Aldo Bonet Radici mesopotamiche nel Podismus (seconda parte) Luglio 2015

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1 ALDO BONET 1 RADICI MESOPOTAMICHE NEL PODISMVS (seconda parte) Papiro greco di Ginevra Introduzione Nel lavoro: L arcaico Diagramma dei Gromatici veteres Avevo catalogato un nuovo mosaico romano presente nella Basilica Patriarcale di Aquileia (UD) che fu costruita inizialmente sopra le rovine di una Domus romana del I sec. d.c. e, nella quale, si trova un nuovo tipo di Diagramma a modulo quadrato che ho inserito nella mia lista delle località italiane di epoca romana che conservano questo motivo geometrico. Inoltre, avevo trovato due corretti algoritmi algebrici per la risoluzione di due problemi contenuti in un manoscritto medievale denominato Podismus, una copia di algebra geometrica romana facente parte degli Excerpta Agrimensorum Romanorum - trovando così una prima conferma alle mie supposizioni sulla probabile conoscenza algebrica dell arcaico Diagramma di argilla anche da parte degli antichi agrimensori romani. Leggere inoltre il mio articolo: Radici mesopotamiche nel Podismus (prima parte) problemi n 2 e n 3. Questo lavoro, composto in quattro parti o articoli, comproverà come gli esatti algoritmi risolutivi dei problemi n 2 e n 3 del Podismus, hanno indubbiamente un origine mesopotamica giacché, rispecchiano perfettamente, sia nei testi sia negli algoritmi, quelli babilonesi rinvenuti e affondano le loro radici matematiche, in modo evidente sia nel problema cuneiforme - Tav. Db ( che esamineremo nella terza parte) sia in quelli presenti nella Tav. BM del periodo Seleucida, in particolare nei problemi cuneiformi n 9 n 10 n 15 che esamineremo nella quarta e ultima parte. Questi problemi, furono tutti abilmente risolti poiché erano ancorati all arcaico Diagramma di argilla a modulo quadrato di origine Sumera. In modo analogo, questa seconda parte, comproverà la stessa origine mesopotamica per i tre problemi del Papiro greco di Ginevra 259, che andremo a esaminare. I quattro articoli che compongono l intero lavoro, rafforzeranno la mia prima conferma dimostrativa con un altra dimostrazione omogenea che ci farà vedere come gli algoritmi di tutti questi problemi (romani, greci e mesopotamici) menzionati, sono legati tra loro dall unica e arcaica macchina algebrica: Il Diagramma di argilla a modulo quadrato. Fig. 1: Una base del Diagramma di argilla a modulo quadrato 1 Ricercatore autodidatta sulle origini del pensiero scientifico Aldo Bonet Papiro greco di Ginevra 259 Pagina 1 di 11

