Corso di teoria dei Sistemi Dinamici e di Meccanica superiore A.A e seguenti. Esercizi

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1 Corso di teoria dei Sistemi Dinamici e di Meccanica superiore A.A e seguenti. Esercizi 1 Si consideri l isomorfismo tra V V e Hom(V,V ) definito dalla estensione lineare di: v 1 v 2 φ v1 v 2 : V V φ v1 v 2 (v ) =< v,v 1 > v 2. Supponiamo ora V quadridimensionale. Sia {e 1,e 2,e 3,e 4 } una base di V, e sia {ǫ 1,...,ǫ 4 } la sua base duale (< ǫ j,e k >= δ j k ) in V. Sia p V V dato da p = e 1 e 3 e 3 e 1 + e 2 e 4 e 4 e 2. Calcolare il vettore z associato da p al covettore w = 4 j=1 w jǫ j. Sia M una varieta, e {q i,...,q n } coordinate su U M. Si calcolino le componenti [L X (T)] i j della derivata di Lie di un tensore di tipo 1, 1 lungo il campo vettoriale X = i Xi nella base dq j. q i q i Suggerimento: considerare un tensore decomponibile T = Y α. Siano M ed N varietà, ed F : M N una funzione liscia. Verificare che: a) Se X,Y, sono campi vettoriali N e X,Y sono campi vettoriali su M tali che X = F X,Y = F Y,allora b) se θ è una 1-forma su N, [X,Y ] = F [X,Y ]. d(f θ) = F (dθ)) 1

2 2 a) Sia M = (0, + ) (0, 2π) R, con coordinate (r,ϑ,z). Siano f = f(r,ϑ) e g = g(ϑ,z) funzioni su M che dipendono solo dalla coppia di variabili indicata. Si trovino le condizioni su f e g affinché la definizione: {r,ϑ} := f(r,z), {r,z} := 0, {ϑ,z} := g(ϑ,z) (2.1) dia luogo ad una parentesi di Poisson su M. b) Si pongano f(r,z) = z/r,g(ϑ,z) = z in (2.1), e dunque si consideri il tensore P := z r ovvero le parentesi di Poisson r ϑ + z ϑ z, (2.2) {r,ϑ} = z, {r,z} = 0, {ϑ,z} = z. (2.3) r Si dimostri che: i) Non esiste nessun campo vettoriale X H, Hamiltoniano rispetto a P (cioè, della forma X H = P dh), la cui curva integrale che parte da p 0 = (1,π/2, 0) passa per p = (1,π/4, 0). ii) Non esiste nessun campo vettoriale Hamiltoniano rispetto a P la cui curva integrale che parte da p 0 = (1,π/2, 3) passa per p = (2,π/4, 3). Attenzione: le risposte non richiedono l integrazione di alcun campo vettoriale. c) Verificare che dette H = 1 2 r2 + az, H = (a 1)z, si ha X H = X H e giustificare tale uguaglianza. d) Si consideri ora M come l immagine di un opportuno aperto di R 3 rispetto alla parametrizzazione data dalle coordinate cilindriche, ovvero, se (x 1,x 2,x 3 ) sono coordinate cartesiane in R 3, si consideri la trasformazione x 1 = r cos ϑ, x 2 = r sin ϑ, x 3 = z. (2.4) i) Si scriva il tensore P (della (2.2)) nelle coordinate x 1,x 2,x 3 (equivalentemente, si scrivano le parentesi di Poisson date da (2.3)) tra le cooordinate cartesiane x i, x j ), e si verifichi che P estende a tutto R 3. ii) Si caratterizzino le traiettorie del campo vettoriale X K = PdK con Hamiltoniana K = 1 2 (x2 1 κ 1 + x2 2 κ 2 ) + x 3 (κ i sono costanti.) 2

3 3 1) Si consideri un sistema la cui Lagrangiana sia L 0 (u,v, u, v) = 1 2 (U(u) + V (v))( u2 + v 2 ), (3.1) con U(u), V (v) funzioni arbitrarie (non identicamente nulle) dei rispettivi argomenti. a) Si scriva la Hamiltoniana H 0 del sistema; b) Si dimostri che la equazione di Hamilton-Jacobi (HJ) associata ad H 0 è separabile nelle coordinate u,v. c) Si pongano: U(u) = u 2, V (v) = v nel quadrante u,v > 0. Risolvere esplicitamente le equazioni di HJ. d) Si aggiunga ad H 0 il termine di energia potenziale F(u,v) e si determini la forma funzionale di tale termine affinché le eq. HJ associate ad H = H 0 + F(u,v) rimangano separabili. 4 Si consideri, in T R 2 parametrizzato da (u 1,u 2,q 1,q 2 ) la parentesi definita da: {q i,q j } = 0, {u i,q j } = δ ij = {q j,u i }, {u 1,u 2 } = f(q 1,q 2 ) = {u 2,u 1 }, {u i,u i } = 0, i,j = (4.1) 1) Si dimostri che {, } definisce una parentesi di Poisson per ogni scelta di una due forma ω = f(q 1,q 2 )dq 1 dq 2 in R 2 2) Posta f(q 1,q 2 ) = B(costante), si trovino coordinate canoniche per la parentesi (4.1). 3) Lo stesso per una funzione f(q 1,q 2 ) := f ( q1 2 + q2 2 ). 3

