Statistica Descrittiva - Lezione 1
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- Tommasa Riccardi
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1 Statistica Descrittiva - Lezione 1 Gianluca Bande Università degli Studi di Cagliari December 13, 2007 G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
2 Statistica descrittiva La statistica descrittiva è un insieme di tecniche per descrivere e riassumere dati ricorrendo a tecniche matematiche. G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
3 Statistica descrittiva La statistica descrittiva è un insieme di tecniche per descrivere e riassumere dati ricorrendo a tecniche matematiche. Gli strumenti di sintesi sono essenzialmente di tre tipi: tabelle rappresentazioni grafiche indici sintetici G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
4 Statistica descrittiva La statistica descrittiva è un insieme di tecniche per descrivere e riassumere dati ricorrendo a tecniche matematiche. Gli strumenti di sintesi sono essenzialmente di tre tipi: tabelle rappresentazioni grafiche indici sintetici Attenzione Quando sintetizziamo l informazione contenuta nei dati, ne perdiamo una parte. Gli strumenti di sintesi devono essere scelti in modo tale da: preservare, per quanto possibile, l informazione rilevante per il problema analizzato eliminare l informazione non necessaria G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
5 Unità statistiche Uno studio statistico riguarda un gruppo di individui. Gli individui possono essere persone, cellule, molecole, foglie, pietre... G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
6 Unità statistiche Uno studio statistico riguarda un gruppo di individui. Gli individui possono essere persone, cellule, molecole, foglie, pietre... Definizione Gli individui costituiscono le nostre unità statistiche di osservazione L insieme delle unità statistiche forma la popolazione G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
7 Unità statistiche Uno studio statistico riguarda un gruppo di individui. Gli individui possono essere persone, cellule, molecole, foglie, pietre... Definizione Gli individui costituiscono le nostre unità statistiche di osservazione L insieme delle unità statistiche forma la popolazione Indicheremo con N il numero di unità statistiche che costituiscono una popolazione e denoteremo le unità statistiche con: U 1,U 2,...,U N G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
8 Variabile Sulle unità statistiche vengono effettuate delle osservazioni o misurazioni. G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
9 Variabile Sulle unità statistiche vengono effettuate delle osservazioni o misurazioni. Definizione Chiamiamo variabile o carattere ciò che si misura o osserva sulle unità statistiche di una popolazione G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
10 Variabile Sulle unità statistiche vengono effettuate delle osservazioni o misurazioni. Definizione Chiamiamo variabile o carattere ciò che si misura o osserva sulle unità statistiche di una popolazione Generalmente, su una popolazione possiamo fare diverse misurazioni. Se le variabili misurate sono 2 o 3 le indicheremo con le lettere X,Y,Z G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
11 Esempio Gli studenti di Scienze Naturali costituiscono una popolazione. Se misuriamo a ciascun studente il peso e l altezza si ha: studenti = unità statistiche popolazione = studenti di Scienze Naturali peso = X altezza = Y G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
12 La tabella cronologica Variabili Unità X Y Z U 1 X 1 Y 1 Z 1 U 2 X 2 Y 2 Z 3 U 3 X 3 Y 3 Z 3 U N X N Y N Z N G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
13 La tabella cronologica Variabili Unità X Y Z U 1 X 1 Y 1 Z 1 U 2 X 2 Y 2 Z 3 U 3 X 3 Y 3 Z 3 U N X N Y N Z N Variabili Unità peso altezza sesso U U U U N G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
14 Rappresentazione di una variabile Di solito i valori di una variabile misurati su una popolazione si rappresentano come un vettore X = {X 1,X 2,...,X N } dove si è indicato con X k il valore della variabile X relativo all unità statistica U k. Questa rappresentazione non fornisce alcuna informazione sui dati. G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