2 7. I TRE PROBLEMI DEL PAPIRO GRECO DI GINEVRA 259 A CONFRONTO Ci siamo lasciati con il Capitolo 6: Problemi n 3 e n 2 del Podismus, da pag 9 a pag 13 nel mio articolo precedente Radici mesopotamiche nel Podismus (parte prima) Prima di addentrarmi con i più antichi e analoghi problemi delle tavolette cuneiformi, che vedremo nella terza e quarta parte, desidero prendere qui in considerazione un papiro matematico greco, probabilmente del II secolo d.c. di chiara influenza mesopotamica; fu analizzato e studiato dal 1978 a iniziare da M. J. Rudhardt. Oggi, per fortuna, questo papiro è conservato presso la Biblioteca di Ginevra (Svizzera) e catalogato con il numero d inventario: P. Gen. inv 259 verso - Sul retro di questo papiro sono sopravvissuti tre problemi di natura algebrico-geometrica; lo stile algebrico di questi tre problemi ha un evidente parentela con quelli contenuti nel Podismus e inoltre, i tre problemi manifestano una matrice risolutiva chiaramente ancorata al Diagramma di argilla mesopotamico. Questo papiro greco (altezza 17 cm x larghezza 17,5 cm) consiste di tre frammenti contigui che si adattano perfettamente. Mutilato nella sua larghezza, a destra e a sinistra, il documento ha parzialmente mantenuto la sua altezza originaria. Si sono fortunatamente salvate due figure geometriche connesse ai primi due problemi che trattano del triangolo rettangolo. Visita virtuale del Papiro: Faccio notare che l ordine numerico naturale dei Capitoli, delle Figure e delle note a piè di pagina, nel presente articolo (seconda parte) proseguirà mantenendo come riferimento iniziale quello dell articolo precedente (prima parte): Radici mesopotamiche nel Podismus (parte prima) - Problemi n 2 e n 3. Qui: La prima figura geometrica a sinistra (Vedere la Fig. 11 a pag. 3) contiene inoltre l indicazione numerica dell area del triangolo rettangolo non contemplata però dai tre problemi sopravvissuti. Questa particolarità, ha fatto supporre che ci fosse stato anche un quarto problema, forse collocato in precedenza al primo, in cui erano probabilmente noti: l area, l ipotenusa (in più, forse, la somma della base e del cateto) del triangolo rettangolo e, tramite i quali, si doveva trovare separatamente i valori del cateto e della base; insomma, un quarto problema probabilmente identico ai problemi n 2 o n 3 del Podismus. Interessante sarà vedere e, in modo inequivocabile, come tutti questi problemi hanno avuto un origine e uno sviluppo proprio dal Diagramma di argilla mesopotamico a modulo quadrato. Lo scopo di tutto il lavoro, che sto conducendo in modo minuzioso, è quello di suscitare, negli studenti, nei ricercatori, negli storici delle matematiche, l interesse ad approfondire questo Diagramma di mattoni, un singolare strumento matematico che ha dato origine al pensiero algebrico geometrico prescientifico. Una macchina artigianale che ha accompagnato l uomo fuori dalla preistoria e nella storia per ben 4500 anni prima di scomparire dalla memoria umana ma, non dalla sua essenza algebrica, la quale, si trasferì nel puro calcolo, per essere così ereditato e poi sviluppato dai matematici del Rinascimento. Aldo Bonet Papiro greco di Ginevra 259 Pagina 2 di 11

3 Papiro Greco di Ginevra inv. 259 parte retro 12 Fig. 11: Biblioteca Pubblica e Universitaria di Ginevra (Bibliothèque de Genève, P. Gen. inv. 259 verso) Sul fronte del papiro, troviamo i resti di un libro contabile, molto danneggiati; sul retro (Fig. 11), due colonne di testo matematico. La prima colonna (a sinistra) è completa, mentre il fondo della seconda colonna (a destra) è mancante. La scrittura presente sul fronte sembra risalire al II secolo d.c. Sul retro invece, è di un tipo differente, una scrittura meno corsiva e talvolta ostacolata dalle asperità del papiro; la scrittura dei tre testi matematici non è più tardiva e anch essa risale al II secolo d.c. Probabilmente si tratta di una copia di un trattato o di un manuale di matematica. Infatti, l'autore non fornisce alcuna dimostrazione; elencando delle operazioni algebriche da eseguire, insegna procedimenti risolutivi in forma retorica per risolvere problemi algebrico-geometrici di un certo tipo. La provenienza del papiro è sconosciuta, ma certamente è stato scritto in un epoca in cui, la Grecia e l Egitto, erano sotto dominazione romana. Vedere - Paul Schubert, 1996 :- Les Papyrus de Genève: I primi due problemi sono sopravvissuti integralmente mentre il terzo o ultimo problema (a destra in Fig.11) è visibilmente danneggiato dall incuria e dal tempo, ma ciò, non ha impedito una ricostruzione affidabile del suo testo e del procedimento risolutivo dove, per tutti e tre i problemi, gioca un ruolo fondamentale, la regola Sumero-Babilonese (oggi conosciuta come Teorema di Pitagora ) con le relative identità algebriche. 12 L immagine in Fig. 11, del Papiro di Ginevra 259, l ho ricevuta e pubblicata su gentile concessione del Dipartimento manoscritti della Biblioteca di Ginevra. Aldo Bonet Papiro greco di Ginevra 259 Pagina 3 di 11

