Lezione 2 Corso di Statistica. Domenico Cucina

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1 Lezione 2 Corso di Statistica Domenico Cucina Università Roma Tre D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 1 / 31

2 obiettivi della lezione familiarizzare con il formalismo matematico comprendere la natura di una variabile statistica imparare a calcolare le distribuzioni di frequenze e a interpretare le loro rappresentazioni grafiche D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 2 / 31

3 contenuto della lezione 1 tabella unità-variabili: formalizzazione 2

4 tabella unità-variabili: formalizzazione 1 tabella unità-variabili: formalizzazione 2 D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 4 / 31

5 tabella unità-variabili: formalizzazione Tabella unità-variabili genere residenza giudizio numero esami età distanza Marta femmina Roma sufficiente Gianluca maschio Roma scarsa Sandro maschio Frascati buona una tabella unità-variabili dispone le modalità secondo uno schema ben preciso la posizione di ogni ogni modalità indica l unità (riga) e la variabile (colonna) cui si riferisce se una indagine è stata realizzata su n unità e K variabili, la corrispondente tabella unità-variabili conterrà n righe e e K variabili D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 5 / 31

6 tabella unità-variabili: formalizzazione tabella unità-variabili variabili unità X 1 X 2... X k... X K 1 x 11 x x 1k... x 1K 2 x 21 x x 2k... x 2K i x i1 x i2... x ik... x ik. n x n1 x n2... x nk... x nk una tabella unità-variabili può essere rappresentata formalmente indicando con la colonna X k la k-ma variabile rilevata nell indagine con i l i-ma unità inclusa nell indagine con x ik la modalità della variabile X k espressa dall unità i (il pedice di sinistra indica la riga e quello di destra indica la colonna) D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 6 / 31

7 1 tabella unità-variabili: formalizzazione 2 D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 7 / 31

8 supporto delle variabili statistiche il supporto di una variabile statistica è l insieme delle modalità che essa assume ad esempio: il supporto della variabile sesso è l insieme maschio, femmina il supporto della variabile numero di CFU è l insieme 0, 1, 2, 3, 4,... il supporto della variabile distanza tra residenza ed università è la semiretta (0, + ) le variabili statistiche si distinguono secondo le caratteristiche assunte dal supporto D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 8 / 31

9 variabili qualitative sconnesse il supporto di una variabile ha sempre la seguente caratteristica minimale: date le modalità x i e x j espresse da due unità i e j è sempre possibile stabilire quali delle due affermazioni è vera x i = x j x i x j considerando ad esempio la variabile sesso, è sempre possibile stabilire se due unità hanno o meno lo stesso sesso variabili con un supporto di questo tipo si chiamano qualitative sconnesse esempi di variabili qualitative sconnesse: genere, nazionalità, residenza, lingua madre, stato civile,... D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 9 / 31

10 variabili qualitative ordinabili le modalità di una variabile sono ordinabili quando per due modalità x i x j è sempre possibile stabilire quali delle due affermazioni è vera x i x j x j x i considerando ad esempio la variabile giudizio, è sempre possibile stabilire se due unità hanno espresso lo stesso giudizio o una ha espresso un giudizio peggiore dell altra variabili con supporto di questo tipo si chiamano variabili qualitative ordinabili esempi: titolo di studio, giudizio su un prodotto o servizio,... D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 10 / 31

11 variabili quantitative discrete le modalità di una variabile sono quantitative quando sono definite sulla base di un sistema di riferimento numerico che contiene l origine (indicata con il numero 0) e un unità di misura u, tale per cui le modalità sono espresse come multipli di u le variabili con un supporto di questo tipo si distinguono in variabili quantitative discrete e quantitative continue le variabili quantitative discrete indicano di solito il numero di volte con cui si è verificato un evento l unità di misura u è univocamente determinata e indica il manifestarsi di un singolo evento esempi: numero di esami sostenuti, numero di incidenti automobilistici o di ricoveri ospedalieri, il numero di figli, il numero di componenti di un nucleo familiare,... D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 11 / 31

