Somma di quattro quadrati

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1 Somma di quattro quadrati Stefano Maragnoli e Ilaria Dorigatti Seminario di Algebra

2 Il problema di Waring Waring si domandò se

3 Il problema di Waring Waring si domandò se dato un numero k naturale esiste un numero s dipendente da k,

4 Il problema di Waring Waring si domandò se dato un numero k naturale esiste un numero s dipendente da k, tale che tutti i numeri naturali n si possano scrivere come somma di s potenze k-esime. Ovvero:

5 Il problema di Waring Waring si domandò se dato un numero k naturale esiste un numero s dipendente da k, tale che tutti i numeri naturali n si possano scrivere come n = x k 1 + x k x k s

6 I numeri G(k) e g(k) Definiamo

7 I numeri G(k) e g(k) Definiamo g(k)

8 I numeri G(k) e g(k) Definiamo g(k) come il valore minimo di s per il quale tutti i numeri sono rappresentabili con s potenze k-esime

9 I numeri G(k) e g(k) Definiamo g(k) come il valore minimo di s per il quale tutti i numeri sono rappresentabili con s potenze k-esime... e G(k)

10 I numeri G(k) e g(k) Definiamo g(k) come il valore minimo di s per il quale tutti i numeri sono rappresentabili con s potenze k-esime... e G(k) come il valore minimo di s per il quale quasi tutti i numeri (cioè tutti tranne un numero finito) sono rappresentabili con s potenze k-esime

11 I numeri G(k) e g(k) Definiamo g(k) come il valore minimo di s per il quale tutti i numeri sono rappresentabili con s potenze k-esime... e G(k) come il valore minimo di s per il quale quasi tutti i numeri sono rappresentabili con s potenze k-esime

12 I numeri G(k) e g(k) Definiamo g(k) come il valore minimo di s per il quale tutti i numeri sono rappresentabili con s potenze k-esime... e G(k) come il valore minimo di s per il quale quasi tutti i numeri sono rappresentabili con s potenze k-esime G(k) g(k)

13 Il nostro problema Vogliamo dimostrare che

14 Il nostro problema Vogliamo dimostrare che ogni intero positivo è somma di 4 quadrati.

15 Il nostro problema Vogliamo dimostrare che ogni intero positivo è somma di 4 quadrati. Ovvero:

16 Il nostro problema Vogliamo dimostrare che ogni intero positivo è somma di 4 quadrati. Ovvero: g(2) = 4

17 OSSERVAZIONE:

18 OSSERVAZIONE: (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) (α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2 ) =

19 OSSERVAZIONE: (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) (α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2 ) = = semplici calcoli algebrici =

20 OSSERVAZIONE: (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) (α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2 ) = = semplici calcoli algebrici = = (aα + bβ + cγ + dδ) 2 + (aβ bα + cδ dγ) 2 + +(aγ cα + bδ dβ) 2 + (aδ dα + bγ cβ) 2

21 Dunque (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) (α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2 ) =

22 Dunque (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) (α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2 ) = = A 2 + B 2 + C 2 + D 2 con A, B, C, D Z

23 Nel corso di Algebra abbiamo dimostrato che

24 Nel corso di Algebra abbiamo dimostrato che il prodotto di due numeri esprimibili come somma di due quadrati è anch esso somma di due quadrati

25 Nel corso di Algebra abbiamo dimostrato che il prodotto di due numeri esprimibili come somma di due quadrati è anch esso somma di due quadrati sfruttando il fatto che la norma di un intero di Gauss è somma di due quadrati: a + ib = a 2 + b 2 in Z[i]

26 Analogamente potevamo sfruttare il fatto che nel corpo degli ipercomplessi

27 Analogamente potevamo sfruttare il fatto che nel corpo degli ipercomplessi la norma di un quaternione è somma di quattro quadrati:

28 Analogamente potevamo sfruttare il fatto che nel corpo degli ipercomplessi la norma di un quaternione è somma di quattro quadrati: q = a + ib + jc + kd = a 2 + b 2 + c 2 + d 2

29 OSSERVAZIONE

30 OSSERVAZIONE +

31 OSSERVAZIONE + TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA

32 OSSERVAZIONE + TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA

33 OSSERVAZIONE + TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA Ci basta dimostrare che

34 OSSERVAZIONE + TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA Ci basta dimostrare che Ogni numero primo è somma di 4 quadrati.

35 Le dimostrazioni La dimostrazione che daremo si basa sul seguente

36 Le dimostrazioni La dimostrazione che daremo si basa sul seguente Lemma: Sia p un numero primo. Allora esistono interi x, y che soddisfano la seguente relazione: x 2 + y (mod p)

37 Le dimostrazioni La dimostrazione che daremo si basa sul seguente Lemma: Sia p un numero primo. Allora esistono interi x, y che soddisfano la seguente relazione: x 2 + y (mod p) Notare che il caso p = 2 è banale: 2 = Dunque, poiché p è primo, è dispari.

