3. L equazione dell equilibrio termico

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1 3. L equazione dell equilibrio terico Con quale criterio possiao attribuire un segno all energia Q trasferita per calore? Direo che l energia trasferita per calore è positiva, cioè Q 0, se il corpo ha ricevuto energia a causa degli urti a livello olecolare con un altro. Se viceversa il corpo cede energia per il traite degli urti fra le sue olecole e quelle di un oggetto più freddo, si dice che l energia trasferita per calore è negativa, cioè Q 0 : IL CORPO RICV NRGI PR CLOR: Q > 0 IL CORPO CD NRGI PR CLOR: Q < 0 Coe legare il calore scabiato da una sostanza con la sua variazione di teperatura? Per rispondere partireo da alcune evidenze sperientali che riguardano una sostanza coune e facile da anipolare tericaente coe l acqua, che utilizzereo coe sostanza di riferiento. Supponiao di avere un recipiente che non consenta trasferienti di energia per calore con l esterno, cioè tericaente isolato, al quale diao il noe di calorietro. Si osserva che due quantitativi di acqua uguali, uno caldo ed uno freddo, inizialente alle teperature T C e T F, se escolati in un calorietro, raggiungono una teperatura T, che direo di equilibrio, che si trova a età strada fra le due. Possiao espriere questo risultato attraverso la forula: L CONTROFISIC Coe sappiao, il trasferiento energetico traite calore coinvolge una oltitudine di urti fra le particelle dei due sistei, ed ha coe risultato un cabiaento nella loro energia cinetica a livello icroscopico. Si tratta però di un effetto di superficie, che deve propagarsi all interno per dare luogo ad una configurazione oogenea. di teperatura. Occorre quindi del tepo perché venga raggiunta la teperatura di equilibrio. TC T T TF la quale dice che la distanza TC T della teperatura calda da quella di equilibrio è uguale alla distanza T TF della teperatura fredda dall equilibrio. Cosa succede invece se le asse d acqua non sono uguali? Se ripetiao l esperiento con due asse di acqua differenti, C ed F, il salto di teperatura non è più lo stesso, a il quantitativo d acqua con assa aggiore subisce la inore variazione. L esperienza ostra che, escolando due quantitativi d acqua, esiste una relazione di proporzionalità inversa fra la assa ed il cabiaento di teperatura, che si può espriere traite la forula: T T T T C F F C In essa appare chiaro che il rapporto fra la distanza TC T, dell acqua calda dalla teperatura di equilibrio, e la distanza dall equilibrio dell acqua fredda, T TF, è tanto aggiore quanto inore è il rapporto fra T T - C - T = TF T F F C T C 12

2 le loro asse (cioè quanto più grande è il suo reciproco F C ). In altri terini, la teperatura finale di equilibrio sarà tanto più vicina ad una delle due quanto più grande è la assa della quantità d acqua corrispondente. Se con T indichiao il salto di teperatura per ciascuna quantità, TF T TF e TC T TC possiao scrivere allora: FTF C TC Leggiao questo risultato interpretando la quantità C TC coe qualche proprietà uscita fuori dall acqua calda e la quantità F TF coe qualche proprietà entrata nell acqua fredda. In questo odo appare del tutto naturale che la loro soa faccia zero, ed anzi traspare un processo governato dalla conservazione dell energia. Per questi otivi il prodotto T costituisce un buon candidato per isurare l energia scabiata dall acqua traite le collisioni fra le olecole, e quindi possiao utilizzarlo coe espressione nuerica dell energia trasferita per calore. Possiao stabilire un unità per la grandezza T? Il quantitativo di energia trasferita per calore da utilizzare coe unità di isura si ha per quei valori di e T tali che T 1 : a questo quantitativo si dà il noe di chilocaloria. Direo allora una chilocaloria ( 1 Kcal ) il passaggio di energia per calore capace di variare di 1.0 C la teperatura di 1.0 Kg di acqua: Q T 1 Kg 1C 1Kcal ed analogaente si dice una caloria ( 1 cal ), il calore scabiato da 1.0 g di acqua quando la sua teperatura varia di 1.0 C. La chilocaloria è anche l unità di isura utilizzata per espriere il contenuto energetico dei cibi ed in questo contesto viene ipropriaente detta caloria. Cosa cabia se si pongono nel calorietro sostanze differenti dall acqua? L esperienza ostra che, a parità di assa, uno stesso quantitativo di calore deterina variazioni di teperatura anche olto differenti, a seconda delle sostanze coinvolte. d esepio, un chilograo di acqua che riceve 10 Kcal si riscalda di 10 C, a lo stesso calore coporta un increento pari 47 C nella teperatura di un chilograo di alluinio, che diventa invece 93 C per una uguale assa di ferro e sale fino a 300 C se si tratta di un chilograo di ercurio. La varietà dei risultati ottenibili è olto apia, e va osservato che fra tutte le sostanze note il inor increento di teperatura a parità di calore scabiato copete all acqua. Risulta allora utile associare ad ogni sostanza una grandezza fisica, il calore specifico, che indichi quanto calore bisogna fornire ad ogni chilograo per innalzare di un grado la sua teperatura. Liitandoci per il oento alle fasi liquida e solida, si osserva che se forniao Q calorie ad una assa di sostanza, e 13