4 5 Si consideri, in T (R 2 \{0}) parametrizzato da coordinate canoniche {p 1,p 2,q 1,q 2 } la Hamitoniana H = 1/2(p p 2 β 2) + (q 1 p 2 q 2 p 1 ) + α log( q 2 q q q2), 2 (5.1) dove α,β sono due costanti. 1) Si dimostri che H è completamente integrabile; 2) Si discuta l esistenza di coordinate azione-angolo al variare dei parametri α,β. 3 Si mostri che l equazione di Hamilton-Jacobi definita da (5.1) è separabile in coordinate polari su R 2 \ {0}. Hint: Utilizzare anche nei punti 1,2 coordinate polari. Siano p e q coordinate canoniche in R 2 ({q,p} = 1). 6 1) Si consideri il campo vettoriale { q = p f(q) X := ṗ = p g(q) q 3 (6.1) Si determini la condizione su f(q) e g(q) affinché X sia un campo hamiltoniano e se ne scriva la Hamiltoniana H. 2) Si trovi una trasformazione canonica (p,q) (P,Q) tale che la funzione di Hamilton H assuma la forma H(P,Q) = 1 2 P 2 + G(Q) (6.2) e se ne scriva una funzione generatrice. Hint: si cerchi una trasformazione del tipo Q = q, P = P(q, p). 3) Si consideri il caso f(q) = aq 2 e si discuta (nelle corrispondenti variabili (P,Q)) la struttura dei tori di Liouville al variare del parametro reale a. 7 Siano (p 1,p 2,q 1,q 2 ) coordinate canoniche in T R 2 e si consideri la Hamiltoniana H = 1 2 (p2 1 + p 2 2) α r + βq 1, (7.1) 4

5 dove α,β sono due costanti reali, ed r = q1 2 + q2. 2 1) Si dimostri che H è separabile nelle coordinate paraboliche ξ, η definite da: { ξ = 1 (r + q 2 1) η = 1(r q (7.2) 2 1) Hint:si ricordi che p 1 dq 1 + p 2 dq 2 = p ξ dξ + p η dη (Facoltativo: giustificare la denominazione paraboliche per le coordinate (ξ,η).) 2) Utilizzando il risultato del punto 1), trovare una seconda costante del moto K per H. 8 Si consideri, su M = R 5, con coordinate {p 1,p 2,p 3,a 1,a 2 }, il bivettore definito dalla matrice a a 1 a 2 P = a 2 a 1 a , (8.1) 0 a 2 a e si consideri su M la funzione H 1 = 1 2 (p2 1 + p p 2 3) + a a 2 2. (8.2) 1. Si dimostri che P è un tensore di Poisson. 2. Si trovi la funzione di Casimir H 0 di P. 3. Si calcoli il campo vettoriale X H1 associato ad H 1 tramite P. 4. Si trovi una matrice M tale che, (per a 1 e a 2 diversi da zero) X H1 ammetta una rappresentazione di Lax p dl = [L,M], con L = a 2 1 p 2 1. (8.3) dt 0 a 2 2 p 3 5

6 5. Si trovi una terza costante del moto H 2, funzionalmente indipendente da H 0 ed H 1. Nota: Non serve calcolarla esplicitamente. Basta definirla e osservare che è cubica nelle p i.... Alternativamente, ricordando che una evoluzione di Lax è isospettrale, si consideri Det(L). 6. Si dimostri che {H n,h m } = 0, per n,m = 0, 1, 2, dove {, } sono le parentesi di Poisson associate a P (eq. (8.3)). 7. Si cerchi una matrice invertibile G tale che p 1 a 1 0 L = GL G 1, dove L = a 1 p 2 a 2, (8.4) 0 a 2 p 3 e si dimostri che L soddifa anch essa un equazione di Lax. Hints Punto 1) Si osservi che le uniche parentesi non nulle tra le coordinate (p i,a β ) sono p i,a β } = δ i,β a β + δ i 1,β a β, i = 1, 2, 3, β = 1, 2. (δ ab è la delta di Kronecker) e si dimostri preliminarmente che quindi basta verificare la identità di Jacobi per terne del tipo (p i,p j,a β ), j < i = 1,...3; β = 1, 2. Si verifichi almeno un caso. Punto 4) Si cerchi il secondo elemento M della coppia di Lax (8.3) della forma M = a 2 1 f a 2 2 f 2 con f i funzioni su R 5 da determinare. Punto 7) Si cerchi G della forma G = 0 g 1 0, 0 0 g 2 con g 1 e g 2 funzioni su R 5 da determinare. 6