38 Le dimostrazioni Dimostrazione: Poiché gli elementi non nulli in Z/pZ, con p primo, sono p 1 e

39 Le dimostrazioni Dimostrazione: Poiché gli elementi non nulli in Z/pZ, con p primo, sono p 1 e a 2 = ( a) 2,

40 Le dimostrazioni Dimostrazione: Poiché gli elementi non nulli in Z/pZ, con p primo, sono p 1 e a 2 = ( a) 2, i quadrati non nulli sono p 1 2

41 Le dimostrazioni Ma 0 2 = 0 anche 0 è un quadrato.

42 Le dimostrazioni Ma 0 2 = 0 anche 0 è un quadrato. I quadrati in Z/pZ sono dunque p = p + 1 2

43 Le dimostrazioni Ma 0 2 = 0 anche 0 è un quadrato. I quadrati in Z/pZ sono dunque p = p Considero ora i seguenti insiemi:

44 Le dimostrazioni Ma 0 2 = 0 anche 0 è un quadrato. I quadrati in Z/pZ sono dunque p = p Considero ora i seguenti insiemi: S = {quadrati modulo p} = { y 2 : y Z/pZ }

45 Le dimostrazioni Ma 0 2 = 0 anche 0 è un quadrato. I quadrati in Z/pZ sono dunque p = p Considero ora i seguenti insiemi: S = {quadrati modulo p} = { y 2 : y Z/pZ } S = { 1 x 2 : x 2 S }

46 Le dimostrazioni Poiché S = { y 2 : y Z/pZ } S = { 1 x 2 : x 2 S } hanno lo stesso numero di elementi,

47 Le dimostrazioni Poiché S = { y 2 : y Z/pZ } S = { 1 x 2 : x 2 S } hanno lo stesso numero di elementi, che è maggiore della metà del numero di elementi di Z/pZ,

48 Le dimostrazioni Poiché S = { y 2 : y Z/pZ } S = { 1 x 2 : x 2 S } hanno lo stesso numero di elementi, che è maggiore della metà del numero di elementi di Z/pZ, allora esistono interi x ed y per i quali sussiste la congruenza:

49 Le dimostrazioni Poiché S = { y 2 : y Z/pZ } S = { 1 x 2 : x 2 S } hanno lo stesso numero di elementi, che è maggiore della metà del numero di elementi di Z/pZ, allora esistono interi x ed y per i quali sussiste la congruenza: y 2 = 1 x 2 (mod p) x 2 + y (mod p).

50 Le dimostrazioni Poiché S = { y 2 : y Z/pZ } S = { 1 x 2 : x 2 S } hanno lo stesso numero di elementi, che è maggiore della metà del numero di elementi di Z/pZ, allora esistono interi x ed y per i quali sussiste la congruenza: y 2 = 1 x 2 (mod p) x 2 + y (mod p).

51 Le dimostrazioni Noi dimostreremo il teorema utilizzando il

52 Le dimostrazioni Noi dimostreremo il teorema utilizzando il metodo della discesa infinita

53 Le dimostrazioni Noi dimostreremo il teorema utilizzando il dovuto a Fermat. metodo della discesa infinita

54 Le dimostrazioni Noi dimostreremo il teorema utilizzando il metodo della discesa infinita dovuto a Fermat. Esistono tuttavia altre dimostrazioni...

55 Le dimostrazioni Noi dimostreremo il teorema utilizzando il metodo della discesa infinita dovuto a Fermat. Esistono tuttavia altre dimostrazioni... una è basata sull algebra dei quaternioni

56 Le dimostrazioni Noi dimostreremo il teorema utilizzando il dovuto a Fermat. metodo della discesa infinita Esistono tuttavia altre dimostrazioni... una è basata sull algebra dei quaternioni una è basata sulla dimostrazione data da Eulero.

57 La discesa infinita Si tratta di dimostrare il seguente lemma:

58 La discesa infinita Si tratta di dimostrare il seguente lemma: Supponiamo che per un primo p esista un intero m t.c.

59 La discesa infinita Si tratta di dimostrare il seguente lemma: Supponiamo che per un primo p esista un intero m t.c. 1 < m < p e mp = x x x x 2 4.

60 La discesa infinita Si tratta di dimostrare il seguente lemma: Supponiamo che per un primo p esista un intero m t.c. 1 < m < p e mp = x x x x 2 4. Allora esiste un intero n, 0 < n < m t.c.

61 La discesa infinita Si tratta di dimostrare il seguente lemma: Supponiamo che per un primo p esista un intero m t.c. 1 < m < p e mp = x x x x 2 4. Allora esiste un intero n, 0 < n < m t.c. np = y y y y 2 4.

62 La discesa infinita Si tratta di dimostrare il seguente lemma: Supponiamo che per un primo p esista un intero m t.c. 1 < m < p e mp = x x x x 2 4. Allora esiste un intero n, 0 < n < m t.c. np = y y y y 2 4. Da ciò si deduce che p stesso è somma di quattro quadrati.

