Divisione armonica. Ercole Suppa. Liceo Scientifico A. Einstein, Teramo web:
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1 Divisione armonica Ercole Suppa Liceo Scientifico A. Einstein, Teramo web: Incontri olimpici Cetraro, ottobre 2010 Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
2 Segmenti orientati Sia d una retta orientata e siano A,B d. Si chiama segmento orientato, e si indica con AB, il segmento che congiunge i punti A e B, orientato da A a B. Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
3 Segmenti orientati Sia d una retta orientata e siano A,B d. Si chiama segmento orientato, e si indica con AB, il segmento che congiunge i punti A e B, orientato da A a B. Si chiama misura algebrica di un segmento orientato AB la lunghezza del segmento stesso presa con il segno + o con il segno a seconda che il verso del segmento sia concorde o discorde con il verso positivo della retta. Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
4 Segmenti orientati Sia d una retta orientata e siano A,B d. Si chiama segmento orientato, e si indica con AB, il segmento che congiunge i punti A e B, orientato da A a B. Si chiama misura algebrica di un segmento orientato AB la lunghezza del segmento stesso presa con il segno + o con il segno a seconda che il verso del segmento sia concorde o discorde con il verso positivo della retta. In molti testi di geometria viene usato il simbolo AB per indicare la misura algebrica del segmento orientato AB. Noi invece, per semplicità, indicheremo con AB sia il segmento di vertici A e B, sia la distanza da A a B, sia la misura algebrica del segmento AB. Sarà chiaro dal contesto il significato da attribuire ad AB. Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
5 Rapporto semplice Si definisce rapporto semplice di tre punti allineati (distinti) A, B, C la quantità: (ABC) = AC BC Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
6 Rapporto semplice Si definisce rapporto semplice di tre punti allineati (distinti) A, B, C la quantità: (ABC) = AC BC Osserviamo che (ABC) < 0 C AB A C B Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
7 Rapporto semplice Si definisce rapporto semplice di tre punti allineati (distinti) A, B, C la quantità: (ABC) = AC BC Osserviamo che (ABC) < 0 C AB A C B mentre (ABC) > 0 C / AB A B C Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
8 Divisione e birapporto Sia d una retta orientata e siano A,B,C,D d. La quaterna ordinata (A,B,C,D) è detta una divisione della retta d. Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
9 Divisione e birapporto Sia d una retta orientata e siano A,B,C,D d. La quaterna ordinata (A,B,C,D) è detta una divisione della retta d. Si chiama birapporto di quattro punti allineati (distinti) A,B,C,D la quantità: (ABCD) = (ABC) AC BD = (ABD) AD BC Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
10 Divisione armonica Definizione Una divisione (A,B,C,D) è detta armonica se AC CB = AD DB ossia se C e D dividono il segmento AB, internamente ed esternamente, nello stesso rapporto. A C B D Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
11 Divisione armonica Definizione Una divisione (A,B,C,D) è detta armonica se AC CB = AD DB ossia se C e D dividono il segmento AB, internamente ed esternamente, nello stesso rapporto. A C B D In tal caso diciamo che il punto C è armonico coniugato di D rispetto ad AB e scriviamo: (AB,CD) = 1 (ABCD) = 1 Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
12 Proprietà della divisione armonica Illustriamo le principali proprietà della divisione armonica: Simmetria Se C e D dividono armonicamente AB, allora A e B dividono armonicamente CD. Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
13 Proprietà della divisione armonica Illustriamo le principali proprietà della divisione armonica: Simmetria Se C e D dividono armonicamente AB, allora A e B dividono armonicamente CD. Dimostrazione. Se (AB, CD) = 1, allora AC CB = AD DB quindi (CD,AB) = 1. CA AD = CB BD Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