4 Grazie a questa ricostruzione 13, dimostrerò qui di seguito, come i procedimenti risolutivi, lo stile utilizzato e le identità applicate hanno un inequivocabile matrice che si rifà sempre all unico e arcaico Diagramma di argilla mesopotamico. I tre problemi hanno tutti la seguente figura geometrica di riferimento: Fig. 12 Fig. 12 Il primo problema contiene una normale o banale applicazione del teorema di Pitagora ma non per questo trascurabile, poiché i tre problemi sono algebricamente legati tra loro nei tre distinti algoritmi, proprio a partire dal primo problema: Problema n 1 del Papiro di Ginevra 259 Problema n 1, Fig. 12: Se in un triangolo rettangolo il cateto misura 3 piedi e l ipotenusa 5, trovare la base. Noi la troveremo nel seguente modo: si moltiplica 5, l ipotenusa per se stessa, e fa 25; poi si moltiplicata 3, il cateto per se stesso, e fa 9. Da 25 si sottrae 9, resta 16; si fa la radice quadrata, il risultato è 4. La base sarà di 4 piedi. Con altri dati numerici, si troverà la soluzione applicando lo stesso procedimento. Interessante è vedere che questo primo problema ha molta similarità nell algoritmo, sia con quelli latini n 9 e n 12 dell Epaphrodite et de Vitruvius Rufus, sia con il problema cuneiforme n 2 della Tav. BM del periodo Seleucide. Traduzione algebrica del problema n 1, Fig. 12: b = 3, d = 5. a =? L Autore del Papiro di Ginevra 259 applica l algoritmo: d 2 = 25; b 2 = 9; a 2 = d 2 b 2 = 16 ; a 2 = d 2 b 2 = a = 4. Questo tipo di problema, come vedremo ora, è ancorato nel suo algoritmo alla regola Sumero- Babilonese, attraverso l arcaico Diagramma di argilla che ripresento qui di seguito in una sintesi schematica. Ho indicato con : d = ipotenusa, a = X = base, b = Y = cateto, giusto per evidenziarne il carattere universale della regola Ricostruzione compiuta da Sesiano Jacques, 1999:- Sur le Papyrus graecus genevensis Retro-seals.ch Vedere anche: Friberg J. (2005). Unexpected links between Egyptian and Babylonian Mathematics, pagg Londra: World Scientific. Aldo Bonet Papiro greco di Ginevra 259 Pagina 4 di 11

5 SINTESI SCHEMATICA DELLA REGOLA SUMERO-BABILONESE: => d 2 = X 2 + Y 2 = a 2 + b 2 Fig. 13 Attraverso il Diagramma di argilla è facile visualizzare che, in un mattone di dimensioni qualsiasi (X Y; Fig.13), il quadrato costruito sulla diagonale d = ipotenusa (linea obliqua posta sotto la tassellatura) è sempre equivalente alla somma dei quadrati costruiti sul fianco X = a = base e sul fronte Y = b = cateto del mattone stesso. Questa regola universale fu ulteriormente sviluppata dalla discendenza dei Sumeri. Ho pensato di coniarla come: Regola Sumero-Babilonese (il Teorema di Pitagora dell alta antichità). Per approfondimenti vedere inoltre su: 1. GENESI DEL TEOREMA DI PITAGORA 2. IL TEOREMA DI PITAGORA AI TEMPI DI ÖTZI 3. Teorema di Pitagora-Dimostrazione Meccanica Aldo Bonet Papiro greco di Ginevra 259 Pagina 5 di 11

6 Problema n 2 del Papiro di Ginevra 259 Problema n 2, Fig. 12: Se abbiamo un triangolo rettangolo, il cui cateto e l ipotenusa, sommati, fanno 8 piedi e la base misura 4 piedi, trovare separatamente la misura del suo cateto e della sua ipotenusa. Li troveremo nel seguente modo: moltiplichiamo 4, la base per se stessa, e fa 16; poi dividiamo questo risultato per 8 ( cateto + ipotenusa) e fa 2. Poi sottraiamo 2 da 8, e fa 6. Dividiamo per 2, e fa 3. Il cateto sarà di 3 piedi. Infine sottraiamo 3 da 8, rimane 5. L ipotenusa sarà di 5 piedi. Traduzione algebrica del problema n 2, Fig. 12: (b + d) = 8, a = 4. b =?, d =? L Autore del Papiro di Ginevra 259 applica, nel problema n 2, l algoritmo: a 2 = 16 = d 2 b 2 = (d b) (d + b); a 2 / (d +b) = d 2 b 2 / (d + b) = (d b) = 2; ½ [(d + b) (d b)] = b = 3; (d + b) b = d = 5 Questo problema n 2 è concatenato, nel suo algoritmo, al primo problema, alla Regola Sumero - Babilonese che fu ulteriormente sviluppata con il medesimo Diagramma 14 di argilla e, dal quale, traggono origine: a 2 = d 2 b 2 = ( d + b) ( d b) = a 2 Fig. 14 Interessante è vedere che questo secondo problema trova una similarità nell impostazione algebrica dei dati con gli analoghi problemi cuneiformi n 3, n 4 e n 11 della Tav. BM del periodo Seleucide. 14 Vedere: Aldo Bonet Papiro greco di Ginevra 259 Pagina 6 di 11

