Trasformata e Wavelet di Haar

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1 Quarto incontro del Progetto Lauree Scientifiche 010 Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata Università di Padova Piove di Sacco, 16 aprile 010

2 Segnali discreti È una funzione del tempo i cui valori si ottengono in corrispondenza ad istanti finiti di tempo f = (f 1,, f N ), N N, f i R Ad esempio, f i = g(t i ), con g segnale analogico campionato negli istanti temporali equispaziati t i = t 1 + (i 1)h, i = 1,, N Esempi wav (audio files su un PC) valori dell intensità di un suono memorizzati su un CD g sia un elettrocardiogramma

3 Segnali discreti È una funzione del tempo i cui valori si ottengono in corrispondenza ad istanti finiti di tempo f = (f 1,, f N ), N N, f i R Ad esempio, f i = g(t i ), con g segnale analogico campionato negli istanti temporali equispaziati t i = t 1 + (i 1)h, i = 1,, N Esempi wav (audio files su un PC) valori dell intensità di un suono memorizzati su un CD g sia un elettrocardiogramma

4 Segnali discreti È una funzione del tempo i cui valori si ottengono in corrispondenza ad istanti finiti di tempo f = (f 1,, f N ), N N, f i R Ad esempio, f i = g(t i ), con g segnale analogico campionato negli istanti temporali equispaziati t i = t 1 + (i 1)h, i = 1,, N Esempi wav (audio files su un PC) valori dell intensità di un suono memorizzati su un CD g sia un elettrocardiogramma

5 Segnali trasformati Dato il segnale f, esso viene trasformato f = t + d con t che indica la tendenza (in inglese, trend) e d che indica il dettaglio o differenza (in inglese, difference) t, d sono sotto-segnali di lunghezza metà del segnale originale Se indichiamo con t k e f k, la tendenza e il dettaglio al (passo) livello k, allora al primo livello t 1 i = f i 1 + f i, d 1 i = f i 1 f i, i = 1,, N/ Si moltiplica per, come vedremo, per la conservazione dell energia del segnale Esempio f=(4,6,10,1,8,6,5,5) Avremo t 1 = (5, 11, 7, 5 ), d 1 = (,,,0)

6 Segnali trasformati Dato il segnale f, esso viene trasformato f = t + d con t che indica la tendenza (in inglese, trend) e d che indica il dettaglio o differenza (in inglese, difference) t, d sono sotto-segnali di lunghezza metà del segnale originale Se indichiamo con t k e f k, la tendenza e il dettaglio al (passo) livello k, allora al primo livello t 1 i = f i 1 + f i, d 1 i = f i 1 f i, i = 1,, N/ Si moltiplica per, come vedremo, per la conservazione dell energia del segnale Esempio f=(4,6,10,1,8,6,5,5) Avremo t 1 = (5, 11, 7, 5 ), d 1 = (,,,0)

7 Segnali trasformati Dato il segnale f, esso viene trasformato f = t + d con t che indica la tendenza (in inglese, trend) e d che indica il dettaglio o differenza (in inglese, difference) t, d sono sotto-segnali di lunghezza metà del segnale originale Se indichiamo con t k e f k, la tendenza e il dettaglio al (passo) livello k, allora al primo livello t 1 i = f i 1 + f i, d 1 i = f i 1 f i, i = 1,, N/ Si moltiplica per, come vedremo, per la conservazione dell energia del segnale Esempio f=(4,6,10,1,8,6,5,5) Avremo t 1 = (5, 11, 7, 5 ), d 1 = (,,,0)

8 Trasformata di Haar Definizione Si chiama Trasformata di Haar la sequenza di passi o livelli, tendenza + dettaglio f }{{} (t 1 d 1 ) }{{} (t d d 1 ) H 1 H 1 Proprietà fondamentale: piccole fluttuazioni nel vettore dettagli Proposizione N i=1 f i N N/ i=1 d 1 i N/ (1) Esercizio Prendendo la funzione g(x) = 0x (1 x) 4 cos(1πx), x [0, 1), la si campioni su 10 punti (equispaziati o random) Calcolare t 1, su [0, 1/) e d 1 su [1/, 1) Facendone i plot si noterà come d 1 abbia valori quasi nulli mentre t 1 assomiglierà al vettore iniziale