12 variabili quantitative continue le variabili quantitative continue indicano invece la misurazione di un fenomeno fisico di conseguenza le modalità di una variabile continua possono essere espresse come multipli di diverse unità di misura esempi di variabili quantitative continue: altezza, peso, reddito, età, durata, distanza, temperatura, pressione, velocità,... è semplice distinguere una variabile quantitativa discreta e una continua: il supporto di una discreta è l insieme dei numeri naturali (completato con lo zero): 0, 1, 2, 3, 4,... o un suo sottoinsieme il supporto di una continua è la retta dei numeri reali (, + ) o un suo sottoinsieme D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 12 / 31

13 tipologia delle variabili come esempio riepilogativo, la seguente tabella riporta i risultati di un ipotetica indagine condotta su un campione di studenti uiversitari, con l indicazione della natura di ognuna delle variabili osservate variabili genere residenza giudizio numero esami distanza unità (qual. sconn.) (qual. sconn.) (qual. ord.) (quant. discr.) (quant.cont.) Marta femmina Roma sufficiente 2 5 Gianluca maschio Roma scarsa 3 3 Sandro maschio Frascati buona attenzione: a volte la natura di una variabile dipende da come essa è misurata si consideri ad esempio la variabile età: è una variabile discreta se è misurata in anni compiuti; altrimenti è una variabile continua si consideri la variabile titolo di studio: se ignoriamo gli anni necessari a conseguire ogni titolo, essa è una variabile qualitativa ordinabile; se invece ogni titolo di studio è associato al numero di anni necessari per il suo conseguimento, essa è una variabile quantitativa discreta D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 13 / 31

14 frequenze assolute in generale, data la distribuzione unitaria di una variabile in un campione, la frequenza con cui compaiono le diverse modalità prende il nome di frequenza assoluta e la collezione di tali frequenze prende il nome di distribuzione delle frequenze assolute nelle slide seguenti, vedremo come si costruisce una distribuzione di frequenze assolute la distribuzione delle frequenze relative partendo dalla distribuzione delle frequenze assolute in una serie di esempi che considerano dierse tipologia di variabili da sintetizzare D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 14 / 31

15 la distribuzione di variabili qualitative sconnesse supponiamo di aver chiesto il genere ad un campione di 10 soggetti, ottenendo la seguente distribuzione unitaria (M, F, M, F, F, F, M, F, F, M) il genere è una variabile qualitativa sconnessa con supporto {M, F }) la prima colonna della seguente tabella indica la distribuzione delle frequenze assolute (ci sono 4 uomini e 6 donne nel campione); la somma di tali frequenze è pari alla dimensione del campione n la seconda colonna indica la distribuzione delle frequenze relative f k, ottenute dividendo ogni frequenza assoluta per la dimensione campionaria f k = n k /n; la somma di questa colonna è sempre pari 1 x k n k f k M F totale 10 1 D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 15 / 31

16 diagramma a barre le distribuzioni di frequenze possono essere rappresentate graficamente attraverso un diagramma a barre si tratta di una collezione di rettangoli di ampiezza arbitraria la cui altezza è pari alla frequenza che si vuol rappresentare F M qui a lato sono raffigurati i diagrammi a barre che sintetizzano le due distribuzioni della tabella sottostante x k n k f k M F totale 10 1 D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 16 / 31

17 distribuzione di una variabile qualitativa sconnessa supponiamo ora di aver rilevato la residenza in un campione di 10 soggetti, ottenendo la seguente distribuzione unitaria: (RM, VT, LT, LT, MI, RM, RM, MI, MI, MI) la residenza è una variabile qualitativa sconnessa che in questo caso ha supporto {RM, VT, LT, MI}): le distribuzioni di frequenze assolute e relative si ottengono con una tabella che ha tante righe quante sono le modalità del supporto x k n k f k RM VT LT MI totale 10 1 LT MI RM VT D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 17 / 31