3 Q isuriao un increento T nella teperatura, il rapporto si T antiene costante in un intervallo di teperature non troppo distante da quella abiente. a tale costante che si dà il noe di calore specifico: Q c T IL CLOR SPCIFICO INDIC QUNT NRGI OCCORR FORNIR D UN CHILOGRMMO DI SOSTNZ PR INNLZR DI UN GRDO L SU TMPRTUR Il calore specifico si isura in cal/(kg K) (oppure cal/(kg C) ), e da quanto detto pria il calore specifico dell acqua vale 1000 cal/(kg K). Se dalla definizione di calore specifico ricaviao Q si ottiene: L CONTROFISIC Il calore specifico non è in realtà una costante, a dipende dalla teperatura alla quale si trova la sostanza. Vi sono casi in cui, anche all interno di un salto di teperatura pari ad un grado, esso varia sensibilente. La definizione che qui diao è in realtà quella del calore specifico edio entro l intervallo T. ssa ha senso soltanto in quei casi in cui il calore specifico varia così poco da poterlo rappresentare attraverso il suo valore edio in quell intervallo di teperatura. Q c T che confrontata con l espressione provvisoria per il calore che avevao introdotto in precedenza, ostra coe c svolga il ruolo di una costante di proporzionalità davanti al prodotto T. Possiao interpretare questa relazione coe se il nuero corrispondente al calore specifico trasforasse la assa reale della sostanza in una assa c di acqua equivalente che quando riceve Q calorie anifesta lo stesso increento di teperatura del quantitativo vero di sostanza. In questo senso si può leggere la tabella dei calori specifici coe se, dal punto di vista dell increento di teperatura, un chilograo di alluinio fosse equivalente a Kg di acqua, un chilograo di ferro a Kg Kg di acqua, ed uno di ercurio a se invece di una sostanza si ha a che fare con un singolo oggetto? più pratico in questo caso oltiplicare la sua assa per il suo calore specifico ed esprierne le proprietà teriche traite un altra grandezza, la capacità terica: Q C T SOSTNZ CQU GHICCIO LLUMINIO VTRO FRRO RM OTTON BRONZO LCOHOL LGNO MRCURIO ORO C cal/kgk C J/KgK PIOMBO isurabile in cal/k (o anche cal/ C ). La capacità terica esprie il nuero di calorie che occorre fornire ad un oggetto per innalzarne la teperatura di una unità. Per due oggetti a contatto coe scriviao Q uscente dal prio e Q entrante nel secondo? Per la definizione di calore specifico, se un oggetto riceve Q calorie si ha: Q c T T finale iniziale 14

4 Consideriao due oggetti, di assa e calore specifico teperature T e T B, con T TB avranno raggiunto la teperatura di equilibrio corpo caldo sotto fora di calore si potrà scrivere: Q c ( T T ), c ed B, c B,. Quando, in seguito al contatto, T, l energia uscita dal Q QB Questa espressione fornisce il segno negativo che ci attendiao per Q quando esce dell energia, in quanto T T. Per l energia entrante nel corpo freddo, positiva perché T TB, avreo analogaente: Q c ( T T ) B B B B C è relazione fra il calore uscente dal prio corpo e quello entrante nel secondo? Per appoggiare le idee figuriaoci il contatto di due solidi a teperatura differente, e assuiao che siano assenti dissipazioni di calore verso l esterno, cioè che non assorbano calore né il piano d appoggio né l aria. Supponiao anche che l energia scabiata se ne vada tutta in variazioni di teperatura, trascurando quindi sia il lavoro copiuto all interno dei due soldi sia quello da loro copiuto sull abiente (ad opera della piccola variazione di volue che il riscaldaento coporta). Se infine fra le olecole avvengono solo scabi traite urti che antengono uguale l energia coplessivaente posseduta da ogni coppia pria e dopo l urto (urti elastici), il calore Q uscito dal corpo caldo, pagato dal corpo stesso unicaente con la sua diinuzione di teperatura, dovrà eguagliare il calore Q entrato nel corpo freddo, che a sua volta ne beneficia unicaente B in terini di auento di teperatura: Q Q. B Coe possiao calcolare la teperatura di equilibrio? Da quanto detto segue che la soa algebrica delle due quantità Q e Q B, di segno opposto a stesso valore assoluto, è nulla, Q Q 0, che si scrive anche: B c ( T T ) c ( T T ) 0 B B B Tale risultato viene detto equazione dell equilibrio terico e consente di ricavare T : T c T c c T c B B B B B Il risultato è generalizzabile al caso di un nuero qualunque di corpi a c11t 1 c22t 2 contatto T e riscrivibile anche coe: c c

