Lezione 7.2. Filtro di Kalman. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

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1 Lezione 7.2 Filtro di Kalman F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

2 Schema della lezione 0. «Formulario» teoria di Bayes 1. Impostazione del problema base del predittore ottimo di Kalman ad un passo 2. Calcolo del predittore ad un passo dell uscita 3. Calcolo del predittore ad un passo dello stato (espressione ricorsiva) 4. Equazione di Riccati 5. Predittore ottimo di Kalman ad un passo 6. Estensione 1: 1( ) e 2 ( ) correlati 7. Estensione 2: predizione a più passi 8. Estensione 3: filtro di Kalman 9. Estensione 4: sistemi tempo-varianti 10. Estensione 5: sistemi con ingresso esogeno 11. Predittore di regime 12. Primo teorema di convergenza asintotica 13. Secondo teorema di convergenza asintotica 14. Filtro di Kalman esteso 15. Utilizzo del filtro di Kalman Esteso per la stima parametrica (identificazione a scatola grigia) 16. Matlab 17. Esempi F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

3 1. Impostazione del problema base del predittore ottimo di Kalman ad un passo Si consideri il seguente sistema con ingresso esogeno ( ) uscite e senza + 1 = + ( ) = + ( ordine del sistema) ( dimensione del vettore di uscita) F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

4 è il rumore di processo (sullo stato) = è un vettore di dimensione. Si suppone che sia un rumore bianco con media nulla e matrice di covarianza 0, Proprietà di E ( ) = 0 E ( ) ( ) = 0 E ( ) ( ) = 0, 0 è una matrice quadrata, simmetrica, semidefinita positiva. E diagonale perché il rumore è bianco (i suoi campioni a tempi diversi sono incorrelati). F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

5 è il rumore di misura (sull uscita) = è un vettore di dimensioni. Si suppone che sia un rumore bianco con media nulla e matrice di covarianza 0, Proprietà di E ( ) = 0 E ( ) ( ) = > 0 E ( ) ( ) = 0, 0 è una matrice quadrata, simmetrica, definita positiva. E diagonale perché il rumore è bianco (i suoi campioni a tempi diversi sono incorrelati). F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

6 Nota Bene I rumori e potrebbero essere correlati, con matrice di covarianza. Nella parte iniziale della lezione supporremo che e siano incorrelati tra di loro, cioè che valga sempre = 0. Nota Bene e note (ovvio, è il sistema), (e se presente) sono note (questo è un tema delicato perché nella pratica non è vero). F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

7 Problema Il problema che vogliamo risolvere (utilizzando la teoria di Bayes) è calcolare la predizione ad un passo dello stato ( + ), cioè predire lo stato al tempo + 1 utilizzando solo i dati fino al tempo. In particolare, vogliamo trovare un espressione ricorsiva di ( + 1 ), cioè che non dipenda direttamente dai dati, ma che sia solo funzione della predizione precedente 1 e dell ultimo dato disponibile, cioè + 1 = 1 + L insieme dei dati fino al tempo (cioè le misure disponibili) si indica con = 1, 2,, ( ) il «passato» 7

8 Nota Bene è una collezione di vettori, ciascuno con componenti. Nota Bene Oltre alla predizione dello stato + 1, calcoleremo anche la predizione ad un passo dell uscita +. Nota Bene Applicheremo la teoria di Bayes, cioè + = [ ( + ) ] in cui la variabile casuale incognita da stimare è ( + 1) (è la nostra ). Similmente per l uscita + = [ ( + ) ] F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

9 Si definisce innovazione apportata dal dato (nuovo) ( + 1) rispetto ai dati (vecchi) + = + 1 E[ ( + 1) ]= Si definisce errore di predizione dello stato + = = + 1 E[ ( + 1) ] Nota Bene L innovazione è un vettore con componenti, come l uscita. L errore di predizione è un vettore con componenti, come lo stato. Procediamo F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

10 2. Calcolo del predittore ad un passo dell uscita + 1 = E + 1 = = E = = E E[ ( + 1) ] + 1 è incorrelato con tutti gli elementi di e quindi E + 1 = E + 1 = 0 Quindi + 1 = E + 1 = H = H + 1 Risultato poco sorprendente F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

11 3. Calcolo del predittore ad un passo dello stato (espressione ricorsiva) La stima ottima è per definizione: + 1 = E[ ( + 1) ] Per ottenere un espressione ricorsiva scriviamola così: + 1 = E[ ( + 1), ( )] Applichiamo la formula ricorsiva di Bayes: + 1 = E E + 1 dove ( ) è l innovazione. Ora calcoliamo i due termini: a) + b) + F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