15 Rappresentazione non strutturata Esempio Simulazione del lancio di due dadi a sei facce dadi = (6,6,5,6,3,4,8,7,7,6,9,5,10,6,6,7,10,10,3,3,8,5,7,6,10,7,6,7,9,4,7, 2,5,11,6,6,8,6,4,7,7,9,7,7,8,10,9,5,8,6,6,7,5,5,11,4,10,7,9,9,7,4,9,5,10, 8,5,6,9,7,6,4,7,7,6,3,2,8,9,4,8,11,2,8,9,7,11,6,9,4,8,7,6,3,6,7,4,2, 6,3,4,6,3,5,4,10,6,9,9,9,3,7,6,9,9,4,6,7,7,5,11,8,10,3,10,8,8,4,4,5, 9,7,5,11,8,9,11,3,9,6,7,8,5,2,8,4,6,7,9,5,6,6,5,5,8,10,12,7,8,6,6,8,6, 3,8,5,7,3,2,8,8,9,9,8,4,5,8,7,8,5,7,10,7,8,5,7,2,10,7,3,5,5,6,8,11,7,8,7, 6,11,12,8,7,5,9,4,10,4,10,4,5,7,6,12,6,9,4,6,7,3,11,12,6,5,7,6,2,4,11,5, 4,9,7,10,8,7,8,2,7,11,3,7,12,11,6,8,5,8,10,8) G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
16 Rappresentazione non strutturata Esempio Il vettore riporta il peso di 300 trote. peso trote = (217,250,297,212,380,344,259,269,303,327,285,341,326,233,217,379,284,307,377,369,382,253,256,295, 311,342,309,409,287,341,259,392,250,296,336,239,301,235,368,264,288,269,255,254,391,311,363,251,294,287, 287,328,227,158,303,371,312,306,341,347,314,342,283,345,347,250,328,213,284,269,240,193,260,282,344,316, 405,269,355,356,253,299,395,293,283,394,291,296,277,353,287,314,322,274,340,394,236,448,258,269,358,323, 268,327,338,332,334,344,292,337,373,244,334,276,296,297,227,259,244,193,301,274,286,378,288,267,369,215, 232,350,333,240,349,320,277,311,296,360,316,265,249,270,222,380,249,291,320,249,273,251,239,254,325,345, 244,334,315,245,345,323,241,307,314,363,256,339,304,320,409,265,301,271,333,287,367,220,268,239,276,282, 288,285,317,304,313,251,363,330,271,247,279,351,340,278,332,316,291,276,225,330,317,254,244,179,263,334, 285,359,343,275,269,256,244,302,364,290,303,320,247,348,290,318,257,221,418,218,395,325,332,348,283,339, 243,351,305,234,300,399,320,310,309,320,322,331,258,384,329,277,339,271,308,270,255,303,269,315,304,337, 334,267,355,356,242,239,319,323,305,323,346,357,316,250,293,228,270,374,278,375,299,364,258,357,238,300, 298,321,202,368,371,422,212,349,306,344,303,328,339,363,264,305) G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
17 Rappresentazione cartesiana La prima rappresentazione strutturata è quella data dalla visualizzazione cartesiana dei dati. G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
18 Rappresentazione cartesiana La prima rappresentazione strutturata è quella data dalla visualizzazione cartesiana dei dati. Si riporta in ascissa il numero progressivo delle unità statistiche in ordinata il valori della variabile X G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
19 Rappresentazione cartesiana La prima rappresentazione strutturata è quella data dalla visualizzazione cartesiana dei dati. Si riporta in ascissa il numero progressivo delle unità statistiche in ordinata il valori della variabile X Si posiziona poi un pallino in corrispondenza dei punti di coordinate (k,x k ),k = 1,...,N. G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
20 Lancio dei due dadi G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
21 Peso delle trote G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
22 Frequenze assolute Si consideri un vettore X = (8,15,18,2,19,5,1,10,5,17,15,5,3,6,13, 19,13,14,10,13,13, 15,13,17,11,0,7,6,0,6) G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
23 Frequenze assolute Si consideri un vettore X = (8,15,18,2,19,5,1,10,5,17,15,5,3,6,13, 19,13,14,10,13,13, 15,13,17,11,0,7,6,0,6) La rappresentazione di tutti i dati non è sempre molto chiara. Di fatto molte volte interessa sapere se un certo valore è all interno di un dato intervallo, più che il singolo valore. G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
24 Frequenze assolute Si consideri un vettore X = (8,15,18,2,19,5,1,10,5,17,15,5,3,6,13, 19,13,14,10,13,13, 15,13,17,11,0,7,6,0,6) La rappresentazione di tutti i dati non è sempre molto chiara. Di fatto molte volte interessa sapere se un certo valore è all interno di un dato intervallo, più che il singolo valore. Procediamo nel modo seguente: Per primo riordiniamo i dati del vettore X: X = (0,0,1,2,3,5,5,5,6,6,6,7,8,10,10, 11,13,13,13,13,13,14, 15,15,15,17,17,18,19,19) G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
25 Ampiezza e sotto intervalli Definizione L ampiezza di un vettore X è il numero M m = X N X 1 dove M e m sono il massimo ed il minimo valore di X rispettivamente. G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