7 Problema n 3 del Papiro di Ginevra 259. Problema n 3, Fig. 12: In un triangolo rettangolo, il cateto e la base, sommati, fanno 17 piedi e l ipotenusa è di 13 piedi; bisogna trovare il valore del cateto e della base, separatamente. Li troveremo nel seguente modo: moltiplichiamo 13, l ipotenusa per se stessa, e fa 169; moltiplichiamo quindi 17 per se stesso ( la somma di cateto e base per se stessa) e fa 289. Facciamo il doppio di 169; e fa 338. Sottraiamo 289 da 338; resta 49, la radice quadrata è 7. sottraiamo 7 da 17 (cateto + base), resta 10, facciamo la metà; fa 5. il cateto sarà di 5 piedi. Sottraiamo infine 5 da 17, resta 12. La base sarà dunque di 12 piedi. Traduzione algebrica del problema n 3, Fig. 12: (a + b) = 17, d = 13. b =?, a =? L Autore del Papiro di Ginevra 259 applica, nel problema n 3, l algoritmo: d 2 = 169; ( a + b) 2 = a 2 + b a b = 289; 2d 2 = 2 ( a 2 + b 2 ) = 338 = ( a + b) 2 + ( a b) 2 ; 2 (a 2 + b 2 ) (a + b) 2 = 49 = ( a b) 2 ; ( a b) 2 = (a b) = 7; ½ [(a + b) (a b)] = b = 5 ; di conseguenza: ( a + b) b = a = 12. Il terzo e ultimo problema, come vedremo qui di seguito, è concatenato, nel suo algoritmo, a quelli precedenti e nuovamente ancorato all arcaico Diagramma di argilla che si dimostra unico, versatile; una ricreativa macchina algebrica in mattoni: Fig. 15 Aldo Bonet Papiro greco di Ginevra 259 Pagina 7 di 11

8 Interessante è vedere che questo terzo problema trova una certa similarità con analoghi problemi in stile Demotico Seleucide e inoltre, lo ritroviamo sia nella matematica indiana sia in quella islamica. Infine, faccio notare che l identità algebrica applicata in quest ultimo o terzo problema del papiro greco di Ginevra: 2 (a 2 + b 2 ) = (a + b) 2 + (a b) 2 è la stessa applicata da Diofanto per il diorismo I. 28 nella sua Aritmetica, vedere qui: Fig. 16: Scriba Egizio con il Diagramma di argilla di origine Sumera. Per contatti: aldo@storiadellamatematica.it L autore, Aldo Bonet, ha deciso di distribuire i contenuti con licenza Creative Commons Creative Commons, Attribuzione Non commerciale 2.5 Italia License ossia, mettere gratuitamente l articolo a disposizione a patto che gli sia attribuita la paternità e si accetti di non alterarlo sia nei contenuti sia nelle immagini né di trasformarlo o estrapolarlo anche solo parzialmente per crearne altri, come pure di non utilizzarlo per fini commerciali perché l autore crede fermamente nella nobile condivisione dei contenuti. Ogni riproduzione (totale o parziale) o citazione futura del presente articolo e di tutte le ricerche personali dell autore, predilige il cautelativo benestare dall autore stesso. Il presente articolo è pubblicato da Luigi Gaudio sul Portale ATUTTASCUOLA Luglio 2015 su richiesta dell autore. Aldo Bonet Papiro greco di Ginevra 259 Pagina 8 di 11

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