12 a) Calcolo di + E + 1 = E + = E + E è incorrelato con = = 0 E = 1 quindi: E + 1 = 1 A Risultato poco sorprendente F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

13 b) Calcolo di + ( ) Applicando la stima di Bayes si ha: + 1 ( ) = ( ) Bisogna quindi calcolare le due matrici: b1) b2) Nota bene + 1 ( ) = ( ) n p p p p 1 F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

14 b1) Calcolo di Per definizione = [ + 1 ( ) ] Ora: = 1 = + 1 = ( 1 ) + Dove ( ) è l errore di predizione dello stato. Quindi = + F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

15 Si ha quindi: = + + = = + + [ ( + ) ] e ( ) sono incorrelati = ] [ = 0 = 1 è incorrelato con, inoltre 1 è un predittore che dipende dai dati (fino al tempo 1) e quindi è incorrelato con. e sono incorrelati. Quindi anche il terzo addendo è nullo e si ha: = F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

16 = Aggiungiamo e sottraiamo 1 a = [( 1 ( ) + 1 ) ] = = [ ( )] ( ) + [ 1 ] Chiamiamo ( ) la varianza dell errore di predizione dello stato. 1 è un predittore e dipende solo dai dati è l errore di predizione ed è certamente incorrelato dal predittore. Questo termine è quindi nullo. Concludendo = ( ) B1 F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

17 b2) Calcolo di ( ) Ricordiamo che (slide 14) = + = + ( ) = ( ) = + + = ( ) e ( ) sono incorrelati termini nulli = [ ( )] è la varianza dell errore di predizione = ( ) ( ) è la varianza di Quindi ( ) = + B2 17

18 Quindi, mettendo insieme B1 e B2 si ha + 1 ( ) = = = ( ) = + B F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

19 Quindi, mettendo insieme A e B + 1 = = = Si definisce guadagno del predittore di Kalman = + Concludendo il predittore ad un passo dello stato è + 1 = 1 + Nota Bene Ora si capisce perché l ipotesi che > 0 (definita positiva): serve per garantire l invertibilità del termine ( + ) F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

20 E effettivamente un espressione ricorsiva, ma vediamo se abbiamo tutti gli ingredienti 1 è la stima precedente noto = 1 è l innovazione ( ) noto 1 = 1 contiene,, noti = var Serve un espressione ricorsiva per calcolare funzione di 1 in F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

21 4. Equazione di Riccati E l espressione ricorsiva per il calcolo di ( ) sulla base di ( 1). Come facciamo ad ottenerla? Per prima cosa calcoliamo un espressione ricorsiva per il calcolo di + 1, l errore di predizione dello stato: + 1 = ( ) ( ) Quindi + 1 = + ( ) Infine + 1 = + Questa è un espressione ricorsiva per il calcolo di + 1 usando. ( ) F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

22 Ora calcoliamo la varianza: + 1 = + 1 = = dopo molti calcoli si ottiene l Equazione alle Differenze di Riccati (Difference Riccati Equation - DRE) + 1 = + DRE F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

23 Esplicitando nella DRE l espressione del guadagno di Kalman = + si può ottenere questa forma (del tutto equivalente) + 1 = + + Similmente, se si inserisce nella DRE il termine moltiplicativo + + si ottiene + 1 = da cui si ha la seguente forma (del tutto equivalente) + 1 = + + ( ) 23

24 Osservazione La DRE è un espressione ricorsiva e va inizializzata con 1 = [ 1 ] Infatti, indichiamo per convenzione che l istante iniziale è = 1. Siccome non dispongo di misure dell uscita (dovrei averle al tempo = 0), all istante iniziale la predizione ottima dello stato 1 0 coincide con il valore atteso dello stato iniziale E 1, che si ipotizza sia nullo. Quindi l errore di predizione è 1 = = 1 cioè coincide con lo stato 1 e quindi la varianza dell errore di predizione 1 1 = [ 1 ] cioè è la varianza dello stato iniziale. Similmente l equazione di stato del predittore si inizializza imponendo 1 0 = 0. Nota Bene Se il valore atteso dello stato iniziale non fosse nullo, cioè 1 =, l inizializzazione della DRE resta uguale 1 = [ 1 ], mentre l inizializzazione dell equazione di stato cambia coerentemente, cioè 1 0 = F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

