Statistica. Lezioni : 15, 16. Probabilità

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1 Corsi di Laurea: a.a Diritto per le Imprese e le istituzioni Scienze Internazionali dello Sviluppo e della Cooperazione Statistica Probabilità Lezioni : 15, 16 1

2 Contenuti Probabilità condizionata Indipendenza tra eventi Il teorema di Bayes 2

3 Esempio introduttivo alla probabilità condizionata Un lunedì mattina, incontrando alcuni colleghi al bar durante la pausa caffè, scopro di avere in tasca il biglietto del gioco del Lotto che testimonia una puntata da 1000 euro sul numero 53, effettuata il sabato precedente, quale primo estratto sulla ruota di Venezia. Poiche l estrazione è già avvenuta io certamente appartengo, in modo definito ormai, o alla categoria dei perdenti (ho buttato al vento mille euro) o a quella dei vincenti (presto incassero` euro). Tuttavia ignoro, al momento, a quale delle due categorie appartengo ed il biglietto della giocata che mi ritrovo in mano. Così come era nel momento in cui ho giocato, la probabilità di vincita è 1/90. Poiché l esperimento casuale è già avvenuto può accadere caso 1: che uno dei colleghi al mio fianco dichiari di ricordare bene che il primo estratto sulla ruota di Venezia sia un numero dispari. Questa notizia modifica le mie apettative di vincita e questo fatto fa di certo aumentare ai miei occhi il valore venale del biglietto in mio possesso. Sapendo che l evento B = il numero estratto è dispari si è verificato, la probabilità che attribuisco alla vincita è maggiore di 1/90. caso 2: lo stesso collega dichiari di ricordare che il primo estratto sulla ruota di Venezia sia un numero minore di 5. Evidentemente questa diversa notizia modifica in modo ancora più stravolgente le mie aspettative di vincita, nel senso che ai miei occhi il valore venale del biglietto scende al di sotto di un soldo bucato. Anche in questo caso, la conoscenza che si è verificato l evento B = il numero estratto e` minore di 5 modifica ai miei occhi la probabilità dell evento A = {53}. 3

4 La probabilità condizionata In entrambi i casi descritti la misura di probabilità P si rivela del tutto inadatta a descrivere la situazione reale. Per poter gestire situazioni di incertezza come quelle descritte nell esempio precedente, occorre introdurre una nuova misura di probabilità, che ci consenta di determinare la probabilità di un qualsiasi evento A nel caso in cui si possegga l informazione certa che un secondo evento B si sia verificato. Tale misura di probabilità viene detta probabilità condizionata ed è così definita: 4

5 Esempio di calcolo della probabilità condizionata Un rappresentante di utensili per macchine a controllo numerico ha 4 appuntamenti ogni mattina, ciascuno di essi potrà concludersi con un contratto di vendita o con un nulla di fatto. Pensiamo alle sue visite come a un esperimento casuale con insieme dei possibili esiti formato dai 16 eventi elementari che schematizziamo con le sequenze di 4 simboli, V =vendita e N =non vendita. S B A Ipotizzando che i suoi quattro clienti abbiano la stessa propensione all acquisto è lecito attribuire a ciascuna sequenza la stessa probabilità e decidere di operare nello spazio equiprobabile. Al termine del primo appuntamento di oggi il rappresentante è interessato a conoscere la probabilità di avere, a fine mattina, almeno tre ordinativi di vendita. (evento A) Poiché il primo cliente ha acquistato (evento B) egli dovrà operare con la probabilità condizionata P(A B) = P(A B) P(B) = 4 /16 8/16 = 1 2 = 0.5 All inizio della mattina, in assenza cioè dell informazione sul primo cliente, il rappresentante avrebbe previsto una mattinata di lavoro meno proficua valutando P(A) = 5/16 =

6 Proprietà della probabilità condizionata dati due eventi A, B entrambi a probabilità non nulla, tra le probabilità condizionate sussiste la relazione delle probabilità composte P(A B) = P(A B)P(B) = P(B A)P(A) Dalla quale si ricava un importante relazione tra le probabilità condizionate di due eventi che consente di determinare la probabilità condizionata di A dato B conoscendo la probabilità condizionata di B dato A., infatti si ha: P(A B) = P(B A)P(A) P(B) 6

7 Esempio di utilizzo delle proprietà della probabilità condizionate In un ufficio contabile in cui operano due addetti, Rag. Marco e Dott.ssa Rita, un revisore dei conti estrae casualmente una pratica da quelle emesse nel mese di gennaio. Si supponga che la conoscenza dell operato dell ufficio consenta di affermare che il tasso di violazione procedurale delle pratiche emesse dai due addetti è del 0.15% e che la Dott.ssa Rita emette il 70% delle pratiche con un tasso di violazione procedurale dello 0.2%. Si vuole determinare la probabilità che avendo estratto una pratica errata questa sia stata emessa dalla Dott.ssa Rita. Definiti i due eventi: A={la pratica è stata emessa da Rita} B={la pratica presenta violazioni procedurali} traduciamo i dati del problema in termini di probabilità P(A) = 0.7 P(B) = P(B A) = valutiamo la probabilità di A condizionato a B con la proprietà precedente P(A B) = P(B A)P(A) P(B) = = Avendo estratto una pratica che presenta violazione procedurale, potremmo attenderci con una certezza del 93.3% che essa sia stati emessa dalla Dott.ssa Rita. 7

