Soluzioni. Capitolo. Soluzioni

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1 Capitolo 7 Soluzioni Soluzioni. Fissiao un asse delle ascisse nella direzione in cui sta aanzando l auto ed eguagliao l ipulso della forza esercitata alla differenza di quantità di oto fra l istante in cui l auto è fera e quello in cui ha iniziato a frenare: 7.0 k/h (000/ 600) 0.0 /s p in (.50 0 kg )(0.0 /s ) kg /s p 0 kg /s fin in p p F t ( ) kg /s F (0.0 s) F N N 0.0 I N 0.0 s N s cioè F N ed I N s Il risultato può essere raffigurato in una quadrettatura di (0.0 /s ) ( kg) per la quantità di oto e di 0 N 5.0 s per l ipulso. fin.50 0 kg p 0.0/s 5.00 I 0 N 0.0s. Lungo un asse delle ascisse orientato nel erso di aanzaento, la ariazione di quantità di oto da produrre nel razzo è: p p ( ) kg /s.500 kg /s fin in fin in che applicando una forza costante di 00 N si può ottenere in un tepo di:.500 t 00 s 6.9 s

2 5. Se i otori esercitano una spinta costante si tratta di oto uniforeente accelerato pertanto la elocità edia è pari alla edia aritetica fra il alore finale e quello iniziale. Ponendo l asse in direzione e erso del decollo: /s /s /s.7 /s 600 quindi la durata coplessia del decollo è: L 00 t s 6. s.7 Calcoliao la ariazione nella quantità di oto durante il decollo: p ( kg )(69. /s) kg /s 6 ed uguagliaola all ipulso per ricaare la spinta dei otori: kg /s I F t kg /s F N 6. s 6. In base ai dati del testo, l auto annulla la propria quantità di oto in uno spazio di 0.0 c Con le forule di cineatica calcoliao l accelerazione edia a cioè il alore costante di accelerazione che produrrebbe quella stessa ariazione di elocità. Lungo la direzione orizzontale orientata nel erso della elocità iniziale abbiao: in 8.5(000 / 600) /s /s fin in 0 a a La forza edia è il alore costante di forza che produce l accelerazione edia: F a 00 kg (.8) /s.66 0 N 6 Calcoliao la durata dell ipatto uguagliando l ipulso alla ariazione della quantità di oto: F t fin in fin in 600 t s 0.0 s F Posto un asse delle ascisse orizzontale, orientato nel erso dell aanzaento del blocco, ed indicata con f d l attrito dinaico, risulta: ( f ) t p d ( f cos0.0 ) t f d d cos cos 0.0 N. N t.0 8. Possiao stiare la durata t dell ipatto col paiento calcolando la differenza fra gli. s forniti dal testo e quelli necessari alla caduta e risalita, entrabi ottenibili con la forula di cineatica h / g dato che le due quote h.50 sono uguali: h t. s. s. s 0.0 s g

3 La forza edia F è quel alore costante che produce la ariazione di quantità di oto osserata agendo per lo stesso tepo della forza era. Ricordando che in un riferiento erticale orientato in alto la elocità con cui tocca terra un oggetto lasciato andare da quota h ale gh e che quella necessaria per giungere fero a quota h ha lo stesso alore (a segno opposto) gh : F ( ) y t y y gh gh gh F y gh N.5 N t Per aere la forza edia esercitata sulla pallottola occorre diidere la ariazione della sua quantità di oto per il tepo che questa trascorre nella canna, doe iene accelerata. Lungo un asse delle ascisse orientato nella direzione dello sparo si ha: p 0 (.00 0 kg)( 0 /s) F edia, t t t Se la pallottola si uoe di oto uniforeente accelerato possiao facilente calcolane la elocità edia coe edia aritetica fra la elocità finale e quella iniziale, e da questa ottenere il tepo di percorrenza della canna: 0 0 /s 60 /s t 70.0 c t.8 0 s 60 /s F edia, (.00 0 kg)( 0 /s) 5 N.80 s 0. Il pattinatore aanzerà nella stessa direzione dello zaino a in erso opposto. Lungo un asse delle ascisse orientato nel erso in cui si uoe il pattinatore si consera la quantità di oto, dato che le forze in quella direzione sono tutte interne al sistea. Indicate con V.00 /s e le coponenti lungo tale asse della elocità, rispettiaente, di pattinatore e zaino: p ( MV 0) ( 0) 0 V 5.00 (.00) /s 0.88 /s M Lungo un asse delle ascisse orientato nel erso di uscita del proiettile si consera la quantità di oto coplessia, dato che le forze agenti sono interne al sistea. Indicate con V e le elocità, rispettiaente, di pistola e proiettile: p ( MV 0) ( 0) V /s.07 /s M I cabiaenti di quantità di oto sono uguali a in erso opposto: MV ( kg )(65 /s ).9 kg /s y y

4 entre l energia coplessiaente rilasciata in fora cinetica è la soa delle energie cinetiche di pistola e proiettile: K V ( )J 5 J.8 J 57 J. Sapendo che è nulla la quantità di oto iniziale del sistea forato dal fucile e dal proiettile, dorà essere nulla anche dopo lo sparo, isto che le forze che hanno agito sono interne, Fissiao un asse delle ascisse orientato dal fucile al proiettile, lungo di esso areo: M 0 60 /s.50 /s F P F P M.00 Per ferare il fucile bisogna azzerare la sua quantità di oto, cioè occorre esercitare una forza F in direzione dell asse delle ascisse tale che il suo ipulso sia: F t Mp M(0 ).00 (.50) N s 0. N s F La forza risulta allora: F 0. N s 0. N s.6 N t.50 s. Calcoliao l ipulso applicato al razzo dall espulsione del carburante. Lungo un asse orientato nella direzione di aanzaento si ha: I F t 00 N 60.0 s N s kg /s p Quest ipulso è pari alla ariazione nella quantità di oto del razzo nello stesso interallo di tepo: p (700 kg )(50 /s ).860 kg /s in p p I ( ) kg /s.7 0 kg /s fin in desso consideriao che al terine della spinta il cobustibile è stato espulso e quindi la assa del razzo è dientata 600 kg. Da questo dato possiao ricaare la elocità raggiunta:.7 0 p.7 0 kg /s /s /s fin fin fin fin Il problea è del tutto siile a quello di un razzo che espelle propellente. In questo caso il tasso di espulsione di tre palline al secondo corrisponde a perdere assa in ragione di: 0.50 kg/s kg/s t Indichiao con M( t ) la assa del carrello in funzione del tepo che passa. Ogni secondo dobbiao sottrarre kg al alore iniziale M = 00 kg : kg M( t) M t 00 kg t t s Lungo un asse delle orientato nel erso di aanzaento si ha:

5 e / t F M( t) a ( ) p e M t a a t M( t) Per aere l accelerazione dopo della assa: M(0.0 s ) 00 kg s 85.0 kg kg s 0.0 s basta sostituire il corrispondente alore e / t a (0.0 s ) /s /s M(0.0 s) Indichiao con M( t ) la assa del razzo in funzione del tepo che passa. Ogni secondo dobbiao sottrarre / t al alore iniziale M = 500 kg : t t M ( t ) M t 500 kg t Lungo un asse delle y orientato in alto si ha: Fpy Wy M( t) ay e M( t) gm M( t) ay e M( t)( gm ay) t t Sappiao che quando t 5.0 s si dee aere a.50 /s. Sostituendo: t t (00 /s ) 500 kg 5.0 s (.7 /s.50 /s ) /s kg (00 ) s (6. /s ) t t (00 /s 9. /s ) 500 kg (6. /s ) t t kg/s 7.9 kg/s 9 t y M (5.0 s ) M t 500 kg (7.9 kg/s )(5.0 s ) 8 kg 7. L intensità della spinta generata dal otore ale: 5.0 e 0.0 /s kg/s 00 N t.5 ed essa in un inuto applica un ipulso pari a: N s I N s p.00 kg /s che coincide con il cabiaento della quantità di oto del jet, qualunque sia la sua assa. 8. Il piatto della bilancia iene colpito costanteente ogni secondo da 0.50 kg di acqua cioè / t 0.50 kg/s, alla elocità pari a quella che raggiunge un oggetto che cade da un altezza asse y orientato in alto: y gh /s.8 /s h 5.0 c e cioè lungo un E quindi ogni secondo dee proedere alla ariazione di una quantità di oto: p 0 y y (.8 /s )(0.50 kg/s ) kg /s y t t t a cui corrisponde una forza edia che il piatto dee esercitare: 5

6 py F 0.97 N yedia t uguale e contraria, per la terza legge della dinaica, alla forza che l acqua esercita sul piatto, e che produce lo spostaento dell ago della bilancia. Per produrre una tale forza doreo poggiare sul piatto una assa: M F / g (0.576 / 9.8) kg 0.06 kg 6. g ediay e questo è il alore che segna l ago. 9. La aggiore assa isurata dalla bilancia è douta al flusso costante di sabbia che batte e per azzerare la quantità di oto del quale il piatto dee esercitare un forza di coponente erticale F (lungo un usuale asse delle ordina- y te). Risulta: M.00 g F y ( ) N N Sappiao che un flusso costante / t di ateriale che colpisce con elocità esercita una forza / t. La sabbia cade da un altezza che è circa (0.0/ ) c 5.0 c a solo all inizio tocca il fondo della clessidra, entre alla fine si posa sulla cia del ucchio. Possiao ediaente ritenere che percorra 0.0 c in erticale e quindi che la bilancia dee arrestare un flusso che in edia colpisce con elocità: gh /s.0 /s Uguagliando la forza douta alla caduta della sabbia alla lettura sulla bilancia: =(.0 /s ) N t t troiao il flusso di assa: N 0.00 kg/s t.0 /s d una tale elocità per suotare la età superiore della clessidra dell intera assa di sabbia di (0.5000/ ) kg kg occorrono: kg 7.9 s 8 s 0.00 kg/s C p p F. Scriiao il ettore quantità di oto pria del calcio: kg kg kg kg p ( ; 0 ) (.50 ; 0 ) s s s s scriiao l ipulso ipresso dal calciatore: kg kg kg kg Ft (0 ; ) (0 ;.00 ) s s s s applicando la seconda legge della dinaica per il caso di forza costante: kg kg kg kg kg kg p p Ft (.50 ; 0 ) (0 ;.00 ) (.50 ;.00 ) s s s s s s p C y. In un riferiento coe in figura scriiao il ettore quantità di oto rispettiaente pria e dopo un quarto di giro e ezzo giro (posizioni, e C): kg kg kg kg (0 ; ) (0, ) p s s s s ( kg ; 0 kg p ) kg kg p s s C s s (0 ; ) 6

7 da cui: (0.000 kg, kg p p p ) ( 0.000) 0.0 p kg s ( kg ; 0 kg p p p ) C C 0 ( 0.000) p C kg s s s s s kg s kg ed infine la ariazione di quantità di oto relatia ad un giro copleto risulta nulla dato che i due ettori p iniziale e finale coincidono.. Orientiao un asse delle ascisse in direzione e erso coincidenti con la elocità iniziale della pallina ed un asse delle ordinate perpendicolare ad esso, con erso tale che la coponente y della elocità dopo il colpo sia positia. Lungo questi assi eguagliao la ariazione della quantità di oto della pallina all ipulso ipresso dalla racchetta: F t cos.0 F t ( cos.0 ) ( ) F N 9. N t.000 F t sin.0 0 F t y y y y sin F N 9. N y t.000 F F F ( 9.) 9. N 5.0 N y s. Orientiao un asse delle ascisse nel erso del lancio ed uno delle ordinate nel erso di aanzaento originale della ragazza. La quantità di oto si consera lungo entrabi queste direzioni, dato che lungo di esse agiscono solo forze interne. Lungo le ascisse inizialente la quantità di oto era nulla e tale dee restare anche dopo il lancio, così abbiao: p ( 0) ( 0) 0 R R z z.00 z.0 /s 0.0 /s R z 0.0 R Lungo le ordinate inece il lancio non odifica le elocità poiché non agiscono forze lungo quella stessa direzione: Ry.00 /s ;.00 /s zy Pertanto, indicati con e gli angoli che forano rispettiaente ragazza e R z zaino con la direzione originale di aanzaento, si ha: ( 0.0).00 /s.0 /s R R 0.0 arctan.5 erso sinistra /s.57 /s z 7