25 5. Predittore ottimo di Kalman ad un passo Si consideri il sistema + 1 = + ( ) = + dove 0,, 0 0,, > 0 e incorrelati tra loro Condizione iniziale dello stato tale che: - 1 = - 1 = - (1) è incorrelato con e F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

26 Il predittore di Kalman ad un passo per il sistema di cui sopra è dato dalle seguenti equazioni: + 1 = 1 + ( ) 1 = 1 dove = 1 è l errore di predizione dell uscita = ( ) ( + ) è il guadagno del predittore + 1 = + è la DRE 1 0 = 1 = è la condizione iniziale per l equazione di stato 1 = 1 = è la condizione iniziale per la DRE Nota bene = [ ( )] è sempre una matrice simmetrica e semidefinita positiva (è una varianza!). Si noti che l equazione di Riccati è coerente con questa proprietà, cioè: se è simmetrica e semidefinita positiva anche ( + 1) lo è. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

27 Sistema v 2 (t) v 1 (t) + + x(t+1) 1 z x(t) H + + y(t) F K(t) + ^ x(t+1 t) ^ ^ 1 x(t(t-1) H + z F e(t) + _ y(t t-1) Predittore di Kalman F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

28 6. Estensione 1: e correlati Supponiamo che i rumori e siano correlati tra di loro al medesimo istante di tempo, cioè: ( ) ( ) = Guadagno di Kalman DRE 0 per 0 per = 0 Cosa cambia? = ( + )( + ) + 1 = F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

29 7. Estensione 2: predizione a più passi L estensione è banale. Se dispongo di + 1 avrò: + 2 = = + 2 = + 1 etc Si definisce predittore a k passi dello stato + = + 1 Si definisce predittore a k passi dell uscita + = + F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

30 8. Estensione 3: filtro di Kalman Dobbiamo calcolare la stima : = =, = = + = 1 + ( ) Simile al precedente calcolo del termine b1 (non immediato) E il precedente calcolo del termine b2 Si ottiene il filtro di Kalman = 1 + ( + ) ( ) Si definisce guadagno del filtro di Kalman = ( + ) F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

31 Nota bene Il risultato sul filtro di Kalman è valido anche nel caso correlati ( 0). e Riassunto Guadagno del predittore ( = 0) = ( + ) Guadagno del predittore ( 0) = ( + )( + ) Guadagno del filtro ( ) = ( + ) F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

32 Nota bene ricavare il filtro dal predittore Ipotesi è invertibile e siano incorrelati + 1 = E + = E + E = + E E = 0 solo se e sono incorrelati Quindi + 1 = Essendo invertibile = + 1 F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

33 Nota bene varianza dell errore di filtraggio L errore di filtraggio è. E possibile ottenere la sua varianza a partire dalla varianza dell errore di predizione =. Infatti = ( + ) Questa espressione mette in evidenza che Questo fatto non deve sorprenderci: la stima ottenuta con il filtro sfrutta anche il dato in più rispetto alla stima 1 ottenuta con il predittore. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

34 9. Estensione 4: sistemi tempo-varianti La teoria presentata è valida per i sistemi tempo varianti esprimibili nella seguente forma: + 1 = + ( ) = + a patto di sostituire nelle equazioni ( ) ad ed H( ) ad. E un risultato potentissimo! F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

35 10. Estensione 5: sistemi con ingresso esogeno Nel caso in cui vi sia una variabile esogena ( ) il sistema è: + 1 = + ( ) + ( ) = + ( ) è una variabile deterministica, non una variabile casuale. I risultati precedenti risultano tutti validi, a patto di aggiungere alle equazioni del filtro la variabile esogena. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

36 Le equazioni del predittore ad un passo di Kalman saranno modificate come segue Gli altri elementi restano invariati + 1 = 1 + ( ) + ( ) 1 = 1 = 1 è l errore di predizione dell uscita = ( ) ( + ) è il guadagno di Kalman + 1 = + è la DRE F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

37 Sistema u(t) Γ v 1 (t) x(t+1) 1 z x(t) H v 2 (t) + + y(t) F K(t) + ^ x(t+1 t) ^ ^ 1 x(t(t-1) H + z e(t) + _ y(t t-1) F Predittore di Kalman F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

