Aldo Bonet Radici mesopotamiche nel Podismus ( parte prima) Giugno 2015

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1 ALDO BONET 1 RADICI MESOPOTAMICHE NEL PODISMVS (parte prima) Problemi n 2 e n 3 del Podismus. 1. Introduzione. Nel precedente lavoro: L arcaico Diagramma dei Gromatici veteres https://www.academia.edu/ /l_arcaico_diagramma_dei_gromatici_veteres Avevo catalogato un nuovo mosaico romano presente nella Basilica Patriarcale di Aquileia (UD) che fu costruita inizialmente sopra le rovine di una Domus romana del I sec. d.c. e, nella quale, si trova un nuovo tipo di Diagramma a modulo quadrato che ho inserito nella mia lista delle località italiane di epoca romana che conservano questo motivo geometrico. Inoltre, avevo trovato due corretti algoritmi algebrici per la risoluzione di due problemi contenuti in un manoscritto medievale denominato Podismus, una copia di algebra geometrica romana facente parte degli Excerpta Agrimensorum Romanorum - trovando così una prima conferma alle mie supposizioni sulla probabile conoscenza algebrica dell arcaico Diagramma di argilla anche da parte degli antichi agrimensori romani e dove, i miei studi, lo ipotizzano come archetipo delle origini del pensiero algebrico geometrico prescientifico. Nel presente lavoro invece, composto in quattro parti o articoli, comproverò come gli esatti algoritmi risolutivi dei problemi n 2 e n 3 del Podismus, hanno indubbiamente un origine mesopotamica giacché, rispecchiano perfettamente, sia nei testi sia negli algoritmi, quelli babilonesi rinvenuti e affondano le loro radici matematiche, in modo evidente sia nel problema - Tav. Db ( che esamineremo nella terza parte) sia in quelli presenti nella Tav. BM del periodo Seleucida, in particolare nei problemi n 9 n 10 n 15 che esamineremo nella quarta e ultima parte. Questi problemi, furono tutti abilmente risolti poiché erano ancorati all arcaico Diagramma di argilla a modulo quadrato di origine Sumera. In modo analogo, comproverò la stessa origine mesopotamica per i tre problemi del Papiro greco di Ginevra 259 che esamineremo nella seconda parte. Con questi quattro articoli, andrò così a rafforzare la mia prima conferma dimostrativa con un altra dimostrazione omogenea che ci farà vedere come gli algoritmi di tutti questi problemi (romani, greci e mesopotamici) menzionati, sono legati tra loro dall unica e arcaica macchina algebrica: Il Diagramma di argilla a modulo quadrato. Fig. 1: Una base del Diagramma di argilla a modulo quadrato. 1 Ricercatore autodidatta sulle origini del pensiero scientifico. Aldo Bonet Pagina 1 di 20

2 2. EXCERPTA AGRIMENSORUM ROMANORUM. Gli Excerpta Agrimensorum Romanorum si trovano anche in una copia trascritta a mano e conservata nella Biblioteca della Borghesia di Berna (Svizzera) catalogata come Codice 87, è un manoscritto su pergamena del Giugno del 1004 ad opera di un monaco medievale di nome Costantius, il quale, apparteneva al monastero francese di San Pietro di Luxeuil. Visita virtuale del manoscritto Cod.87: Costituiva probabilmente con l Aratea (Codice 88) un unico manoscritto che fu donato dal vescovo Werner I d Asburgo al Duomo di Starburgo. Gli Excerpta Agrimensorum Romanorum contengono principalmente, sia il Podismus, sia l Epaphrodite et de Vitruvius Rufus, sia il De iugeribus metiundis, sia L Expositio et ratio omnium formarum di Balbus. In Fig. 2, si vede una parte del foglio 9 - v del manoscritto in latino (Codice 87) 1 del Liber Podismi (Podismus) nel quale ho incorniciato i due problemi di algebra geometrica, che saranno oggetto di studio nel presente articolo ( prima parte) e nell intero lavoro. Vedere anche Tavola A in Appendice. Fig. 2 : Bibliothèque de la Bourgeoisie de Berne, Cod. 87, f. 9v Questi quattro estratti (Excerpta) del Corpus Agrimensorum Romanorum, formavano la base di un manuale di geometria e algebra-geometrica indirizzato essenzialmente all istruzione teorica degli antichi geometri della Roma imperiale. Fortunatamente, questo manuale è sopravvissuto grazie al fatto che, fu trascritto nei vari monasteri dell Europa Medioevale nel corso dei secoli bui, venuti subito dopo il declino dell Impero Romano d Occidente. Lo stesso si è verificato per l intero Corpus, l antesignano dell attuale: Manuale tecnico del Geometra e del Perito agrario rivolto agli Istituti Tecnici per Geometri, Periti agrari, Periti edili. Se nel Medioevo, intere generazioni di monaci si sono dedicate, per molti secoli, a trascrivere ripetutamente con interesse e devozione 2 il Corpus Agrimensorum Romanorum, credo che questo evento storico dovrebbe farci riflettere sulla sua importanza. 1 La segreteria della Biblioteca della Borghesia di Berna mi ha accordato l utilizzo dell immagine Codice 87. Norme per l uso: Presso la stessa Biblioteca della Borghesia di Berna è altresì conservato il Codice 299 identico per contenuto al Codice Non credo, come ritiene O.A.W. Dilke a pag Gli Agrimensori di Roma Antica, che probabilmente i monaci medievali si sono dedicati nei secoli a copiare il Corpus per una specifica citazione dell autore Hyginus Gromaticus ( d.c.), il quale, nel suo manoscritto- De Limitibus Cosituendis- riteneva la centuriazione romana di origini divine. Semmai, è più verosimile che, Hyginus Gromaticus sia stato rapito da trasporto lirico o spinto da eccesiva enfasi religiosa: Blume F. - Lachmann K.e Rudorff A. (1848) - pag.166- Gromatici Veteres. Berlino. Invece, sono in accordo con J.Y.Guillaumin, quando scrive nell introduzione - un manuale di base e un autore venerato - a pag. 9 - nel suo libro - Balbus- Présentation Systématique de Toutes les Figures Podismus et Textes Connexestraduco in italiano: «Se un testo fosse ritenuto puramente e semplicemente inutile, non sarebbe mai trascritto per essere trasmesso a tutti. Le prime pagine di Balbus si ritrovano nei numerosi manoscritti e si distinguono ancora nelle raccolte più tardive del Corpus Agrimensorum» Aldo Bonet Pagina 2 di 20