8 z.0 arctan 8.8 erso destra.00 L energia cinetica prodotta dal lancio è si ottiene per differenza fra i alori pria e dopo: K R Rfin z zfin ( R z ) in ( )J 7. J 5. Lungo un asse delle ascisse orientato nel erso in cui si ette in oto il sacchetto si consera la quantità di oto, non essendoi in tale direzione forze esterne al sistea proiettile-sacco. Indicata con V la elocità del sacco e con P quella del proiettile: cos 5.0 V cos 5.0 P P S P P P V S /s /s cos P Lungo un asse delle ordinate orientato in alto, l ipulso ipresso dal piano ghiacciato è uguale alla ariazione della quantità di oto del proiettile in quella direzione: I sin 5.0 ( sin 5.0 ) y p P p P sin 5.0 ( ) N s N s p P 6. Scegliao un riferiento con l asse delle ordinate orientato a nord e quello delle ascisse ad est, cioè dalla parte doe aiene il lancio. Poiché le forze che agiscono lungo tali assi sono interne, possiao iporre la conserazione della quantità di oto lungo tali direzioni. Indichereo con V la elocità della barca pria del lancio e con V e rispettiaente quelle della barca e della zaorra dopo il lancio. In direzione oest-est abbiao: MV ( M ) V ( M ) V sin (500 kg.0 kg )( 0.50 /s ).0 kg sin 0.0 (500 kg.0 kg )(0.50 /s). /s (.0 kg)(sin 0.0 ) In direzione sud-nord risulta: MV ( M ) V ( M ) V cos 0.0 y y y y (500 kg )(.50 /s ) (500 kg.0 kg ) V (.0 kg )(. /s) cos 0.0 V y (500 kg )(.50 /s ) (.0 kg )(. /s) cos /s (500 kg.0 kg) y 9. Iponiao che siano nulle le due coponent della elocità del : 0 8

9 y y (.50) /s.9 /s 6.00 y y y 0 y y /s.8 /s Un istante pria dell ipatto la elocità del sacchetto è: 0 /s gh /s 7. /s S Sy entre il proiettile ha elocità pria dell ipatto (00 cos 60.0 ) /s 00 /s (00 sin 60.0 ) /s 7 /s P e dopo l ipatto: (0 cos 60.0 ) /s 60.0 /s (0 sin 60.0 ) /s 0 /s P Dopo l ipatto col proiettile non è cabiata la quantità di oto del : p S S P P S S P P P P P P /s /s S 0.0 S p y S Sy P Py S Sy P Py P Py S Sy P Py Sy S ( 7.) /s 5.7 /s 0.0 Il tepo di caduta si ha iponendo nulla la quota: y( t) y t gt t.9t 0 t 0.77 s 0 Sy e la gittata si troa inserendo il tepo di caduta nella legge oraria delle ascisse: ( t) t t (0.77 s ) ( ) S. Dalla trattazione della acchina di twood fatta nel capitolo sulle leggi della dinaica, sappiao che le due asse si uoono di oto uniforeente accelerato, e che lungo un asse delle ordinate orientato in alto risulta: a a g 9.8 /s.8 /s y y da cui si ricaa la elocità del del sistea, tutta erticale: a t.8 t a t.8 t y y y y y.50(.8 t) 5.50(.8 t) ( t) 0.55t y (.0 s ) ( ) /s 0.65 /s y y Py Py y. bbiao già trattato questo sistea nel capitolo sulle leggi della dinaica, e sappiao che le asse sono in oto uniforeente accelerato e che risulta: 9

10 y.0 a a g 9.8 /s 6.8 /s y.00.0 da cui si ricaa la elocità del del sistea: a t 6.8 t a t 6.8 t.00(6.8 t) 0 ( t).9t.00.0 y y 0.0(6.8 t) ( t).89t y.00.0 (.0 s ) (.9.0) /s.8 /s y y (.0 s ) (.89.0) /s 8.8 /s y p (.0 s ) ( ) (.0 s ) (6.0 kg /s ;. kg /s). Nel prio caso, fissata coe positia la direzione della traiettoria col erso di oto originale, poste 00 kg, 00 kg e 650 /s, si ha lungo di essa la conserazione della quantità di oto: /s 50 /s 00 nche nel secondo caso la quantità di oto non aria per l esplosione, quindi detta la assa della coeta, perpendicolarente alla traiettoria il suo alore è nullo coe all inizio. Lungo una asse orientato positiaente dalla parte in cui si uoe si ha: /s 00 /s y y y y 00 La elocità del non aria in nessuno dei due casi, rianendo sepre 50 /s nella direzione di oto iniziale. 5. pplichiao la conserazione della quantità di oto lungo un asse orientato nel erso originale di aanzaento ( V 00 /s ; 00 /s ): MV M M V [00 ( 00) ]/s 500 /s Il fraento ede allontanarsi da lui ad una elocità: [500 ( 00)] /s 700 /s La elocità del non cabia nell esplosione, quindi è sepre 00 /s nel erso originale. Rispetto al allora i due fraenti hanno elocità che possiao calcolare con le trasforazioni di Galileo: V V ( 00 00) /s 500 /s V V (500 00) /s 00 /s L energia cinetica iniziale è eidenteente: 7 K M V ( 0000 )J.800 J 0

11 entre quella finale: K M M 7 6 ( 0000 )J ( )J.7 0 J La differenza di energia K K è stata prodotta attingendo alle reazione chiica che ha dato luogo all esplosione, ad esepio deflagrazione del carburante. 6. La quantità di oto del sistea forato dal proiettile e dal cannone non si consera perché in erticale agiscono la forza di graità e la forza norale del terreno, esterne al sistea stesso. Si consera però la coponente orizzontale della quantità di oto, isto che in questa direzione agiscono solo le forze interne doute alla detonazione. Risulta lancio in quanto era nullo il suo alore iniziale: p cos c c p p c c p p p 0 kg /s per tutta la durata del p 0.0 cos /s 7. /s c p 50 c Per il calcolo della elocità relatia scriiao i due ettori elocità rel p c rispetto al terreno e calcoliao la differenza: (500 cos 0.0 ;500 sin 0.0 ) ( /s ;50 /s) p ( 7. /s ; 0 /s) c /s ( 7. /s ) 6 /s rel, p c 50 /s 0 /s 50 /s rel, y py cy 6 50 /s 85 /s rel 7. Orientando un asse delle ascisse nel erso del tuffo, lungo di esso dee conserarsi la quantità di oto: cos 0 p p b b p p b b 00 p (.) /s 5.8 /s b p cos 0.0 cos 50.0 b Calcoliao la elocità erticale del babino e da essa la assia altezza raggiunta con la forula h 0 y / g : sin (5.8 sin 50.0 ) /s.0 /s by b by.0 h g nalizziao la situazione del sistea forato dall uoo e dal carrello in un riferiento ancorato alle rotaie ed orientato positio erso destra: la quantità di oto dee rianere nulla coe era pria che l uoo si incainasse. In questo sistea indichiao con la acquisita dal carrello e con quella c u dell uoo. Scriiao la conserazione della quantità di oto in direzione :