14 Proprietà della divisione armonica Il termine armonico deriva dalla sguente proprietà: Relazione di Cartesio (A,B,C,D) è una divisione armonica se e solo se 2 AB = 1 AC + 1 AD (1) I segmenti AC, AB, AD sono pertanto in progressione armonica in quanto i loro reciproci sono in progressione aritmetica. Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
15 Proprietà della divisione armonica Il termine armonico deriva dalla sguente proprietà: Relazione di Cartesio (A,B,C,D) è una divisione armonica se e solo se 2 AB = 1 AC + 1 AD (1) I segmenti AC, AB, AD sono pertanto in progressione armonica in quanto i loro reciproci sono in progressione aritmetica. Suggerimento: Fissare un sistema di ascisse con origine nel punto A. Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
16 Proprietà della divisione armonica Relazione di Newton Se A,B,C,D sono quattro punti allineati ed M è il punto medio di CD allora (A,B,C,D) è una divisione armonica se e solo se MA MB = MC 2 Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
17 Proprietà della divisione armonica Relazione di Newton Se A,B,C,D sono quattro punti allineati ed M è il punto medio di CD allora (A,B,C,D) è una divisione armonica se e solo se MA MB = MC 2 Suggerimento: Fissare un sistema di ascisse con origine nel punto M. Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
18 Proprietà della divisione armonica Relazione di MacLaurin Se A,B,C,D sono quattro punti allineati ed N è il punto medio di AB allora (A,B,C,D) è una divisione armonica se e solo se CA CB = CD CN Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
19 Proprietà della divisione armonica Relazione di MacLaurin Se A,B,C,D sono quattro punti allineati ed N è il punto medio di AB allora (A,B,C,D) è una divisione armonica se e solo se CA CB = CD CN Suggerimento: Fissare un sistema di ascisse con origine nel punto C. Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
20 Problema 1 Sia ABCD un quadrilatero convesso inscritto in un cerchio γ, sia E = AB CD, sia F γ con DF AB, sia G = γ EF, sia M = AB CG. Dimostrare che 1 EM = 1 EA + 1 EB C D E G F M A B Suggerimento: Detto L il simmetrico di E rispetto ad M, provare che (E,L,A,B) è una divisione armonica di AB. Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
21 Divisioni armoniche notevoli Bisettrici di un triangolo Sia ABC un triangolo (con AB AC) e siano D, E le tracce delle bisettrici interna ed esterna dell angolo A sul lato BC. La quaterna (B,C,D,E) è una divisione armonica della retta BC. A B D C E Suggerimento: Basta applicare il teorema della bisettrice interna (ed esterna). Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
22 Divisioni armoniche notevoli Incentro ed A-excentro Sia ABC un triangolo, siano I e I a l incentro e l excentro relativo al vertice A, sia D = AI BC. La quaterna (A,D,I,I a ) è una divisione armonica della retta AI. C I D I a A B Suggerimento: Utilizzare la similitudine. Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
23 Divisioni armoniche notevoli Excentri Sia ABC un triangolo, siano I b e I c gli excentri relativi ai vertici B, C e sia E = I b I c C. La quaterna (E,A,I c,i b ) è una divisione armonica della retta I b I c. A I b I c E B C Suggerimento: Utilizzare la similitudine. Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
24 Divisioni armoniche notevoli Ceviane Sia ABC un triangolo e sia P un punto non appertenente ai lati AB, BC, CA. Siano X = AP BC, Y = BP CA, Z = CP AB, X 1 = BC YZ. La quaterna (B,C,X,X 1 ) è una divisione armonica della retta BC. A Z Q Y P B X C X 1 Suggerimento: Utilizzare il teorema di Ceva e il teorema di Menelao. Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
25 Problema 2 Sia ABC un triangolo, sia M il punto medio di BC e siano D, E, F i piedi delle altezze relative ai lati BC, CA, AB. Se H è l ortocentro di ABC ed L = EF BC dimostrare che AM LH. A F E H L B D M C Suggerimento: Usare il fatto che che (L,D,B,C) è una divisione armonica di BC. Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