18 distribuzioni di una variabile qualitativa ordinabile supponiamo di aver chiesto il giudizio su un prodotto ad un campione di 12 soggetti, ottenendo la seguente distribuzione unitaria (S, SS, SS, D, S, D, S, SS, SS, SS, SS, D) caso il giudizio su un prodotto è una qualitativa ordinabile e ha in questo caso il supporto {scarso, suff, discreto} = {S, SS, D}) la tabella delle distribuzioni e il corrispondente diagramma a barre andranno costruiti con l accortezza di considerare le modalità secondo il loro ordine naturale (cosa non necessaria nel caso delle variabili sconnesse) x k n k f k S SS D totale 12 1 D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 18 / 31

19 Variabili quantitative discrete supponiamo di aver chiesto il numero di auto possedute ad un campione di 25 famiglie, ottenendo la distribuzione unitaria: (3, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 0, 2, 5, 2, 2, 1, 0, 3, 1, 3, 1, 3, 3, 2, 0, 0) il numero di auto possedute è una variabile quantitativa discreta che in questo caso ha supporto 0, 1, 2, 3, 5 le distribuzioni di frequenza sono date dalla seguente tabella x k n k f k totale 25 1 D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 19 / 31

20 il caso delle variabili continue la distribuzione di frequenze delle variabili continue merita una trattazione specifica per comprenderne la specificità, consideriamo la seguente distribuzione unitaria dei ritardi (in minuti) di n = 50 treni ad una stazione: D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 20 / 31

21 il caso delle variabili continue la distribuzione di frequenze non è in grado di sintetizzare i dati in modo efficiente x k n k nè il diagramma a barre fornisce una chiara lettura del fenomeno D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 21 / 31

22 suddivisione in classi una soluzione per ottenere una sintesi migliore è quella di suddividere in classi le modalità osservate associare ad ogni classe il numero di modalità che cadono in quella classe classe n k f k totale 50 1 tale sintesi comporta una perdita di informazione: ci informa del fatto che, ad esempio, ci sono stati 32 ritardi tra 0 e 10 minuti, ma non ci dice dove tali ritardi si collocano all interno della classe tale perdita di informazione si riflette nella rappresentazione grafica di questa distribuzione D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 22 / 31

23 densità la distribuzione di frequenze di una variabile continua suddivisa in classi si chiama istogramma la costruzione di un istogramma si basa sul calcolo delle densità delle classi la densità h di una classe si ottiene dividendo la frequenza relativa della classe per l ampiezza della classe h = frequenza relativa ampiezza classe classe n k f k ampiezza h k totale 50 1 D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 23 / 31

24 istogramma l istogramma della distribuzione di una variabile continua suddivisa in classi è dato da una successione di rettangoli che hanno come base la classe e come altezza la densità della classe per costruzione l area di ogni rettangolo è data dalla frequenza relativa della classe e l area complessiva è pari a 1 densita ritardo D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 24 / 31

25 ampiezza delle classi la forma di un istogramma dipende dall ampiezza della classe tocca allo statistico scegliere l ampiezza che meglio sintetizza la distribuzione dei dati densita densita ritardo ritardo D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 25 / 31

26 funzione di densità a volte può essere utile approssimare un istogramma con una funzione continua in questo caso la funzione si chiama funzione di densità D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 26 / 31

27 piramidi delle età gli istogrammi sono alla base di un grafico assai noto in demografia: la piramide delle età la piramide delle età è costruita accoppiando l istogramma della distribuzione delle età dei maschi con quella delle femmine i demografi usano le piramidi per studiare la struttura delle popolazioni D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 27 / 31

28 Residenti in Italia per classi di età la seguente tabella mostra la distribuzione dei residenti (in migliaia) in Italia in due anni diversi, distinti per genere eta maschi femmine maschi femmine D. Cucina 28 / 31

29 piramidi delle età il seguente grafico è la piramide delle età relativa al 1861 età maschi residenti nell anno 1861 femmine D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 29 / 31

30 piramidi delle età il seguente grafico è la piramide delle età relativa al 1991: si nota la rettangolarizzazione della piramide (nascono meno bambini e si vive di più) età maschi residenti nell anno 1991 femmine D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 30 / 31

31 parole chiave supporto di una variabile variabili qualitative sconnesse e ordinabili variabili quantitative discrete e continue distribuzione di frequnze relative e assolute diagramma a barra densità e istogramma funzione di densità piramide delle età D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 31 / 31