3 Il contenuto degli Excerpta Agrimensorum Romanorum ricalca principalmente: la Metrica di Erone, la Geometrica pseudo-eroniana, la Geometria pseudo-boeziana e frammentari richiami degli Elementi di Euclide. Questi Excerpta, come sappiamo, destinati all istruzione teorica dei Gromatici veteres, testimoniano un antica strada collegata a un intero Corpus ricco di trattati tecnico pratici molto importanti, finalizzati all Agrimensura. Il Corpus, seppur più volte copiato nei monasteri medievali con continui rimaneggiamenti 3, rappresenta nel suo insieme, un interessante documento storico di collegamento tra le più antiche culture Mesopotamiche, Egizie, Greche, Etrusche e quella della Roma Imperiale. L opera amanuense e caparbia dei monaci medievali, dopo la caduta dell Impero Romano, non fu cosa da poco! Quest opera provvidenziale e lungimirante che si svolse nei monasteri medievali europei, mantenne viva, nei secoli bui d invasioni, saccheggi e barbarie, la fiammella letteraria e di conseguenza quella delle antiche lingue: greca e latina. I monaci, con la conoscenza delle lingue antiche, mantennero accesi per tutto il Medioevo, i lumi di una parte delle conoscenze greche e romane delle origini. L opera perseverante dei monaci medievali contribuì alla nascita del Sacro Romano Impero e stimolò in seguito un importantissima crociata pioneristica, compiuta dai primi traduttori latini dell Europa pre-rinascimentale, con lo scopo di rimpadronirsi di tutti quei testi greci e indo - arabi che contenevano i più antichi saperi, fortunatamente accresciutisi e sopravvissuti nella Spagna islamica. L intero Corpus Agrimensorum Romanorum, per quanto anzidetto, meriterebbe uno studio approfondito e una completa traduzione fruibile anche in lingua italiana, giusto per inserirlo in una migliore e maggiore consultazione nelle nostre Biblioteche nazionali. Fig. 3: Scriba Egizio con il Diagramma di argilla di origine Sumera. Per contatti: 3 O.A.W. Dilke, Cap.9, pag. 61: Nel periodo che segue la caduta dell Impero Romano e nel Medioevo, alcuni dei manuali andarono perduti, mentre altri continuarono ad essere copiati. I monaci hanno sì conservato, trascrivendolo, il materiale sull Agrimensura ma, nonostante i loro sforzi, in molti casi la forma originale è andata perduta. - tra le diverse cause, vi fu anche il fatto che il Corpus presentava un contenuto molto tecnico di non facile comprensione. A mio avviso, lo stesso è avvenuto per l originale forma dell arcaico Diagramma di argilla, il quale, si trovava ormai mascherato dentro algoritmi algebrici esposti in forma retorica e, i monaci medievali, non potendo comprendere bene su quali basi i suddetti procedimenti si svilupparono, poiché mancanti di supporto materiale o grafico dimostrativo, si limitarono quindi, a trascriverne il contenuto retorico. Scrive ancora Dilke: Possiamo reputarci fortunati di possedere questi manoscritti, che nel Rinascimento erano quasi la sola fonte d informazione sull antica Agrimensura. Aldo Bonet Pagina 3 di 20

4 3. L IMPORTANZA DEL MATTONE E DEL DIAGRAMMA DI ARGILLA NELLA STORIA. I mattoni da costruzione, dopo che furono inventati dall uomo mesopotamico (A.T. Genesi 11) e in seguito standardizzati in gran quantità, contribuirono non solo alla più grande rivoluzione edilizia di tutti i tempi, ma da quell arte edile primordiale, scaturì obbligatoriamente dalle leggi della statica e della posatura a secco, un diagramma in mattoni a modulo quadrato che diede impulso e forma al primordiale pensiero algebrico - geometrico prescientifico e a tutto lo sviluppo che ne seguì, vedere Fig. 4 e Tavole B - C in Appendice. A B C D = E Fig.4- Babilonesi intenti con progetti e problemi algebrici - geometrici, mediante mattoni. In Fig.4, le prime tre imbastiture del Diagramma di argilla, visibili a sinistra (A B C) e con quella in (B) utilizzata come base standard per tutte le altre (A-C-D), servivano rispettivamente a risolvere i problemi di 1 e di 2 grado e, indifferentemente sia quelli diretti ( x ± a = b. x 2 ± a x = c) che quelli con sistema: Le tassellature a destra (D = E) invece, servivano per la dimostrazione iniziale del loro teorema di Pitagora dell alta antichità: Il quadrato costruito sulla diagonale del mattone (D) è uguale all unione del quadrato costruito sul fianco più quello costruito sul fronte del mattone stesso (E). Senza la comparsa del mattone, senza la scoperta del diagramma di argilla, senza l avvento di quell arcaico pensiero algebrico nato in simbiosi contemplativa con i mattoni (Vedere Tav. D in Appendice), grazie agli artigiani-costruttori 5 mesopotamici che lo scoprirono come un gioco logico-enigmistico e, senza aver assimilato prima, una certa maturità con una vera consapevolezza dell uomo di poter sfidare e conquistare facilmente l incognito mediante una costante preparazione mentale algebrico - geometrica, sarebbe stata impossibile, se non addirittura impensabile, la realizzazione delle più grandi sfide e conquiste future dell umanità. 5 Anche nella matematica indiana dei mattoni, sia in quella della cultura Harappa (3000 a.c.), come in quella Vedica per la costruzione degli altari di fuoco, le istruzioni per la loro progettazione e realizzazione rituale erano affidate agli artigiani che avevano un ruolo basilare. - Gheverghese Joseph G. (2012). C era una volta un numero. Pagg Aldo Bonet Pagina 4 di 20