38 11. Predittore di regime Se il sistema fosse tempo-invariante, sarebbe lecito chiedersi se non possa esistere una soluzione di regime dell equazione di Riccati, cioè se Quindi se ( ) convergesse ad una costante, il guadagno del filtro di Kalman sarebbe costante e si potrebbe definire un guadagno di regime del predittore di Kalman = ( + ) Usando il guadagno invece di ( ) avremo un predittore sub-ottimo, ma computazionalmente molto più semplice. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

39 Per capire se bisogna analizzare la DRE che è un equazione alle differenze non lineare e quindi difficile da integrare. Però, se esistesse una soluzione di regime, allora + 1 = = Quindi, inserendo nella DRE, si ottiene l Equazione Algebrica di Riccati (Algebraic Riccati Equation - ARE) = + + ARE Se esiste una soluzione di regime, essa deve essere soluzione della ARE. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

40 Quindi i problemi a cui dare risposta sono: La ARE ammette una soluzione semidefinita positiva? Se la precedente affermazione è valida, la soluzione della DRE converge proprio a quella soluzione? Se entrambe le precedenti affermazioni sono vere, il corrispondente predittore di Kalman sarà asintoticamente stabile? F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

41 Nota sulla stabilità Come detto, se esiste 0, il guadagno sarà, cioè il guadagno di regime. Quindi le equazioni del predittore saranno: Quindi: + 1 = 1 + ( ) 1 = = = = = = ( ) 1 + matrice di stato Questo predittore è asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori della matrice sono strettamente interni al cerchio di raggio unitario. Nota bene: Se anche il sistema (di partenza) fosse instabile, cioè ha autovalori esterni al cerchio, può essere as. stabile, cioè la teoria di Kalman di regime può essere applicata anche a sistemi non asintoticamente stabili. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

42 12. Primo teorema di convergenza asintotica Ipotesi Il sistema è asintoticamente stabile (cioè la dentro il cerchio unitario) = 0 Tesi La ARE ha una ed una sola soluzione 0. ha autovalori strettamente Qualunque sia la condizione iniziale, purché semidefinita positiva, la soluzione della DRE converge asintoticamente a. Il predittore di regime è asintoticamente stabile (cioè ha autovalori strettamente dentro il cerchio unitario). Nota bene: L ipotesi è condizione sufficiente ma non necessaria. Ci può essere convergenza ad una soluzione semidefinita positiva anche in assenza di stabilità del sistema. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

43 13. Secondo teorema di convergenza asintotica Ipotesi (, ) è osservabile., è raggiungibile (dove è una matrice «radice quadrata» della varianza del rumore di processo, cioè = ) («raggiungibilità dal rumore»). = 0 Tesi La ARE ha una ed una sola soluzione > 0. Qualunque sia la condizione iniziale, purché semidefinita positiva, la soluzione della DRE converge asintoticamente a. Il predittore di regime è asintoticamente stabile (cioè ha autovalori strettamente dentro il cerchio unitario). Nota bene: Anche in questo caso la condizione è solo sufficiente. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

44 Nota sulla raggiungibilità del rumore L equazione di stato del sistema è + 1 = + ( ) con (0, ). Non c è un ingresso esogeno e quindi, a rigore, non ha senso parlare di raggiungibilità in senso stretto. Però, fattorizzare = corrisponde a riscrivere l equazione di stato così + 1 = + ( ) con (0, ). Infatti: = = = = = = [ ]. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

45 14. Filtro di Kalman Esteso (Extended Kalman Filter) E l utilizzo della teoria di Kalman per sistemi non lineari, almeno in via approssimata. Si consideri il sistema non lineare (stazionario, in prima ipotesi): + 1 = ( ) + ( ) = h + con ( ) (0, ) e 0,. E pensabile utilizzare uno schema simile a quello del predittore di Kalman nel caso lineare, basato cioè sul calcolo di ( ). F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

46 Sistema v 1 (t) + + x(t+1) 1 z x(t) h ( ) v 2 (t) + + y(t) + f ( )? + ^ x(t+1 t) ^ ^ 1 x(t t-1) h ( ) z f ( ) e(t) Cosa si può mettere nel blocco del guadagno? Una funzione non lineare di ( )? ( )? Una funzione lineare ma tempo variante? ( )? + _ y(t t-1) Predittore di Kalman esteso F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

47 La seconda strada è quella più semplice e naturale (perché è anche quella nota!). Per trovare un guadgno tempo-variante elementi tempo-varianti, cioè potrei risolvere la DRE usando per poi ottenere = + Problema: Cosa sono, ( )? Sono ottenuti per linearizzazione del sistema non lineare intorno alla traiettoria. Siccome non conosco lo stato uso la sua predizione al tempo, cioè 1 = ( ) ( ) ( ) = h( ) ( ) ( ) F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