5 c T c T c c T Una lettura suggestiva di questa forula è di iaginare che ognuno degli oggetti venga pria riportato alla teperatura zero della scala utilizzata. Il rilascio di calore coplessivo sarà allora proprio il ebro di sinistra nella relazione: c11t 1 c22t 2. Successivaente ci chiediao se questo calore ci basta per riscaldare ogni corpo fino alla teperatura di equilibrio. Per fare questo occorre la quantità a destra c11t c22t, e l operazione è possibile quando i due calori sono uguali, che è proprio quanto dice la forula. Coe non dobbiao iaginare il processo di raggiungiento dell equilibrio terico? utile pensare a qualcosa che transita fra i due corpi, in analogia con quello che accade quando si riepie il serbatoio dell auto. nche in quel caso infatti vale il seplice bilancio per cui la benzina entrata nel serbatoio è uguale a quella uscita dalla popa. tuttavia errato raffigurarsi qualche sostanza ipalpabile che passa dalla zona ove sono le olecole del prio oggetto alla regione del secondo. Le due asse non subiscono variazioni; il trasferiento avviene al livello energetico: quel che passa dall uno all altro è lo stato di agitazione terica. Se il calore è energia in trasferiento, la sua unità di isura non dovrebbe essere il Joule? ssendo il calore una fora di energia la sua unità di isura dovrà essere il Joule, coe per il lavoro eccanico. Tuttavia, sia per otivi storici, sia perché risulta coodo, si usa anche una differente unità, la caloria, la cui definizione è più strettaente terica. Ma coe si è detto, il riscaldaento di una sostanza può essere ottenuto, oltre che accostando ad essa un corpo a teperatura aggiore, anche per via eccanica: strofinandolo se solido, agitando delle pale al suo interno se liquido. Con il eccaniso concepito da J.P. Joule ( ) qui a lato scheatizzato, è possibile isurare il cosiddetto equivalente eccanico della caloria. l lavoro della gravità corrisponde, traite la rotazione della pale, una cessione di energia all acqua. Lo strato di ghiaccio nell intercapedine circostante utilizza questa edesia energia per fondere: isurandone la quantità si risale alle calorie rilasciate dall acqua. Poiché la stessa energia è uguale al lavoro svolto delle pale, espriibile in Joule traite la relazione gh, uguagliando i due nueri si ottiene l equivalente in Joule della caloria: 1cal J. Pertanto il calore specifico nel sistea internazionale si potrà espriere anche in J/(Kg K) (oppure J/(Kg C) ). Nei paesi anglosassoni si fa uso anche di un altra unità di isura per il calore, il British theral unit o Btu. ssa corrisponde all energia necessaria per variare di un grado Fahrenheit la teperatura di una libbra ( Kg ) di acqua. Risulta 1 Btu J. L CONTROFISIC Coe vedreo più avanti, l energia interna si distribuisce equaente fra tutti i odi indipendenti in cui può essere incaerata nelle olecole (traslazione, rotazione, vibrazione o sotto fora di energia potenziale). coodo utilizzare la caloria perché, per ognuno di questi odi indipendenti, una ole di sostanza incaera più o eno una caloria ogni Kelvin di salto di teperatura. Cosa diostra l esperiento di Joule? Mostra che la stessa variazione di energia interna in un sistea può essere ottenuta sia copiendo su di esso del lavoro sia cedendogli del calore. QUIVLNT MCCNICO DLL CLORI : 1 cal = J 16