5 Utilizzato come una sorta di gioco logico-enigmistico (Vedere Tav. E in Appendice), questo Diagramma fatto di mattoni di argilla movimentabili e sovrapponibili, migliaia di anni dopo, anche i primi pionieri ellenici lo videro in funzione dentro le rinomate scuole degli scribi delle millenarie civiltà potamiche: Babilonesi, Egizi, Indiani e Cinesi. Fortunatamente, tra i primi pionieri ellenici, nel VI sec.a.c., vi fu anche Pitagora di Samo che andò a visitare la Mesopotamia, l India e l Egitto, con la missione di acquisire quel maggior sapere che le primordiali scuole dell Ellade, bisognose di conoscenze, ancora non disponevano. Pitagora, verosimilmente affascinato dalla semplicità e versatilità didattica di questa macchina matematica in mattoni di argilla, che sviluppava una notevole attrazione ricreativa verso gli apprendisti scribi, la introdusse in Patria, a Crotone, nella Magna Grecia. Nelle arcaiche civiltà potamiche, i maestri scribi non erano consapevoli che con il loro Diagramma di argilla stavano insegnando in realtà un algebra geometrica prescientifica di grande livello, anzi, a quell epoca, non sapevano nemmeno cosa fosse l algebra o la matematica e non facevano distinzione tra le varie materie scolastiche. Fu solo con le prime scuole e le prime accademie greche che iniziarono a differenziare e definire le varie discipline che servivano per l insegnamento scolastico. I maestri scribi delle civiltà potamiche compresero però, che il loro formidabile e giocoso strumento in mattoni gli consentiva di poter fornire una preparazione didattica più distensiva, attraente e quindi più efficace. Capirono che era uno strumento di valido ausilio per l esercizio al ragionamento logico, alla progettazione a secco mediante mattoni e inoltre, nell impiegarlo sistematicamente alla risoluzione di numerosi e svariati problemi, obbligava l apprendista scriba, a prendere confidenza con l uso complementare di: cordicelle per frazionare, calcoli con l abaco, regoli aritmetici, tavole dei quadrati, dei reciproci, dei cubi, delle costanti. Problemi sottoforma di molteplici difficoltà pratiche da affrontare e superare, gli apprendisti scolari li avrebbero certamente riscontrati nella vita in tutte quelle arti, mestieri tecnici e commerciali che erano ormai divenuti quotidianamente indispensabili nelle crescenti città-stato ma soprattutto, gli esercizi al ragionamento logico sviluppati dal Diagramma di argilla si dimostrarono utili per preparare l apprendista scriba a una futura e vitale funzione statale alla quale era preordinato: quella di funzionario amanuense, sia come ispettore tecnico sia come contabile amministrativo. Fig.5. Diagramma di argilla: fasi dimostrative della relazione tra la diagonale e i lati di un mattone rettangolare qualsiasi (il Teorema di Pitagora delle civiltà arcaiche). Il Diagramma di argilla, quasi a voler testimoniare la sua arcaica importanza storico-scientifica per l uomo, giace impresso sia nell arte musiva delle Domus romane del I/II sec. d.c. sia nella sua forma matematica più vera (Gruppo di simmetrie 442), nei pavimenti e negli infissi principeschi dell Alhambra di Granada in Andalusia 6, un gioiello di arte islamica nel sud della Spagna conosciuta anche col nome di: Medina della simmetria (Vedere Tav. F in Appendice). 6 Gli Europei medievali ricercarono in Spagna quel sapere orientale che fu poi importante per il Rinascimento. Aldo Bonet Pagina 5 di 20