63 La discesa infinita Dimostrazione: Considero mp = x x x x 2 4

64 La discesa infinita Dimostrazione: Considero mp = x x x x 2 4 Pongo y i x i (mod m),

65 La discesa infinita Dimostrazione: Considero mp = x x x x 2 4 Pongo y i x i (mod m), con y i Z e m 2 < y i m 2 i = 1,..., 4.

66 La discesa infinita Dimostrazione: Considero mp = x x x x 2 4 Pongo y i x i (mod m), con y i Z e m 2 < y i m 2 i = 1,..., 4. Allora y y y y (mod m)

67 La discesa infinita Dimostrazione: Considero mp = x x x x 2 4 Pongo y i x i (mod m), con y i Z e m 2 < y i m 2 i = 1,..., 4. Allora y y y y (mod m) r Z, r 0 t.c. rm = y y y y 2 4.

68 La discesa infinita Affermiamo che

69 La discesa infinita Affermiamo che r 0 e r m

70 La discesa infinita Affermiamo che r 0 e r m Altrimenti otteniamo la seguente contraddizione:

71 La discesa infinita Affermiamo che r 0 e r m Altrimenti otteniamo la seguente contraddizione: m p, ove p è un numero primo e 1 < m < p

72 La discesa infinita Ricapitolando abbiamo:

73 La discesa infinita Ricapitolando abbiamo: mp = x x2 2 + x2 3 + x2 4 rm = y y2 2 + y2 3 + y2 4

74 La discesa infinita Ricapitolando abbiamo: mp = x x2 2 + x2 3 + x2 4 rm = y y2 2 + y2 3 + y2 4 Moltiplicando mp e rm ottengo

75 La discesa infinita Ricapitolando abbiamo: mp = x x2 2 + x2 3 + x2 4 rm = y y2 2 + y2 3 + y2 4 Moltiplicando mp e rm ottengo m 2 rp= (x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 y 4 ) 2 + +(x 1 y 2 x 2 y 1 + x 3 y 4 x 4 y 3 ) 2 + +(x 1 y 3 x 3 y 1 + x 2 y 4 x 4 y 2 ) 2 + +(x 1 y 4 x 4 y 1 + x 2 y 3 x 3 y 2 ) 2

76 La discesa infinita Ogni termine alla destra dell uguale

77 La discesa infinita Ogni termine alla destra dell uguale m 2 rp= (x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 y 4 ) 2 + +(x 1 y 2 x 2 y 1 + x 3 y 4 x 4 y 3 ) 2 + +(x 1 y 3 x 3 y 1 + x 2 y 4 x 4 y 2 ) 2 + +(x 1 y 4 x 4 y 1 + x 2 y 3 x 3 y 2 ) 2

78 La discesa infinita Ogni termine alla destra dell uguale è divisibile per m 2

79 La discesa infinita Ogni termine alla destra dell uguale è divisibile per m 2 poiché y i x i (mod m), i = 1,..., 4.

80 La discesa infinita Ogni termine alla destra dell uguale è divisibile per m 2 poiché y i x i (mod m), i = 1,..., 4. Dunque...

81 La discesa infinita Ogni termine alla destra dell uguale è divisibile per m 2 poiché y i x i (mod m), i = 1,..., 4. Dunque... rp = a 2 + b 2 + c 2 + d 2

82 La discesa infinita Ogni termine alla destra dell uguale è divisibile per m 2 poiché y i x i (mod m), i = 1,..., 4. Dunque... rp = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 con 0 < r < m e a, b, c, d Z.

83 La discesa infinita Ogni termine alla destra dell uguale è divisibile per m 2 poiché y i x i (mod m), i = 1,..., 4. Dunque... rp = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 con 0 < r < m e a, b, c, d Z.

84 Un po di storia... Nel 1621 Bachet afferma senza dimostrarlo che ogni intero positivo è somma di quattro quadrati.

85 Bachet

86 Un po di storia... Nel 1770 Waring fa la stessa osservazione di Bachet in Meditationes algebricae.

87 Waring

88 Un po di storia... Più tardi lo stesso anno Lagrange prova che g(2) = 4.

89 Lagrange

90 Un po di storia... Nel 1834 Jacobi dà una semplice formula per il numero totale di rappresentazioni di un intero come somma di quattro quadrati.

91 Jacobi

92 Un po di storia... Nel 1909 Hilbert dimostra l esistenza di g(k) per ogni k.

93 Hilbert

94 Un po di storia e chi vuole saperne di più...

95 Un po di storia e chi vuole saperne di più... può trovare un esaustivo resoconto della vicenda dei quattro quadrati in:

96 Un po di storia e chi vuole saperne di più... può trovare un esaustivo resoconto della vicenda dei quattro quadrati in: Leonard Eugene Dickson, History of the theory of numbers. Vol. II: Diophantine analysis, Chelsea Publishing Co., New York, 1966, Cap. VIII