7 9 Siano (x,y) coordinate cartesiane in R 2 privato della diagonale D := {x = y}, e siano p x,p y i loro momenti coniugati. Si fissi n N e si consideri la Hamiltoniana H = 1 p 2 x + p 2 n y 2 x y + 2 x j y n j. (9.1) 1) Si dimostri che H è separabile nelle coordinate (x,y). 2) Si dimostri che per n = 2 l equazione di Hamilton-Jacobi si può risolvere tramite la funzione di Weierstrass. Hint: Si trovi una seconda costante del moto K e si scrivano le relazioni di separazione. j=0 10 Sia M lo spazio euclideo privato dell asse verticale x 3. Si considerino in T M le due parentesi {, } 1,2 definite da {x i,x j } 1,2 = 0; {x i,p j } 1,2 = δ i j; {p 2,p 3 } 1,2 = 0 {p 1,p 2 } 1 = x r 2, {p 1,p 3 } 1 = y r 2 mentre {p 1,p 2 } 2 = y r 2, {p 1,p 3 } 2 = x r 2. (10.1) Qui, x i sono coordinate cartesiane in R 3, r 2 = x 2 1 +x 2 2 e p i sono coordinate sulle fibre di T M. 1) Si dimostri che entrambe le parentesi sono di Poisson. 2) Si dimostri che ogni combinazione lineare a 1 {, } 1 + a 2 {, } 2 è ancora una parentesi di Poisson. 3) Si determinino coordinate canoniche (x i,s i ) per {, } 1 e (x i,t i ) per {, } 2. 4) Si discuta il dominio massimale di definizione dei due set di coordinate definiti al punto 3). 7

8 11 Sia M = R 3 + (dove R + = (0, + )) con coordinate x 1,x 2,x 3 e si consideri il tensore doppio controvariante 0 x 1 x 2 x 1 x 3 3 P = P ij, con P ij := x ij=1 i x j x 1 x 2 0 x 2 x 3. (11.1) x 1 x 3 x 2 x 3 0 1) Si dimostri che P definisce su M una parentesi di Poisson, tramite {x i,x j } := P ij. 2) Si dimostri che, per qualunque funzione F = F(x 1,x 2,x 3 ), il flusso del campo Hamiltoniano X F := PdF avviene su una (opportuna) superficie S A definita dall equazione x 3 = A x 1 x 2, (11.2) e si determini la costante A in funzione del dato iniziale x 1 (0),x 2 (0),x 3 (0). 3) Si discuta la struttura delle orbite del campo X H associato alla Hamiltoniana H = x 1 + x 2 + x 3. 4) Osservato che {x 1,x 2 } := P 12 definisce su S A una parentesi di Poisson simplettica, se ne calcolino coordinate canoniche. Hint: può essere conveniente sfruttare la simmetria di P e cercare una trasformazione della forma y 1 = f(x 1 ),y 2 = f(x 2 ). 12 Siano (x,y) coordinate cartesiane in R 2, p x,p y i loro momenti coniugati, e si consideri la Hamiltoniana H 1 = 1 2 (p2 x + p 2 y) + β(x 2 + y 2 ) + α x y 2 (12.1) (α, β sono costanti reali), definita per x 0, y 0). 1) Si dimostri che H 1 è separabile 1 nelle coordinate canoniche (x,y,p x,p y ), e si 1 Cioè che l equazione di Hamilton-Jacobi associata as H è separabile... 8

9 trovi una seconda costante del moto H 2 per H 1. 2) Si dimostri che H 1 è separabile anche nelle (coordinate canoniche associate alle) coordinate polari (r,θ) nel piano, definite da x = r cos θ, y = r sin θ. 3) Utilizzando il risultato del punto 2), si trovi una terza costante del moto H 3 per H 1. 4) Si dimostri l indipendenza funzionale delle tre costanti del moto H 1, H 2 e H 3, senza calcolare esplicitamente il rango della matrice jacobiana delle H i rispetto ad un set di coordinate. 9