6 4. L EREDITÀ DEGLI ANTICHI AGRIMENSORI ROMANI. Le nozioni matematiche geometriche topografiche e astronomiche degli agrimensori romani (denominati agrimensores, finitores o gromatici) provenivano essenzialmente dall Etruria, dalla Mesopotamia, dall Egitto e dalla Grecia. È un dato di fatto che, nei sopravvissuti documenti matematici delle millenarie civiltà potamiche (tavolette di argilla e papiri) non si trovano dimostrazioni rigorose, poiché furono una prerogativa dei Greci, ma spesso enunciazioni e soluzioni di problemi esposti in forma retorica, ottenute verosimilmente con l ausilio di strumenti matematici di supporto. Ciò non toglie che le scienze delle costruzioni e le nozioni algebriche geometriche avevano comunque raggiunto, nelle civiltà potamiche, un notevole livello. Nella Roma imperiale, gli agrimensori erano sia greci sia di ceppo italico. La matematica, era insegnata soprattutto da maestri di origine greca. I romani furono abili, nell aver fatto proprie le varie arti, tecniche e strumentazioni scientifiche sviluppate dai popoli assoggettati, preferendo quelle per i loro fini pratici; questa capacità pragmatica è uno dei tanti meriti che va riconosciuto agli antichi romani. L'arte di misurare la terra e di suddividerla (Agrimensura), fu una scienza strettamente interconnessa all origine, allo sviluppo delle prime civiltà comparse attorno alle coste e a oriente del mediterraneo e in ogni epoca, che accompagnò di pari passo, dentro un reciproco destino, il fiorire, l ascesa e il loro declino, così come la rinascita 7. L egocentrico espansionismo imperiale degli antichi romani, finì per adombrare queste civiltà assoggettate, per poi declinare lo stesso Impero Romano dalla storia ma, a dispetto di ciò, il sapere antico non si oscurò del tutto; fu salvaguardata una parte dell antico sapere e un altra proseguì, con altre civiltà, nella sua crescita culturale. L imponente civiltà romana lasciò la sua influente impronta ereditaria lungo tutta l area geografica dell impero con delle monumentali realizzazioni: nell arte militare, nell agrimensura, nella cartografia, nelle belle arti, nelle materie linguistiche, letterarie, giuridiche, politiche, amministrative e sociali, nello sviluppo urbanistico e nella scienza delle grandi opere edili e navali. Eppure, dopo il declino imperiale, le tracce culturali rischiarono di svanire del tutto. Se alcuni antichi saperi della Roma imperiale, per varie cause, scomparvero per sempre, fortunatamente (è bene ricordarlo ancora) altri si salvarono grazie alla saggezza dei monaci medievali incoraggiati anche da Papa Gregorio I Magno e poi dall opera restauratrice dell imperatore Carlo Magno, i quali ebbero rispettivamente l acume, chi di salvaguardare, chi di ristabilire la numerazione e la lingua latina classica 8. In un Impero Romano in declino e minato dalle invasioni barbariche, l opera dei monaci fu davvero miracolosa tanto che, alcuni rami di: letteratura, matematica, agrimensura e astronomia di epoca romana, furono trascritti per generazioni e così salvaguardati nei vari monasteri durante tutto il Medioevo Europeo in attesa di una loro rinascita, che avvenne profeticamente con il Rinascimento e sopravvissuti così, fino ai giorni nostri. Ebbene oggi, i frutti del ramo dell algebra-geometrica che esamineremo, sono due interessanti problemi contenuti nel Podismus, un estratto appunto, del Corpus Agrimensorum Romanorum. 7 Agrimensura Treccani: 8 Il latino della letteratura classica fu salvaguardato dalla Chiesa, che salvò letteralmente, specie nei monasteri, una parte del patrimonio letterario antico. Il latino medievale (il mediolatino ) del VII e VIII secolo, nonostante i più nobili sforzi di tutela linguistica, s imbarbarì ma, dopotutto, fu anche l unica lingua colta usata in tutta Europa, che in seguito venne in qualche modo ripristinata secondo parametri classici grazie soprattutto alla Rinascita carolingia, che chiamò gli ingegni migliori a sanare una cultura che per vari motivi sembrava ormai declinare verso una barbarie intollerabile. A tal fine, Carlo Magno, si era servito dei monaci benedettini i quali avevano salvaguardato la cultura dei classici tramite la ricopiatura dei testi antichi, non solo di quelli religiosi ma anche scientifici e letterari: le loro abbazie divennero così i centri del nuovo sapere medievale. Grazie all opera puntigliosa dei monaci e dei migliori letterati, che furono chiamati da Carlo Magno a restaurare la lingua di Roma, i risultati furono eccellenti, tanto che la lingua della Scolastica fu, a detta degli esperti, un operazione geniale Tratto da Wikiversità e Wikipedia. Aldo Bonet Pagina 6 di 20

7 5. IL PODISMVS Secondo J.Y. Guillaumin, il termine greco ποδισµόϛ, che è stato latinizzato in podismus non compare nella Metrica di Erone, ma soltanto nella letteratura pseudo-eroniana. L impressione che se ne ricava è che ποδισµόϛ e la serie di parole collegate sono più utilizzate, sotto la loro forma latinizzata, nei testi agrimensori romani che in quelli greci. Cronologicamente, per trovare il termine podismus, bisogna attendere dei testi come il Liber Coloniarum I di epoca costantiniana o testi più tardivi come il De iugeribus metiundis ma, senza dubbio, è la Geometria di Pseudo-Boezio che presenta un gran numero di volte il termine podismus con tutta la serie di parole connesse. Pertanto, pur con tutte le difficoltà cronologiche del caso, i primi testi che contengono il termine podismus, risalgono tra l epoca costantiniana e quella più tardiva che va da Teodorico il Grande alle imprese intellettuali di Simmaco, Boezio e Cassiodoro. Del Podismus però, non abbiamo il testo integrale ma, dopo due definizioni introduttive, una sulle tre dimensioni e l altra sui tre tipi di angoli, il testo elenca sette enunciati e procedimenti completi di problemi e un ottavo che s interrompe bruscamente a metà di una frase. Questa lacuna ha fatto pensare, ai primi studiosi, che il Podismus avesse una continuità con altri manoscritti omologhi presenti nel Corpus. J.Y. Guillaumin, presentò così, nel 1996, una novità rispetto alle edizioni degli autori precedenti. Dopo aver analizzato le caratteristiche del contenuto del Podismus con altri manoscritti affini del Corpus, lo inserisce dentro una continuità naturale con l Epaphrodite et de Vitruvius Rufus e il De iugeribus metiundis. Difatti, J.Y. Guillaumin, nel suo libro - Balbus- Présentation Systématique de Toutes les Figures Podismus et Textes Connexes- 1996, unisce il contenuto dei tre manoscritti in un unico trattato e dentro lo stesso ordine numerico naturale, partendo così a pag. 114, dal n 1, con il primo degli otto problemi del Podismus, per proseguire, al n 9, con il primo dei quarantacinque problemi dell estratto Epaphrodite et de Vitruvius Rufus e per concludere infine, a pag. 117, con il n 64, l ultimo degli undici problemi del De iugeribus metiundis. Mi limito a ripresentare i sintetici contenuti degli otto problemi elencati alla citata pag Podismus: 1. Triangolo ottusangolo, : sono dati 9,10,17 (lati del triangolo ottusangolo); calcolare l eiectura (il prolungamento della base) e la perpendicolare (l altezza sul prolungamento della base). 2. Triangolo rettangolo, : sono dati l ipotenusa = 25 e S = 150 (l area / embadum); calcolare i due lati adiacenti all angolo retto (cathetus e basis). 3. Triangolo rettangolo, : la somma dei due lati adiacenti all angolo retto è 23; S = 60 (l area / embadum); l ipotenusa = 17; calcolare i due lati adiacenti (cathetus e basis) all angolo retto (8 e 15). 4. Triangolo acutangolo, : i tre lati dati; calcolare l altezza (perpendicularis) e ciascuna delle praecisurae (le due parti rispettivamente di: 9 e 5 che compongono la base 14 e divise dall altezza). 5. Triangolo rettangolo, 3-4-5: piccolo lato = 3; da costruire sopra un numero dispari partendo dal lato di misura Triangolo rettangolo, : piccolo lato = 6; da costruire sopra un numero pari partendo dal lato di misura 6. Nota: Il testo non si esprime per il calcolo dell ipotenusa (che sarà pari a 10). 7. Dati i lati di un triangolo qualsiasi: calcolare la sua area. Nel testo: triangolo rettangolo, ; trovare la sua S = area / embadum. 8. Triangolo rettangolo: 7, ,5. Calcolare l altezza (perpendicularis) e le praecisurae (altezza = 6: fit VI. Erit perpendicularis. Vt quaeramus singulas praecisuras qui il testo s interrompe ). Aldo Bonet Pagina 7 di 20

