Teorema di PITAGORA. Matematica di Base - Ingegneria UNIUD

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Giustino Milano
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1 Teorema di PITAGORA Matematica di Base - Ingegneria UNIUD

2 La cartina a fianco mostra i centri matematici dell antichità classica con i relativi matematici idoro.sciarratta@alice.it 2 2

Pitagora - VI sec. a.c. Matematico e filosofo greco. Secondo la tradizione nacque a Samo, intorno al 580 a.c. (Magna Grecia) e fu dcepolo di Anassimandro e di Ferecide.

3 Pitagora - VI sec. a.c. Matematico e filosofo greco. Secondo la tradizione nacque a Samo, intorno al 580 a.c. (Magna Grecia) e fu dcepolo di Anassimandro e di Ferecide. Dopo aver viaggiato in Persia, Creta, Egitto, ritornato a Samo, ripartì per l'italia (531), dove a Crotone, una cittadina delle coste della Calabria, fondò la scuola dei pitagorici. Elementi leggendari circondarono ben presto la sua figura tanto che parecchie opere a lui attribuite sono di epoca posteriore. 3

4 Il Teorema di Pitagora tratta dell equivalenza più classica riferita al triangolo rettangolo 4

5 Enunciato e terne pitagoriche L area del quadrato che ha per lato l ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma delle aree dei due quadrati che hanno per lati i cateti dello stesso triangolo. Questa proprietà vale per qualsiasi triangolo rettangolo. Analogamente vale per la terna (5,12,13) =169 5

6 Il teorema di Pitagora in formule... da cui si ricavano anche: 6

7 Applicazioni del teorema di Pitagora In gran parte delle figure piane si può ricavare un triangolo rettangolo tracciando opportunamente altezze, diagonali, apotemi, raggi, ecc. È ovvio che tutte le volte in cui ciò accade, sarà possibile applicare, al triangolo rettangolo ricavato, il teorema di Pitagora. seguono alcuni casi fra i più rappresentativi 7

8 l l Triangolo oscele ed equilatero Se in un qualsiasi triangolo si traccia l altezza relativa ad uno dei lati, si ottengono due triangoli rettangoli a ciascuno dei quali è possibile applicare le formule relative al teorema di Pitagora. h h 8

9 c A l 45 c i d quadrato e triangolo rettangolo oscele D Se in un quadrato viene tracciata una diagonale, si ottiene un triangolo rettangolo oscele. Gli angoli acuti di tale triangolo murano 45. Il cateto e l ipotenusa di tale triangolo rettangolo, come del resto il lato e la diagonale del quadrato, stanno in una particolare relazione: B l 45 C 9

10 Triangolo rett. con angoli di 30 e 60 Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo oscele CHB si ricava la seguente relazione: A C 30 h l/2 H l 60 B l 10

11 Triangolo equilatero Poiché rulta che C è facile dimostrare h che la superficie di un triangolo A equilatero è data da: H B b S (ABC ) = 1 2 b h = =

12 Rombo Se in un rombo vengono tracciate le due diagonali, si ottengono quattro triangoli rettangoli congruenti. Vale: l d d = 2 12

13 Trapezio rettangolo h l Se in un trapezio rettangolo si traccia l altezza, si ottiene un triangolo rettangolo. h d Se in un trapezio rettangolo si traccia una diagonale, si ottiene ancora un triangolo rettangolo. b 1 13

14 Trapezio oscele Se in un trapezio oscele viene tracciata un altezza, si ottiene un triangolo rettangolo. Se in un trapezio oscele si tracciano un altezza ed una diagonale, si ottiene un ulteriore triangolo rettangolo. h d h l 14

15 Approfondimenti 1. Dimostrazione del teorema di Pitagora secondo la scuola pitagorica 2. Teoremi di Euclide 3. Dimostrazione del teorema di Pitagora alla luce dei teoremi di Euclide 4. Generalizzazione del Teorema di PITAGORA 5. Varianti sull enunciato del teorema di PITAGORA 15