12 u d u d/ d c c p 0 u u c c Le trasforazioni di Galileo perettono di legare la elocità dell uoo relatia al carrello a quella rispetto alle rotaie: u c rel u c rel, rel, 0.00 Doe /s se orientiao il riferiento sul carrello con erso positio uguale a quello delle rotaie. Questa relazione, inserita nella precedente produce: ( ) 0 u c rel, c c c u rel, 80.0(0.00) /s 0.6 /s u c /s /s u c rel, La posizione del non cabia ai dato che è nulla la risultante delle forze esterne al sistea. 9. La posizione del del sistea carrello e uoo non si sposta ai dato che le forze esterne hanno risultante nulla. Per la proprietà distributia del possiao considerare l uoo de il carrello due punti di assa ed concentrati nei rispettii, e quello del carrello ha ascissa pari a età della sua u c lunghezza totale. Dette d e d la distanza in orizzontale di questi due punti dal u c pria che l uoo si incaini, sappiao che ale la relazione: d u c d c u Ed inoltre l ascissa del del sistea si troa in qualche punto copreso fra la posizione iniziale dell uoo e la età del carrello, cioè: d du dc Nell istante in cui l uoo raggiunge la età della lunghezza del carrello si ha d u d 0 quindi il del carrello si è spostato fino a coincidere col del c sistea, cioè ha percorso la distanza: u d d c u c d Sostituendo du dc si ottiene: u d u u d d d d c c c d c c c c u c c d c u 0. La quantità di oto in direzione della elocità iniziale della chiatta non cabia. Fissata lungo tale direzione un asse delle ascisse solidale alla terra, risulta: ( ) c u c c c u u

13 c c u u ( 0.800) /s. /s c 0 c u. La ariazione di energia potenziale graitazionale del sistea dei due bocchi, pari all energia potenziale graitazionale posseduta dal blocco quando sta in alto, gh,iene conertita in energia cinetica: gh C C La quantità di oto orizzontale si consera pari al alore nullo che aea all inizio dato che le forze in questa direzione sono tutte interne: 0 C C Ricaando / da questa seconda relazione ed inserendolo nella pria: C C gh C C C C gh C C C C C C C C gh /s /s C C. Orientando l asse delle ascisse nel erso in cui procede la slitta dopo il lancio abbiao che riane nulla la quantità di oto pria e dopo: 0 M z s Nel riferiento solidale alla slitta possiao espriere la elocità con cui si z ede allontanarsi lo zaino usando le trasforazioni di Galileo: z s z doe la elocità con cui l uoo ede allontanarsi lo zaino ale.50 /s se orientiao l asse nel erso in cui aanza la slitta. Inserendo nella legge di conserazione della quantità di oto: 0 ( ) M s s z s z 0.0 (.50) /s 0.79 /s M Poniao un riferiento con le ascisse orientate da OVES ad ES e le ordinate da SUD a NORD, e l origine degli assi nel punto dell esplosione. Su questo piano agiscono solo le forze interne dell esplosione, pertanto si consera la quantità di oto lungo i due assi: MV MV Risulta: V cos 5.0 (.00 sin 5.0 ) /s. /s V sin 5.0 (.00 cos 5.0 ) /s. /s V Vy z y y y y

14 8.00 /s ; 0.00 y /s ; 0.00 /s ; 9.00 y /s M ( ) kg.00 kg Sostituendo: MV /s.97 /s.00 y MV y y y /s. /s.00 (.97) (.) /s.8 /s Quindi il terzo pezzo si uoe lungo una retta nel terzo quadrante degli assi cartesiani (quello a SUD-OVES) forante un angolo con la direzione SUD che isurato in erso orario è pari a:.97 arctan arctan y L esplosione libera un energia che è pari alla differenza fra le energie cinetiche dopo e pria: K M V ( )J 0.5 J K ( )J 5 J K K (6 0.5) J 9 J F E D F E D C C. Supponiao ancora che le sette sfere non siano a contatto a leggerente separate. Quando E urta si fera e passa a D la sua elocità, che a sua olta si fera e la passa a C, che si fera urtando, il quale si arresta dopo aer urtato che alfine si ette in oto con la elocità originaria. Nel contepo F urta E, che ora è fera, e si arresta. E Urta di nuoo D e gli pass ancora la elocità, D urta C, C urta e poi di nuoo. Cos alla fine areo il gruppo FEDC fere entre ed saranno in oto con la elocità che originariaente era di EF. kg /s 5kg /s /s kg 50. Orientiao un asse delle ascisse dal pesce grosso erso quello piccolo. Scriiao la quantità di oto lungo tale asse pria e dopo l urto: p MV p ( ) M sapendo che la quantità di oto si consera nell urto abbiao: MV ( M ) MV /s.00 /s M La soluzione è facilente raffigurabile con il etodo della frecce spesse, facendo rianere uguale l area che corrisponde alla quantità di oto totale del sistea p ( ) kg /s 5.00 kg /s.

15 5. pplichiao la conserazione della quantità di oto lungo un asse orientato nel erso originale di aanzaento, indicando con e V le elocità rispettiaente di palla e carrello: MV MV.0 kg 8.50 /s.0 kg (.50 /s ) (5.0 kg) V V /s.0 /s 5.0 Per controllare se l urto è stato elastico calcoliao l energia pria e dopo: K ( )J 7.0J K V ( )J 6.J e coe si ede l urto non è stato elastico dato che l energia eccanica non si è conserata. 5. Da un urto copletaente anelastico le due asse escono alla elocità del. Calcoliao la elocità del centro di assa: (.00) /s.06 /s L energia dissipata nell urto è la differenza fra l energia cinetica pria e dopo l urto: in fin K K ( ) [ (.00) (.50.50).06 ] 79.8 J 5. Calcoliao il laoro solto dalla forza: L F s cos ( cos 5 )J 65.J Eguagliaolo all energia cinetica guadagnata dalla assa e troiao la elocità acquisita: L 65. L J 5.9 /s.50 Calcoliao la elocità del centro di assa del sistea dei due blocchetti: /s.7 /s Da questa abbiao la elocità del blocco : [.7 0)] /s 7.6 /s Eguagliando l energia cinetica del blocco a quella potenziale elastica della olla nell istante di assia copressione troiao: F ( ).00 k c k Indicate con, e le coponenti (con segno) delle elocità lungo un asse orientato nel erso originale di aanzaento, calcoliao la elocità del della pria e della seconda: 5