26 Divisioni armoniche notevoli Simmediana Sia ABC un triangolo, sia γ la sua circonferenza circonscritta, sia S l intersezione della simmediana uscente da A con BC e sia T intersezione della tangente in A ad γ con BC. La quaterna (T,S,B,C) è una divisione armonica della retta BC. A T B S C Suggerimento: Utilizzare la nota relazione BS SC = c2 b 2. Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
27 Divisioni armoniche notevoli Cerchi ortogonali Se due cerchi ortogonali sono tagliati da una retta passante per il centro di uno di essi, i quattro punti di intersezione formano una divisione armonica (A,B,C,D). P A O C B D Suggerimento: Utilizzare il teorema della tangente e della secante e la relazione di Newton. Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
28 Divisioni armoniche notevoli Trapezio Sia ABCD un trapezio, siano M e N i punti medi di AB e CD rispettivamente, siano I = AC BD, J = AD BC. La quaterna (M,N,I,J) è una divisione armonica della retta MN. J D N C I A M B Suggerimento: Dimostrare dapprima che M, N, I, J sono allineati e poi usare la similitudine. Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
29 Divisioni armoniche notevoli Centri di omotetia Consideriamo due cerchi C i = C(C i,r i ), (i = 1,2), con r 1 r 2 ed indicihiamo con E, I i centri di omotetia interno ed esterno rispettivamente. La quaterna (C 1,C 2,I,E) è una divisione armonica della retta C 1 C 2. C 1 C 2 E I Suggerimento: Utilizzare la similitudine. Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
30 Divisioni armoniche notevoli Polare Sia AB una corda di un cerchio γ di centro O (con O / AB). Sia P il punto di intersezione delle tangenti ad γ in A,B rispettivamente. Sia d una retta passante per P che inteseca γ in X, Y (con X più vicino a P) ed AB in Q. La quaterna (P,Q,X,Y) è una divisione armonica della retta d. d Y B Q X P O A Suggerimento: Utilizzare la similitudine. Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
31 Problema 3 Sia ABC un triangolo e siano P,Q i punti di contatto delle tangenti condotte da A alla circonferenza γ di diametro BC. Dimostrare che l ortocentro di ABC appartiene alla retta P Q. A Q P H B D M C Suggerimento: Indicati con X, Y i punti di intersezione della retta AH con γ dimostrare che (A,H,X,Y) è una divisione armonica di AH ed usare la caratterizzazione della polare. Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
32 Caratterizzazione della divisione armonica Teorema Sia (A,B,C,D) una divisione della retta d, sia C AB e sia P / d. Allora se due delle seguenti proposizioni sono vere, anche la terza è vera. 1 la divisione (A,B,C,D) è armonica; P A C B D Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
33 Caratterizzazione della divisione armonica Teorema Sia (A,B,C,D) una divisione della retta d, sia C AB e sia P / d. Allora se due delle seguenti proposizioni sono vere, anche la terza è vera. 1 la divisione (A,B,C,D) è armonica; 2 PC PD; P A C B D Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
34 Caratterizzazione della divisione armonica Teorema Sia (A,B,C,D) una divisione della retta d, sia C AB e sia P / d. Allora se due delle seguenti proposizioni sono vere, anche la terza è vera. 1 la divisione (A,B,C,D) è armonica; 2 PC PD; 3 APC = CPB. P A C B D Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
35 Problema 5 Sia ABC un triangolo, sia D BC (con C BD) tale che CA = CD, sia P (P C) il punto di intersezione del cerchio di diametro BC e del cerchio (ACD). Dimostrare che i punti D, E = BP AC e F = CP AB sono allineati. A F E P B C D Suggerimento: Detto T = AP BC, dimostrare che (B,C,T,D) una divisione armonica di BC,... Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
36 Problema 6 Sia γ una semicirconferenza di diametro AB, sia P AB (con A PB). Una retta passante per P interseca γ in X, Y e sia T γ tale che PT è tangente a γ. Indicata con D la proiezione di T su AB, dimostrare che TDX = TDY. T Y X P A D O B Suggerimento: Detto Z = XY TD, dimostrare che (P,Z,X,Y) è una divisione armonica di X,... Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
