UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE PER L INSEGNAMENTO SECONDARIO. VIII Ciclo - Classe di Specializzazione A049

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRR SCUOL DI SPECILIZZZIONE PER L INSEGNMENTO SECONDRIO VIII Ciclo - Classe di Specializzazione 049 PERCORSO DIDTTICO I PRINCIPI DI CONSERVZIONE E IL RUOLO DEGLI INVRINTI IN FISIC Caterina Tarantini

2 DESTINTRI: Questo percorso didattico è riolto ad una classe terza di un liceo scientifico sperientale PNI doe le ore settianali di fisica preiste sono 3. Pertanto tratterò i principi di conserazione che rientrano nella prograazione del terzo anno: energia eccanica, quantità di oto e oento angolare. I PRINCIPI DI CONSERVZIONE NEI PROGRMMI MINISTERILI. L insegnaento della fisica nei licei di ordinaento si basa sui prograi inisteriali redatti nel 195, che riprendono sostanzialente i prograi della Rifora Gentile, risalente al 193. Il liceo scientifico offre una base culturale generale per seguire un indirizzo uniersitario di tipo scientificotecnologico anche se non tralascia una preparazione uanistica. Esainando il quadro orario del liceo scientifico di ordinaento si può osserare che il nuero di ore delle aterie uanistiche è superiore a quello delle aterie dell area scientifica, un esepio è dato dalle ore di fisica che sono troppo poche, a io parere, per un liceo scientifico: inesistenti al biennio, due al terzo anno, tre al quarto e al quinto. La conseguenza di questo la possiao riscontrare nei prograi di fisica che si presentano olto ridotti. L argoento del percorso didattico è collocato al terzo anno nel tea eccanica: energia, sue fore e sua conserazione. Inece, si può osserare che la parte riguardante la quantità di oto e il oento angolare non è trattata. Nell attesa di una rifora della scuola secondaria superiore, olti licei hanno adottato progetti di sperientazione, tra cui i è il Piano Nazionale per l Inforatica (PNI). I suoi prograi sono stati elaborati nel 1985, con lo scopo di introdurre l inforatica nelle scuole secondarie superiori. Nei prograi inisteriali PNI di ateatica e fisica per il liceo scientifico, l argoento i principi di conserazione è collocato al biennio nel tea n. il oiento: quantità di oto, energia eccanica e loro conserazione; urti elastici e anelatici. La trattazione degli urti richiede esperienze di laboratorio che ne eidenziano la fenoenologia in due diensioni. La conserazione della quantità di oto ostra agli alliei l iportanza e la necessità dei principi di conserazione nell indagine fisica. Nel triennio inece, doe le ore settianali di fisica sono tre con alutazione scritta e orale, l argoento i principi di conserazione è collocato al tea n. 3: principi di conserazioneprocessi reersibili e irreersibili nella pria parte troiao: sistea isolato, conserazione della quantità di oto e del oento angolare, conserazione dell energia. I successii prograi elaborati dalla Coissione rocca negli anni 1991 e 199,che non hanno odificato i prograi PNI di ateatica e fisica, sono stati adottati dai ari istituti di istruzione secondaria coe progetti di sperientazione su proposta dello stesso Ministero della Pubblica Istruzione.

3 PREREQUISITI: lgebra ettoriale Principi della dinaica Le forze e il oto Le trasforazione di Galileo e il oto relatio TEMPI DI SVOLGIMENTO Per lo solgiento del percorso didattico sono preiste 36 ore di lezione che coprendono lezioni frontali, dialogate, erifiche orali esperienze di laboratorio e erifiche scritte. OIETTIVI GENERLI: acquisire una buona foralizzazione dei contenuti teorici e l acquisizione di una etodologia generale di laoro efficaceente applicabile anche in olti altri capi del sapere coprendere i procedienti caratteristici dell indagine scientifica, che si articolano in un continuo rapporto tra costruzione teorica e attiità sperientale acquisire un insiee organico di etodi e contenuti finalizzati ad una adeguata interpretazione della natura acquisire la capacità di reperire inforazioni, di utilizzarle in odo autonoo e finalizzato e di counicarle con un linguaggio scientifico acquisire la capacità di analizzare e scheatizzare situazioni reali e di affrontare problei concreti, anche al di fuori dello stretto abito disciplinare acquisire l abitudine all approfondiento, alla riflessione indiiduale e all organizzazione del laoro personale capacità a cogliere ed apprezzare l utilità del confronto di idee e dell organizzazione del laoro di gruppo OIETTIVI TRSVERSLI : Siluppare attitudine alla counicazione ed ai rapporti interpersonali, faorendo lo scabio di opinione tra il docente e allieo e tra gli alliei stessi. Proseguire ed apliare il processo di preparazione scientifica e culturale degli studenti. Contribuire a siluppare lo spirito critico e l attitudine a riesainare criticaente ed a sisteare logicaente le conoscenze acquisite. Contribuire a siluppare capacità logiche e argoentatie. Iparare a rispettare i tepi di consegna dei laori da solgere.

4 OIETTIVI SPECIFICI Conoscenze Concetto di sietria e di inarianza in fisica Variazione e conserazione Il laoro di una forza costante Il laoro di una forza ariabile La potenza Il concetto di energia L energia cinetica Teorea dell energia cinetica Forze conseratie e forze dissipatie L energia potenziale graitazionale L energia potenziale elastica La conserazione dell energia eccanica Conserazione dell energia totale Quantità di oto e sistei isolati Ipulso e quantità di oto I principi della dinaica e la conserazione della quantità di oto Gli urti Il oento di inerzia Moento angolare Conserazione del oento angolare Copetenze Saper applicare le leggi di conserazione studiate alla risoluzione di problei dinaici Saper coprendere il significato di sietria e inarianza di una grandezza fisica Saper coprendere il significato di sistea isolato Capacità saper utilizzare le conoscenze e le copetenze acquisite per risolere problei anche in contesti diersi METODOLOGIE: Gli argoenti erranno affrontati utilizzando conteporaneaente lezioni frontali e

5 dialogiche in odo da faorire una partecipazione attia degli alunni. L utilizzo di esepi pratici sarà di ausilio e per introdurre concetti nuoi, e per chiarire o consolidare argoenti appena trattati. Il laboratorio di fisica sarà di ausilio per eglio chiarire alcuni concetti e fenoeni che a olte possono sebrare difficili e lontani dalla ita coune degli studenti; le relazioni prodotte a casa dagli alunni, relatiaente al laboratorio solto, saranno oggetto di alutazione da parte dell insegnante. Si solgeranno esercizi in classe di dierso tipo e di difficoltà crescente in odo che siano oento iediato di sostegno e anche di ripasso della teoria. Verranno assegnati degli esercizi a casa scelti con difficoltà crescente, in odo che gli studenti possano acquisire una aggiore failiarità con l argoento. CONTROLLO DELL PPRENDIMENTO: La alutazione foratia si esegue traite seplici erifiche orali, esercitazioni in classe, correzione degli esercizi assegnati per casa e alutazione delle relazioni di laboratorio. Le erifiche orali e gli esercizi alla laagna perettono inoltre di alutare l acquisizione di proprietà di linguaggio degli alunni, e il loro criterio di scelta di una strategia risolutia. La erifica soatia, nella quale engono proposti esercizi siili a quelli esainati in classe, a non solo, perette di erificare il liello di assiilazione degli argoenti trattati e l autonoia nella risoluzione degli esercizi. GRIGLI PER L VLUTZIONE: La alutazione della erifica soatia è deterinata in base al punteggio attribuito ad ogni esercizio che ne fa parte. Le differenze di punteggio attribuite agli esercizi rispecchiano le relatie differenze a liello di conoscenze, copetenze e capacità richieste. Nell attribuzione del punteggio si tiene conto dei seguenti indicatori, suggeriti dal Ministero Pubblica dell Istruzione( anzitutto in riferiento alla proa scritta dell esae di stato): i. Conoscenze specifiche. ii. Copetenze nell applicare le procedure ed i concetti acquisiti. iii. Capacità logico e argoentatie. i. Copletezza della risoluzione.. Correttezza della risoluzione e dell esposizione. Nel caso di errore nello solgiento degli esercizi si attribuisce solo parte del punteggio copleto preisto per essi. GRIGLI DI VLUTZIONE (D USO DEL DOCENTE)