9 Trasformata di Haar Definizione Si chiama Trasformata di Haar la sequenza di passi o livelli, tendenza + dettaglio f }{{} (t 1 d 1 ) }{{} (t d d 1 ) H 1 H 1 Proprietà fondamentale: piccole fluttuazioni nel vettore dettagli Proposizione N i=1 f i N N/ i=1 d 1 i N/ (1) Esercizio Prendendo la funzione g(x) = 0x (1 x) 4 cos(1πx), x [0, 1), la si campioni su 10 punti (equispaziati o random) Calcolare t 1, su [0, 1/) e d 1 su [1/, 1) Facendone i plot si noterà come d 1 abbia valori quasi nulli mentre t 1 assomiglierà al vettore iniziale

10 Trasformata di Haar Definizione Si chiama Trasformata di Haar la sequenza di passi o livelli, tendenza + dettaglio f }{{} (t 1 d 1 ) }{{} (t d d 1 ) H 1 H 1 Proprietà fondamentale: piccole fluttuazioni nel vettore dettagli Proposizione N i=1 f i N N/ i=1 d 1 i N/ (1) Esercizio Prendendo la funzione g(x) = 0x (1 x) 4 cos(1πx), x [0, 1), la si campioni su 10 punti (equispaziati o random) Calcolare t 1, su [0, 1/) e d 1 su [1/, 1) Facendone i plot si noterà come d 1 abbia valori quasi nulli mentre t 1 assomiglierà al vettore iniziale

11 Trasformata di Haar Definizione Si chiama Trasformata di Haar la sequenza di passi o livelli, tendenza + dettaglio f }{{} (t 1 d 1 ) }{{} (t d d 1 ) H 1 H 1 Proprietà fondamentale: piccole fluttuazioni nel vettore dettagli Proposizione N i=1 f i N N/ i=1 d 1 i N/ (1) Esercizio Prendendo la funzione g(x) = 0x (1 x) 4 cos(1πx), x [0, 1), la si campioni su 10 punti (equispaziati o random) Calcolare t 1, su [0, 1/) e d 1 su [1/, 1) Facendone i plot si noterà come d 1 abbia valori quasi nulli mentre t 1 assomiglierà al vettore iniziale

12 Soluzione dell esercizio assegnato nella slide precedente

13 Trasformata di Haar La Proposizione 1 è importante nella compressione di un segnale, ovvero la sua trasmissione con meno informazione (bit) Come realizzare questo? Esempio Supponiamo di spedire solo il trend t, considerando i valori del vettore d come zero Pertanto otteremo un approssimazione del segnale originale con lunghezza metà del segnale f e quindi con una compressione del 50%

14 Trasformata di Haar La Proposizione 1 è importante nella compressione di un segnale, ovvero la sua trasmissione con meno informazione (bit) Come realizzare questo? Esempio Supponiamo di spedire solo il trend t, considerando i valori del vettore d come zero Pertanto otteremo un approssimazione del segnale originale con lunghezza metà del segnale f e quindi con una compressione del 50%

15 Energia di un vettore Definizione Energia di un segnale f E f := f 1 + f + + f N () E f si chiama energia perchè in fisica la somma di quadrati indica sempre un energia Esempio Una particella di massa m con vettore velocità v=(v 1, v, v 3 ), ha energia cinetica E = 1 m 3 i=1 v i L energia cinetica risulta proporzionale all energia E v = v1 + v + v 3 del vettore velocità Esempio Sia f = (4, 6, 8, 10, 1, 8, 6, 5, 5) Allora E f = 446 Essendo (t 1 d 1 ) = (5, 11, 7, 5,, 0, 0) e E t 1 = = 440 E d 1 = = 6 Allora E f = E t 1 + E d 1

