Sistemi dinamici-parte 2 Equazioni di Hamilton: struttura simplettica e proprieta del flusso

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1 Sistemi dinamici-parte 2 Equazioni di : struttura e proprieta del flusso AM Cherubini 7 Maggio / 20

2 Dalle equazioni di Lagrange alle equazioni di Un sistema lagrangiano naturale L = K V si puo scrivere come sistema al primo ordine in modo diverso da quello standard e piu consono alla sua struttura. Si sfrutta la dipendenza quadratica da q attraverso K = 1 2 q A(q) q per scrivere le q in funzione dei momenti coniugati p i = L q i : p i e funzione di (q, q) e quindi la funzione p i q j = a ij (q) p : R 2n R n (q, q) p(q, q) = (p 1 (q, q),..., p n (q, q)) ha A(q) come matrice jacobiana rispetto alle q. A(q) ha determinante non nullo q 2 / 20

3 Per il teorema della funzione implicita e quindi possibile scrivere ciascuna delle q i come funzione regolare delle p e delle q q = ( q 1 (p,q),... q n (p,q)) Posso ora considerare (p,q) come variabili incognite e scrivere per esse delle equazioni, seguendo un procedimento gia visto nel caso delle variabili cicliche 3 / 20

4 Esempio: punto sul piano in coodinate cartesiane iana : K = 1 2 m(ẋ2 1 + ẋ 2 2) p 1 = mẋ 1 p 2 = mẋ 2 ẋ 1 (p,x) = p 1 m ẋ2(p,x) = p 2 m In questo caso le p sono le componenti della quantita di moto 4 / 20

5 ..e in coordinate polari iana : K = 1 2 m(ṙ2 + r 2 θ2 ) p r = mṙ ṙ(p r, p θ, r, θ) = p r m p θ = mr 2 θ θ(p r, p θ, r, θ) = p θ mr 2 In questo caso le p sono le componenti radiale e tangente del momento angolare 5 / 20

6 iana iana : A partire da L, definisco la funzione reale delle (p,q), H : R 2n R H(p, q) = p q L(q, q(p, q)) trasformata di Legendre di L H e la funzione di, o hamiltoniana del sistema Nel nostro caso L = K V, con K = 1 2 q A(q) q, H coincide l energia totale del sistema espressa in funzione di (p,q): infatti p = A(q) q H(p,q) = K(q, q(p,q)) + V (q) 6 / 20

7 Equazioni di Date L(q, q) e H(p,q) definite come sopra, con il sistema di n equazioni di Lagrange p = L q ṗ = L q e equivalente al sistema di 2n equazioni al primo ordine ṗ = H q H q = p Queste ultime sono le equazioni di, o equazioni canoniche 7 / 20

8 iana : Un generale un sistema differenziale nelle variabili (p,q) U R 2n e se esiste una funzione H : R 2n R sempre dimensione pari! per cui il sistema ha la forma incrociata ṗ = H q H q = p Questi sistemi non vengono solo dalla meccanica: sono presenti in ambiti della fisica, e non solo, molto diversi: cercate la struttura hamiltoniana nel modello di Lotka-Volterra per pecore e lupi 8 / 20

9 Esempio: iana : Per un punto sul piano in un campo di forze centrali, in coordinate polari si avra H = 1 2m con equazioni canoniche ( p 2 r + p2 θ r 2 ) + V (r) ṗ r ṗ θ ṙ = θ = = V (r) + p2 θ mr 3 = 0 quindi p θ e costante p r m p θ mr 2 9 / 20

10 iana : 10 / 20

11 Matrici iana : Definisco la matrice antisimmetrica 2n 2n ( ) 0 I E = I 0 I e 0 sono rispettivamente l identita e la matrice nulla in R n Una matrice A, 2n 2n, si dice se A T EA = E Le matrici formano gruppo Se A e deta = 1 11 / 20

12 Struttura del campo iana : Data una funzione H(p,q) ne considero il gradiente H = Moltiplico per E ( H p, H ) q E H = = (... H...,..., H )... p i q i ( H q, H ) p Se indico con x = (p,q), le equazioni di hanno quindi la forma ẋ = E H(x) 12 / 20

13 Flusso iana : Dato un sistema indichiamo con ẋ = F(x) Φ t F(x 0 ) il flusso, cioe la soluzione al tempo t relativa al dato iniziale x 0. Nel caso con hamiltoniana H, x = (p,q) e il flusso a volte viene indicizzato con H Φ t H(x 0 ) 13 / 20

14 iana : Il flusso definisce una trasformazione regolare nello spazio delle fasi x Φ t (x) e, se il sistema e autonomo, forma gruppo cioe Φ t+s = Φ t Φ s = Φ s Φ s Φ 0 e l identita ( Φ t) 1 = Φ t 14 / 20

15 Campi a iana : Dato un campo vettoriale F in R l si definisce la divergenza Dato il sistema ẋ = F(x) se divf = n i=1 Teorema divf = 0 F i x i il flusso conserva il volume nello spazio delle fasi cioe vol ( ) Φ t (V ) = vol (V ) per ogni sottoinsieme V dello spazio delle fasi 15 / 20

16 Corollario: iana : Il campo p V Φ t ( H q, H ) p ha, quindi il flusso conserva il volume nello spazio delle fasi Φ t (V) q 16 / 20

17 Conseguenze del iana : In un sistema autonomo non sono possibili equilibri asintotici. Infatti se un punto x 0 fosse un equilibrio asintotico per un suo intorno B ǫ (x 0 ) di raggio ǫ dovrebbe valere lim t Φt (B ǫ (x 0 )) = x 0 che contraddice la conservazione del volume Teorema del di Poincare. Enunciamo e dimostriamo, superficialmente, il teorema, molto famoso, ma per una discussione rigorosa servono altre nozioni. 17 / 20

18 Teorema del di Poincare iana : Dato un sistema autonomo definito in un sottoinsieme Ω di volume finito dello spazio delle fasi, sia B Ω una sfera piccola a piacere, e sia Φ t (B) la sua immagine al tempo t. Allora per ogni T esiste un tempo τ > T per cui Φ τ (B) B Corollario Quasi tutte le traiettorie che hanno origine in B vi ritornano infinite volte (cioe l insieme dei dati iniziali per cui questo non vale ha misura nulla) Attenzione: i tempi di in sistemi realistici sono lunghissimi 18 / 20

19 Dimostrazione del teorema iana : I punti cruciali sono 1. il dominio e limitato 2. il flusso conserva il volume (non e necessaria la struttura hamiltoniana) 3. il flusso ha proprieta di gruppo Supponiamo Ω R 2n limitato, B Ω sfera con raggio ǫ piccolo a piacere. Consideriamo l immagine di B per il flusso ai multipli del tempo T In particolare B 0 = B. Si ha B 1 = Φ T (B),...B i = Φ it (B)... vol(b i ) = vol(b) 19 / 20

20 iana : Esistono m < n tali che B n B m altrimenti, se i B i fossero tutti disgiunti la loro unione, contenuta in Ω, avrebbe volume infinito, il che e un assurdo. Se m = 0 il teorema e dimostrato, altrimenti si torna indietro con il flusso e si ha Φ T (B n B m ) = B n 1 B m 1 Iterando Φ nt (B n B m ) = B 0 B m n = B B m n ma B n B m e quindi anche B B m n. 20 / 20