6 Punteggio grezzo (totale 40) Voto in decii (ottenuto con la proporzione) Voto in decii proposta) (una

7 STRUMENTI UTILIZZTI: Libro di testo Laagna e gessi Calcolatrice scientifica Fotocopie Laboratorio di fisica Foglio elettronico UNITÀ DIDTTIC 1: IL PRINCIPIO DI CONSERVZIONE DELL ENERGI MECCNIC CONTENUTI: 1. La sietria in geoetria e l idea di inarianza in fisica.. Variazione e conserazione

8 3. Il laoro di una forza costante 4. Il laoro di una forza ariabile 5. La potenza 6. Il concetto di energia 7. L energia cinetica 8. Teorea dell energia cinetica 9. Forze conseratie e forze dissipatie 10. L energia potenziale graitazionale 11. L energia potenziale elastica 1. La conserazione dell energia eccanica 13. Conserazione dell energia totale SVILUPPO DEI CONTENUTI: 1.1 VRIZIONE E CONSERVZIONE Nei fenoeni studiati in eccanica i sono olte grandezze che cabiano nel tepo. Su un taolo da biliardo le biglie che si urtano e ribalzano sulle sponde cabiano continuaente posizione e elocità. nche le forze che agiscono sulle biglie hanno intensità e direzioni che ariano istante per istante. Studiare un fenoeno significa saper preedere coe ariano nel tepo le grandezze più significatie. I principi della dinaica serono a fare queste preisioni. Occorre però aere un quadro dettagliato delle forze che in ogni istante agiscono sul sistea. Qualche olta il problea è di facile soluzione. Nella caduta di un grae nel uoto è facile preedere la posizione è la elocità del corpo in caduta in quanto esso è sottoposto a una forza costante. In generale le cose non sono così seplici. Nell esepio del biliardo, le forze con cui le biglie si urtano ariano olto rapidaente e hanno un andaento che conosciao soltanto in odo approssiatio. nche il calcolo delle traiettorie risulta olto coplesso soprattutto se i sono olti oggetti in oiento. I principi della dinaica sono uno struento olto potente per lo studio del oto, riusciao ad applicarli ad un nuero piuttosto ristretto di problei. Il quadro può cabiare copletaente se si studia il fenoeno da un punto di ista dierso. Inece di deterinare nel tepo delle grandezze che ariano ( spostaento, elocità, le forze), possiao indiiduare, se esistono, le grandezze che riangono costanti nel tepo. In altri terini, anziché sulle leggi di ariazione ci sofferereo sulle leggi di conserazione.

9 Una legge di conserazione affera che durante lo solgiento del fenoeno una grandezza riane costante dall inizio alla fine, entre altre grandezze cabiano continuaente nel tepo. Si tratta di un punto di ista insolito, a che consente di raccogliere rapidaente olte inforazioni sul fenoeno. In questo percorso didattico parlereo della conserazione dell energia, della conserazione della quantità di oto e del oento angolare. In fisica i principi di conserazione assuono un ruolo fondaentale nello studio dei fenoeni in quanto continuano ad essere alidi anche in abiti doe la eccanica di Newton e di Galileo non è più alida ( ad esepio, fenoeni subatoici e nucleari). 1. IL LVORO DI UN FORZ COSTNTE Couneente diciao che una persona che solge una qualsiasi attiità sia ateriale che entale copie laoro. In fisica il terine laoro ha inece un significato ben preciso. Copie laoro un giocatore di tennis quando colpisce la palla con la racchetta, un uoo che sposta un libro da uno scaffale più basso a uno più alto. Precisiao che, sebbene in fisica si sia soliti dire che il giocatore copie laoro, è sepre una forza che copie laoro. Per esepio, un giocatore copie laoro nel calciare il pallone perché applica ha questo una forza uscolare che fa spostare il pallone. Una persona che stando fera tiene una aligia, anche se fatica, non copie laoro. Perché una forza che agisce su un corpo copia laoro è necessario che il punto in cui essa è applicata subisca uno spostaento. Forza e spostaento hanno la stessa direzione Nel caso di una forza costante applicata a un oggetto che si sposta nella stessa direzione e nello stesso erso della forza, si definisce laoro della forza F il prodotto dell intensità F della forza per il odulo dello spostaento, e scriiao W = F s Nel Sistea Internazionale l unità di isura del laoro è il joule ( J ). 1 J è il laoro copiuto da una forza di 1 N quando il punto di applicazione si sposta di 1 ( in direzione della forza ). Le diensioni fisiche del laoro sono:

10 [ W ] = [ F s] = [ l t ] = [ ] [ l ] [ t ]. Quando un sasso cade a terra, la forza di graità copie un laoro, perché agisce sul sasso entre cade. Se, per esepio, il sasso ha una assa di 1 kg, la forza di graità che lo attrae al suolo è: P = g = 1,0 kg x 9,8 /s = 9,8 N. Per una caduta di 3, la forza di graità copie un laoro W = F s = 9,8 N x 3,0 = 9 J. Laoro otore e laoro resistente Lanciando una palla da baseball copiao laoro. Esso è uguale al prodotto della forza che applichiao per lo spostaento che copie la palla entre si troa a contatto con la nostra ano. nche quando la feriao copiao un laoro, perché applichiao una forza entre la palla si sposta erso di noi. Nel prio caso la forza e lo spostaento hanno lo stesso erso e si dice che la Fig.1 forza copie un laoro otore. Nel secondo caso la forza e lo spostaento hanno erso opposto e si dice che la forza copie un laoro resistente. l laoro otore si attribuisce il segno positio, a quello resistente il segno negatio (fig.1) La forza e lo spostaento hanno direzione dierse

11 Non sepre la forza e lo spostaento hanno la stessa direzione. Pensiao ad cane che tira erso il basso il guinzaglio entre corre in aanti. Il cane applica all uoo una forza F inclinata di un certo angolo rispetto allo spostaento. Possiao scoporre la forza F in due coponenti F 1 parallela ed F perpendicolare alla direzione dello spostaento ( fig. ). Il laoro della forza F è uguale alla soa dei laori delle due forze coponenti. Essendo il laoro della coponente F nullo, in quanto il punto su cui è applicata la forza (la ano) non subisce spostaenti in direzione erticale, il laoro della forza F è uguale al laoro della sola coponente F 1 W = W 1 + W = W 1 = F 1 s = F s cos Fig. In generale possiao afferare che il laoro di una forza costante applicata a un corpo è uguale al prodotto dello spostaento per la proiezione della forza nella direzione dello spostaento. Sulla base di questa definizione una persona che trasporta una aligia a elocità costante senza alzarla e né abbassarla non copie laoro. Infatti l unica forza che applica è una forza erticale che controbilancia il peso della aligia (fig.3), entre lo spostaento è orizzontale. In direzione orizzontale non i è alcuna forza, dato che la elocità è costante.

12 Fig.3 L espressione ( 1 ) rappresenta il prodotto scalare dei ettori F ed s. W = F s Fatica e laoro Se trasportiao una cassa su per le scale, la fatica che sperientiao cresce sia all auentare del peso della cassa, sia all auentare della lunghezza della salita. In questo caso la grandezza fisica «laoro», proporzionale sia alla forza che allo spostaento, descrie piuttosto bene anche la nostra sensazione di fatica. Secondo la forula precedente, però, un uoo che porta una aligia lungo un percorso orizzontale copie un laoro nullo, perché la forza e lo spostaento sono perpendicolari. Naturalente, per trasportare la aligia questa persona non fa una fatica nulla. In questo caso, quindi, la grandezza fisica «laoro» non corrisponde alla nostra sensazione di fatica. La contraddizione è soltanto apparente: i nostri uscoli striati non sono in grado di «bloccarsi» e rianere iobili per sostenere la aligia; entre la trasportiao, essa ci piega erso il basso e noi continuiao a rispondere, anche senza accorgercene, con icroscopici a continui oienti erso l alto dei uscoli del braccio. In ognuno di questi spostaenti la forza che esercitiao e lo spostaento sono paralleli, per cui il laoro che copiao è positio. E la soa di questi laori che noi aertiao coe fatica. 1.3 IL LVORO DI UN FORZ VRIILE