16 Energia di un vettore Definizione Energia di un segnale f E f := f 1 + f + + f N () E f si chiama energia perchè in fisica la somma di quadrati indica sempre un energia Esempio Una particella di massa m con vettore velocità v=(v 1, v, v 3 ), ha energia cinetica E = 1 m 3 i=1 v i L energia cinetica risulta proporzionale all energia E v = v1 + v + v 3 del vettore velocità Esempio Sia f = (4, 6, 8, 10, 1, 8, 6, 5, 5) Allora E f = 446 Essendo (t 1 d 1 ) = (5, 11, 7, 5,, 0, 0) e E t 1 = = 440 E d 1 = = 6 Allora E f = E t 1 + E d 1

17 Energia di un vettore Definizione Energia di un segnale f E f := f 1 + f + + f N () E f si chiama energia perchè in fisica la somma di quadrati indica sempre un energia Esempio Una particella di massa m con vettore velocità v=(v 1, v, v 3 ), ha energia cinetica E = 1 m 3 i=1 v i L energia cinetica risulta proporzionale all energia E v = v1 + v + v 3 del vettore velocità Esempio Sia f = (4, 6, 8, 10, 1, 8, 6, 5, 5) Allora E f = 446 Essendo (t 1 d 1 ) = (5, 11, 7, 5,, 0, 0) e E t 1 = = 440 E d 1 = = 6 Allora E f = E t 1 + E d 1

18 Energia di un vettore Definizione Energia di un segnale f E f := f 1 + f + + f N () E f si chiama energia perchè in fisica la somma di quadrati indica sempre un energia Esempio Una particella di massa m con vettore velocità v=(v 1, v, v 3 ), ha energia cinetica E = 1 m 3 i=1 v i L energia cinetica risulta proporzionale all energia E v = v1 + v + v 3 del vettore velocità Esempio Sia f = (4, 6, 8, 10, 1, 8, 6, 5, 5) Allora E f = 446 Essendo (t 1 d 1 ) = (5, 11, 7, 5,, 0, 0) e E t 1 = = 440 E d 1 = = 6 Allora E f = E t 1 + E d 1

19 Conservazione dell energia Proposizione La trasformata di Haar di 1-livello conserva l energia Ovvero E f = E t 1 + E d 1 (3) Altra cosa interessante è la redistribuzione dell energia del segnale rispetto ai sotto-segnali, tendenza e dettaglio Questo fenomeno si chiama la compattazione dell energia Esempio Sia f = (4, 6, 8, 10, 1, 8, 6, 5, 5) Essendo E f = 446, E t 1 = 440 e E d 1 = 6 Allora E t 1 E f 98, 7% e E d 1 E f 1, 3% Proposizione L energia del vettore trend rappresenta la percentuale maggiore dell energia di (t 1 d 1 )

20 Conservazione dell energia Proposizione La trasformata di Haar di 1-livello conserva l energia Ovvero E f = E t 1 + E d 1 (3) Altra cosa interessante è la redistribuzione dell energia del segnale rispetto ai sotto-segnali, tendenza e dettaglio Questo fenomeno si chiama la compattazione dell energia Esempio Sia f = (4, 6, 8, 10, 1, 8, 6, 5, 5) Essendo E f = 446, E t 1 = 440 e E d 1 = 6 Allora E t 1 E f 98, 7% e E d 1 E f 1, 3% Proposizione L energia del vettore trend rappresenta la percentuale maggiore dell energia di (t 1 d 1 )

21 Conservazione dell energia Proposizione La trasformata di Haar di 1-livello conserva l energia Ovvero E f = E t 1 + E d 1 (3) Altra cosa interessante è la redistribuzione dell energia del segnale rispetto ai sotto-segnali, tendenza e dettaglio Questo fenomeno si chiama la compattazione dell energia Esempio Sia f = (4, 6, 8, 10, 1, 8, 6, 5, 5) Essendo E f = 446, E t 1 = 440 e E d 1 = 6 Allora E t 1 E f 98, 7% e E d 1 E f 1, 3% Proposizione L energia del vettore trend rappresenta la percentuale maggiore dell energia di (t 1 d 1 )