8 Contenuti Probabilità condizionata Indipendenza tra eventi Il teorema di Bayes 8

9 Introduzione al concetto di indipendenza tra eventi Il concetto di probabilità condizionata, oltre che consentire la soluzione di problemi nei quali l esito dell esperimento è parzialmente noto, può essere di grande utilità nel determinare particolari relazioni tra due eventi. Confrontando la probabilità dell evento A con quella di A condizionato all evento B sarà possibile determinare se l informazione parziale circa l esito dell esperimento influisca sulla probabilità dell evento di interesse A facendone aumentare o diminuire la probabilità. ESEMPIO: consideriamo l estrazione del Lotto sulla ruota di Torino e definiti gli eventi A={il primo estratto è minore o uguale a 10} C={il primo estratto è maggiore di 20} B={il primo estratto è minore o uguale a 20} D={il primo estratto è pari} P(A B) = P(A B) P(B) = 10/90 20/90 = 1 2 > P(A) = 1 9 l evento B ha influenza sull evento A nel senso che sapendo che B si è verificato la probabilità di A muta crescendo; P(A C) = P(A C) P(C) = P( ) P(C) = 0 < P(A) = 1 9 l evento C ha influenza sull evento A nel senso che sapendo che C si è verificato la probabilità di A muta e diventa nulla; P(A D) = P(A D) P(D) = 5 / / 90 = 1 9 = P(A) = 1 9 l evento D non ha influenza sull evento A nel senso che sapendo che D si è verificato la probabilità di A non muta. 9

10 Indipendenza tra eventi Def.: due eventi A e B sono INDIPENDENTI se la probabilità di A condizionato a B è uguale alla probabilità di A, in simboli: se P(A B) = P(A) A e B indipendenti Se A e B sono indipendenti significa che la conoscenza del fatto che B si sia verificato non modifica la probabilità del verificarsi di A Una proprietà, utile ai fini pratici della verifica di indipendenza stocastica, derivante direttamente dalla definizione è la seguente: Prop.: due eventi A, B sono indipendenti se e soltanto se la probabilità della loro intersezione è uguale al prodotto delle loro rispettive probabilità, in simboli: A e B indipendenti P(A B) = P(A) P(B) 10

11 Esempio di eventi indipendenti Riprendiamo l esempio del rappresentante di utensili per macchine a controllo numerico S Definiamo gli eventi: A={la seconda visita dà luogo ad una vendita} B={la prima visita dà luogo ad una vendita} B A Con l intento di verificare l indipendenza tra questi due eventi confrontiamo P(A) = 8/16 = 0.5 con la probabilità condizionata P(A B) = P(A B) P(B) = 4 /16 8 /16 = 1 2 = 0.5 = P(A) possiamo concludere che l informazione circa l esito della prima visita non induce a modificare la probabilità di vendita per la seconda visita Usando la proprietà giungiamo alla stessa conclusione: P(A B) = 4 /16 = 0.25, P(B) = 8 /16 = 0.5, P(A) = 8/16 = 0.5 P(A B) = 0.25 = P(B) P(A) = =

12 Schema riassuntivo delle possibili relazioni tra eventi 12

13 Contenuti Probabilità condizionata Indipendenza tra eventi Il teorema di Bayes 13

14 Il Teorema di Bayes Come accennato in precedenza in certi casi è possibile esprimere una probabilità condizionata in funzione della probabilità condizionata in senso inverso. Tali casi sono generalmente tutti quelli che soddisfano il Teorema di Bayes Teorema: Dati gli eventi A1, A2,..., An costituenti una partizione dell insieme dei possibili esiti e dato un qualsiasi evento B, qualunque sia l evento Ai (con i = 1,...n), si ha: P(A i B) = P(B A i) P(A i ) n j =1 P(B A j ) P(A j ) Se ad esempio n=3 la tesi è: P(A 1 B) = P(B A 1 ) P(A 1 ) P(B A 1 ) P(A 1 ) + P(B A 2 ) P(A 2 ) + P(B A 3 ) P(A 3 ) Le ipotesi del teorema 14

15 Esempio del Teorema di Bayes Un commercialista del Collegio Sindacale di un azienda di produzione nell effettuare una circolarizzazione invia la lettera di controllo ai fornitori suddivisi in tre categorie (piccoli, medi e grandi) basandosi sull ammontare del loro fatturato annuo. Sapendo che il 40% sono piccoli fornitori la cui risposta perverrà al 60%, che il 40% sono medi fornitori la cui risposta perverrà al 20% e che la risposta dei grandi fornitori perviene al 10%, il sindaco è interessato a conoscere la probabilità che la risposta ottenuta pervenga da un grande fornitore. Definiti gli eventi: P= {il ricevente è un piccolo fornitore} M = {il ricevente è un medio fornitore} G = {il ricevente è un grande fornitore} R = {il ricevente risponde} Il problema consiste nel determinare la P(P R) sapendo che: P M G R P(G R) = P(R G) P(G) P(R G) P(G) + P(R P) P(P) + P(R M) P(M) = =

16 Osservazione A ben vedere, l espressione ottenuta a denominatore della formula di Bayes per la probibilità di un evento B ha valenza propria e costituisce la tesi del teorema delle probabilità totali Dati gli eventi A1,..., An costituenti una partizione di S e un qualsiasi evento B si ha n P(B) = P(B A j ) P(A j ) j =1 Nell esempio precedente alla domanda: quale è la probabilità di ottenere risposta per una lettera di circolarizzazione inviata a un fornitore scelto a caso? Si risponderà semplicemente valutando la probabilità dell evento R: P(R) = P(R G) P(G) + P(R P) P(P) + P(R M) P(M) = =

17 Concetti Introdotti Probabilità condizionata Relazioni tra probabilità condizionate Inidpendenza tra eventi Il teorema di Bayes Il teorema delle probabilità totali 17