13 Esainiao ora il caso in cui la forza aria entre il corpo si sta spostando. Questo succede, per esepio quando copriiao o tiriao una olla. Se la copriiao a elocità costante, dobbiao esercitare sulla olla una forza uguale e contraria a quella che tende a riportarla nella posizione di equilibrio ( fig.4 ) F = k s Fig.4 Il laoro copiuto dalla forza di copressione della olla si può calcolare ageolente affrontando il problea graficaente. Nel caso di forza costante (fig. 5) il laoro può deterinarsi calcolando l area di un rettangolo che ha per base s e altezza F nel diagraa forza spostaento. Fig.5 Fig.6

14 nche quando la forza non è costante, il laoro è uguale all area della superficie deliitata dal grafico di F dall asse degli spostaenti e da segenti paralleli all asse delle forze fig. (6). Nel caso della olla F aria linearente con lo spostaento per cui il laoro è dato dall area del triangolo aente base s e altezza k s. W = ½ k s Questo laoro preso con il segno negatio, è anche uguale a quello che copie la olla entre la copriiao. Essa infatti copie un laoro resistente, perché la forza di richiao è diretta in senso contrario allo spostaento che copie la sua estreità libera ( fig.7 ) e (fig.8). Fig.7 Fig.8 Il calcolo del laoro di una forza ariabile con una legge generica F(x) durante uno spostaento da un punto di ascissa x 1 ad un punto di ascissa x, può essere eseguito graficaente coe indicato in fig. 9. Per seplicità supponiao che la forza ari solo in odulo conserando direzione e erso dello spostaento ( direzione dell asse x ). Se diidiao l interallo da x 1 a x in n interalli parziali x, possiao se n è sufficienteente grande, ritenere la forza costante in ogni in interallo e uguale al alore F(x), in cui x è l estreo inferiore dell interallo considerato. Il laoro copiuto per effetto dello spostaento eleentare x, risulta: W = F(x) x

15 Il laoro coplessio durante lo spostaento coplessio è uguale alla soa dei laori eleentari in ogni interallo x cioè alla soa delle aree dei singoli dei rettangoli. Fig L POTENZ Spesso ha interesse conoscere il laoro copiuto da un sistea fisico, ad esepio una acchina, nell unità di tepo. Si definisce potenza edia P di un sistea fisico che copie un certo laoro W in un interallo di tepo t il rapporto: P = W/ t La potenza esprie la rapidità con cui iene copiuto un deterinato laoro. Una persona che sale le scale eloceente siluppa più potenza rispetto a una persona che sale le scale con andatura norale. Se t è piccolo si parla di potenza istantanea. L unità di isura di questa grandezza è il watt ( W ): 1 watt è la potenza siluppata da una forza che copie il laoro di 1 joule in 1 secondo: 1 W = 1 J /1 s Le diensioni fisiche della potenza sono [ P ] = [ l t -3 ]. La potenza delle autoobili iene isurata in caalli apore ( CV ). 1 CV =735 W =0,735 kw.

16 1.5 IL CONCETTO DI ENERGI Il progresso dell uoo è stato reso possibile dalle risorse energetiche e il anteniento delle attuali condizioni di ita è legato alla disponibilità di energia necessaria per il funzionaento delle industrie. L energia si presenta in dierse fore che, coe edreo sono conertibili l una nell altra. In fisica, diciao che un corpo possiede energia quando è in grado di copiere laoro e la isura di questo laoro è anche una isura dell energia. Per ora ci liitiao all introduzione dell energia eccanica nelle sue due fore di energia cinetica e di energia potenziale. Un corpo in oiento è in grado di copiere laoro per effetto della elocità posseduta. Quando la elocità si annulla, il corpo perde la capacità di copiere laoro. Diciao che un corpo di assa e elocità possiede energia cinetica e la sua isura iene assunta per definizione uguale al laoro che copie quando si arresta. Possiao interini equialenti assuere coe energia cinetica il laoro che è necessario copiere dall esterno per ettere in oto il corpo fino alla elocità. In odo analogo un corpo che si troa a una certa altezza è in grado di copiere laoro a ezzo del suo peso durante la caduta. Diciao che il corpo a una certa altezza possiede energia potenziale e assuiao coe sua isura quella del laoro copiuto dalla forza peso. Quando il corpo raggiunge la superficie terrestre ha perduto la capacità di copiere laoro e per conenzione diciao che l energia potenziale è nulla. Per distinguerla da altre fore di energia potenziale, l energia posseduta da un corpo all altezza h dalla superficie terrestre si chiaa energia potenziale graitazionale. Un altro esepio di energia potenziale è l energia elastica di una olla deforata. Infatti una olla copressa, espandendosi, copie laoro a ezzo della forza elastica, analogaente se la olla è dilatata, ritornando nella configurazione di equilibrio, copie laoro. La isura del laoro rappresenta l energia elastica. Si osseri che l energia, sia cinetica che potenziale, essendo stata definita coe laoro, si esprie nel sistea SI con la stessa unità di isura ( J ). 1.6 ENERGI CINETIC Consideriao un corpo di assa e elocità che iene arrestato e calcoliao il laoro copiuto dal corpo sull oggetto frenante. Supponiao di oler conficcare un chiodo in un blocco di legno battendolo con un artello al quale è ipressa una elocità. Il artello, quando batte il chiodo,

17 esercita una forza F che in seguito allo spostaento del chiodo copie un laoro W che per definizione abbiao assunto coe energia cinetica del artello. Supponendo la forza F costante, il oto del artello è di tipo uniforeente ritardato. Essendo la elocità finale nulla, indicando con s lo spazio percorso dal artello e con a l accelerazione si può scriere considerando le grandezze in odulo: - at = 0 si assue l istante di tepo iniziale pari a zero e quello finale pari a t; lo spazio iniziale pari a zero e quello finale pari a s. da cui t = s /a. Lo spazio percorso è: s = t ½ a t e, sostituendo il alore di t, si ha s= /a ½ a /a = /a Il laoro copiuto dalla forza F trasessa dal artello al chiodo è: Tenendo conto che F = a, si ha: W = F s = F /a W = 1/ Chiaiao K = 1/ energia cinetica del corpo. Si tratta di una grandezza scalare, che si isura coe joule coe il laoro. La ragione del noe energia cinetica è douto al fatto che il corpo di assa, oendosi a elocità, è in grado di copiere un laoro proprio pari a ½. Viceersa è facile diostrare che per portare dalla quiete a elocità un corpo di assa è necessario copiere un laoro uguale all energia cinetica finale assunta dal corpo. Infatti: W = F s = a s

18 Essendo: si ha: = a t s = ½ a t s = ½ /a W = ½. 1.7 TEOREM DELL ENERGI CINETIC Negli esepi trattati precedenteente si è isto che ogniqualolta una forza agente su un corpo copie un laoro si ha una ariazione di elocità e quindi di energia cinetica. Nell esepio di fig.10 la palla di assa fera iene accelerata da una forza F. La forza continua ad agire entre la palla si sposta con oto rettilineo uniforeente accelerato per un tratto s. Dopo che la forza ha sesso di agire, la palla si uoe di oto rettilineo unifore con elocità. Il laoro copiuto, coe abbiao isto precedenteente è uguale all energia cinetica: W = K = ½ Fig.10 Nell esepio di fig.11 una palla di assa che si uoe con elocità costante, in possesso di una energia cinetica K = ½ iene ferata con una forza ad agire entre la palla si sposta con accelerazione negatia per un tratto F di intensità costante. La forza continua s.il laoro copiuto dalla

19 forza frenante è quindi: W = - F s = - ½ La palla, quindi, esercita una forza parallela allo spostaento s e, di conseguenza copie un laoro otore ( positio ) L energia cinetica finale si annulla. W = -W = ½ Fig.11 I risultati degli esperienti possono essere generalizzati. Si può concludere che un laoro iplica sepre una ariazione di energia cinetica che può essere negatia o positia a seconda che il laoro sia otore o resistente. Più precisaente una ariazione può essere alutata dal laoro totale in irtù del seguente teorea dell energia cinetica: Il laoro copiuto dalla risultante delle forze applicate a un corpo lungo una traiettoria è uguale alla ariazione dell energia cinetica subita dal corpo nel passare da a.