8 Figure geometriche connesse rispettivamente agli otto problemi del Podismus. Fig. 6: l ordine numerico delle figure corrisponde a quello dei problemi elencati nel Podismus. Aldo Bonet Pagina 8 di 20

9 J.Y. Guillaumin, nel suo libro del 1996 citato in precedenza, i problemi n 2 e n 3 del Podismus li accomuna rispettivamente ai problemi n 26 e n 27 dell Epaphrodite et de Vitruvius Rufus ma solo dal punto di vista delle identiche misure date ai lati dei rispettivi triangoli. A mio parere, i problemi n 26 e n 27 dell Epaphrodite et de Vitruvius Rufus, sono più equiparabili, rispetto ai procedimenti risolutivi, con i problemi n 4, n 5, n 6 del Podismus. Anzi, volendo essere precisi, i problemi n 26 e n 29 contenuti nell Epaphrodite et de Vitruvius Rufus, se confrontati con il n 4 del Podismus, sono dei problemi con algoritmi paralleli o pressoché identici; peraltro, questi problemi con i medesimi algoritmi, li ritroviamo nella Geometria pseudo-boeziana e nella Geometrica pseudo-eroniana. Inoltre, questi tre problemi, trovano una certa affinità con il problema n 8 del Podismus. Nel presente articolo, tuttavia, mi ricollegherò principalmente ai problemi n 2 e n 3 del Podismus, che sono i soli, dell intero trattato o dei tre manoscritti congiunti, ad avere un procedimento particolare che si contraddistingue nettamente rispetto a tutti gli altri e che hanno come figura geometrica di riferimento il triangolo rettangolo. Questa singolarità, è una felice informazione storica lasciataci in eredità dal Corpus degli agrimensori romani, grazie ai monaci medievali, poiché questi due problemi del Podismus dimostrano una straordinaria radice mesopotamica per la loro inequivocabile parentela con gli algoritmi di alcuni problemi contenuti nelle tavolette cuneiformi rinvenute ma anche, una parentela di origini mesopotamiche che passa attraverso tre problemi contenuti nel Papiro greco di Ginevra n 259 che andrò a comparare tra tutti loro, partendo prima dai problemi n 3 e n 2 del Podismus, che ripresento qui di seguito con mie aggiunte esplicative in parentesi tonde 9 : 6. I PROBLEMI N 3 e N 2 DEL PODISMVS PODISMVS - problema n 3 (Fig. 7). Testo e Dati noti: Sia dato un triangolo rettangolo la cui, somma del cateto e base, in tutto fa 23 piedi - l area è di 60 piedi (quadrati) e l ipotenusa è di 17 piedi, si possono determinare cateto e base come segue - Procedimento: Si fa il quadrato dell ipotenusa ( 17 x 17). Fa 289. Da questo si sottrae quattro volte l area (4 x 60); e fa 240. Il rimanente ( ) è di 49 (piedi quadrati). Prendiamone la radice quadrata che è 7. Sommiamola al cateto e base, cioè ai 23 piedi (23 + 7). Fa 30 piedi. Prendiamo la metà. Fa 15 piedi. Questa sarà la base e di conseguenza il cateto sarà di 8 piedi ( 23-15). Fig. 7 Copia del testo originale del problema n 3 del Podismus in lingua latina: PODISMVS: problema n 3 - (Fig. 7). Si datum fuerit trigonum orthogonium et dati fuerint cathetus et basis in se, ped. XXIII, embadum huius trigoni, ped. LX, et hypotenusa, ped. XVII, dicere cathetum et basim separatim. S.Q. Facio hypotenusae numerum in se: fit CCLXXXVIIII; hine tollo IIII embada, quod fit CCXL; reliquum XLVIIII; huius semper sumo latus, fit VII; hoc semper adicio ad duas iunctas, id est ad XXIII: fiunt ped. XXX. Huius semper sumo dimidiam, fit XV: erit basis eiusdem trigoni. De duabus iunctis, id est de XXIII, tollo ped. XV: reliqui ped. VIII; erit cathetus. 9 Giustamente il Dilke, nel suo libro Gli agrimensori di Roma antica - al Cap.4- pag. 24 sottolinea il carattere puramente algebrico o teorico - accademico di questi due problemi (n 2 e n 3) contenuti nel Podismus, che sembrano contrastare con la natura prevalentemente tecnico pratica dell intero Corpus Agrimensorum Romanorum, tanto che, il Podismus (assieme ad altri Excerpta ) appare distinguersi più come un manuale didattico di algebra - geometrica. Aldo Bonet Pagina 9 di 20

