22 marzo Il Teorema di Pitagora: diversi punti di vista

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1 22 marzo 2016 Il Teorema di Pitagora: diversi punti di vista

2 Il teorema di Pitagora è considerato il teorema più affascinante di tutta l opera di Euclide, al punto che uomini di tutte le classi sociali e di tutte le nazionalità, dal filosofo ormai anziano, seduto nella sua poltrona in salotto, al giovane soldato in trincea, in prossimità della terra di nessuno, durante la prima guerra mondiale, nel lontano 1917, hanno trascorso ore ed ore alla ricerca di una nuova dimostrazione. Elisha Scott Loomis, Il teorema di Pitagora.

3 Elisha Scott Loomis ( ) non è un nome molto famoso tra i matematici Non ci sono equazioni o teoremi che portino il suo nome ed ormai i pochi libri che scrisse sono oggi completamente dimenticati. Tutti tranne uno: il suo libro intitolato Il teorema di Pitagora, di 285 pagine, nel quale egli raccolse e classificò ben 371 diverse dimostrazioni dell enunciato di tale teorema. Tra queste, una senz altro molto particolare è quella basata sul concetto di tassellazione piana, ovvero un ricoprimento dell intero piano con un motivo geometrico ripetuto, che non lasci zone vuote e non preveda alcuna sovrapposizione. Si tratta di una dimostrazione senza parole, che viene presentata senza ulteriori spiegazioni e che gli studenti possono analizzare, comprendere e commentare per scritto.

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5 Proverbio cinese Se ascolto dimentico, se vedo ricordo, se faccio capisco, se gioco imparo. il fare crea una conoscenza stabile su cui si può fare affidamento

6 ESPERIENZA - i triangoli rettangoli da comporre - la cordicella con i nodi - i disegni sul quaderno che diventa il proprio manuale

7 Formalizzazione Ogni processo va formalizzato: registriamo le azioni eseguite con i vari oggetti geometrici Incolliamo le figure realizzate, disegniamo, evidenziamo, scriviamo le osservazioni fatte

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12 Pitagora e le piastrelle, narra la leggenda

13 Tavoletta di argilla babilonese a.c. Pimpliton 322, ritrovata nell antico sito Larsa, in Iraq 15 righe di numeri scritte in forma sessagesimale Pare corrispondenti a 15 terne pitagoriche, diverse le interpretazioni

14 Terne pitagoriche Una terna pitagorica è una terna di numeri naturali a, b, c tali che a 2 + b 2 = c 2. Il nome viene dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati interi corrisponde una terna pitagorica, e viceversa. Se (a, b, c) è una terna pitagorica, lo è anche (da, db, dc), dove d è un numero naturale qualsiasi; il numero d è quindi un divisore comune dei tre numeri da, db, dc. Una terna pitagorica si dice primitiva se a, b e c non hanno divisori comuni. I triangoli descritti da terne pitagoriche non primitive sono sempre simili a quelli descritti dalla corrispondente terna primitiva.

15 Le terne pitagoriche Le terne pitagoriche sono note fin dai tempi di Euclide ( decimo libro degli Elementi) e sono rintracciabili anche nell Aritmetica di Diofanto, 250 d. C. a cui viene attribuito il metodo per trovare le terne pitagoriche. Forse i babilonesi del tempo di Hammurabi erano ben consapevoli del significato di tali numeri, incluso il fatto che essi costituiscono le lunghezze intere dei lati di un triangolo rettangolo. Potrebbe essere interessante fare scrivere una tabella con le terne pitagoriche - per prendere dimestichezza con il calcolo letterale - per osservare le terne primitive

16 n>m m n 2 - m 2 2mn n 2 + m 2 Verifica Primitiva =25 si si si si si si si si si si si si si si si si 16

17 Proposta didattica L unica terna pitagorica è quella formata da numeri naturali consecutivi è (3, 4, 5) Si può dimostrare

18 Dato il lato del quadrato, il calcolo della diagonale offre una stima della radice di 2 corretta fino alla V cifra decimale 1,41421 Esempio di applicazione del teorema di Pitagora e di calcolo con i numeri irrazionali YBC 7289 tavoletta di argilla babilonese a.c. Collezione dell'università di Yale

19 Tavoletta trovata a Susa, antico impero babilonese, a.c. tra gli esempi più antichi dell impiego della relazione di Pitagora Trovate il raggio del cerchio in cui è inscritto un triangolo isoscele conoscendo i lati (50, 50, 60) CH= 40 La relazione risolutiva corrisponde ad una equazione di I grado con incognita r AH 2 = AB 2 - BH 2 (40-r) 2 = r r r H

20 Tavoletta babilonese del 1750 a. C. Una tavoletta tra le cinquecento trovate nel 1962 presenta un problema in cui vengono date area e diagonale di un rettangolo al fine di trovare le misure dei lati. La soluzione proposta, molto articolata, è sottoforma di istruzioni: -1 Moltiplica l area per due -2 Eleva al quadrato la diagonale -3 Sottrai (1) da (2) -4 Trova la radice quadrata -5 Dimezza il risultato -6 Trova un quarto di ( 3 ) -7 Somma l area a ( 6) -8 Trova la radice quadrata di (7) -9 Lunghezza = (5) + (8) -10 Larghezza = (8) (5)

21 IIlustrazione inserita nel II libro del Chou Pei, testo cinese arcaico di astronomia, libro dello Gnomone e delle orbite circolari Datazione incerta VI-III a. C. ( 246 problemi in 9 capitoli) Prima dimostrazione diagrammatica