22 Conservazione dell energia Proposizione La trasformata di Haar di 1-livello conserva l energia Ovvero E f = E t 1 + E d 1 (3) Altra cosa interessante è la redistribuzione dell energia del segnale rispetto ai sotto-segnali, tendenza e dettaglio Questo fenomeno si chiama la compattazione dell energia Esempio Sia f = (4, 6, 8, 10, 1, 8, 6, 5, 5) Essendo E f = 446, E t 1 = 440 e E d 1 = 6 Allora E t 1 E f 98, 7% e E d 1 E f 1, 3% Proposizione L energia del vettore trend rappresenta la percentuale maggiore dell energia di (t 1 d 1 )

23 Trasformata di Haar: più livelli La procedura è: f }{{} (t 1 d 1 ) }{{} (t d d 1 ) }{{} (t 3 d 3 d d 1 ) H 1 H 1 H 1 Esempio Sia f = (4, 6, 8, 10, 1, 8, 6, 5, 5) Avremo t 1 = (5, 11, 7, 5 ) t = (16, 1) Con d 1 che deriva da f e d da t 1 : d = ( 6, ) Pertanto la trasformata di secondo livello, H, del segnale originale è (t d d 1 ) = (16, 1 6,,,, 0)

24 Trasformata di Haar: più livelli La procedura è: f }{{} (t 1 d 1 ) }{{} (t d d 1 ) }{{} (t 3 d 3 d d 1 ) H 1 H 1 H 1 Esempio Sia f = (4, 6, 8, 10, 1, 8, 6, 5, 5) Avremo t 1 = (5, 11, 7, 5 ) t = (16, 1) Con d 1 che deriva da f e d da t 1 : d = ( 6, ) Pertanto la trasformata di secondo livello, H, del segnale originale è (t d d 1 ) = (16, 1 6,,,, 0)

25 Esercizi Esercizio Esercizio Calcolare tra trasformata di terzo livello del segnale f = (4, 6, 8, 10, 1, 8, 6, 5, 5) Verificare che E t 3 = 39 e che l energia di t 3 è circa 88% di quella di f nonostante il t 3 sia lungo solo otto volte di meno di f Si prenda un generico segnale f e si costruisca la trasformata di secondo livello H del segnale Costruire la sequenza, detta profilo cumulativo dell energia, sia del segnale f che della trasformata H Nel caso del segnale f, tale profilo è ovvero Cosa si nota? ( f 1 E f, f 1 + f ),, 1 E f

26 Soluzione dell esercizio assegnato nella slide precedente Esercizio Prendiamo in considerazione la seguente funzione non banale 50x (1 x) 6 cos(1πx), x [0, 1) h(x) = 80(1 x) ( x) 8 sin(0πx), x [1, ]

27 Wavelets di Haar Le wavelets di Haar di primo livello sono definite come segue ( 1 W1 1 =, 1 ), 0,, 0 ( W 1 1 = 0, 0,, 1 ), 0,, 0 W 1 N/ = ( 1 0,, 0,, 1 ) Alcune proprietà 1 Hanno tutte energia uguale a 1 Consistono della fluttuazione dei valori ±1/ con media nulla Ecco da dove deriva il nome wavelet o ondina 3 Come si nota, sono tutte ottenute per traslazione di W1 1 in avanti di un numero pari di intervalli

28 Wavelets di Haar Le wavelets di Haar di primo livello sono definite come segue ( 1 W1 1 =, 1 ), 0,, 0 ( W 1 1 = 0, 0,, 1 ), 0,, 0 W 1 N/ = ( 1 0,, 0,, 1 ) Alcune proprietà 1 Hanno tutte energia uguale a 1 Consistono della fluttuazione dei valori ±1/ con media nulla Ecco da dove deriva il nome wavelet o ondina 3 Come si nota, sono tutte ottenute per traslazione di W1 1 in avanti di un numero pari di intervalli

29 Wavelets di Haar Le wavelets di Haar di primo livello sono definite come segue ( 1 W1 1 =, 1 ), 0,, 0 ( W 1 1 = 0, 0,, 1 ), 0,, 0 W 1 N/ = ( 1 0,, 0,, 1 ) Alcune proprietà 1 Hanno tutte energia uguale a 1 Consistono della fluttuazione dei valori ±1/ con media nulla Ecco da dove deriva il nome wavelet o ondina 3 Come si nota, sono tutte ottenute per traslazione di W1 1 in avanti di un numero pari di intervalli