10 Traduzione algebrica del problema n 3 del Podismus, Fig.7 : Cateto = b, Base = a ; Ipotenusa = d. (a +b) = 23; ½ ( a b) = 60 ; d = 17; a =?, b =? L Autore del Podismus applica il seguente algoritmo per trovare il valore di ( a b): d d = d 2 = 289; d 2 = 4[½ ( a b) ] + ( a - b) 2 ; d 2-4[½ (a b) ] = ( a - b) 2 = 49; ( a - b) 2 = a b = 7; ½ [(a + b) + (a - b)] = a = 15 ; (a + b) a = b = 8 Nel mio precedente articolo: L arcaico Diagramma dei Gromatici veteres https://www.academia.edu/ /l_arcaico_diagramma_dei_gromatici_veteres Abbiamo esaminato l origine mesopotamica dell algoritmo del problema n 3 del Podismus, passo dopo passo, mediante l arcaico Diagramma di argilla di realizzazione Sumera, forse risalente al tardo periodo Uruk. Abbiamo visto quindi l originale impostazione arcaica del problema n 3 e del suo algoritmo o procedimento algebrico risolutivo, esposto nel Podismus e lo abbiamo messo in relazione con il Diagramma di argilla attraverso queste fasi che sintetizzo qui di seguito. Siamo partiti dalla Fase 1 per giungere alla Fase 5: l imbastitura della base del Diagramma di argilla a modulo quadrato; Area = 8 (a b/2) + (a - b) 2. FASE 5: Fronte del mattone = b = cateto del triangolo rettangolo; Fianco del mattone = a = base del triangolo rettangolo; Diagonale del mattone = d = ipotenusa del triangolo rettangolo. Poi siamo passati dalla Fase 6: d 2 = 4 (a b/2) + (a - b) 2 Aldo Bonet Pagina 10 di 20

11 Alla Fase 8: (b + a) = 23 piedi Per terminare con la Fase 10: Abbiamo visto inoltre che, il corretto procedimento algebrico applicato nel problema n 3 fu probabilmente ricavato dallo stesso Autore seguendo, in alternativa, uno schema disegnato a parte con l ausilio di un catalogo consultivo (non rinvenuto) che doveva essere di supporto al Podismus e, nel quale, era probabilmente compreso anche l arcaico Diagramma di argilla raffigurato in forma bidimensionale o planoaltimetrica convenzionale che ripresento qui in Fig. 8 con la simbologia tecnica raffigurata negli Excerpta Agrimensorum Romanorum, in altre parole, con le misure solide convenzionali annesse alle figure geometriche con spessore 10, esposte nel trattato Expositio et ratio omnium formarum di Balbus e con una connotazione algebrica che ho voluto esprimere in lettere alfabetiche per evidenziarne la generalità del problema trattato: 10 Se si osserva bene, la misura solida annunciata nel Podismus è quella con spessore (solidum est cuius longitudinem et latitudinem et crassitudinem metimur) e non quella con altezza (et altitudinem) specifica per i volumi. Nonostante l influenza degli Elementi di Euclide già evidente in questi Excerpta, la misura solida nel Podismus era forse anticipata per alcuni algoritmi applicabili a un algebra - geometrica più vicina alla Metrica di Erone, quindi, ritenuta didatticamente più efficace se supportata anche dall arcaico Diagramma di argilla mesopotamico. Aldo Bonet Pagina 11 di 20

12 Fig. 8 Abbiamo visto infine che, a fornirci una successiva conferma è stato il problema n 2 del tutto simile, e fu risolto ancora una volta dall Autore con l identico schema del Diagramma di Fig. 8. Il problema n 2 è contenuto nel Podismus e si colloca peraltro in una posizione antecedente al problema n 3. Testo del problema n 2 in lingua latina: Fig. 9 PODISMVS: Problema n 2 - (Fig. 9). In trigono orthogonio cuius< hypotenusae> podismus est ped. XXV, embadum ped. CL, dicere cathetum et basim separatim. S Q. Semper multiplico hypotenusam in se: fit DCXXV; ad hanc summam adicio IIII embada, quae faciunt ped. DC; utrumque in unum: fiunt ped. MCCXXV; huius sumo latus, quod fit ped. XXXV; deinde, ut interstitio 11 duarum rectarum inueniatur, faciam hypotenusae numerum in se: fit DCXXV; hinc tollo IIII embada, remanent XXV; huius < sumo latus >, fit V: erit interstitio; quam mitto ad duas iunctas, id est ad XXXV; fiunt ped. XL. Huius sumo semper dimidiam partem; fit ped. XX: erit basis trigoni. Si tollo de XX interstitionem, id est ped. V, reliqui sunt ped. XV; erit cathetus eiusdem trigoni. 11 La parola interstitio si ripresenta anche a fine testo del problema n 2 interstitionem e la ritroviamo secoli prima con l agrimensore Hyginus Gromaticus (I/II sec.d.c.) in un suo trattato del Corpus De limitibus costituendis ma si tratta di un interstitio limitaris e secondo alcuni autori andrebbe inteso come spazio tra, si può allora intendere nel senso di distinzione, differenza facendo riferimento a interstinctio. Si tratta certamente di un termine usato nei testi di agrimensura durante l impero romano e ripreso nel Podismus. Aldo Bonet Pagina 12 di 20