48 Quindi, ad ogni passo temporale bisogna: i. Calcolare, mediante linearizzazione intorno a ( 1), nota dal passo precedente. ii. Risolvere la DRE usando,, calcolando ( ) iii. Calcolare (sempre usando, ) + 1 = ( 1 ) + ( ) 1 = h 1 con = ( 1) Predittore di Kalman esteso F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

49 15. Utilizzo del filtro di Kalman Esteso per la stima parametrica (identificazione a scatola grigia) Il filtro di Kalman esteso può essere utilizzato anche per l identificazione di parametri in modelli fisici (nel senso di non black-box). Si consideri il sistema + 1 = (, ) + ( ) = h, + con (0, ) e (0, ) Il problema è stimare il vettore di parametri. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

50 L idea è di considerare i parametri ignoti come ulteriori variabili di stato regolati dall equazione con (0, ) + 1 = + ( ) Nota bene Si ipotizza che il parametro sia una costante (il suo valore non cambia nel tempo). Si introduce quindi il vettore di stato esteso = ( ) ( ) F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

51 Si può quindi risolvere il problema di filtraggio esteso per questo sistema + 1 = + ( ) = h + ( ) dove = (, ) ( ) h = h(, ) ( ) = ( ) ( ) 0 0, 0 0 F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

52 Nota bene è un rumore che non esiste e quindi la scelta di può essere difficile. Tipicamente si sceglie incorrelato da e e con matrice di covarianza diagonale (cioè i rumori per ogni componente del vettore di parametri sono incorrelati). La scelta viene comunque fatta empiricamente, come per e. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

53 16. Matlab >> help kalman Attenzione che prima mette le istruzioni per il filtro a tempo continuo. [KEST,L,P] = kalman(sys,qn,rn,nn) dove x[n+1] = Ax[n] + Bu[n] + Gw[n] y[n] = Cx[n] + Du[n] + Hw[n] + v[n] SYS=SS(A,[B G],C,[D H], -1) è il sistema dove w è il rumore di processo e v è il rumore di misura. {State equation} {Measurements} Si noti che il rumore di processo insiste anche sull equazione di uscita (il termine Hw[n]. Per noi è sempre H=0). QN = E{ww'}, RN = E{vv'}, NN = E{wv } QN è la nostra V1 (a meno della G) RN è la nostra V2 NN è la nostra V12 VANNO SCELTE! SONO PARAMETRI DI PROGETTO!! F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

54 Il comando fornisce KEST, L, P da usare nelle equazioni del filtro ( current ) o del predittore ( delayed ). L help di Matlab propone le seguenti equazioni. x[n+1 n] = Ax[n n-1] + Bu[n] + L (y[n] - Cx[n n-1] - Du[n]) y[n n] = Cx[n n-1] + Du[n] + My (y[n] - Cx[n n-1] - Du[n]) x[n n] = x[n n-1] + Mx (y[n] - Cx[n n-1] - Du[n]) La prima equazione è l equazione di stato del predittore ed L è il guadagno del filtro di regime. La seconda equazione ha quella forma perchè il rumore di processo è presente anche nell equazione di uscita (il termine Hw[n] ). Quando H=0 (il nostro caso) la seconda equazione diventa banale y[n n]=cx[n n] + Du[n] che è l uscita del filtro. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

55 Calcolare l uscita del predittore è analogo (e banale). Poco sotto nell help si trova infatti l equazione dell uscita del predittore. y[n n-1] = Cx[n n-1] + Du[n] La terza equazione è l equazione di stato del filtro e Mx è il guadagno di regime del filtro. KEST è un sistema dinamico con due ingressi [u(t); y(t)] e due uscite [xe(t); ye(t)] che sono stato e uscita del predittore o del filtro a seconda del valore del flag TYPE in ingresso. P è la soluzione dell equazione algebrica di Riccati. Nella sua forma complete il comando è il seguente [KEST,L,P,Mx,Z,My] = kalman(sys,qn,rn,...,type) F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

56 Esiste anche il comando kalmd che calcola il filtro discreto direttamente per sistemi a tempo continuo (semplicemente discretizza il sistema a tempo continuo e poi applica il comando kalman). F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

