GE110 Soluzioni Tutorato 2 a cura del Dott. Giordano Agostini e di Giulia Salustri e Andrea Cattaneo

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1 GE0 Soluzioni Tutorato a cura del Dott. Giordano Agostini e di Giulia Salustri e Andrea Cattaneo Universitá degli studi oma Tre, Corso di Laurea in Matematica Anno Accademico 0/0. Si determini l'inversa delle seguenti matrici: A, B, 5 6 C 7 0. NB Per la risoluzione dell'esercizio possono essere utilizzati due metodi diversi. Li utilizzeremo alternativamente i Consideriamo la matrice A e aanchiamo ad essa la matrice identità, ottenendo così la seguente matrice: A 0 A questo punto cerchiamo, tramite operazioni elementari sulle righe di A, di spostare la matrice identità sulla sinistra. I PASSO: Sottraiamo alla seconda riga il doppio della prima cioè applichiamo la seguente operazione elementare: Otteniamo così la matrice 0 II PASSO: Dividiamo la seconda riga per, cioè Siamo arrivati a 0 ; possiamo subito notare che ora la matrice identità è a sinistra; ma allora: A ii Utilizziamo l'altro metodo, sfruttando la denizione di inversa. Voglio trovare B tale che BB I. Ma allora, usando una matrice generica:

2 x y 5 z t, da cui il seguente sistema: 0 x + z y + t 0 x + 5z 0 y + 5t le cui soluzioni sono x, y, z, t 5, 9 5 Quindi B ,, iii Torniamo a utilizzare il primo metodo NB Per ottenere i coecienti del sesto passaggio si ragiona così: il nostro scopo è quello di ottenere uno 0 al posto del della seconda riga; per farlo, devo sfruttare necessariamente la terza; la utilizzo così: voglio trovare x t.c. x 0. isolvendo 5 l'equazione ottengo x 85. Un procedimento simile può essere seguito ogni qualvolta risulti dicoltoso trovare i coecienti adatti da moltiplicare a una riga.. Si mostri che per ogni matrice invertibile A si ha che A t A t. Se A é una matrice invertibile si ha I I t AA t A t A t,

3 quindi A t A t.. Si mostri che l'inversa di ogni matrice simmetrica invertibile è anch'essa simmetrica. Una matrice è simmetrica se A A t. Ma allora: A A t A t dove per la seconda uguaglianza abbiamo usato l'esercizio. 4. Si determinino, se esistono, tutte le soluzioni dei seguenti sistemi di equazioni lineari, utilizzando il metodo di Gauss-Jordan: y x + 0y 0 5z! soluzione 0,, 5 y x + z 0 x + y + z soluzioni del tipo t,, t y + z 0 x + y + z x + y + 4z soluzioni del tipo t, t, t x + 5z 0 x + y z x + y 8z 0 il sistema é incompatibile x y + z 5t 0 x + y + z t x + y + z + t 0 x + 4y z + t 0

4 il sistema é incompatibile 5. Si discuta il seguente sistema, al variare del parametro h : x y + z hx + y + z x + hy + z soluzioni per h e h,, +h +h per h il sistema é incompatibile; per h il sistema ha soluzioni del tipo t,, t 6. Si scrivano le seguenti matrici come prodotto di matrici elementari: A B 4 Innanzitutto bisogna osservare che entrambe le matrici sono invertibili e che pertanto possono essere scritte come prodotto di matrici elementari. Iniziamo allora con lo svolgimento: Tramite operazioni elementari sulle righe di A vogliamo ottenere la matrice identità sarà più chiara ad esercizio concluso la motivazione;. La stessa operazione la facciamo sulle righe della matrice identità:. 0 A questo punto possiamo scrivere:. Ora: e anche Otteniamo:

5 . Inne 0 0 0, da cui Tutti questi calcoli sono serviti per arrivare alla matrice I; a questo punto torniamo indietro, sostituendo successivamente tutte le uguaglianze ottenute: Se adesso poniamo X 0, Y e Z 0 I XY Z A e quindi Z Y X Z Y X XY Z A A. Per concludere basta quindi calcolare X, Y e Z con i metodi già visti nell'esercizio. Per quanto riguarda la matrice B il procedimento è praticamente identico. si ha 7. Si enunci la denizione di spazio vettoriale e si dia a K n una struttura di spazio vettoriale sul campo K. Per la denizione di spazio vettoriale e per il caso di K n si può consultare il Sernesi alle pagine 7 e 8 denizione. ed esempio... 5