16 Uguagliao tale alore alla edia delle elocità della pria biglia e della seconda biglia pria e dopo l urto: ( ).50 /s ( ) calcoliao la elocità del della seconda e della terza dopo il prio urto: 9 Uguagliao tale alore alla edia delle elocità della terza biglia pria e dopo l urto: 8 ( ).00 /s 9 9 ( 8 ) ( ) ( ).00 /s Verifichiao la conserazione dell energia: Kfin ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 9 9 K in 55. roiao la coponente di elocità con la quale la pria sfera raggiunge il piano orizzontale applicando la conserazione dell energia: U K 0 [0 gh ] [ 0] gh 9.85 /s 9.90 /s Calcoliao la elocità del centro di assa delle due sfere: /s.5 /s e da questa le elocità dopo l urto elastico: ( ) ( ) /s.6 /s ( ) (.5) /s 7.08 /s ncora dalla conserazione dell energia abbiao la quota h a cui risale la pria sfera: U K 0 [ gh 0] [0 ( ) ] ( ) (.6) h 0.95 g Dalla conserazione dell energia sappiao che la elocità con cui rag- h giunge il punto più basso è gh. Possiao allora calcolare la elocità del del sistea un istante pria dell urto e da essa le elocità dopo l urto: 6

17 e da questa le elocità dopo l urto elastico: gh ( ) ( ) gh ncora dalla conserazione dell energia abbiao le quote a cui risalgono: U K 0 [ gh 0] [0 ( ) ] ( ) ( gh ) h h.67 c g g 9 ( ) ( gh ) h h 6.67 c 9 g g 57. Dalla conserazione dell energia abbiao che la coponente di elocità con cui giungono nel punto più basso, lungo un asse orientato a destra, è uguale per le due sfere, a oiaente opposta in segno: gh La elocità del un istante pria di toccarsi ale: e da questa abbiao le elocità dopo l urto elastico: ( ) ( ) gh ( ) ( ) ( ) gh ncora dalla conserazione dell energia abbiao le quote a cui risalgono: U K 0 [ gh 0] [0 ( ) ] ( ) ( gh ) 6 h h.0 c g g 9 ( ) ( gh ) h h.00 c g g 9 h 58. Lungo un asse delle ascisse orientato nel erso originale di aanzaento di calcoliao la elocità del del sistea un istante pria dell urto /s. /s e da essa le elocità dopo l urto: ).8 /s ( ( ) (. 5.00) /s -0.7 /s 7

18 osseriao che ribalza indietro 0 essendo la sua assa inferiore. Dalla conserazione dell energia di dopo l urto, abbiao la costante della olla: U K 0 [ k 0] [0 ( ) ] ( ) k ( ) k N/.0 0 N/ s 0.8 s k L ipatto proposto è un urto copletaente anelastico doe si consera la quantità di oto totale. Lungo un asse orientato coe il erso del proiettile, dette la coponente della elocità del proiettile e quella del sistea dopo l urto V ( M) V V M Dopo che il proiettile si è conficcato l energia cinetica si conerte in energia potenziale della olla. Detta k la costante elastica della olla: U K 0 [ k 0] [0 ( M)( V ) ] k ( M)( V ) e sostituendo il alore di V e quello di k che è legato al periodo da: M k k ( M) si troa: ( M) ( M) 0 M M M 6.8 ( ) /s 6 /s 60. Lungo un asse orientato nel erso di chiaiao V la elocità del sistea dopo l urto; indichereo le loro coponenti sepliceente con e V. Dalla conserazione della quantità di oto risulta: ( ) V V Le energie cinetiche pria e dopo l urto risultano: ( ) ( ) K K V La frazione di energia cinetica perduta nell urto è data da: 8

19 K K K [ /( )] / Iponendo che tale frazione sia il 0.0% cioè 0/ 00 / 0 si troa: / 0 6. Le due asse raggiungono il punto in basso con elocità ottenibile dalla conserazione dell energia. Orientando un asse delle ascisse erso la destra del disegno si ha: L cos gh con h L L cos Dopo l urto totalente anelastico si ha un blocco unico di assa e elocità orizzontale pari a quella del : ( ) h gh gh pplicando la conserazione dell energia K U 0 alla fase dopo l urto otteniao la quota di risalita: gh gh gh 9 g 9 h h h con h L L cos 6 6 g h h L L cos 9 h L L cos cos 9 9 cos 6 6 cos 9 9 cos 7 9 cos cos 0.95 cos (0.95). 6 6 Calcoliao la frazione di energia conserata dopo l urto facendo il rapporto fra le energie potenziali all inizio ed alla fine: U gh gh gh U ( ) gh gh U U gl h h 9 glh h 6 Pertanto l energia che durante l urto si trasferisce al liello dell agitazione delle 9 7 olecole è pari a 0.75 cioè il.75% Calcoliao il laoro solto dalla forza: L F s cos ( cos 0 )J 7.6 J Eguagliaolo all energia cinetica guadagnata dalla assa e troiao la elocità acquisita: F V 9

20 L 7.6 L J.6 /s.50 Da un urto copletaente anelastico le due asse escono alla elocità del. Calcoliao la elocità del centro di assa:.50.6 /s.70 /s Eguagliando l energia cinetica dei due blocchi incollati a quella potenziale elastica della olla nell istante di assia copressione troiao: ( ) k ( ) (.50.50).70 k N/. 0 N/ Da un urto copletaente anelastico le due asse escono alla elocità del. L energia dissipata nell urto, pari all increento di energia interna, è la differenza fra l energia cinetica pria e dopo l urto: ( in fin ) int 00J K K E Possiao calcolare la elocità del in funzione delle due elocità iniziali: e sostituirla: ( ) E int ( )( ) ( ) E ( ) int E ( ) int ( ) int int E E E E ( ) E ( ) E int int int kg 0. kg.50( ) 00 int h R 65. Calcoliao la elocità con cui la assa giunge in fondo al piano, applicando la conserazione dell energia, sapendo che solo il 70 per cento dell energia potenziale iniziale iene conertita in energia cinetica: U K 00 in fin 00 gl sin gl sin sin 5 /s.97 /s Da un urto copletaente anelastico le due asse escono alla elocità del. Calcoliao la elocità del centro di assa: /s. /s Dalla forula per la gittata di un lancio orizzontale abbiao: 0

21 h.50 R.. 0 g Calcoliao la elocità con cui la assa giunge in fondo al profilo curo, applicando la conserazione dell energia: Uin K fin gy gy /s 0.8 /s Da un urto copletaente anelastico le due asse escono alla elocità del. Calcoliao la elocità del centro di assa: y y R /s 7.7 /s Quando risalgono insiee alla quota y la loro elocità ale: ( ) K U K ( ) gy in fin fin ( ) fin fin gy /s 0.76 /s Dalla forula per la gittata di un lancio orizzontale abbiao: y.00 R g Lungo un asse delle ascisse orientato nel erso originale di aanzaento di calcoliao la elocità del del sistea un istante pria dell urto /s.67 /s e da questa le nuoe elocità dopo l urto: ( ) /s /s ( ) /s 5. /s Il periodo di oscillazioni della olla è dato da / k, ci occorre quindi la costante della olla, che possiao ricaare eguagliando l energia cinetica della assa a quella potenziale elastica della olla nell istante di assia copressione : k k N/. N/ da cui: / k ( /.) s 0.90 s Dalla forula per la gittata di un lancio orizzontale abbiao infine: h.0 R c g 9.8 h h R 69. L angolo che la elocità fora con la direzione iniziale di ale:

22 d d d tan = tan 8. da cui si ricaano i oduli delle due elocità dopo l urto: sin 8. (6.00 sin 8. ) /s.89 /s cos8. (6.00 sin 8. ) /s 5.69 /s Quindi la pria sfera, uoendosi alla elocità costante di.89 /s dopo.00 s ha percorso, nella direzione che congiungea i centri al oento dell urto, una distanza: d (.89.00) 7.56 entre la seconda sfera, uoendosi alla elocità costante di 5.69 /s dopo.00 s ha percorso, nella direzione perpendicolare a quella che congiungea i centri al oento dell urto, una distanza: d ( ).8 La distanza d che separa le due sfere dopo cui d e d sono cateti, e cioè:.00 s è l ipotenusa del triangolo in 85.0 c 65.0 c 65.0 c d 85.0 c d d d d Il odulo della elocità con cui iene tirata la seconda palla è ininfluente ai fini del centro in buca, che dipende solo dalla situazione geoetrica. La elocità fora con la direzione originaria una angolo che ale: 0/ tan / e che per siilitudine dei triangoli è uguale a quello che la congiungente i raggi delle sfere nel oento del contatto fora con una retta parallela alla sponda lunga. Calcoliao la distanza d fra i delle due palle e da questa la distanza della seconda palla dalla sponda: d R sin (6.00 sin 7.0 ) c.7 c 0 c d c La elocità è cateto nel triangolo rettangolo in cui è ipotenusa ed ango- lo adiacente: cos (.80 cos 7.0 ) /s.9 /s y R R 7. Introducendo un riferiento aente l asse delle ascisse orientato nel erso di ed un asse delle ordinate orientato in erso contrario a, risulta che la e- locità di sulle ascisse non iene odificata dall urto, dato che le forze ipul- sie sono tutte sulle ordinate:.00 /s Sulle ordinate abbiao il eccaniso tipico dell urto in una diensione, in cui la elocità del e pari alla edia delle elocità pria e dopo l urto: y y.00(.50) /s.0 /s y.00.00

23 y ).80 /s ( y y y y ( ) [ (.0) (.50)] 0.70 /s y y y y y y.00 (.80) /s.88 /s ad un angolo con l orizzontale:.80 tan pplichiao la conserazione dell energia pria e dopo l urto elastico: K ( )J.J K ( ) ( ) ( ) K K. J. J. /s.9 /s /s 7. Consideriao il sistea forato dal agone e dalla assa un istante pria ed un istante dopo l urto. rascurando coe al solito la graità, che non è una forza ipulsia e quindi ha effetti inii nel bree lasso di tepo in cui aiene la collisione, si ha che la quantità di oto in orizzontale del sistea non dee cabiare dato che le forze ipulsie hanno direzione erticale. In un usuale riferiento, con le ascisse nel erso originale di aanzaento e le ordinate orientate in alto si ha: ( ) /s L energia dissipata nell urto (e trasferita al liello del oto di agitazione delle olecole, cioè in energia interna) è data dalla differenza fra le energie cinetiche pria e dopo: K ( )J.09 0 J ( ) K [( ) 6. ]J 7 J K K ( ) 0 J 70J 7. Si consera la quantità di oto sul piano orizzontale, lungo il quale non agiscono forze esterne. Dopo l urto copletaente anelastico le due auto proseguono alla elocità del. Orientando un asse delle ascisse da oest ad est ed uno delle ordinate da sud a nord risulta: ( ) /s 6.8 /s

24 y y ( ) y /s 0.9 /s y y y y Il blocco delle due auto prosegue dunque erso NORD-ES ad un angolo con la direzione SUD-NORD ed un odulo della elocità pari a: 0.9 tan /s.9 /s Nell urto è stata trasferita al liello di agitazione olecolare un quantitatio K di energia pari alla differenza fra le energie cinetiche pria e dopo: 5 K ( )J 5.90 J ( ) K [ ( ).9 ]J.75 0 J K ( ) J.5 0 J y 0 0 y 75. rattandosi di un urto elastico e senza attrito, la forza esercitata della sponda sarà tutta nella direzione ad essa norale. Nel prio urto la palla inerte la sua quantità di oto in direzione delle ascisse in figura e consera quella in direzione delle ordinate: p sin 0.0 sin 0.0 ( ) kg /s 0.79 kg /s Nel secondo urto la palla, che ha ancora la stessa intensità di elocità iniziale, inerte la sua quantità di oto in direzione delle ordinate (che è ancora quella iniziale), e consera quella lungo le ascisse: p cos 0.0 cos 0.0 y y y ( ) kg /s. kg /s L ipulso coplessiaente esercitato dalla parete sulla palla è il ettore di coponenti ( p, p ) : y I Ft p ( 0.79) (.) N s. N s uguale in intensità all ipulso esercitato dalla palla sulla parete. Considerando il triangolo rettangolo doe è cateto inore, opposto all angolo di 0.0, ed il cateto aggiore isura 55 c abbiao: 60 ( tan 0.0 ) c 7. c 76. Ogni secondo che passa, contro la laina ipatta una assa: (7 0.00) kg/s.0 kg/s t Fissiao un asse delle ascisse nel erso opposto a quello dei proiettili, in odo che 50 /s Se i pallini ribalzano, la laina in un interallo t dee produrre il ribaltaento della elocità di una assa quindi una ariazione di quantità di oto: p diidendo per t si ha la ariazione prodotta ogni secondo:, cioè, e