57 Utile anche il comando estim >> help estim EST = estim(sys,l) L è il guadagno del predittore di Kalman (ma non solo ). SYS è il sistema a cui si vuole applicare quel guadagno x[n+1] = Ax[n] + Bw[n] y[n] = Cx[n] + Dw[n] Come si nota, non ha ingressi deterministici ma solo stocastici. EST è un sistema dinamico che rappresenta il predittore ed ha come uscite x_e ed y_e, stato ed uscita del predittore. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

58 >> help dare Questo comando fornisce la soluzione della ARE (D sta per discrete ). [X,L,G] = dare(a,b,q,r,s,e) X è la nostra G è il nostro L è il vettore degli autovalori in anello chiuso A è la nostra B è la nostra Q è la nostra R è la nostra S per default è 0 E per default è 1 F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

59 17. Esempio Si consideri il sistema dove + 1 = + ( ) = 2 + 0, 0,1 e incorrelati tra loro e con la condizione iniziale (1). Scrivere le espressioni del predittore di regime e del filtro di regime. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

60 =, = 2, =, = 1, = 0 Primo passo: scriviamo la DRE + 1 = ( + )( + ) = (4 + 1) = = (i termini di secondo grado si elidono sempre) + = + + F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

61 Secondo passo: risolviamo la ARE Se la soluzione della DRE converge ad un valore, questo sarà certamente una soluzione della ARE = = = 0 che ha due soluzioni = 1 e = delle quali solo la prima è accettabile. Ma la soluzione convergerà? F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

62 Terzo passo: verifica della convergenza Per sapere se c è convergenza ci sono due metodi: Analisi (grafica) diretta della DRE (metodo più complesso ma sempre utilizzabile) Teoremi asintotici (metodo molto più semplice ma non sempre applicabile) F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

63 Analisi (grafica) diretta della DRE + 1 = Rappresento questa curva nel piano E una funzione omografica, caratterizzata da: - Un asintoto verticale (annullando il denominatore) - Un asintoto orizzontale (rapporto tra i coefficienti di grado massimo di numeratore e denominatore) - Un intersezione con l asse (imponendo + 1 = 0) - Un intersezione con l asse + 1 (imponendo = 0) Asintoto verticale: = = Asintoto orizzontale: = Intersezione asse in = Intersezione asse + 1 in + 1 = F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

64 Come si usa questa curva? 1. Scelgo un valore iniziale 1 > 0 sull asse delle ascisse 2. Leggo sulla curva il corrispondente valore dell ordinata 2 e lo riporto sull asse delle ascisse. 3. Ripeto ottenendo 3, 4, 5, 4. Verifico se c è convergenza e se c e convergenza alla soluzione della ARE = 1 F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

65 + 1 C e convergenza alla soluzione della ARE = Poi vedremo un metodo più furbo F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

66 Applicazione teoremi asintotici Il primo teorema asintotico è applicabile: - Il sistema è asintoticamente stabile ( = ) - = 0 Quindi la convergenza è garantita. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

67 Quarto passo: calcolo del guadagno di regime Il guadagno del predittore di regime è = ( + ) = 1 2 2(4 + 1) = 1 5 Il guadagno del filtro di regime è = + = 2 5 F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

68 Quinto passo: equazioni del predittore v 1 (t) + + x(t+1) 1 z x(t) 2 v 2 (t) + + y(t) ^ x(t+1 t) ^ ^ 1 x(t(t-1) 2 z e(t) + _ y(t t-1) + 1 = = 2 1 Calcoliamo la fdt F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

69 La funzione di trasferimento del predittore si calcola dall ingresso (le misure usate per la stima) alla stima dello stato = = = = Che si può esprimere + 1 = = Si osservi che =. Il predittore è asintoticamente stabile. F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

70 Sesto passo: equazioni del filtro - è invertibile - = 0 Quindi + 1 = Essendo invertibile = + 1 Quindi 1 = ovvero = F. Previdi - Controlli Automatici - Lez

71 Possiamo risolvere questo problema anche con Matlab. Definiamo il sistema. >> A=0.5;B=0;C=2;D=0;G=1;H=0; >> sys=ss(a,[b G],C,[D H],-1); Calcoliamo il guadagno del predittore di regime di Kalman >> [Kest,L,P]=kalman(sys,19/20,1,0); >> L L = >> P P = Se volessimo il guadagno del filtro di regime >> [KEST1,L1,P1,Mx] = kalman(sys,19/20,1,0,'current'); >> Mx Mx = F. Previdi - Controlli Automatici - Lez