20. Equazioni di campo per i fluidi

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1 20. Equazioni di campo per i fluidi Consideriamo un sistema Hamiltoniano con d gradi di libertà. Se x = x 1,...,x 2d è un sistema di coordinate canoniche le equazioni del moto si scrivono dx = J Se x = x 1,...,x 2d è un nuovo sistema di coordinate e M è la matrice Jacobiana le equazioni del moto diventano dx = P P = MJ M M ij = i j Le parentesi di Poisson nelle vecchie e nuove coordinate si scrivono [f,g] = f g J = f g P La identità di Jacobi vale nelle vecchie e nuove coordinate ed implica che P ij oltre alla condizione di antisimmetria soddisfi la condizione P il P jk l +P jl P ki l +P kl P ij l = 0 Teorema di Darboux Consideriamo ora un sistema di equazioni in uno spazio delle fasi di dimensione n 2 dx = Φx t esupponiamo cheesistauna funzione H eduna matriceantisimmetricapx echesoddisfa la identità di Jacobi * tali che Φx si possa scrivere come P applicata al gradiente di H e quindi la equazione del moto assuma la forma dx = P É stato provato da Darboux che se n = 2d è pari e se detp 0 esiste localmente una trasformazione di coordinate x x con matrice Jacobiana M tale che P = MJ M. Se detp = 0 condizione sempre soddisfatta se n è dispari, allora se 0 è un autovalore di molteplicità n 2d esiste localmente una trasformazione di coordinate x x con matrice jacobiana M non singolare tale che P = MJ 2d 0 n 2d M M 1 P M 1 = I d 0 I d n 2d

2 dove I d è la matrice identità d d e 0 m è la matrice nulla m m. La matrice M 1 1 P M ha uno spazio nullo di dimensione n 2d ed autovettori e j = j j = 2d+1,...,n 2d Definiamo allora le funzioni C j ed i loro gradienti x j = C j x u j = j = C j j = 2d+1,...,n I gradienti u j formano la base dello spazio nullo. Infatti sono linearmente indipendenti per l ipotesi che M sia non singolare. Notiamo che M 1 e j = u j poiché Ne segue che M 1 e j k = M 1 kl e j l = M 1 kl δ jl = M 1 jk = j k = u j k Pu j = P M 1 e j = MJe j = 0 j = 2d+1,...,n 2d Siccome u j formano la base nello spazio nullo di P si ha che C j sono integrali primi dc j = [C j,h] = C j P = Pu j = Pu j = 0 Questi invarianti sono di carattere geometrico. Le coordinate x j sono costanti per j > 2d e quindi si ha una struttura hamiltoniana canonica in uno spazio delle fasi di dimensioni 2d. Se sono soddisfatte le condizioni del teorema di Arnold-Liouville eisteno d integrali primi del moto, di natura dinamica, H 1,..,H d tra loro in involuzione che danno una foliazione in della varietà H = E in tori invarianti. Nelle coordinate x i si hanno quindi d integrali primi in involuzione tra loro ed i Casimir. Il Teorema di Liouville Consideriamo una sistema Hamiltoniano in coordinate canoniche. Il campo vettoriale essendo della forma Φ = J/ ha divergenza nulla divφ = i 2 H J ik = J ik = 0 k i k per l antisimmetria di J. Tuttavia in coordinate non canoniche il campo é Φ = P/ dove P è antisimmetrico ma non più costante in generale e quindi divφ = i P ik k = P ik 2 H i k + P ik i k = P ik i k 0 373

3 Indichiamo con x 0 le coordinte iniziali e con i / 0j la matrice jacobiana della trasformazione dalle coordinate iniziali x 0 a quelle all istante t date da x = S t x 0 e con µ il suo determinante. Le derivate temporali di µ e della densità ρ = ρ 0 /µ sono date da dµ = µ divφ dρ = ρ divφ La seconda equazione è equivalente alla equazione di continuità se esprimiamo la derivata temporale come derivata euleriana. Se Φ ha divergenza nulla si conservano i volumi e la densità lungo ogni traiettoria nello spazio delle fasi. Se la divergenza non è nulla come avviene nel caso di coordinate non canoniche, i volumi non si conservano in questo caso si ha che dx 0 = dx µ pertanto detto un qualsiasi dominio iniziale e Dt il suo trasformato all istante t si da V 0 = dx 0 = Dt µ 1 dx Invece il volume dell evoluto al tempo t del dominio iniziale non si conserva V = Dt dx = µdx 0 dv 0 = 0 dv = dµ dx 0 = Dt divφdx Chiaramente invece il volume dell immagine di un dominio iniziale non si conserva nel caso di coordinate non canoniche perché div Φ 0. Un esempio: il corpo rigido libero Nel sistema solidale le equazioni del moto di un corpo rigido con un punto fisso si scrivono dove dl = dl +ω L = 0 L = L ie i L i = I i ω i Abbiamo indicato con e i i versori nel sistema solidale coincidente con gli assi principali di inerzia, con L i le componenti del momento angolare e con I i i momenti principali di inerzia. Riscriviamo le equazioni nella forma dl i = ǫ ijk L j L k I j 374