26 Ampiezza e sotto intervalli Definizione L ampiezza di un vettore X è il numero M m = X N X 1 dove M e m sono il massimo ed il minimo valore di X rispettivamente. Nell esempio l ampiezza vale 19. Adesso suddividiamo l intervallo I = [0, 19] in sotto intervalli. Scegliendo, per esempio, sotto intervalli omogenei di ampiezza 5,si ottiene: I 1 = [0,5),I 2 = [5,10),I 3 = [10,15),I 4 = [15,20) Osservazione Si osservi che per convenzione il primo estremo dei sotto intervalli è incluso mentre il secondo no, cioè appartiene al sotto intervallo successivo. G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
27 Frequenze assolute e relative Per ciascun sotto intervallo calcoliamo le frequenze assolute e quelle relative definite da Definizione Le frequenze assolute, indicate con n k misurano il numero di unità statistiche con un valore della variabile X all interno dell intervallo I k. G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
28 Frequenze assolute e relative Per ciascun sotto intervallo calcoliamo le frequenze assolute e quelle relative definite da Definizione Le frequenze assolute, indicate con n k misurano il numero di unità statistiche con un valore della variabile X all interno dell intervallo I k. Le frequenze relative definite da f k = n k /N, indicano la frequenza assoluta rapportata al numero totale di unità statistiche. Di solito si esprimono in percentuale. G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
29 Frequenze assolute e relative Per ciascun sotto intervallo calcoliamo le frequenze assolute e quelle relative definite da Definizione Le frequenze assolute, indicate con n k misurano il numero di unità statistiche con un valore della variabile X all interno dell intervallo I k. Le frequenze relative definite da f k = n k /N, indicano la frequenza assoluta rapportata al numero totale di unità statistiche. Di solito si esprimono in percentuale. Intervalli n k f k I 1 = [0,5) 5 5/30 = 16.6% I 2 = [5,10) 8 8/30 = 26.6% I 3 = [10,15) 9 9/30 = 30.0% I 4 = [15,20) 8 8/30 = 26.6% G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
30 Istogramma Se la suddivisione dell ampiezza è omogenea l istogramma si ottiene costruendo dei rettangoli affiancati di base l estensione dei sotto intervalli scelti per il calcolo delle frequenze assolute e di altezza le corrispondenti frequenze relative. G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
31 Istogramma 30 Esempio guida G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
32 Istogramma del lancio dei dadi G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
33 Istogramma del peso delle trote G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
34 Istogramma a torta del lancio dei due dadi G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
35 Istogramma non omogeneo In certi casi la suddivisione dell ampiezza di una variabile X non è omogenea. In questo caso l istogramma a barre va costruito nel modo seguente. Si costruiscono dei rettangoli la cui base è data dai sotto intervalli mentre l altezza si ottiene imponendo che l area dei rettangoli sia pari alla frequenza relativa. Dalla formula dell area di un rettangolo segue che le altezza dei rettangoli sono date dalla formula: f k h k = lunghezza di I k G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
36 Esempio Dato il vettore X = (31,14,22,30,5,18,18,2,31,1,10,20,0,10,31,0,19,6,16,22,3, 16,19,15,23,0,28,19,4,18,8,35,29,28,6,28,23,2,11,0) dividiamo l ampiezza, pari a 35, nei seguenti sotto intervalli [0, 10), [10, 30) [30, 35) G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
37 Esempio Dato il vettore X = (31,14,22,30,5,18,18,2,31,1,10,20,0,10,31,0,19,6,16,22,3, 16,19,15,23,0,28,19,4,18,8,35,29,28,6,28,23,2,11,0) dividiamo l ampiezza, pari a 35, nei seguenti sotto intervalli [0, 10), [10, 30) [30, 35) Le frequenze assolute, relative e le altezze dei rettangoli sono Intervalli n k f k h k I 1 = [0,10) 13 13/40 = 32.5% 3.25 I 2 = [10,30) 22 22/40 = 50% 2.75 I 3 = [30,35) 5 5/40 = 12.5% 2.5 G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
38 Istogramma non omogeneo con altezza dei rettangoli pari alle frequenze relative Istogramma non omogeneo con area dei rettangoli pari alle frequenze relative G. Bande (Univ. Cagliari) Statistica Descrittiva December 13, / 23
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