6 sepio Si calcoli quale teperatura di equilibrio si ottiene versando 400 g di acqua a t 30 C in un bicchiere di vetro di 200 g che si trova alla teperatura di t 10 C. Quanto calore ha scabiato l acqua cedendolo al vetro? Si assua c 837 J/Kg K. vetro b a Scriviao l equazione dell equilibrio terico usando chilograi e gradi Celsius: ( T 30) ( T 10) 0 T C Calore scabiato dall acqua: (28 30) 3349J 800 cal 0.8 Kcal 4. Scottarsi con la pizza L LLUNGMNTO F LVORR L FORZ DI COSION Perché scotta il poodoro della pizza od il riso dentro ai supplì Sarà capitato certaente di scottarsi in odo del tutto inaspettato con la pizza non troppo calda. La crosta è appena tiepida al tatto e non brucia le labbra quando ve la si posa sopra. Ma non appena si giunge al poodoro, sebra di avere in bocca qualcosa di olto più caldo e spesso ne ricaviao un ustione alla lingua! Co è possibile? Dopotutto abbiao scaldato sia il poodoro che la farina nello stesso forno per il edesio tepo, ed inoltre le due sostanze sono in contatto fra loro: il principio dell equilibrio terico ci dovrebbe assicurare che si trovano alla stessa teperatura. In effetti sono alla stessa teperatura, a per poterla raggiungere la salsa di poodoro ha dovuto incaerare olta più energia rispetto alla farina, e questo a causa del grande quantitativo di acqua che contiene. bbiao visto che il calore specifico dell acqua supera quello di tutte altre le sostanze, alle quali in genere occorrono olte eno delle 1000 calorie necessarie all acqua per innalzare di un grado la teperatura di ogni suo chilograo. L acqua è in grado di incaerare olta energia a fronte di odesti increenti di teperatura. Quando accostiao la pizza alla bocca, sia la crosta che il poodoro raggiungono l equilibrio terico con la nostra pelle, a la teperatura finale è diversa perché ad ogni salto di un grado l acqua del poodoro rilascia olta più energia e per questo scotta.

7 In che odo tutto ciò viene espresso dall equazione per l equilibrio terico? Riguardiao la forula per la teperatura di equilibrio: LTO T c T c B B B c c Se, coe accade in questo caso, le due asse ed B sono più o eno confrontabili a c (dell acqua) è olto aggiore di c B (della nostra bocca), all interno della soa il terine ct pesa olto di più soa del terine cbbt B, e così la T finale sarà olto più vicina a T che non a T B. Ogni caloria rilasciata da un grao di acqua le fa decrescere la teperatura di un grado a fa auentare di tre-cinque gradi quella della pelle e così ci scottiao perché ci avviciniao olto più alla sua teperatura. B B T BSSO L CONTROFISIC La forula per la teperatura di equilibrio ha la edesia struttura di quella per il calcolo del centro di assa di un sistea di corpi. Coe in quel caso il centro di assa è più vicino all oggetto più assivo, qui, a parità di assa, la teperatura di equilibrio più vicina all oggetto col aggior calore specifico. perché la crosta invece non scotta? Quando posiao la lingua sulla crosta della pizza invece, siao noi in vantaggio. nche se le labbra e la pizza per effetto del contatto condividono la loro energia terica, essendo noi fatti di acqua (però eno di un poodoro!) ci vuole olta più energia per alzare di un grado la teperatura della pelle di quanta non ne rilasci la crosta per ogni grado di teperatura perduto. così l equilibrio è raggiunto olto più vicino alla teperatura nostra che non alla sua, e non ci bruciao. Cosa deterina il diverso increento di teperatura che segue allo spostaento di calore? Coe si è visto, aggiore è la quantità di sostanza che vogliao riscaldare, aggiore sarà l energia che deve essere fornita per innalzarne la teperatura. Ma anche a parità di assa, sostanze con differente coposizione chiica o differente stato di aggregazione che ricevono lo stesso calore auentano la loro teperatura di quantità diverse. Questo perché, a seconda del ateriale, una parte del calore ricevuto, (che ricordiao è un trasferiento dell energia cinetica dovuta all agitazione terica), produce effetti diversi da quello di innalzare la teperatura. Nel caso di un solido (a anche di un liquido) si allungano le distanze fra le olecole nel reticolo e così lavorano le forze di coesione: il calore ricevuto viene assorbito coe energia potenziale nei legai fra le olecole. Un altro fattore sono le condizioni in cui la trasforazione in esae avviene. In particolare, se si tratta di un gas, l increento di teperatura dovuto allo spostaento della stessa quantità di calore può essere anche olto diversa, in relazione al fatto che si sia fissato il suo volue oppure che possa variare. In questo secondo caso infatti la pressione esercitata dal gas copie lavoro sull abiente e questo a spese anche del calore ricevuto. In generale quindi solo una parte dell energia scabiata per effetto degli urti fra le olecole va ad increentare la teperatura, il resto viene utilizzato per il lavoro interno delle forze di coesione o per il lavoro esterno, coe si vede nello schea. 18

