragonale (P, I) a = b c α = β = γ = 90 ortorombico (P, F, I, C) a b c α = β = γ = 90 esagonale (o trigonale P) a = b c α = 120, β = γ = 90 trigonale R a = b = c α = β = γ 90 monoclino (P, C) a b c α = γ = 90, β 90 triclino (P) a b c α, β, γ 90 I parametri reticolari a, b, c sono le lunghezze degli assi cristallini; α = bc, β = âc, γ = âb gli angoli fra gli assi cristallini (per la cella convenzionale, quella semplice ). Si dimostra facilmente che il volume della cella unitaria è V = a ( b c).

15 Reticoli di Bravais con cella unitaria (convenzionale, non quella di Wigner e Seitz)

16 Esempi di celle primitive (non convenzionali) La cella primitiva per il cubico semplice (P) è ovviamente un cubo di volume V = a 3. (a) Cella primitiva per il cubico F (a facce centrate); volume V = a 3 /4 (b) Cella primitiva per il cubico I (a corpo centrato); volume V = a 3 /2

17 Esempi di celle di Wigner e Seitz La cella di Wigner e Seitz per il cubico semplice (P) è pure un cubo di volume V = a 3, centrato attorno ad un punto del reticolo. Le celle di Wigner e Seitz per il cubico F (V = a 3 /4) e I (V = a 3 /2) sono mostrate rispettivamente in (a) e (b)