25 p [ ( 50 /s).0 kg/s ] 980kg /s t t pertanto la laina esercita una forza: p F 980 N t Se inece i pallini si conficcano, la laina in un interallo t dee produrre l annullaento della elocità di una assa, cioè 0, e quindi una ariazione di quantità di oto: p diidendo per t si ha la ariazione prodotta ogni secondo: p [ ( 50 /s).0 kg/s ] 90kg /s t t pertanto la laina esercita una forza: p F 90 N t N O S E C 8. Calcoliao il oento angolare rispetto ai pali soando i oenti angolari dei due uccelli ciascuno con il proprio erso e segno : kg /s kg /s L d 0 ( sin 5 ) L d d 0 kg /s L d d C C C ( C C sin 5 ) kg /s 99. kg /s 8. La elocità della particella si lascia a sinistra il punto P, quindi osserato dal lettore, preso positio il erso che a dalla pagina al lettore, tende a produrre rotazioni orarie e quindi oento angolare negatio: L OP sin(60 5 ) 5 P 60 (.60 sin ) kg /s. kg /s 8. La distanza d fra la diagonale e lo spigolo (uguale a quella dallo spigolo C) è la distanza fra i punti edi dei segenti, isto che gli estrei dei due segenti sono equidistanti, e ale. Relatiaente ad uno stesso osseratore, il oento angolare rispetto ai due spigoli ha uguale intensità a segno opposto, e ale: 5 L s / ( / ) kg /s C kg /s d 8. Il oento angolare si consera in quanto le forze che dall esterno agiscono sulla pallina, cioè la tensione della corda e la graità, appartengono sepre al piano che contiene la corda e quindi sono incapaci di far ruotare attorno ad un asse erticale. Pertanto il loro oento torcente rispetto a tale asse risulta in ogni istante nullo, da cui L/ t 0. Iponiao la conserazione del odulo di L osserando che la elocità della pallina ha la sola coponente trasersa rispetto al piano che ruota, cioè e : tra tra 5

26 L R W L R ( R) 5.0 /s Il laoro solto dall esterno sulla pallina è pari alla ariazione della sua energia cinetica: L K ( ) ( ) J 0.0 J W // N tra h 85. Il oento angolare rispetto all asse del bicchiere si consera in quanto le forze che dall esterno agiscono sulla pallina, cioè la graità e la norale alle pareti appartengono sepre al piano che ruota e contiene la pallina e l asse e quindi sono incapaci di far ruotare attorno a quest ultio. La elocità iniziale è tutta trasersa al piano e così dalla conserazione del oento angolare si ha che il suo alore non cabia ai poiché il paraetro di distanza è sepre b R : L R R tra tra tra tra La elocità parallela all asse è quella acquistata per l azione della graità da un corpo che è caduto di un tratto h, e cioè erso il basso e di odulo: gh /s 0.5 /s // la elocità radiale è oiaente sepre nulla dato che non cabia ai la distanza dall asse. // // rad 5 tra rad Il oento angolare si consera in quanto le forze che dall esterno agiscono sulla pallina, cioè la graità e la norale all ibuto, appartengono sepre al piano che ruota e contiene la pallina e l asse dell ibuto. Pertanto il loro oento torcente rispetto a tale asse risulta in ogni istante nullo, e quindi nulla la ariazione del oento angolare. Indichiao con la elocità tutta orizzontale, che ogliao la biglia abbia a età dell altezza, ed iponiao che in questa posizione il odulo di L rispetto all asse dell ibuto sia lo stesso di quando abbiao lanciato la biglia: L R ( R) 8.0 c/s tra tra tra doe si è sfruttato il fatto che la elocità iniziale è tutta trasersa rispetto al piano che ruota con la biglia e contiene l asse. L assenza di attriti ed il fatto che sia nullo il laoro da parte delle forze non conseratie (la norale), coporta che si conseri l energia inizialente ipressa alla biglia. Considerato che le pareti sono inclinate di 5, se scendendo dalla quota iniziale y a quella finale y il raggio perde un terzo della sua lunghezza, di altrettanto la quota sarà diinuita in erticale: y y R pertanto: K U 0 ( ) ( gy ( ) 0 g y y g R 0 gy ) 0 g R /s.8 /s 8 c/s Dal teorea di Pitagora: 6

27 // rad tra Ma le due coponenti radiale e parallela sono uguali dato che la elocità fora un angolo di 5 con entrabe le direzioni erticale ed orizzontale: // tra = ( ) (8.0 ) c/s 90. c/s rad // tra 88. Le forze esterne al sistea (graità e norale del piano di appoggio della piattafora) hanno oento nullo rispetto all asse centrale coune, pertanto si consera il oento angolare rispetto a tale asse: I ( I I ) e considerato che I R e che I R risulta: I R R I I R R R R rad/s. rad/s Le forze esterne al sistea (graità e supporto esercitato dall asse della barretta) hanno oento nullo rispetto all asse erticale di questa, pertanto si consera il oento angolare rispetto all asse di rotazione. Quindi se il cilindro si ettesse in oto per arrestare la barretta dorebbe girare nello stesso erso con elocità angolare in odo da copensare il rallentaento della barretta, antenendo il oento angolare coplessio uguale a quello iniziale. In direzione erticale il oento angolare iniziale contiene due terini, uno douto alla rotazione della sbarretta e l altro al fatto che il cilindro è una assa che ruota con elocità angolare a distanza / dall asse. iniziale sbarr ( ) L I l terine la barretta sarà fera ed il oento angolare sarà quello douto alla sola rotazione del cilindro: Lfinale uguagliando: R R rad/s 7 rad/s R 0.00 ed il segno positio indica una rotazione antioraria, coe quella iniziale che dee sostituire. Il laoro che è necessario copiere è pari alla differenza fra le energie cinetiche finale ed iniziale: in ( ) ( ) in K I ( )J 7.5J R 7

28 fin ( ) fin K I R R 6 R J.00 R J K K K.660 J fin in fin 90. Le forze agenti dall esterno (graità, supporti dell asse) hanno tutte oento torcente nullo rispetto all asse di rotazione in quanto appartenenti allo stesso piano. Si consera pertanto il oento angolare attorno all asse stesso, che pria dell urto ale: L d tra e dopo l urto, considerato che la barretta ruota attorno ad un estreo e quindi il suo oento d inerzia è I, abbiao: L I uguagliando: rad/s 9.5 rad/s.0 9. Le forze agenti dall esterno (graità, supporti dell asse) hanno tutte oento torcente nullo rispetto all asse di rotazione in quanto appartenenti allo stesso piano. Si consera pertanto il oento angolare attorno all asse stesso, che pria che l uoo si incaini ale: L I R MR R piattafora entre detta la nuoa elocità angolare quando l uoo è al centro il oento angolare ale: L I MR piattafora uguagliando le due espressioni: M R R M R M rad/s.66 rad/s M 500 Calcoliao la differenza fra le energie cinetiche finale ed iniziale: ( ) piattafora K I R M R [ ( ) ]J J K I MR ( )J J piattafora K K ( ) 0 J.0 J e questa differenza corrisponde all energia spesa dall uoo traite laoro uscolare solto attingendo alle sue risere chiiche. 8