8 Q T LVORO INTRNO (delle forze di coesione) TIPO DI SOSTNZ QUNTITÀ LVORO STRNO Tale frazione può essere più o eno consistente, ed anche nulla ad esepio nel caso delle transizioni di fase o dell espansione di un gas che produce lavoro a spese di tutto il calore ricevuto. Il calore specifico riassue in un nuero i coplessi processi fisici che, a seconda della sostanza, deterinano quanta parte del calore fornito contribuisce all innalzaento della teperatura e quanta se ne va nel lavoro interno delle forze di coesione. Questa seplificazione è aessa solo per le fasi solide e liquide; per gli aerifori, coe vedreo, andrà specificato invece se durante il processo di riscaldaento viene loro consentito di copiere lavoro lasciandoli espandere, oppure se il volue viene fissato. 5. sercizi sercizio 1 Una teglia di etallo di assa 450g viene usata per cuocere una torta ponendola in un forno alla teperatura di 200 C. Successivaente viene lavata in una bacinella che contiene 2.0 Kg di acqua a teperatura abiente: : t 291K. Teglia ed acqua si portano ad una teperatura di equilibrio t 25 C. Calcolare (1) quanto calore ha a acquistato l acqua; (2) quanto calore ha ceduto la teglia; (3) qual è il calore specifico del etallo della teglia. Trasforiao dati in unità del sistea internazionale: T K ; T K ; Kg t Il calore acquistato dall acqua è: J 4 Q ch ( ) 2.0Kg 4186 ( )K J 14.0 Kcal 2O T T Kg K 19

9 Per applicare la stessa forula nel caso della teglia dovreo conoscere il calore specifico del etallo della teglia, che è invece una delle richieste del testo. Tuttavia in assenza di altre dissipazioni il calore che entra nell acqua non può che essere quello che esce dalla teglia cabiato di segno, a significare che si tratta ora di calore uscente, e cioè: Q Q 0 Q Q J T T 4 Che si può scrivere in funzione del calore specifico c del etallo: Q c ( T T ) c 0.45 ( ) 78.75c T T T Confrontando col valore trovato in precedenza si ha subito il calore specifico del etallo: J c Kg K sercizio 2 Una rigida attina d inverno la teperatura è 12 C e si ha del caffè a teperatura di 90 C. La tazza sul tavolino è alla teperatura dell abiente e dentro vi versate 5 cl di caffè e poi 10 cl di latte preso dal frigorifero alla teperatura di 4 C. Mescolate il tutto ed alla fine ottenete un bel cappuccino alla teperatura di 15 C. Sapete dire qual è la capacità terica della tazza?ssuete che il calore specifico del latte e quello del caffè, che sono in grandissia parte fatti di acqua, siano circa uguali a quello dell acqua, e che anche la loro densità si possa approssiare con la densità dell acqua: latte caffè H O 10 Kg/ Trasforiao tutto in unità del S.I. Ricaviao i volui: V latte 10 cl 0.1 l 0.1 d V caffè 5 cl 0.05 l 0.05 d 5 10 e quindi calcoliao la assa del latte e quella del caffè: 3 4 latte lattav latte Kg 3 5 caffè caffèv caffè Kg L equazione risolvente il problea è quella che ci dice che in assenza di dispersioni il calore non è scoparso, a uscendo dal caffè è entrato nel latte e nella tazza: Qcaffè Qlatte Qtazza 0 20

10 Calcoliao: caffè caffè caffè equilibrio 3 Q c ( T 90) (15 90) 3.75 Kcal [negativo: uscente] latte latte latte equilibrio 3 Q c ( T 4) (15 4) 0.55 Kcal [positivo: entrante] Le teperature sono riaste in gradi centigradi e non sono state portate in Kelvin perché in tutti i problei in cui si ha a che fare solo con differenze di teperatura, coe in questo caso, la trasforazione in Kelvin è inutile in quanto le differenze non cabiano. Per il calore specifico dell acqua si è usato il valore in calorie ( 10 cal/kg K ) e quindi le energia trasferite sono in calorie, a si sarebbe potuto ugualente usare il valore in Joule ( 4186J/Kg K ) ottenendo le energie trasferite in Joule. Q C ( T 12) C (15 12) 3C tazza tazza equilirio tazza tazza 3 dove C tazza è la capacità terica della tazza che devo calcolare. Notare che per un oggetto generico conviene usare C anziché il calore specifico c, preferibile invece in quei casi in cui è noto il tipo di ateriale. guagliando a zero la soa dei tre calori si ha: C 0 C tazza tazza Kcal/K = 1070 cal/k 3 21