4 Ricordiamo che l hamiltoniana coincide con la energia cinetica e si scrive H = 1 2 i I j ω j 2 1 = 2 i L 2 j I j Le equazioni del moto si prossono riscrivere nella forma dl i = [L i,h] = P ij L j P ij = ǫ ijk L k Esiste un cambiamento di variabili x 1,x 2,x 3 L 1,L 2,L 3 con matrice Jacobiana M che trasforma la matrice P nella matrice J definita sotto M 1 P M 1 = J = Nelle coordinate x 1,x 2,x 3 l autovalore e 3 corrisponde all autovalore nullo mentre nelle coordinate di partenza è u = L 1,L 2,L 3. Quindi da u i = C/L i segue che il Casimir è dato da C = 1 L 2 2 i Sappiamo che il vettore L è conservato nel sistema di riferimento fisso inerziale mentre non è conservato nel sistema solidale corotante, dove però si conserva la sua norma. Nel sistema fisso scegliamo e z lungo L. Formulazione lagrangiana per fluido inviscido Consideriamo un fluido e siano X le coordinate iniziali di un suo punto qualunque nello spazio delle configurazioni e x = xx,t le corrispondenti coordinate del suo evoluto all istante t. Notiamo che x dipende non solo dalla posizione iniziale X ma anche dalla velocità iniziale. Sia ρ 0 X = dm/dx la densità iniziale ed indichiamo con F ij la matrice Jacobiana della trasformazione dalle coordinate iniziali a quelle al tempo di un punto del fluido e J il suo determinante F ij = i J = detf La densità in un punto del fluido all stante t è data da ρ = dm dx = 1 J dm dx = ρ 0 J La densità di esprime in forma lagrangiana ρ L o euleriana ρ E ρ E x,t = ρ E xx,t,y= ρ L X,t 375

5 . Anche il campo di velocità v = dx/ può essere espresso in forma lagrangiana o euleriana. LaLagrangianaperunfluidocontenutoindominioDtaltempotimmaginediundominio iniziale è data da 1 1 L = ρx, t D 2 v iv i UF dx = ρ 0 X 2 v iv i UF dx LdX La densità di lagrangiana dipende dai campi x i X,t e dalle sue derivate rispetto al tempo v i ed alle coordinate spaziali F ij 1 L = Lx,v,F = ρ 0 X 2 v iv i UF L azione è quindi data da A = tb t a LdX e definita su traiettie ad estremi fissi per t = t a,t b. La soluzione che rende A stazionario soddisfa le equazioni del moto di Lagrange si scrivono nella forma Calcolando le derivate si ottiene L + L L = 0 tv i F ij X i ρ 0 dv i U ρ 0 = 0 F ij Risultati più espliciti si ottengono se si suppone che la energia interna sia funzione solo della densità ρ0 U = Uρ = U J In questo caso infatti ρ 0 F ij U ρ0 = J [ ρ0 Ricordiamo ora che ρ = ρ 0 /J e che vale le seguenti relazione p = ρ 2U ρ J 2 ] U ρ0 J J F ij Inoltre detti A ij i minori della matrice F valgono le seguenti relazioni J F ij = A ji F kj A ji = J δ ik 376

6 Quindi la equazione del moto diventa e si riduce a usando la relazione ρ 0 dv i + pa ji = 0 dv i ρ 0 +A p ji = 0 A ji = 0 Dividendo per J la equazione del moto si trova ρ dv i + 1 J F kja ji k p = 0 che si riduce alla equazione del moto per un fluido inviscido ρ dv i = δ p ik = p k i Nota sui minori di F Partiamo dalla definizione di determinate e dei minori J = detf = ǫ ijk F 1i F 2j F 3k A ik = 1 2 ǫ imnǫ kjl F jm F ln che si verifica direttamente essere corretta. Vale inoltre la relazione Per provarla osserviamo che A ik F kr = Jδ ir A ik F kr = 1 2 ǫ imnǫ kjl F kr F jm F ln = 1 2 ǫ imnǫ rmn J = δ ir J Ne segue la formula di sviluppo secondo i minori prendendo i = r. Da k A ikf ki = J segue che J A ik = F ki Infine notiamo che A ik i = 1 2 ǫ imnǫ kjl F ln 2 x j 2 x l +F jm = 0 X i X m X n X i 377