20 Sia K 0 l energia cinetica in un certo istante, che possiao assuere coe istante iniziale t 0 = 0, e K quella in un altro istante generico t, se W è il laoro copiuto nell interallo t t 0, il teorea dell energia cinetica si esprie con la relazione: W = K K 0 Per la diostrazione della relazione suddetta, per seplicità, ci riferiao al caso di un punto ateriale di assa sottoposto a un insiee di forze la cui risultante F sia costante. Si supponga che la elocità 0 del punto ateriale nell istante t = 0 in cui iene applicata la forza F abbia la stessa direzione di F. In queste condizioni il oto del punto ateriale è uniforeente accelerato con accelerazione di odulo a = F/. Indicando con s lo spostaento dall istante t = 0 all istante t in cui la elocità è dientata, il laoro copiuto dalla forza F è: W = F s = a s Sapendo, dallo studio del oto uniforeente accelerato, che a s = ( 0 ) / segue: W = ½ - ½ 0 Risulta così diostrato il teorea. Se il laoro è positio, si ha un increento di energia cinetica; a un laoro negatio corrisponde una diinuzione di energia cinetica. 1.8 FORZE CONSERVTIVE E FORZE DISSIPTIVE Una forza si dice conseratia se il laoro che essa fa nello spostaento da un punto fino a un punto dipende soltanto dagli estrei e, a non dal particolare percorso seguito durante lo spostaento. Una forza che non è conseratia si dice dissipatia Un esepio di forza conseratia: la forza peso. Consideriao una palla di assa che si sposta da un punto di partenza a un punto di arrio spostato di l a destra di e di h sotto di esso, coe è ostrato nella fig1. Per descriere i ettori forza-peso F e spostaento s introduciao un P sistea di

21 riferiento che ha l asse x riolto erso destra e l asse y in alto. llora: il ettore forza peso ha la coponente orizzontale, in odulo, nulla e quella erticale negatia: F P, x = 0; F P, y = - g. Il ettore spostaento ha la coponente orizzontale, in odulo, positia e quella erticale negatia: s x = l; s y = - h. Fig.1 Calcoliao ora il laoro fatto dalla forza-peso entre la palla si sposta da a in linea retta (fig.13). Questo laoro si può calcolare coe: W = F s = P F P, x s x + F P, x Il laoro fatto è, quindi, W = g h. s y = 0 x l + ( - g)x ( - h ) = gh. Ora spostiao la palla da a lungo un percorso dierso: da la portiao in un punto C che si troa alla destra di a una distanza l e sopra ; poi, da C la portiao a

22 percorrendo una distanza h. Fig.13 Questa olta il caino fatto per andare da a è coposto da due tratti rettilinei e così il laoro W è la soa di due contributi: W = W1 +W. Durante il tratto 1, da a C, il ettore FP è perpendicolare allo spostaento s, per cui il laoro W1 è nullo ( fig.14): W1 = 0. Nel tratto, da C a, i ettori F P e s hanno la stessa direzione e lo stesso erso, perciò il laoro W è positio ( Fig.15 ): W = F P, x s = g x h = gh. Fig.14 Fig.15 nche in questo caso il laoro totale risulta

23 W =W1 +W = 0+ gh = gh e, quindi, è uguale a quello calcolato con la forula precedente. In realtà, facendo calcoli più coplicati possiao edere che il laoro copiuto dalla forza-peso entre la palla si sposta tra e ale sepre gh, qualunque sia la fora del caino seguito (fig.16). Ciò significa che la forza-peso è una forza conseratia. Fig.16 Un esepio di forza dissipatia: l attrito radente Consideriao una persona che spinge una cassa sul paiento, in linea retta, dal punto O al punto P. Se scegliao un sistea di riferiento che ha l origine nel punto O, il punto P ha coordinate (a, b) e, per il teorea di Pitagora ( fig.17 ), la distanza tra O e P è OP = a b

24 Fig.17 Mentre la cassa si uoe, tra essa e il paiento agisce la forza di attrito F che ha sepre la direzione dello spostaento s O P della cassa e erso opposto ( Fig18 ). Per la forula (), il laoro di questa forza è: WO P FOP F a b (16) Fig.18 Fig.18 Ora la cassa iene spostata da O a P passando per il punto Q, che ha coordinate (a, 0) (fig.19). Il laoro WO Q P della forza di attrito durante questo spostaento è la soa di due contributi: WO Q durante lo spostaento so Q da O a Qe WQ P durante lo spostaento s o p da Q a P: WO Q P WO Q + WQ P. Per la stessa ragione di pria si ha

25 Fig.19 WO Q =- F OQ = -F a e WQ P = - F QP = -F b, perciò risulta WO Q P = WO Q = WQ P = - F a - F b = - F (a + b). Così, il laoro copiuto dalla forza di attrito entre la cassa è spostata da O a P in linea retta è dierso da quello copiuto dalla stessa forza lungo il percorso da O a P passando per Q: è quindi diostrato che l attrito radente non è una forza conseratia. Cioè : la forza di attrito radente è dissipatia. 1.9 ENERGI POTENZILE GRVITZIONLE Consideriao un corpo di assa ierso nel capo graitazionale terrestre. Se lo lasciao cadere, la forza peso che agisce sul corpo copie un laoro. Se lo lasciao cadere da una altezza aggiore il laoro copiuto è aggiore, se laltezza è inore, il laoro è inore. Questo laoro equiale (trascurando gli attriti con laria) allenergia cinetica che il corpo possiede al oento dellipatto con il terreno.

26 Fig.0 La capacità, lattitudine, che ha il corpo nel copiere un laoro per il fatto di troarsi in una certa posizione allinterno di un capo di forze si chiaa energia potenziale. Possiao allora afferare che lenergia potenziale di un corpo è l energia di posizione che esso possiede in potenza e che può trasforarsi in laoro. Nellesepio del capo graitazionale, direo che il corpo possiede una energia potenziale graitazionale. Lenergia potenziale graitazionale è lenergia che un corpo possiede per il seplice otio di essere in una certa posizione allinterno di un capo graitazionale. Fig.1 Nel caso illustrato dalla figura abbiao un corpo di assa ad unaltezza pari ad h da terra (o rispetto ad un qualsiasi altro piano di riferiento parallelo alla superficie terrestre). Il corpo, in quanto ierso nel capo graitazionale terrestre, è soggetto alla forza peso. Se il corpo iene lasciato cadere, coe abbiao già isto, esso acquisterà, quando sarà in procinto di toccare terra, una energia cinetica pari al laoro che la forza peso copie nel tragitto lungo h. E per questo otio che diciao che il corpo possiede una energia potenziale graitazionale,

27 proprio perché il corpo (oero la forza-peso applicata su di esso) è in grado di copiere un laoro grazie al fatto di essere posizionato ad una certa altezza da terra (o da qualsiasi piano di riferiento). Deteriniao ora il alore dellenergia potenziale graitazionale. Per fare questo consideriao il laoro che si copie per portare il corpo dal suolo alla quota h rispetto a terra. Questo laoro copiuto sarà esattaente uguale allenergia potenziale che il corpo arà alla quota h. Per fare questo applichiao sul corpo a terra una forza riolta erso lalto lieeente aggiore del peso del corpo : Fig. In questo odo, essendo la risultante fra le due forze diersa da zero e riolta erso lalto, il corpo coincerà a salire. Subito dopo che il corpo coincia la sua ascesa, rendiao la forza f esattaente pari (in intensità) alla forza peso. Così, essendo nulla la risultante delle forze, il corpo salirà di oto rettilineo unifore (con elocità costante, anche se piccola). Poco pria di arriare alla quota h, diinuiao lintensità della forza f in odo da far sì che la risultante dienti lieeente riolta erso il basso. In questo odo il corpo coincerà a decelerare finché, giunto alla quota h, esso sarà del tutto fero. Calcoliao il laoro copiuto dalla forza f. Considerando che le liei differenze che essa ha auto in intensità rispetto alla forza peso (allinizio del percorso ed alla fine) si neutralizzano a icenda, tale laoro sarà : W = P h Essendo la forza peso, in odulo,(per il secondo principio della dinaica) pari a : P = g (doe g è il odulo dellaccelerazione di graità) areo :