16 Teorema di PITAGORA - VI sec. a.c. In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa é equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti. Il teorema viene dimostrato nella scuola pitagorica nel VI sec. a.c. seguendo lo schema di figura. Segue la dimostrazione che giustifica l equivalenza. 16

17 Teorema di PITAGORA - VI sec. a.c. 17

18 Teorema di Pitagora inverso 18

19 Teorema di Pitagora Nella figura accanto prende corpo graficamente il teorema di Pitagora così come si è soliti enunciarlo e quindi dimostrarlo. Ossia: b 2 C b A c a B a 2 c 2 19

20 Variante al teor. di Pitagora Sostituendo i quadrati con i triangoli equilateri, il teorema vale ancora. Infatti 20

21 Variante al teor. di Pitagora Sostituendo i quadrati con i semicerchi, il teorema vale ancora. 21

22 Variante al teor. di Pitagora Ma anche sostituendo i quadrati con i semicerchi dai quali vengono sottratti i rpettivi triangoli rettangoli osceli inscritti, il teorema vale ancora. Infatti: π 8 a2 a2 4 = π 8 b2 b2 4 + π 8 c2 c2 4 π a 2 = π b 2 + π c 2 a 2 = b 2 + c 2 22

23 Tr. di Pitagora generalizzato VI sec. a.c. Ma la scuola pitagorica dimostrò che il teorema vale anche per i triangoli non rettangoli! 23

24 Tr. di Pitagora generalizzato VI sec. a.c. Lo stesso vale ancora nel 24

25 PITAGORISMO Con il termine Pitagormo si chiamano le dottrine filosofiche e scientifiche elaborate dalla scuola pitagorica e i principi etico-religiosi su cui era fondata. Il Pitagormo rappresenta anche il sodalizio eticoreligioso e politico, più che filosofico, in cui prevaleva assoluta l'autorità del maestro, ossia di Pitagora. La scuola pitagorica elevò la matematica a scienza teorica e considerò il numero, in quanto esprime il rapporto oggettivo e l'ordine dei fenomeni, essenza delle cose, dando all'universo una concezione matematica e armonica. 25

26 PITAGORISMO Sono da attribuirsi inoltre ai pitagorici la dtinzione dei numeri in pari e dpari, la fondazione della geometria razionale, importanti ricerche musicali. Nel campo etico-religo Pitagora accolse la dottrina, d'origine orfica, della preestenza dell'anima al corpo e della metempsicosi. Principali rappresentanti del pitagormo antico furono: Archippo, Lide, Filolao e Cebete. Il Pitagormo si estinse alla fine del secolo quarto a. C. per rorgere poi nel neopitagormo. 26

27 NEOPITAGORISMO Il termine neopitagormo si attribuce al movimento filosofico-religioso sorto in Alessandria nel primo secolo avanti Crto ad opera, forse, di Nigidio Figulo. Fu caratterizzato dalla tendenza a conciliare elementi e credenze orientali con il pensiero dei filosofi greci, soprattutto di Pitagora, cui furono attribuite in questo periodo opere apocrife (ossia attribuitegli falsamente). Principali rappresentanti del neopitagormo sono: Apollonio di Tiana, Moderato di Gades, Nicomaco di Gerasa, Numenio di Apamea e in parte anche lo Pseudo-Ermete Trmegto. 27

28 Esercizi 1. Cos è una terna pitagorica? Fare almeno un esempio. 2. Calcolare l area del quadrato di cui una diagonale mura 15 cm

29 Terminologia Triangolo rettangolo, cateti, ipotenusa, altezza relativa all ipotenusa, proiezione di un cateto sull ipotenusa equivalenza area della superficie congruenza 29

30 Bibliografia Storia della Matematica di CARL B. BOYER - Isedi Enciclopedia Garzanti Scientifica tecnica Enciclopedia De Agostini, vol. 2 Il metodo della geometria 2, Melzi -Tonolini, Minerva Italica 30

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IL TEOREMA DI PITAGORA Questo teorema era già noto ai babilonesi, ma fu il matematico greco Pitagora, intorno al 500 a.c., a darne una descrizione precisa. ENUNCIATO: la somma dei quadrati costruiti sui