7 formulazione Hamiltoniana Possiamo per questo sistema fornire la formulazione hamiltoniana canonica. Essendo la densità di lagrangiana Lx, v, F i momenti canonicamente coniugati sono π i = L v i = ρ 0 v i e quindi la Hamiltoniana è H = Hx,π,FdX H = p i v i L = 1 v i v i +ρ 0 UF 2ρ 0 Le equazioni del moto sono deducibili dal principio variazionale. Nel caso in cui U = Uρ = Uρ 0 /J abbiamo ẋ i v i = = p i p i ρ 0 ṗ i = i + F ij = ρ 2 U ρa ij = A ij F kj p k = J p i Queste equazioni corrispondono alle equazioni lagrangiane scritte in precedenza. Infatti ricordando che ρ = ρ 0 /J si ha ṗ i J = ρdv i = p i Formulazione hamiltoniana non canonica per fluidi Consideriamo la equazione di Korteveg-de-Vries v t +vv + 3 v 3 = 0 che supponiamo definita su x R con la condizione che v siannulli all infinito. In questo caso esiste una struttura hamiltoniana definita da H = Hvx, x vx dx H = 1 6 v3 1 2 v 2 rispetto ad una parentesi di Poisson non canonica [F,G] = dx F G vx vx Quindi si ha P = x. Notiamo che l equazione di Hamilton con questa parentesi di Poisson è proprio KV. Infatti in generale se H = Hπ,φ, x φ tramite una integrazione per parti otteniamo che δh δvx = v x x v x = 1 2 v2 x+ 2 v 2 378

8 quindi la equazione di Hamilton diventa v δvx t = [vx,h] = δh δvx δvx dx = dx δx x δh δvx dx = = δh δvx = vxv 2 v 3 Il Casimir in questo caso è dato da P δc δvx = δc δvx = 0 δc δvx = c where c is arbitrary constant so that choosing c = 1 we have C = dxvx,t Un altro esempio è l avvezione libera v t +vv La struttura di Poisson è la stessa P = x. La densità di Hamiltoniana è H = v 3 /6 ed il Casimir è quello trovato per KV. In questo caso esiste un altra struttura di Poisson [F,G] = 1 δf dx vx δg 3 δvx δvx δg δf δvx δvx In questo caso l hamiltoniana è data dalla energia cinetica H = 1 dx v 2 x 2 Ne segue che δh/δvx = vx e quindi [vx,h] = 1 dx vx δx x v 3 v2 x δx x = = 1 3 vx v + v2 x = vx v In questo caso il Casimir cambia. Per trovare il Casimir riscriviamo la parentedi Poisson nel modo seguente dopo una integrazione per parti [F,G] = dx δf δg δvx Px δvx Px = vx + vx = 2vx + vx 379

9 Per calcolare il Casimir poniamo δc/δvx = fx Dividendo per v f troviamo Pfx = 2v δc δvx = 2vf + v f = 0 2logf +logv = logf2 v = 0 da cui f = cv 1/2 e scegliendo la costante c = 1/2 abbiamo δc δx = 1 2 v 1/2 C = dxv 1/2 x,t Consideriamo ora il caso di un fluido 1D compressibile la cui hamiltoniana si scrive 1 H = 2 ρv2 +ρuρ dx i campi sono ora v,ρ anziché x,π come nella formulazione hamiltoniana canonica. Si introduce la parentesi di Poisson [F,G] = δf dx δg δv δg δf δv Dopo una integrazione per parti riscriviamo la prentesi di Poisson nella forma [F,G] = δf dx δg δv + δf δv Le equazioni di Hamilton diventano δg = ρ t = [ρ,h] = dx δf δf δv δh δvx = ρv che coincide con l equazione di continuità. La seconda equazione è v t = δh x = 1 v x 0 ρuρ = vv ρ U +ρ U ρ δg δg δv Osservando che U +ρ U = 1 ρ ρ p si ricava la equazione del moto per il fluido. Questa ultima relazione si ottiene usando i potenziali termodinamici. 380

10 Per calcolare i Casimir partiamo da P = δc δc δv 0 x 0 δc δc = 0 δv che implica δc = c δc 1 δv = c 2 dove c 1 e c 2 sono due costanti arbitrarie. Questo significa che il Casimir è dato da C = c 1 ρdx+c 2 vdx L arbitrarietà di c 1 e c 2 implica che ci sono due Casimir indipendenti C 1 = ρdx C 2 = vdx Richiamo di termodinamica La variazione di energia interna per il primo principio è data da du = dq pdv Come variabili di stato scegliamo la entropia S, la densità ρ = 1/V, la temperatura T e la pressione p. Tenendo conto che possiamo riscrivere ds = dq T du = TdS + p ρ 2dρ da cui segue che U p = ρ 2 ρ S T = U S ρ dove x indica che la derivata tra parentesi è fatta a x costante. Con una trasformata di Legendre introduciamo la entalpia prendendo il differenziale si ottiene da cui segue che 1 ρ = H = U +pv = U + p ρ p S dh = TdS + dp ρ T = S ρ Se si fa una variazione a entropia costante si ottiene dh = ρ 1 dp. e nel caso in cui p dipenda solo da x si ha = U +ρ U = 1 p ρ ρ 381