28 W = g h Questa seplice forula ci dà il laoro fatto per portare un corpo di assa alla quota h in presenza del capo graitazionale terrestre. Questo laoro sarà pari allenergia potenziale graitazionale che il corpo ha alla quota h. Scriereo allora : U = g h doe con U si indica couneente tale energia potenziale. Questa energia potenziale è, oiaente, uguale al laoro fatto dalla forza peso quando il corpo cade dalla quota h e raggiunge il terreno. Si noti infine che lenergia potenziale graitazionale (così coe ogni altro tipo di energia potenziale) non è una grandezza assoluta, bensì essa dipende dal piano di riferiento rispetto al quale si riferisce la quota h. Cabiando piano di riferiento, lenergia potenziale graitazionale cabia. Possiao isurare h rispetto al suolo o da qualsiasi altro liello di riferiento, per esepio da un balcone, dal fondo di un pozzo. Il liello di zero può essere scelto in odo arbitrario. Fig.3 Se indichiao con h e h le posizioni assunte dal corpo rispetto al liello 0, le relatie energie potenziali sono date da: U = g h e U = g h rispettiaente. Segue facilente che il laoro copiuto dalla forza peso quando il corpo si sposta da a è: W = U - U

29 Oppure: W = - U Problea Uno scalatore si troa a un altezza di 50 rispetto alla base della parete su cui arrapica. La assa dello scalatore (copresa l attrezzatura) è di 80 kg. Qual è l energia potenziale dello scalatore, aendo scelto coe liello di riferiento la base della parete? Fig.4 Soluzione U = g h = 80 x 9,8 / s x ,9 x 10 4 kg /s = 3,9 x 10 4 J 1.10 ENERGI POTENZILE ELSTIC Una olla copressa o allungata è in grado di copiere laoro quando iene lasciata andare. Per esepio, nel capanello della bicicletta il suono è causato dal ritorno di una olla che è stata allungata. Quindi possiao dire che anche una olla deforata possiede un energia potenziale elastica, esattaente coe un oggetto solleato rispetto alla quota di riferiento possiede un energia potenziale graitazionale. Scegliao lo zero dell energia potenziale della olla nella situazione in cui essa è a riposo. In questo odo possiao definire l energia potenziale della olla coe abbiao isto precedenteente: l energia potenziale elastica di una olla deforata è uguale al laoro copiuto dalla

30 forza elastica quando la olla si riporta nella sua posizione di riposo (liello di zero). L energia potenziale elastica è sepre positia, perché (sia per la olla copressa, sia per quella allungata) i ettori forza elastica (di richiao) e spostaento della olla sono paralleli tra loro, per cui il laoro è sepre positio. Fig.5 Il laoro della forza elastica L espressione della forza elastica, per una olla che ha subito una deforazione x, coe abbiao isto, è: F = k x doe k è la costante elastica della olla. Così, entre la deforazione x della olla passa dal alore iniziale s a quello finale (pari a zero), il alore della forza elastica cabia continuaente. Ciò significa che, entre la olla ritorna alla posizione di riposo, la grandezza F non ha un alore costante ( fig.6 ) e, quindi, il laoro non può essere calcolato con la forula W = F x. Fig.6 Fig.7

31 Per la forza elastica il laoro è in questo caso l area di un triangolo: W = ( b x h ) / = ( s x ks ) / = ½ k s Così abbiao calcolato il laoro della forza elastica, che è anche uguale all energia potenziale elastica Ue della olla deforata con uno spostaento s: U e = ½ k s 1.11 CONSERVZIONE DELL ENERGI MECCNIC 1. Caso graitazionale Un corpo in oiento possiede energia cinetica, la cui ariazione è uguale al laoro copiuto dalle forze agenti. D altra parte, se le forze agenti sono conseratie, il corpo possiede anche energia potenziale, la cui ariazione cabiata di segno è uguale al laoro copiuto dalle forze. Durante il oiento in generale ariano sia l energia cinetica che l energia potenziale. Vogliao confrontare le due ariazioni di energia. Si supponga che l unica forza agente su un corpo di assa sia la forza peso. Se e sono le posizioni assunte dal corpo durante il oto, indicando con K e K le energie cinetiche in e e con U e U le energie potenziali negli stessi punti, il laoro della forza peso si può scriere rispettiaente con le relazioni: W = K - K W = U - U da cui segue: K - K = U - U K + U = K + U Nel passaggio dalla posizione alla posizione, pur ariando sia l energia cinetica sia l energia

32 potenziale, la loro soa riane costante. Data l arbitrarietà dei punti e, se K e U rappresentano rispettiaente l energia cinetica e l energia potenziale graitazionale in una posizione generica, possiao scriere: oppure, esplicitando le energie: K +U = costante ½ + g h = costante Possiao perciò concludere che un corpo sotto l azione della sola forza peso, in condizione di attrito trascurabile, la soa dell energia cinetica e dell energia potenziale graitazionale si antiene costante durante il oto. Poiché l energia cinetica e quella potenziale sono due fore di energia eccanica, possiao afferare che durante il oto l energia eccanica è costante. Quesito: Un pendolo di assa = 00 g e lunghezza l = 140 c iene solleato di 10 c dalla sua posizione di equilibrio. Si calcoli la assia elocità raggiunta dal pendolo nella sua oscillazione e lenergia eccanica del sistea. Fig.8 Risposta: Quando il pendolo iene spostato dalla sua posizione di equilibrio e iene portato ad unaltezza h acquista energia potenziale graitazionale; in tale posizione la sua energia eccanica è interaente potenziale graitazionale U = g h, entre la sua energia cinetica è nulla. Nella configurazione in cui il pendolo è disposto in erticale areo inece che la sua energia potenziale graitazionale è nulla e la sua energia eccanica coincide con lenergia cinetica K = 1/. È chiaro che questa è la configurazione in cui è assia la elocità del pendolo. Dalla conserazione dellenergia eccanica otteniao 1/ = g h da cui = g h = 9.8 / s 0.1 = 1.96 / s. Estraendo la radice quadrata, otteniao infine che la elocità assia raggiunta dal pendolo

33 è = 1.4 / s. Il dato relatio alla assa del pendolo = 00 g = 0. kg ci consente inece di calcolare lenergia eccanica del sistea. Siccoe lenergia eccanica si consera basterà Calcolare l energia eccanica nella configurazione iniziale: U = g h = 0, kg 9,8 N /kg 0,1 = 0,196 J. Quesito: Consideriao una biglia di assa = 100 g che parte dal punto con una elocità pari a / s. Stabilire se, e in caso afferatio con quale elocità, la biglia arria nei punti e C. Fig.9 Risposta: llistante iniziale la biglia di assa = 100 g = 0.1 kg possiede sia energia cinetica che potenziale graitazionale. Pertanto la sua energia eccanica è data dalla soa delle due: K + U = 1/ + g h = (1/ ) J = 1.18 J. In lenergia potenziale graitazionale della biglia ale U = 0.1 kg 9.8 N / kg 0.6 = 0.59 J. Se non cè attrito lenergia eccanica iniziale, pari a 1.18 J, si consera ed è sufficiente a far arriare il corpo in. Il corpo arrierà in con unenergia cinetica data da 1.18 J J = 0.59 J e quindi con una elocità che gli consente di procedere oltre. In C lenergia potenziale graitazionale è uguale a U C = 0.1 kg 9.8 N / kg 1.6 = 1.57 J. In questo caso lenergia eccanica del corpo, 1.18 J, non è sufficiente a far raggiungere al corpo il punto C. Laltezza assia h che il corpo può raggiungere si ha quando lenergia eccanica è interaente potenziale graitazionale ossia quando g h = 1.18 J da cui h = 1.18 J / ( g) =1,18/ ( ) = 1.. Quando il corpo raggiunge tale altezza si fera e torna indietro.. Caso elastico Consideriao un corpo di assa soggetto a una forza elastica di richiao ( edi fig.5 ): sappiao che il oto che ne risulta, una olta spostato il corpo dalla posizione di equilibrio e poi lasciato libero di uoersi è un oto oscillatorio aronico. La soa dell energia elastica della olla e dell energia cinetica del corpo, trascurando la assa