30 Wavelets di Haar Le wavelets di Haar di primo livello sono definite come segue ( 1 W1 1 =, 1 ), 0,, 0 ( W 1 1 = 0, 0,, 1 ), 0,, 0 W 1 N/ = ( 1 0,, 0,, 1 ) Alcune proprietà 1 Hanno tutte energia uguale a 1 Consistono della fluttuazione dei valori ±1/ con media nulla Ecco da dove deriva il nome wavelet o ondina 3 Come si nota, sono tutte ottenute per traslazione di W1 1 in avanti di un numero pari di intervalli

31 Wavelets di Haar Le wavelets di Haar di primo livello sono definite come segue ( 1 W1 1 =, 1 ), 0,, 0 ( W 1 1 = 0, 0,, 1 ), 0,, 0 W 1 N/ = ( 1 0,, 0,, 1 ) Alcune proprietà 1 Hanno tutte energia uguale a 1 Consistono della fluttuazione dei valori ±1/ con media nulla Ecco da dove deriva il nome wavelet o ondina 3 Come si nota, sono tutte ottenute per traslazione di W1 1 in avanti di un numero pari di intervalli

32 Wavelets di Haar e vettore dettaglio Ricordando che il prodotto scalare di due vettori f e g di lunghezza N, è (f, g) = f 1 g f N g N = N f i g i Allora il vettore dettaglio d 1, che ha N/ componenti, d i, si ottengono usando le wavelets W 1 i : i=1 d i = (f, W 1 i ), i = 1,,, N/

33 Wavelets di Haar e vettore dettaglio Ricordando che il prodotto scalare di due vettori f e g di lunghezza N, è (f, g) = f 1 g f N g N = N f i g i Allora il vettore dettaglio d 1, che ha N/ componenti, d i, si ottengono usando le wavelets W 1 i : i=1 d i = (f, W 1 i ), i = 1,,, N/

34 Wavelets di Haar e vettore del trend I vettori V 1 1 = V 1 = ( ) 1 1,, 0,, 0 ( 0, 0, 1, ) 1, 0,, 0 V 1 N/ = ( 0,, 0, 1, ) 1 si chiamano segnali scalati di Haar Usando questi vettori, possiamo ottenere le componenti del trend t 1 come segue: t i = (f, V 1 i ), i = 1,,, N/ Osservazione I segnali scalati di Haar sono simili alle wavelets di Haar: hanno energia uguale a 1 e supporto che consiste ancora di intervalli consecutivi Ora la media non è più zero!

35 Wavelets di Haar e vettore del trend I vettori V 1 1 = V 1 = ( ) 1 1,, 0,, 0 ( 0, 0, 1, ) 1, 0,, 0 V 1 N/ = ( 0,, 0, 1, ) 1 si chiamano segnali scalati di Haar Usando questi vettori, possiamo ottenere le componenti del trend t 1 come segue: t i = (f, V 1 i ), i = 1,,, N/ Osservazione I segnali scalati di Haar sono simili alle wavelets di Haar: hanno energia uguale a 1 e supporto che consiste ancora di intervalli consecutivi Ora la media non è più zero!

36 Wavelets di Haar e vettore del trend I vettori V 1 1 = V 1 = ( ) 1 1,, 0,, 0 ( 0, 0, 1, ) 1, 0,, 0 V 1 N/ = ( 0,, 0, 1, ) 1 si chiamano segnali scalati di Haar Usando questi vettori, possiamo ottenere le componenti del trend t 1 come segue: t i = (f, V 1 i ), i = 1,,, N/ Osservazione I segnali scalati di Haar sono simili alle wavelets di Haar: hanno energia uguale a 1 e supporto che consiste ancora di intervalli consecutivi Ora la media non è più zero!