29 9. Il folle uoo dorebbe correre nello stesso erso della rotazione, così che non potendo cabiare il oento angolare del sistea per azione di forze interne, la erra diinuirebbe la sua. Uguagliando i sue oenti angolari: L I MR L R 5 U U M R R 5 U M 5 U U rad/s 7.70 rad/s 6060 M rad/s che corrisponde ad una elocità trasersa: U R ( ).8 0 /s U rad/s 8 e ricordando che c 0 /s, il alore corrisponde a quattroila iliardi di olte la elocità della luce 9. Le forze agenti dall esterno (graità, supporti dell asse) hanno tutte oento torcente nullo rispetto all asse di rotazione in quanto appartenenti allo stesso piano. Si consera pertanto il oento angolare attorno all asse stesso, che pria dell urto è la soa di quello della ruota (orario) e del proiettile (antiorario). Indicando col segno positio il oento angolare antiorario abbiao per la coponente di L sull asse z della ruota: L r I r Mr z anello e dopo l urto abbiao: L ( r Mr ) z ( r Mr ) r Mr Mr ( 0.0) rad/s.0 rad/s ( M) r ( ) 0.50 quindi la ruota prosegue a girare in erso orario a elocità ridotta. Nell urto anelastico si è dissipato un certo quantitatio di energia eccanica, che è passato al liello dell agitazione delle particelle ed è pari alla differenza fra le energie cinetiche: ( K I Mr ) ruota [ ( 0.0) ]J 9.0J K I r Mr r ( M ) r ruota [ ( ) 0.50 (.0) ]J.90 J K K (9.0.90)J 5.0 J 9. L allungaento della olla dopo il taglio del filo ale: R R R 9

30 in assenza di attriti la forza elastica k k ( R/ ) fornisce tutta la forza centri- peta necessaria, che per una traiettoria circolare di raggio r R si scrie: F / r r R c confrontando con k k ( R/ ) troiao la nuoa elocità angolare: k R R k / 0 / (.00) rad/s.7 rad/s Le forze agenti dall esterno (graità, supporti dell asse) hanno tutte oento torcente nullo rispetto all asse di rotazione in quanto appartenenti allo stesso piano. Si consera pertanto il oento angolare attorno all asse di rotazione (asse z), che pria che i filo enga tagliato è la soa di quello della piattafora e della assa a distanza R / dall asse: z pia ( ) ( ) 9 9 L I R MR R M R dopo il taglio del filo il oento angolare diiene: L MR R M R z ( ) ( ) 9 uguagliando i due i due alori di L : z R 9 ( M ) 9 ( M ) R M 9M M 9M che inserita nella relazione precedente perette di ricaare la elocità angolare pria e dopo il taglio: = 9 M k / 9M 9M rad/s.58 rad/s 9M L energia dopo il taglio è la soa dei due contributi cinetico e potenziale: K U K K U MR R k R pia olla 9 9 R [ ( M ) k] ( ) ( ) 9 9 (.60 )[.7 (0.0.00) 0] J.79 0 J alore che coincide con quello pria del taglio dato che tutte la sola forza ad aer copiuto laoro è stata quella elastica, conseratia. 95. Le forze agenti dall esterno (graità, supporti dell asse) hanno tutte oento torcente nullo rispetto all asse di rotazione in quanto appartenenti allo stesso piano. Si consera pertanto il oento angolare attorno all asse stesso, che pria del salto è la soa di quello della giostra e del ragazzo, (entrabi in erso antiorario). Indicando col segno positio il oento angolare antiorario abbiao per la coponente di L sull asse z della giostra, e con r la distanza he il ragazzo dee aere dall asse abbiao pria del salto: L r I r MR z giostra e dopo il salto, iponendo che non ari la elocità angolare abbiao: L ( r MR ) z uguagliando: 9 9 0

31 r MR r MR.6 r Poniao ora che il ragazzo enga calato da sopra alla distanza r dall asse. Iponiao ancora la conserazione del oento angolare: L I I r z giostra giostra MR MR r MR MR r MR rad/s.5 rad/s MR r Il laoro necessario per tali operazioni è pari all energia cinetica che alla fine possiedono i due oggetti: sfera K sfera I MR K 5 guscio I guscio MR indicando con t il tepo necessario al otore per portare la sfera, si ha: Pt (00 W ) t MR t s.89 s Per portare il guscio occorre un tepo pari a 5 facendo il rapporto fra le energie cinetiche: 5 5 guscio sfera guscio K K t ( t) s 6.8 s del alore troato, coe si ede 97. Indichiao con e le elocità dei due cilindri, prendendo negatie le rotazioni orarie iste dall alto. Se è la coune elocità angolare finale, si consera il oento angolare dato che le forze d attrito sono interne al sistea dei due cilindri: z ( ) L I I R R R L ( R R ) R z uguagliando otteniao: R R Iponiao che l energia dissipata sia pari alla differenza fra le energie cinetiche alla fine ed all inizio: 5 ( )( ) ( ) K I I R R R K I R R ( )( ) 8 K K R R R 00J K K R R R 00J (00 J) 800 rad/s. rad/s 9R Iponiao b R nella forula per il paraetro d ipatto: R K0 K0 R R U U R

32 GM GM V V /s R R /s 6.5 k/s 00. Risulta per l orbita di trasferiento: / a / GM Ed essendo: a [(8000 R ) (600 0 R )]/ [( ) / 670] si ottiene per la età del periodo: a. ( ) = s.7 0 s GM Ricordando che in un orbita l energia totale ale E GM /a Calcoliao la differenza fra l energia finale e quella iniziale ed areo l energia fornita dai razzi della sonda: GM GM GM E a a a a fin in in fin J ( ) ( ) J 0. L energia della sonda sulla superficie del pianeta è tutta potenziale e ale: M E U G in R L energia coplessia della sonda in orbita è data dalla forula E GM /a : M E G fin R La differenza fra questi due alori è l energia che occorre per andare la sonda in orbita: M M GM E E G G fin in R R R J J L r r GM V r GM r areale r ( ) 0 /s /s

33 0. Risulta: GM r GM R P [( r r )/ ] r 7R P 5R /s.67 0 /s.67 k/s P GM r GM 5R [( r r )/ ] r 7R P P R /s /s 6.69 k/s 0. La elocità della Luna al perigeo ale: P GM r [( r r )/ ] r P P ( ) /s 078 /s.078 k/s Dalla forula per il oento angolare al perigeo: 8 L M r ( ) kg /s L P P kg /s 05. La posizione del del sistea soddisfa la relazione: r M r r r r M L energia coplessia è la soa di quella cinetica e di quella potenziale: M M E M M G r r (/ 5) M 6M M M G M G 5 (9/ ) r 5 5r Per le elocità si ha: r r (5/ ) r G( M M ) ( r r ) (9/ ) r r r r G( M M ) ( r r ) (9/ ) r 00 GM G(9/ 5) M 8 r 6 GM G(9/ 5) M 8 r Sostituendo: 00 GM 6 GM 6M GM 00 6 E M G 5 8 r 8 r 5r r GM r