34 della olla rispetto a quella del corpo, rappresenta l energia totale del sistea. Nel centro di oscillazione la elocità, e di conseguenza l energia cinetica, è assia, entre quella elastica è nulla. gli estrei di oscillazione l energia cinetica è nulla, quella elastica risulta assia. Nelle altre posizioni i due tipi di energie sono entrabe dierse da zero. Con ragionaento analogo a quello fatto per la forza peso si diostra che l energia totale è costante durante l oscillazione. Possiao pertanto scriere: ½ + ½ k s = costante Durante il oto oscillatorio si hanno conersioni di energia dalla fora elastica a cinetica e iceersa, a la loro soa riane costante. In particolare, se s 0 è l apiezza del oto, si ha: ½ +1/ k x = 1/ k s 0 Il corpo, soggetto all azione della forza elastica, spostato dalla posizione iniziale di equilibrio in odo da allungare la olla di un tratto s 0 e lasciato libero, dee oscillare tra -s 0 e +s 0 in quanto l energia iniziale è ½ k s 0. CONSERVZIONE DELL ENERGI TOTLE In realtà, quasi sepre l energia eccanica totale di un sistea non si consera. a) Un sasso che cade diinuisce la propria energia potenziale e auenta l energia cinetica. Ma quando si fera sul terreno perde l una e l altra. b) Un autoobile che iaggia in pianura ha un energia cinetica. Frenando fino a ferarsi, però, la perde copletaente. In tutti questi casi, abbiao l ipressione che una certa quantità di energia scopaia o «ada sprecata». Tuttaia, ciò non è ero. L energia eccanica che anca si è trasforata in energia interna dei corpi, che di solito è percepita coe auento di teperatura. Doe cade un grosso eteorite, si crea un cratere: le rocce sono spezzate, il terreno si è odificato e addirittura liquefatto per il forte calore che si è siluppato durante l urto. Quando un autoobile frena, i dischi dei freni si riscaldano a causa dell attrito. nche l aria intorno alla ruota dienta un po più calda durante la frenata. a) L energia potenziale del eteorite si è trasforata pria in energica cinetica poi in rottura e deforazioni eccaniche e in energia interna del terreno doe è

35 aenuto l ipatto. b) L energia cinetica dell autoobile si è trasforata in energia interna dei freni e dell aria icina. L energia interna di un corpo è la soa delle energie dei suoi atoi e delle sue olecole. Quindi, l energia cinetica del eteorite si è trasforata in energia delle sue olecole e di quelle del terreno su cui è aenuto l ipatto. L auento di energia di agitazione olecolare è percepito coe auento di teperatura e ha l effetto di liquefare il terreno. Se nel bilancio teniao conto non solo dell energia eccanica, a anche di tutte le altre fore di energia, possiao afferare che: in un sistea isolato l energia totale (eccanica, elettrica, nucleare, interna, ) si consera. Questa afferazione è nota coe principio di conserazione dell energia totale. Non siao assolutaente sicuri che continuerà a alere anche dopo le scoperte che si faranno in futuro, però è una legge sperientale generale che finora si è sepre rielata esatta e la quasi totalità dei fisici sono coninti che non sarà sentita neppure da nuoe conoscenze. UNITÀ DIDTTIC : L CONSERVZIONE DELL QUNTITÀ DI MOTO E DEL MOMENTO NGOLRE. CONTENUTI: 1. Quantità di oto e sistei isolati. Conserazione della quantità di oto 3. Indipendenza del principio di conserazione della quantità di oto dal sistea inerziale. 4. Ipulso di una forza. 5. Principi della dinaica e conserazione della quantità di oto. 6. Urti Conserazione della quantità di oto negli urti e classificazione degli urti (urti elastici, urti anelastici) 7. Moento angolare. 8. Conserazione del oento angolare. 9. Sietrie in geoetria e inarianti in fisica

36 SVOLGIMENTO DEI CONTENUTI:.1 QUNTITÀ DI MOTO E SISTEMI ISOLTI Esperiento 1: Poniao due carrelli su un taolo ben leigato o due dischi di ghiaccio secco. I due carrelli sono legati l uno all altro per ezzo di un filo in odo che la olla interposta tra loro sia antenuta in uno stato di copressione. I due carrelli hanno uguale assa. Se si brucia il filo si troa che i carrelli acquistano elocità e opposte. Per isurare le elocità possiao ricorrere al seguente artificio: sul taolo supposto orizzontale si dispongono due arresti in odo che i carrelli li tocchino conteporaneaente. Ripetendo l esperiento e spostando di olta in olta il punto di partenza dei carrelli. Se gli spazi percorsi dai carrelli dall istante in cui si brucia il filo a quello in cui urtano contro gli arresti sono x e x detto t l interallo di tepo in cui aiene il transito si arà x t e x t Fig.30 Si ripete l esperiento con un sistea forato da due carrelli uguali, cioè aenti la stessa assa, e da un carrello. Nel disegno l esplosione (cioè l urto senza contatto) aiene ropendo una olla che collega i due carrelli. Si troa sperientalente che il sistea acquista, dopo l esplosione, una elocità hanno ersi opposti. pari alla età della elocità assunta dal carrello, inoltre e Esperiento

37 Fig.31 Eseguiao ora un esperiento di iplosione. i carrelli e, sepre di assa, lanciati con elocità opposte, si attacca della plastilina in odo che essi restino uniti dopo l urto. Si troa sperientalente che dopo l urto entrabi i carrelli si ferano. Se si ripete l esperiento ipiegando coe sistea due carrelli, uno sull altro, si troa che dopo l urto la elocità del sistea coposto + è esattaente uguale a un terzo del coune alore delle elocità dei due carrelli pria dell urto ed è diretta coe la elocità del sistea di assa aggiore pria dell urto. Fig.3 Esperiento 3

38 Fig.33 Consideriao un urto tra due sferette etalliche, disposte su un binario in odo che la direzione di oiento sia sepre la stessa sia pria che dopo l urto. Si troa che una sferetta, che urta con elocità una sferetta di uguale assa e inizialente fera, si arresta dopo l urto, entre acquista esattaente la elocità che aea pria dell urto. Ripetendo l esperiento, ipiegando ora una sferetta di assa doppia rispetto a quella di, inizialente sepre fera, si troa che dopo l urto entrabe le sferette si uoono nel erso di e con elocità 1 3 e 4 3 Tutti gli esperienti considerati sono esepi di interazione tra corpi in cui si consera la quantità di oto. Cenni storici: Le interazioni secondo Cartesio e Leibniz Secondo Cartesio, tutti i fenoeni si interpretano in base al oiento. Coe isura del oiento di un corpo di assa e elocità Cartesio considerò il prodotto, chiaato quantità di oto. Egli asserisce che: due corpi, che engono a contatto urtandosi tra loro, odificano il proprio oiento, in odo che uno dei due cede all altro una parte o tutta la propria quantità di oto. Nell urto però, la soa delle quantità di oto dei corpi urtanti non iene alterata. lla conserazione della quantità di oto di Cartesio, Leibniz ( ) contrappose la conserazione dell energia o forza ia o conatus di cui però non diede ai una esatta definizione. Su suggeriento di Huygens, Leibniz considerò coe isura della forza ia di un corpo di assa e elocità il prodotto tra la assa e il quadrato della elocità. Verifichiao se nell esperiento 1 si consera la quantità di oto di Cartesio: pria dell esplosione: Q=0 dopo l esplosione: Q = La quantità di oto secondo Cartesio non si consera nalogaente si troa che la quantità di oto non si consera neeno nel secondo esperiento, entre si consera nel terzo.