37 Wavelets di Haar e vettore del trend I vettori V 1 1 = V 1 = ( ) 1 1,, 0,, 0 ( 0, 0, 1, ) 1, 0,, 0 V 1 N/ = ( 0,, 0, 1, ) 1 si chiamano segnali scalati di Haar Usando questi vettori, possiamo ottenere le componenti del trend t 1 come segue: t i = (f, V 1 i ), i = 1,,, N/ Osservazione I segnali scalati di Haar sono simili alle wavelets di Haar: hanno energia uguale a 1 e supporto che consiste ancora di intervalli consecutivi Ora la media non è più zero!

38 Wavelets di Haar: secondo livello Definiamo i vettori N dimensionali V i, W i, i = 1,, N/4 V1 = ( 1, 1, 1, 1, 0,, 0) W1 = ( 1, 1, 1, 1, 0,, 0) V = ( 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0,, 0) W = ( 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0,, 0) V N/4 = ( 0,, 0, 1, 1, 1, 1 ) W N/4 = ( 0,, 0, 1, 1, 1, 1 ) Allora i vettori t e d, che hanno N/4 componenti, si ottengono come segue: ) t = ((f, V1 ),, (f, VN/4 ) ) d = ((f, W1 ),, (f, WN/4 )

39 Wavelets di Haar: secondo livello Definiamo i vettori N dimensionali V i, W i, i = 1,, N/4 V1 = ( 1, 1, 1, 1, 0,, 0) W1 = ( 1, 1, 1, 1, 0,, 0) V = ( 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0,, 0) W = ( 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0,, 0) V N/4 = ( 0,, 0, 1, 1, 1, 1 ) W N/4 = ( 0,, 0, 1, 1, 1, 1 ) Allora i vettori t e d, che hanno N/4 componenti, si ottengono come segue: ) t = ((f, V1 ),, (f, VN/4 ) ) d = ((f, W1 ),, (f, WN/4 )

40 Analisi MultiRisoluzione (MRA) Ci servono due operazioni sui vettori f e g Addizione e sottrazione: f + g = (f 1 + g 1,, f N + g N ), f g = (f 1 g 1,, f N g N ) Moltiplicazione per una costante: cf = (cf 1,, cf N ) Usando le due operazioni possiamo scrivere f = (f 1, 0,, 0) + + (0,, f N ) f = f 1 (1, 0,, 0) + + f N (0,, 1) Se definiamo V1 0 = (1, 0,, 0),, V N 0 = (0, 0,, 1) allora f = N i=1 f i V 0 i (4) La (4) è l espansione naturale di un segnale nella base naturale V 0 1,, V 0 N

41 Analisi MultiRisoluzione (MRA) Ci servono due operazioni sui vettori f e g Addizione e sottrazione: f + g = (f 1 + g 1,, f N + g N ), f g = (f 1 g 1,, f N g N ) Moltiplicazione per una costante: cf = (cf 1,, cf N ) Usando le due operazioni possiamo scrivere f = (f 1, 0,, 0) + + (0,, f N ) f = f 1 (1, 0,, 0) + + f N (0,, 1) Se definiamo V1 0 = (1, 0,, 0),, V N 0 = (0, 0,, 1) allora f = N i=1 f i V 0 i (4) La (4) è l espansione naturale di un segnale nella base naturale V 0 1,, V 0 N

42 Analisi MultiRisoluzione (MRA) Ci servono due operazioni sui vettori f e g Addizione e sottrazione: f + g = (f 1 + g 1,, f N + g N ), f g = (f 1 g 1,, f N g N ) Moltiplicazione per una costante: cf = (cf 1,, cf N ) Usando le due operazioni possiamo scrivere f = (f 1, 0,, 0) + + (0,, f N ) f = f 1 (1, 0,, 0) + + f N (0,, 1) Se definiamo V1 0 = (1, 0,, 0),, V N 0 = (0, 0,, 1) allora f = N i=1 f i V 0 i (4) La (4) è l espansione naturale di un segnale nella base naturale V 0 1,, V 0 N