13 Traduzione in lingua italiana: << PODISMVS: Problema n 2 - (Fig. 9). Testo e Dati noti: In un triangolo rettangolo, la cui misura in piedi < dell ipotenusa > è di XXV (25) piedi e la sua superficie è di CL (150) piedi (quadrati); si possono determinare cateto e base come segue Procedimento: S. Q. Come sempre, si fa il quadrato dell ipotenusa. Fa DCXXV (625). A questo quadrato si aggiunge IIII (4) volte l area (del triangolo rettangolo) che fa DC (600) piedi (quadrati). Il (quadrato) dei due lati (cateto + base) sommati: fa MCCXXV (1225) piedi (quadrati); Si prende il lato di questo quadrato (la radice quadrata): fa XXXV (35) piedi. In seguito, per trovare la differenza dei due lati (base cateto), si considera ancora il quadrato dell ipotenusa: fa DCXXV (625). Da questo quadrato si toglie IIII (4) volte l area, rimane XXV (25) piedi; da questo < si prende il lato> e (la radice quadrata) fa V (5) piedi. Questa è la differenza. Si aggiunge (la differenza) alla somma delle due dimensioni (dei due lati), cioè a XXXV (35) e fa XL (40) piedi. Come sempre, si fa la metà del risultato. Fa XX (20) piedi. Questa è la base del triangolo. Di conseguenza, se da XX (20) si toglie la differenza, cioè V (5) piedi, rimangono XV (15) piedi; questo è il cateto del medesimo triangolo >> L algoritmo risolutivo, si può verificare che è perfettamente collegato, sia allo schema del Diagramma di argilla disegnato in forma convenzionale di cui alla Fig. 8, sia all originale Diagramma di argilla in mattoni, pagg Traduzione algebrica del problema n 2 del Podismus, Fig. 9: Cateto = b, Base = a, Ipotenusa = d ½ ( a b) = 150 ; d = 25; a =?, b =? L Autore del Podismus applica il seguente algoritmo per trovare il valore sia di ( a + b) sia di ( a b): d d = d 2 = 625; d 2 + 4[½ (a b ) ] = ( a + b) 2 = 1225; (a + b) 2 = a + b = 35; d 2-4[½ (a b) ] = ( a - b) 2 = 25; ( a - b) 2 = a b = 5 ½ [(a + b) + (a - b)] = a = 20; a ( a - b) = b = 15 Il Diagramma di argilla, nell antica Mesopotamia fu un paradigma matematico ricreativo davvero unico e formidabile, sia per la scoperta e la soluzione visiva di molteplici problemi, sia nel visualizzare e scoprire regole algebriche fondamentali, algoritmi, identità notevoli e nuove forme geometriche. Vincente, fu il suo utilizzo semplice e versatile del Diagramma che diede origine all algebra geometrica, alla cultura matematica nei millenni e nelle civiltà a venire. Aldo Bonet Pagina 13 di 20

14 APPENDICE Tav. A: - License: CC-BY-NC Bern, Burgerbibliothek, Cod. 87, f. 9v Podismus - Excerpta Agrimensorum Romanorum (http://www.e-codices.unifr.ch/en/bbb/0087/9v) Aldo Bonet Pagina 14 di 20

15 Tavoletta Babilonese BM Tav. B - Tavoletta Babilonese BM 15285: impronte residue di disegni geometrici. Contorni marcati con linee bianche per evidenziare un probabile diagramma a modulo quadrato che si scorge a fatica sul retro della tavoletta; risalente al 1800 a. C. circa. Il testo cuneiforme sottostante al disegno è andato purtroppo distrutto. Il disegno geometrico ipoteticamente ricostruito sarebbe pressoché identico al Diagramma di argilla. Questo tipo di Diagramma, secondo la mia teoria, serviva a risolvere i problemi con sistema di 2 grado nella forma standard: x. y = c; x ± y = b. Tavoletta Babilonese BM Tav. C - Tavoletta Babilonese BM 15285: impronte residue di disegni geometrici. Contorni marcati con linee bianche per evidenziare un probabile diagramma a modulo quadrato che si scorge a fatica sul retro della tavoletta; risalente al 1800 a. C. circa. Il testo cuneiforme sottostante, fortunatamente sopravvissuto, ha permesso la fedele ricostruzione geometrica del disegno, il quale, descrive un quadrato unitario suddiviso in sedici quadratini. È facile osservare come il disegno sia pressoché identico al Diagramma di argilla. Questo Diagramma in mattoni così imbastito, secondo la mia teoria, serviva a risolvere problemi di 2 grado diretti del tipo: x 2 ± ax = c, presenti sulla tavoletta BM Aldo Bonet Pagina 15 di 20