39 Coe si ede, la conserazione della quantità di oto, così coe era intesa da Cartesio, non era un principio di carattere generale, coe inece egli sostenea. Per erificare se negli esperienti di interazione considerati si consera la forza ia di Leibniz,calcoliao le forze ie K e K del sistea dei due corpi pria e dopo l urto: Esperiento 3: caso a) pria dell urto K= Dopo l urto K = Caso b) pria dell urto T= Dopo l urto K Si ha perciò K=K La forza ia si consera. llo stesso odo si può erificare che la forza ia non si consera nel prio e nel secondo esperiento. Quindi anche la conserazione della forza ia di Leibniz non può essere considerata un principio di alidità generale! Pertanto se esiste una grandezza che si consera nelle interazioni tra due corpi questa non è né la quantità di oto di Cartesio né la forza ia di Leibniz. Si accese un aniata disputa tra i sostenitori di entrabi. Oggi sappiao che entrabi erano in errore infatti: DEFINIZIONE: Chiaiao quantità di oto il prodotto p La quantità di oto è un ettore aente per direzione e erso quelli di e odulo uguale al prodotto della assa per il odulo della elocità. Le unità di isura nei sistei SI e CGS sono rispettiaente kg e s c g. s La quantità di oto di un sistea forato da più particelle si definisce coe la soa ettoriale delle quantità di oto delle singole particelle. Interpretazione degli esperienti Indichiao con p, p e p le quantità di oto rispettiaente dei sistei, e + pria dell interazione, e con p, p, p le analoghe quantità di oto dopo l interazione, nell esperiento 3 abbiao:

40 Caso a) pria dell urto: p p 0 p p p dopo l urto: p 0 p p p p Caso b) Pria dell urto: p p 0 p p p Dopo l urto: p 3 p 4 3 p p p In entrabi i casi considerati p p, pur ariando la quantità di oto delle singole sferette, nell urto si consera la quantità di oto totale del sistea coposto dalle due sferette. Sistea isolato Un sistea di due o più corpi si dice isolato quando risulta trascurabile ogni interazione con corpi ateriali che non fanno parte del sistea. Pertanto se ci riferiao alle forze agenti su un corpo di un sistea, possiao diidere queste due in due categorie: forze interne, doute all azione di un altro corpo dello stesso sistea, e forze esterne, doute all azione di corpi che non appartengono al sistea.. CONSERVZIONE DELL QUNTITÀ DI MOTO In un sistea isolato la quantità di oto totale riane costante nel tepo, se isurata rispetto a un sistea inerziale. Si dee tener presente che ciò che riane costante è la quantità di oto totale del sistea, inece quella di un corpo qualsiasi del sistea è soggetta a ariazione se nell interno del sistea hanno luogo delle interazioni tra le singole parti del sistea stesso. Nei esperienti precedenti la quantità di oto totale si antiene costante in quanto i sistei considerati sono isolati. Nell esperiento 1 ciascun carrello pria di bruciare il filo, e soggetto a due forze esterne, il proprio peso g e la reazione del piano di appoggio che si fanno equilibrio aendo supposto il piano di appoggio orizzontale, e due forze interne, la tensione del filo T e la forza elastica della olla le quali forano un altro sistea equilibrato. Nell istante in cui si brucia il filo cessa l azione della tensione T e i carrelli, sotto l azione della forza elastica F acquistano una elocità crescente finchè dura

41 l interazione. nche durante l interazione il sistea è isolato in quanto le forze elastiche sono forze interne. Cessata l interazione i carrelli si allontanano con la elocità raggiunta alla fine dell interazione..3 INDIPENDENZ DEL PRINCIPIO DI CONSERVZIONE DELL QUNTITÀ DI MOTO DL SISTEM INERZILE. Negli esepi illustrati precedenteente le elocità dei corpi e quindi le loro quantità di oto erano riferite a sistei inerziali, pertanto anche il principio di conserazione della quantità di oto isurata rispetto a un sistea inerziale. Diostriao l indipendenza di tale principio dal sistea inerziale di riferiento. Consideriao due corpi e di assa e interazione. Se e sono le elocità in un sistea inerziale S a un istante t e elocità acquisite dopo un interallo di tepo principio di conserazione della quantità di oto si scrie: in un generico processo di e le nuoe t in conseguenza di un processo di interazione, il In un secondo sistea inerziale S in oto rettilineo unifore con elocità rispetto a S le elocità dei corpi e sono: V V all istante t V V all istante t t per cui l uguaglianza precedente dienta V V V V seplificando si ottiene V V V V che esprie la conserazione della quantità di oto isurata nel sistea S. Concludendo possiao dire che se la legge di conserazione della quantità di oto di un sistea isolato è alida in un sistea inerziale S è alida anche in qualsiasi altro sistea inerziale S in oto rettilineo unifore

42 rispetto a S, coerenteente con il principio di relatiità galileiana che affera l indipendenza delle leggi della eccanica dal particolare sistea inerziale..4 IMPULSO DI UN FORZ. Ricordiao la seconda legge di Newton F t da cui F t (.) chiaiao la quantità al prio ebro ipulso della forza F durante l interallo di tepo t. Se ci riferiao ad un tepo t finito e ad una forza costante in odulo direzione e erso, l ipulso è definito dalla relazione: I Ft (.3) Le unità di isura sono: N s = Kg / s nel sistea S.I. Nel sistea CGS:dina s =g c/ s. Le unità di isura di quantità di oto e ipulso sono identiche, e questo significa che ipulso e quantità di oto sono grandezze oogenee. La seconda legge di Newton può essere riscritta nel odo seguente: F t p (.4) Pertanto l ipulso di una forza in un certo interallo di tepo è uguale alla ariazione della quantità di oto prodotta. Tale relazione iene anche indicata coe Teorea dell ipulso. Un esepio è un giocatore di calcio entre calcia il pallone: l ipulso della forza trasessa dal giocatore direttaente sul pallone è uguale alla quantità di oto acquistata dal pallone. Possiao osserare per la (.3) un certo ipulso può essere deterinato da una piccola forza che agisce per un lungo tepo o da una forza intensa che agisce per un bree interallo di tepo. Un esepio di forze intense di bree durata sono quelle che si siluppano negli urti, tali forze sono dette ipulsie. L ipulso di una forza costante espresso dalla (.3)è nuericaente uguale all area deliitata dalla retta che rappresenta la forza, dall asse dei tepi e dalle ordinate estree. nalogaente nel caso di una forza costante in direzione e erso a di intensità ariabile l ipulso è espresso dall area rappresentata dalla superficie di figura

43 Fig.34 Se infine l ipulso aria anche in direzione può essere calcolato coe soa ettoriale degli ipulsi in tanti piccoli interalli di tepo, in odo che in ciascuno di essi la forza possa ritenersi costante e quindi l ipulso possa essere calcolato con la (.3). OSSERVZIONE: in generale la forza non è nota a sono noti i alori della elocità iniziale e finale; con questi dati si può calcolare la ariazione della quantità di oto e poi l ipulso della forza. Esercizio: Un autoobile aente una assa =1000 Kg si uoe su un rettilineo con la elocità =108 K/h. Supponendo che durante una frenata agisca una forza costante e sapendo che il tepo di arresto è t= 0 s, deterina la forza frenante e lo spazio s percorso durante la frenata. La quantità di oto dell autoobile all inizio e al terine della frenata è rispettiaente p i e p 0; di conseguenza la ariazione di quantità di oto è p i. f Poiché l ipulso della forza frenante è uguale alla ariazione di quantità di oto si ha: da cui: F pi t t Trasforando la elocità in /s e sostituendo nella precedente si ha V=30 /s e F=-1500 N. Il segno eno indica che la forza è diretta in senso opposto al oto. Ft p i

44 Per rispondere alla seconda doanda osseriao che durante la frenata, poiché la forza è costante, F il oto è uniforeente ritardato con decelerazione a 1,5. s.5 PRINCIPI DELL DINMIC E CONSERVZIONE DELL QUNTITÀ DI MOTO. La conserazione della quantità di oto totale non è la quarta legge fondaentale della eccanica dopo i tre principi di Newton, a può essere dedotta a partire dal secondo e terzo principio della dinaica. Consideriao due corpi di assa 1 e che interagiscono tra loro passando da dalla elocità 1 pria pria alle elocità 1 dopo. Indichiao F1 la forza, douta al corpo 1, che agisce dopo sul corpo durante la collisione, entre F 1 la forza che quest ultio esercita sul corpo 1. Per il terzo principio della dinaica: F 1 F1 Moltiplicando i due ebri di questa equazione per l interallo di tepo t in cui aiene l urto, si ottiene F 1 t F 1 t Ma, per il teorea dell ipulso possiao scriere F 1 t p p p e 1 1 dopo 1 F pria 1 t p p p dopo pria sostituendo queste espressioni nell equazione precedente otteniao: p p p p ], 1 [ dopo 1 pria dopo pria da cui si ricaa p1 p p p dopo dopo 1 pria. pria In conclusione si ha p tot p dopo tot pria doe p tot è la soa ettoriale delle singole quantità oto. Possiao concludere che la quantità di oto totale che si aea pria dell interazione, nel sistea forato dai due corpi che costituiscono un sistea isolato è uguale alla quantità di oto totale dopo l interazione. 1. Gli Urti In fisica l espressione urto tra due corpi iene usata per indicare una qualsiasi interazione tra due o più corpi, senza che necessariaente ci sia un contatto coe per i due carrelli. In tutti i tipi di urti,