43 Analisi MultiRisoluzione (MRA) Facciamo vedere che la MRA con wavelets di Haar consente di esprimere un segnale f come somma delle wavelets di Haar e segnali scalati di Haar 1 ( t1 f =, t 1, t, t,, t N/, t ) N/ } {{ } T 1 + ( d1, d 1, d, d,, d N/, d ) N/ } {{ } D 1 ovvero f = T 1 + D 1, con T 1 che indica la prima media del segnale e D 1 il primo dettaglio del segnale T 1 = D 1 = N/ t i V 1 i=1 N/ d i W 1 i=1 N/ i = i=1 N/ i = i=1 (f, V 1 i )V 1 (f, W 1 i )W 1 i (5) i (6) che dicono: T 1 è la combinazinone di segnali scalati di Haar con i valori del primo trend mentre D 1 è la combinazione dei wavelets di Haar con coefficienti che sono i valori della prima fluttuazione

44 Analisi MultiRisoluzione (MRA) Facciamo vedere che la MRA con wavelets di Haar consente di esprimere un segnale f come somma delle wavelets di Haar e segnali scalati di Haar 1 ( t1 f =, t 1, t, t,, t N/, t ) N/ } {{ } T 1 + ( d1, d 1, d, d,, d N/, d ) N/ } {{ } D 1 ovvero f = T 1 + D 1, con T 1 che indica la prima media del segnale e D 1 il primo dettaglio del segnale T 1 = D 1 = N/ t i V 1 i=1 N/ d i W 1 i=1 N/ i = i=1 N/ i = i=1 (f, V 1 i )V 1 (f, W 1 i )W 1 i (5) i (6) che dicono: T 1 è la combinazinone di segnali scalati di Haar con i valori del primo trend mentre D 1 è la combinazione dei wavelets di Haar con coefficienti che sono i valori della prima fluttuazione

45 Analisi MultiRisoluzione (MRA) Facciamo vedere che la MRA con wavelets di Haar consente di esprimere un segnale f come somma delle wavelets di Haar e segnali scalati di Haar 1 ( t1 f =, t 1, t, t,, t N/, t ) N/ } {{ } T 1 + ( d1, d 1, d, d,, d N/, d ) N/ } {{ } D 1 ovvero f = T 1 + D 1, con T 1 che indica la prima media del segnale e D 1 il primo dettaglio del segnale T 1 = D 1 = N/ t i V 1 i=1 N/ d i W 1 i=1 N/ i = i=1 N/ i = i=1 (f, V 1 i )V 1 (f, W 1 i )W 1 i (5) i (6) che dicono: T 1 è la combinazinone di segnali scalati di Haar con i valori del primo trend mentre D 1 è la combinazione dei wavelets di Haar con coefficienti che sono i valori della prima fluttuazione

46 Analisi MultiRisoluzione (MRA): esempio Sia f=(4,6,10,1,8,6,5,5) Avremo 1 t 1 = (5, 11, 7, 5 ) e T 1 = (5, 5, 11, 11, 7, 7, 5, 5) = 5 V V 1 +7 V V 1 4 NB: la posizione dei valori ripetuti corrisponde precisamente col supporto dei segnali scalati d 1 = (,,, 0) e D 1 = ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0) = W 1 1 W 1 + W W Infine f = T 1 + D 1 = (5, 5, 11, 11, 7, 7, 5, 5) + ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0)

47 Analisi MultiRisoluzione (MRA): esempio Sia f=(4,6,10,1,8,6,5,5) Avremo 1 t 1 = (5, 11, 7, 5 ) e T 1 = (5, 5, 11, 11, 7, 7, 5, 5) = 5 V V 1 +7 V V 1 4 NB: la posizione dei valori ripetuti corrisponde precisamente col supporto dei segnali scalati d 1 = (,,, 0) e D 1 = ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0) = W 1 1 W 1 + W W Infine f = T 1 + D 1 = (5, 5, 11, 11, 7, 7, 5, 5) + ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0)