37 Fasci armonici Definizione Si chiama fascio armonico un insieme di quattro rette condotte da un punto O ai quattro punti di una divisione armonica (A,B,C,D). Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
38 Fasci armonici Definizione Si chiama fascio armonico un insieme di quattro rette condotte da un punto O ai quattro punti di una divisione armonica (A,B,C,D). Il punto O si chiama centro e le rette a = OA, b = OB, c = OC, d = OD si chiamano raggi. Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
39 Fasci armonici Definizione Si chiama fascio armonico un insieme di quattro rette condotte da un punto O ai quattro punti di una divisione armonica (A,B,C,D). Il punto O si chiama centro e le rette a = OA, b = OB, c = OC, d = OD si chiamano raggi. Il fascio si indica con O(A,B,C,D) oppure O(a,b,c,d). Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
40 Fasci armonici Definizione Si chiama fascio armonico un insieme di quattro rette condotte da un punto O ai quattro punti di una divisione armonica (A,B,C,D). Il punto O si chiama centro e le rette a = OA, b = OB, c = OC, d = OD si chiamano raggi. Il fascio si indica con O(A,B,C,D) oppure O(a,b,c,d). Due rette del fascio passanti per punti armonici coniugati, si dicono rette coniugate. Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
41 Teorema fondamentale dei fasci armonici Invarianza per proiezione centrale. Teorema Un fascio armonico determina una divisione armonica su qualunque retta secante i quattro raggi del fascio. O t' A' B' C' D' (ABCD) = (A B C D ) = 1 C D t A B c d a b Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
42 Problema 7 Sia ABC un triangolo scaleno e sia D AC tale che BD è la bisettrice di ABC. Siano E ed F i piedi delle perpendicolari tracciate rispettivamente da A e da C sulla retta BD e sia M BC tale che DM BC. Dimostrare che EMD = DMF. A F D E B M C Suggerimento: Detta D la traccia della bisettrice esterna di ABC sul lato AC, osservare che la divisione (D,D,A,C) è armonica... Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
43 Problema 8 Sia ABC un triangolo, sia D il piede della perpendicolare tracciata da A su BC e sia L AD. Se U = BL AC, V = CL AB dimostare che ADU = ADV. A U V L B D C Suggerimento: Detti T = BC UV, S = UV AD dimostrare che (T,S,V,U) è una divisione armonica della retta UV,... Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
44 Caratterizzazione dei fasci armonici Teorema Sia dato un fascio di quattro rette concorrenti tagliato da una retta e parallela ad una di esse. Tale fascio è armonico se e solo se la retta e forma con le altre tre rette del fascio due segmenti congruenti. O d E R F e a b c Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
45 Problema 13 Sia P un punto della bisettrice dell angolo BAC del triangolo ABC. Siano A, B, C i piedi delle perpendicolari tracciate da P ai lati BC, CA, AB rispettivamente. Dimostrare che l intersezione di PA con B C appartiene alla mediana AM, dove M è il punto medio di BC. (Spagna NMO, 2010) A D B' C' P B A' M C Suggerimento: Sia d la parallela a BC passante per A, e siano D = B C PA, F = B C D. Osservare che (C,B,D,F) è una divisione armonica della retta B C,... Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
46 Problema 14 Sia S il punto di intersezione delle tangenti a un cerchio (O) nei punti B, C; sia A il punto diametralmente opposto a B, sia D il piede della perpendicolare condotta da C su AB e sia M = AS CD. Dimostrare che MC = MD. S C M I A D O B Suggerimento: Detto I = BC SA osservare che (A,I,M,S) è una divisione armonica della retta AS,... Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
47 In memoriam Conferenza dedicata alla memoria del caro amico e impareggiabile maestro Italo D Ignazio, scomparso il 19 settembre Ercole Suppa Incontri Olimpici - Cetraro, ottobre / 32
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