45 durante l interazione, si siluppano forze ipulsie olto intense, rispetto alle quali le forze esterne si possono trascurare. Ne segue che in tutti gli urti la quantità di oto totale del sistea si consera. Esepio : Quando una racchetta urta una palla da tennis, la ariazione di quantità di oto della palla è noteole e, poiché l interazione è di bree durata, la racchetta counica alla palla una forza olto intensa. Confrontata con questa la forza di graità, che è esterna al sistea, è trascurabile. La racchetta a sua olta subisce una ariazione di quantità di oto opposta rispetto a quella della palla: la quantità di oto totale si consera. differenza di quanto ritenea Leibniz, l energia cinetica totale del sistea non sepre si consera negli urti. Questi engono perciò classificati in: Urti elastici: se l energia cinetica del sistea si consera. Urti anelastici: se l energia cinetica del sistea non si consera. Urti anelatici Se dopo l urto i due corpi riangono uniti, uoendosi poi con la stessa elocità, l urto è detto totalente anelastico. Sono esepi di urti totalente anelastici quello di due autoobili che restano incastrate una nell altra dopo l urto, oppure quello di una pallottola sparata contro un sacco di sabbia, che la trattiene. Nell urto totalente anelastico la conoscenza delle asse 1 e dei due corpi urtanti e delle loro elocità 1 e pria dell urto è sufficiente per deterinare la elocità dei due corpi dopo l urto. Questa elocità per il fatto che i due corpi forano un unico sistea di assa 1 e quindi di quantità di oto 1 è l unica incognita. Per la conserazione della quantità di oto si ha: da cui: 1 1 1

46 OSSERVZIONE: nel caso di urti tra corpi che si uoono sulla stessa retta, si possono usare i oduli delle elocità inece delle elocità ettoriali, attribuendo però un segno per distinguere il erso del oto. Esercizio: Un carrello di assa 3Kg urta con una elocità 4 un altro carrello Kg s.i due carrelli dopo l urto riangono uniti. Calcoliao la elocità del sistea dopo l urto e la perdita di energia cinetica. Si tratta di un urto totalente anelastico, pertanto applicando il principio di conserazione della quantità di oto possiao deterinare la elocità del sistea dopo l urto: Da cui, 4 s Urti elastici Contrariaente a quanto aenia nel caso precedente, ora la conserazione della quantità di oto non basta più per studiare un tipo di oto in cui i corpi antengono la propria indiidualità dopo l urto. È necessario sfruttare il principio di conserazione dell energia; infatti le analisi sperientali diostrano che in questo tipo di urto, oltre a conserarsi la quantità di oto, si consera anche l energia cinetica del sistea. Indicando con 1 e le asse dei due corpi, con 1 e le loro elocità pria dell urto, riferite ad un erso conenzionale e con V1 e V le loro elocità dopo l urto si possono scriere le seguenti uguaglianze: 1 1 V 1 1 V da cui otteniao 1 V V

47 1 1 V 1 e 1 V queste relazioni si applicano a tutti gli urti elastici in una diensione e quindi anche agli urti tra particelle eleentari. Urti obliqui Lo studio dell urto elastico non centrale è decisaente più coplicato di quello appena solto perché occorre tenere presente il cosiddetto paraetro d urto, cioè la distanza tra le direzioni di oto dei due corpi pria dell urto. nche in questo caso, counque, il fenoeno può essere studiato applicando i due principi di conserazione della quantità di oto e dell energia cinetica. Se due corpi si urtano e le direzioni delle elocità non sono perpendicolari alle loro superfici, si ha un urto obliquo. Per otii di seplicità ci liitereo a considerare soltanto due casi particolari di urto obliquo. Urto elastico obliquo di due sferette di cui una fera Prendiao due sfere la pria di assa 1 e elocità 1 che urta obliquaente una sfera di assa fera. Le sferette dopo l urto assuono elocità 1 e foranti gli angoli e con la direzione di 1 Fig.35 Per la conserazione della quantità di oto si ha: 1 1 (.4) 1 1 Da cui uguagliando le coponenti di abo i ebri nella direzione di 1 e della perpendicolare a 1, si ottiene: cos cos 1sen sen 1 (.5) 1 1 Inoltre per la conserazione dell energia cinetica si ha: (.6)

48 Il sistea forato dalla (.5) e (.6) presenta quattro incognite, i due angoli di diffusione e e le elocità dopo l urto 1 e. Poiché le equazioni sono soltanto tre, il sistea non è sufficiente per deterinare le incognite, è necessario perciò aere altre inforazioni coe per esepio la conoscenza di uno dei due angoli di diffusione. Se per esepio le due sferette hanno assa uguale la (.4) e la (.5) dientano si deduce che i ettori elocità hanno per oduli le isure dei lati di un triangolo rettangolo di cateti 1e e ipotenusa 1. (edi figura) fig.36 Concludendo possiao dire che nell urto elastico obliquo tra due corpi aenti la stessa assa di cui uno è inizialente fero, le direzioni di oto dei corpi dopo l urto sono tra loro perpendicolari. Urto elastico obliquo contro una parete Fig.37

49 Se gli attriti sono trascurabili, nell urto la coponente n della elocità della sferetta urtante secondo la perpendicolare alla parete dienta n, cioè cabia erso, a consera la stessa direzione e lo stesso odulo, entre la coponente t della elocità secondo la tangente alla parete riane iutata.si definiscono angolo di incisione e angolo di riflessione gli angoli che le direzioni delle elocità della sferetta rispettiaente pria dell urto e dopo l urto forano con la direzione perpendicolare alla parete. Dalle proprietà della elocità della sferetta pria e dopo l urto seguono due leggi dell urto elastico obliquo contro una parete. Pria legge: la elocità dopo l urto si troa nel piano della elocità pria dell urto e della perpendicolare alla parete. Seconda legge: l angolo di riflessione è uguale all angolo di incidenza..6 MOMENTO NGOLRE Il oento angolare è una grandezza ettoriale che si può considerare l analogo della quantità di oto nei oti rotatori. Il oento angolare si definisce sepre rispetto a un punto, che solitaente si fa coincidere con l origine O del sistea di riferiento inerziale da cui si sta osserando il oto. Se si considera un corpo di assa, dotato di quantità di oto p, e indiiduato dal ettore posizione r rispetto all origine O (fig.30), il suo oento angolare L rispetto a O si ottiene dal prodotto ettoriale di r con p, oero: L rx p

50 Fig.38 In pratica, il oento angolare è un ettore che ha per odulo (l intensità) il prodotto di r e p, e del seno trigonoetrico dell angolo (qui indicato con ) fra essi copreso, L = r p sin e, per direzione, quella perpendicolare al piano indiiduato dai ettori r e p ; il erso iene indiiduato dalla cosiddetta regola della ano destra : se si tiene la ano con le dita piegate a pugno nella direzione in cui r si sorappone a p secondo l angolo più piccolo da essi forato, il pollice punta nel erso di L. In particolare, il oento angolare di un corpo di assa che ruota con elocità sopra una circonferenza rispetto al centro della circonferenza è un ettore diretto perpendicolarente al piano della circonferenza aente odulo : L = r Oppure, introducendo la elocità angolare ( fig.31 ): L = r Il oento angolare di un sistea di corpi in oto rispetto ad un punto fisso è la soa ettoriale dei oenti angolari dei singoli corpi del sistea rispetto allo stesso punto. Fig.39 Fig.40