22 La relazione di Pitagora era conosciuta molto prima di Pitagora 600 a.c. Il teorema di Pitagora è stato dimostrato successivamente

23 Gli Egiziani, per costruire la base quadrata delle piramidi, cioè per fare in modo che gli angoli fossero proprio retti, si valevano del meto Gli Egiziani notarono che i numeri 3, 4, 5, lunghezze dei lati del triangolo, erano tali che: 3² + 4² = 5². Un angolo retto con la corda: applichiamo l inverso del teorema di Pitagora

24 Gli Egiziani Dal testo di E. Castelnuovo Matematica 1. Numeri e figure Ed. La Nuova Italia: Gli Egiziani, per costruire la base quadrata delle piramidi, cioè per fare in modo che gli angoli fossero proprio retti, si valevano del metodo della corda. Si era nel 3000 a.c. Il metodo è questo: si prende una corda lunga, per esempio, 12 unità di lunghezza (noi prenderemmo 12 metri), e si divide con dei nodi in tante parti uguali: una parte si fa di 3 nodi, una di 4 e una di 5. Si tende la parte di 4 nodi fra due paletti ficcati per terra, e si tirano le altre due parti, lunghe 3 e 5, in modo che i loro estremi s'incontrino. Si ottiene così un triangolo; e questo triangolo ha un angolo retto. Gli Egiziani notarono che i numeri 3, 4, 5, lunghezze dei lati del triangolo, erano tali che: 3² + 4² = 5².

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26 Giochiamo con 4 triangoli rettangoli uguali c 2 = (a-b) ab c 2 = a 2 + b 2 2

27 Il teorema di Pitagora nella matematica cinese Numerose applicazioni, una trattazione estesa e ingegnosa, contrariamente alla matematica dell antica Grecia. La dimostrazione cinese è questione di senso comune, lo scopo dello studio è quello pratico In Cina prende il via una tradizione di ragionamento geometrico Principio del ragionamento: scomposizione e rimontaggio

28 Applicazione: il bambù spezzato II sec. a.c./i sec. d. C. Arte del calcolo in 9 capitoli Problema famoso nella storia della matematica, continua comparire nelle opere dei matematici indiani del IX e XII secolo e poi in Europa. Un bambù alto 10 piedi ( b+c) si è spezzato e la sua estremità tocca terra ad una distanza di 3 piedi (a) dalla base, a che altezza si è spezzato (b)? Conosco b+c = 10 e a =3 La trattazione fornisce la formula della soluzione utilizzando la relazione di Pitagora b 1 2 b c 2 a b c

29 Bambù spezzato b c a b c b b c a b c b c b c b c a b c a b c b c a b c ) )( (

30 Giochiamo con 4 triangoli rettangoli uguali (a+b) 2 = a 2 + b ab (a+b) 2 = c ab 2

31 Thabit Ibn Qurra Baghdad, astronomo e matematico arabo Giochiamo con 4 triangoli rettangoli uguali

32 Sir George B. Airy , matematico e astronomo reale inglese Giochiamo con 4 triangoli rettangoli uguali "Come potete vedere, sono a² + b² ab Quando ci sono due triangoli sopra di me È rappresentato il quadrato dell'ipotenusa Ma se invece sto io sopra di loro Si leggono i quadrati dei due lati"

33 Garfield, , 20 presidente degli Stati Uniti a b a Area trapezio = Area 3 triangoli (a+b)x(a+b) = 2ab+c b

34 Liu Hui, III sec. d. C Liu uno commentatore del libro dello gnomone Liu utilizza principio della scomposizione e rimontaggio

35 Quale limite ha questa dimostrazione?

36 Abu l-wafā matematico e astronomo persiano Henry Perigall agente di cambio astronomo dilettante

37 Domino spezzato matematico, orientalista svedese Jöran Friberg nato nel1932

38 Tempelhoff, 1769 (o Leonardo)

39 La dimostrazione di Euclide (300 a. C), fine del Libro I degli Elementi Per capire la dimostrazione di Euclide è necessaria una notevole conoscenza delle proprietà geometriche relative ai triangoli congruenti La figura che si ottiene per la dimostrazione è detta mulino a vento o coda del pavone o sedia della sposa

40 Estensione del teorema Le aree di poligoni regolari costruiti sui lati del triangolo rettangolo stanno tra loro come i quadrati dei rispettivi lati omologhi

41 Generalizzazione ai poligoni simili costruiti sui lati del triangolo rettangolo: la dimostrazione più semplice ed elegante, la bustina

42 Generalizzazione: In ogni triangolo rettangolo, l'area di un qualunque poligono, anche curvilineo, costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei poligoni simili a quello costruito sull'ipotenusa, costruiti sui cateti.

43 Teorema di Pappo V sec. d. C. Caso generale esteso a tutti i triangoli: Il teorema di Pitagora è un caso particolare del teorema di Pappo

44 Frattale simmetrico di Pitagora

45 Frattale di Pitagora

46 Bibliografia essenziale C era una volta un numero, la vera storia della Matematica George Gheverghese Josep Ed. Net Storia della matematica Carl B Boyer Dentro la matematica, il pensiero geometrico Bernardi, Cateni Fortini, Maracchia, Olivieri, Rohr Ed. Le Monnier La costruzione del piano, Cap. 1 W. Maraschini, M. Palma Ed. Paravia

47 Pagine web interessanti: ap5.html