48 Analisi MultiRisoluzione (MRA): esempio Sia f=(4,6,10,1,8,6,5,5) Avremo 1 t 1 = (5, 11, 7, 5 ) e T 1 = (5, 5, 11, 11, 7, 7, 5, 5) = 5 V V 1 +7 V V 1 4 NB: la posizione dei valori ripetuti corrisponde precisamente col supporto dei segnali scalati d 1 = (,,, 0) e D 1 = ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0) = W 1 1 W 1 + W W Infine f = T 1 + D 1 = (5, 5, 11, 11, 7, 7, 5, 5) + ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0)

49 Analisi MultiRisoluzione (MRA): esempio Sia f=(4,6,10,1,8,6,5,5) Avremo 1 t 1 = (5, 11, 7, 5 ) e T 1 = (5, 5, 11, 11, 7, 7, 5, 5) = 5 V V 1 +7 V V 1 4 NB: la posizione dei valori ripetuti corrisponde precisamente col supporto dei segnali scalati d 1 = (,,, 0) e D 1 = ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0) = W 1 1 W 1 + W W Infine f = T 1 + D 1 = (5, 5, 11, 11, 7, 7, 5, 5) + ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0)

50 MRA: idea generale L idea generale della MRA è la seguente Un segnale f è la somma di un segnale a risoluzione inferiore, o mediato, T 1 e un segnale di dettagli, D 1

51 MRA: livelli successivi L algoritmo della MRA continua finché il segnale può dividersi per 1 Il passo è f = T + D + D 1 con T 1 = T + D e T = (f, V1 )V1 + + (f, VN/4 )V N/4 ; D = (f, W1 )W1 + + (f, WN/4 )W N/4 Il passo generale k f = T k + D k + + D + D 1

52 MRA: livelli successivi L algoritmo della MRA continua finché il segnale può dividersi per 1 Il passo è f = T + D + D 1 con T 1 = T + D e T = (f, V1 )V1 + + (f, VN/4 )V N/4 ; D = (f, W1 )W1 + + (f, WN/4 )W N/4 Il passo generale k f = T k + D k + + D + D 1

53 MRA: livelli successivi L algoritmo della MRA continua finché il segnale può dividersi per 1 Il passo è f = T + D + D 1 con T 1 = T + D e T = (f, V1 )V1 + + (f, VN/4 )V N/4 ; D = (f, W1 )W1 + + (f, WN/4 )W N/4 Il passo generale k f = T k + D k + + D + D 1

54 Ancora sull esercizio Sia f=(4,6,10,1,8,6,5,5) Allora t = (16, 1) e T = 16(1/, 1/, 1/, 1/, 0, 0, 0, 0) + 1(0, 0, 0, 0, 1/, 1/, 1/, 1/) = (8, 8, 8, 8, 6, 6, 6, 6) Inoltre, d = ( 6, ) e D = 6(1/, 1/, 1/, 1/, 0, 0, 0, 0)+(0, 0, 0, 0, 1/, 1/, 1/, 1/) = ( 3, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 1) Verificare che f = T + D + D 1 Esercizio Si campioni un segnale su N = 10 punti Si costruiscano i 10 livelli della MRA Dopo 10 passi, T 10 consisterà di un singolo valore ripetuto N volte con valore corrispondente alla media di tutti i N = 10 valori del segnale

55 Ancora sull esercizio Sia f=(4,6,10,1,8,6,5,5) Allora t = (16, 1) e T = 16(1/, 1/, 1/, 1/, 0, 0, 0, 0) + 1(0, 0, 0, 0, 1/, 1/, 1/, 1/) = (8, 8, 8, 8, 6, 6, 6, 6) Inoltre, d = ( 6, ) e D = 6(1/, 1/, 1/, 1/, 0, 0, 0, 0)+(0, 0, 0, 0, 1/, 1/, 1/, 1/) = ( 3, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 1) Verificare che f = T + D + D 1 Esercizio Si campioni un segnale su N = 10 punti Si costruiscano i 10 livelli della MRA Dopo 10 passi, T 10 consisterà di un singolo valore ripetuto N volte con valore corrispondente alla media di tutti i N = 10 valori del segnale

56 Soluzione dell esercizio assegnato nella slide precedente Si è utilizzata la funzione g(x) già considerata in precedenza