16 Lastra votiva Tav. D- Lastra votiva, in calcare (cm 39 x 47), proveniente da Ḡirsu (nel distretto di Lagash), risalente al XXV secolo a.c. e conservato nel Museo del Louvre (Parigi). Nella parte superiore della lastra, a sinistra, si vede il re Ur-Nanshe che porta una grande cesta sul capo, contenente dei mattoni pieni, ed è indicato nella rappresentazione tradizionale come "costruttore di templi". Nella parte inferiore la figura principale seduta è sempre Ur-Nanshe, rappresentato a destra mentre banchetta per festeggiare l'avvenuta costruzione del tempio. Questa lastra votiva è rappresentativa di come i mattoni erano venerati anche dagli stessi re sumeri. Notare inoltre, come la disposizione dei quattro bassorilievi che compongono la Lastra votiva sia stata impostata a girandola o a girotondo attorno al quadratino centrale forato. Una disposizione in circolo analoga a quella del Diagramma di argilla. Arte sumera: Gioco Reale di Ur Tav. E - Il Gioco reale di Ur,si riferisce ad alcune tavole da gioco trovate nel cimitero reale dell antica cittàstato di Ur (capitale dei Sumeri, la biblica Urim) da Charles Leonard Woolley durante una campagna archeologica tra il 1922 e il 1934 e datate in un periodo compreso tra il 2600 e 2400 a.c. Due di questi tavolieri sono integri e completi di pedine e dadi da gioco, e conservati al British Museum ( Londra). È considerato tra i più antichi reperti completi di un gioco da tavolo che sia mai stato scoperto. La tavola più semplice è in ardesia decorata con motivi geometrici in madreperla mentre altre sono decorate anche con inserti in lapislazzuli e corniola. Una tavola da gioco simile realizzata in legno è stata scoperta nell'iran meridionale negli scavi di Shahr-i Sokhta, un insediamento dell età del bronzo (circa 3200 a.c.). Insieme all antico gioco egizio Senet risalente tra il periodo predinastico e la prima dinastia dell Antico Egitto ( a.c.) è considerato da alcuni uno dei predecessori del moderno backgammon. Aldo Bonet Pagina 16 di 20

17 Alhambra di Granada (secolo XIII - XIV) - Sala del Trono. Tav. F : Diagramma a modulo quadrato nel pavimento e nelle grate lignee delle bifore L autore, Aldo Bonet, ha deciso di distribuire i contenuti con licenza Creative Commons Creative Commons, Attribuzione Non commerciale 2.5 Italia License ossia, mettere gratuitamente l articolo a disposizione a patto che gli sia attribuita la paternità e si accetti di non alterarlo sia nei contenuti sia nelle immagini né di trasformarlo o estrapolarlo anche solo parzialmente per crearne altri, come pure di non utilizzarlo per fini commerciali perché l autore crede fermamente nella nobile condivisione dei contenuti. Ogni riproduzione (totale o parziale) o citazione futura del presente articolo e di tutte le ricerche personali dell autore, predilige il cautelativo benestare dall autore stesso. Il presente articolo è pubblicato da Luigi Gaudio sul Portale ATUTTASCUOLA Giugno 2015 su richiesta dell autore. Aldo Bonet Pagina 17 di 20

18 BIBLIOGRAFIA: -AA. VV. (1985). Le Décor Géometrique de la Mosaïque Romaine, répertoire graphique et descriptif des compositions linéaires et isotropes. Parigi: Picard. - Baldoni R. (2013). Dalla fatica al piacere di contare. Matematica antica. Vol. 1. Mateureka - Museo del calcolo. -Bartocci C.e Odifreddi P. (2007). La Matematica i Luoghi e i tempi. Torino: Einaudi. - Blume F. - Lachmann K. e Rudorff A. ( 1848). Gromatici Veteres. Berlino. -Boyer C. B. (2008). Storia della Matematica. Milano: Mondadori. -Bonet A. (1989). Le possibili origini geometriche del principio della semisomma e semidifferenza delle incognite in uso presso i Babilonesi e sue applicazioni. L educazione matematica, Anno X Serie II Vol.4 n 3 Dic., pag Bonet A. (2008). Il diagramma di argilla, geometrico risolvente a modulo quadrato, che governava l intera arte algebrica degli antichi scribi. Un paradigma che ha aperto le porte alla Cultura Matematica delle civiltà arcaiche. Periodico di Matematiche, n. 3, Set-Dic, Vol. 1, Serie X, Anno CXVIII, pag Bonet A. (2009). La Scienza di Talete. Canada: Lulù.com di Robert Young. Scaricabile gratuitamente da: e da https://independent.academia.edu/aldobonet -Bonet A. (2009/10/11/12/13). Genesi del Teorema di Pitagora Piccolo approfondimento su Bhaskara I Lettera dello Scriba, Il Teorema di Pitagora ai tempi di Ötzi, ecc. su : -Bortolotti E. (1935). La scienza algebrica degli Egizi e dei Babilonesi. Bologna: Azzaguidi. -Bortolotti E. (1936) Interpretazione storica dei testi matematici babilonesi. Periodico di Matematiche, n 2. pag Bortolotti E. (1936). I problemi di secondo grado nella matematica babilonese. Periodico di Matematiche, n 3.pag ; Bortolotti E. (1937). Concetti, immagini, cognizioni, metodi nella matematica babilonese. Milano. Tip. Turati Lombardi e C. -Bortolotti E. (1938). Prodomi di metodo matematico nei problemi babilonesi. Milano: Tip. Turati Lombardi e C -Bronowski J. (1973). The Ascent of Man. Boston: Little Brown. Jacob Bronowski Teorema di Pitagora: -Bruins E. M. e Rutten M. ( 1961). Textes Mathématiques de Suse, Parigi : Librairie Orientaliste Paul Geuthner. -Bürk A. (1902). Das Āpastamba-Śulba-Sūtra. Zeitschrift der Deutschen morgeländischen Gesellschaft. Vol.LVI -Campbel J. e Pryce W. (2003). Il mattone e la sua storia, 8000 anni di architettura. Bergamo: Bolis Edizioni. - Dilke O.A.W. (1979). Gli Agrimensori di Roma Antica. Bologna: Ediagricole. -Du Sautoy M. (2007). Il Disordine Perfetto. Milano: Rizzoli. -Ferguson K. (2009). La musica di Pitagora. Milano: Longanesi. -Frajese A e Maccioni L. (1970). Gli Elementi di Euclide. Torino: U.T.E.T. -Friberg J. (2002). Storia della Scienza. Enciclopedia Treccani, Vol I. pag Friberg J. (2005). Unexpected links between Egyptian and Babylonian Mathematics. Londra: World Scientific. -Friberg J. (2007). Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics. Londra: World Scientific Aldo Bonet Pagina 18 di 20

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