> espress:= m*map(diff,[x(t),y(t),z(t)],t,t ) -[0,0,-m*g] +2*m*omega*crossprod( [-cos(lambda),0,sin(lambda)], map(diff,[x(t),y(t),z(t)],t) );

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1 Studio del moto del pendolo di Foucault. > restart; > with(plots): with(linalg): Si scrive il primo membro dell'equazione fondamentale della meccanica terrestre, in forma vettoriale (secondo membro compare il risultante delle forze diverse da forza peso e forza di Coriolis). > espress:= m*map(diff,[x(t),y(t),z(t)],t,t ) -[0,0,-m*g] +2*m*omega*crossprod( [-cos(lambda),0,sin(lambda)], map(diff,[x(t),y(t),z(t)],t) ); > espress; Parametrizzazione della superficie emisferica in cui il punto materiale e' vincolato a muoversi: > param := [x,y,-sqrt(r^2-x^2-y^2)]; param := [ xy,, R 2 x 2 y 2 ] Interessano le piccole oscillazioni attorno all'equilibrio (x,y)=(0,0). Si esegue percio' uno sviluppo di Taylor al secondo ordine della parametrizzazione z(x,y): Page 1

2 > radice:=-sqrt(r^2-u); radice := R 2 u > approx := series(radice, u=0, 2); approx := R 2 1 R 2 + u + O( u 2 ) 2 R 2 > approx := convert(approx, polynom); approx := R 2 1 R 2 u + 2 R 2 > approx; R 2 1 R 2 u + 2 R 2 > param := [x,y, subs(u=x^2+y^2,approx)]; param := xy,, R 2 1 R 2 ( x 2 + y 2 ) + 2 R 2 Parametrizzazione della superficie emisferica per le piccole oscillazioni: > param; xy,, R R 2 ( x 2 + y 2 ) R 2 Page 2

3 Vettori tangenti alla superficie emisferica e linearmente indipendenti fra loro: > v1 := map(diff, param,x); v2 := map(diff, param, y); R 2 x v1 := 10,, R 2 R 2 y v2 := 01,, R 2 Gli stessi vettori definiti come funzioni di x(t) e y(t): > v1 := subs(x=x(t),v1); v1 := R 2 x( t) 10,, R 2 > v2 := subs(y=y(t),v2); v2 := R 2 y( t) 01,, R 2 Proiezione ortogonale del primo membro dell'equazione fondamentale lungo il vettore tangente v1: > esp1:= simplify( dotprod(espress,v1, orthogonal) /m ); Page 3

4 Proiezione ortogonale del primo membro dell'equazione fondamentale lungo il vettore tangente v2: > esp2:= simplify( dotprod(espress,v2, orthogonal) /m ); Linearizzazione della prima proiezione (lungo v1 ): > lineare1 := eval(esp1, {diff(z(t),t,t)=0,cos(lambda)=0 }); lineare1 2 := x( t) R 2 2 ω sin( λ) + y( t) R csgn( R ) x( t) g R / Linearizzazione della seconda proiezione (lungo v2): > lineare2 := subs(diff(y(t),t,t)=ay, Page 4

5 diff(z(t),t,t)=az, diff(y(t),t)=vy, esp2); lineare2 ay R 2 ω R sin( λ) := x( t) 2 ω R cos( λ) z( t ) csgn( R ) y( t) az csgn( R ) y( t) g + 2 csgn( R ) y( t) ω cos( λ ) vy / R > lineare2 := eval(lineare2, {az=0,vy=0, z(t)=0}); lineare2 := ay R 2 ω R sin( λ) x( t ) csgn( R ) ( ) / > lineare2 :=subs(ay=diff(y(t),t,t), lineare2); R lineare2 2 := y( t) R 2 y t g Page 5

6 2 ω R sin( λ) x( t ) csgn( R ) y( t) g R / Equazioni differenziali del moto linearizzate: > equa1:= subs([r=1,omega=2*pi*0.03,lambd a=pi/4,g=9.8],lineare1)=0; > equa2:= subs([r=1,omega=2*pi*0.03,lambd a=pi/4,g=9.8],lineare2)=0; > equa1; equa2; 2 x( t ) π x( t) = 0 2 y( t ) π y( t) = 0 y( t) x( t) Soluzione di un problema di Cauchy con partenza da fermo del punto materiale: > soluzione:=dsolve({equa1,equa2, Page 6

7 x(0)=1,y(0)=0,d(x)(0)=0,d(y)(0) =0}, {x(t),y(t)}); soluzione := {y( t ) = sin( t ) I cos( t ) I cos( t ) sin( t ), x( t ) = cos( t) cos( t) I sin( t ) I sin( t )} > soluzione[1]; y( t ) = sin( t) I cos( t ) I cos( t ) sin( t ) > soluzione[2]; x( t ) = cos( t) cos( t) Page 7

8 I sin( t ) I sin( t ) > X:= subs(soluzione[2],x(t)); X := cos( t) cos( t) I sin( t ) I sin( t ) > Y:= subs(soluzione[1],y(t)); Y := sin( t ) I cos( t ) I cos( t ) sin( t ) I valori numerici di X(t) e Y(t) contengono delle piccole parti immaginarie per via degli errori di arrotondamento. Per procedere alla rappresentazione grafica delle funzioni, tali parti immaginarie devono essere eliminate, considerando le soli parti reali del risultato: > X := evalc(re(x)); Y := evalc(re(y)); X := cos( t) cos( t) Page 8

9 Y := sin( t ) sin( t) Animazione del moto. La velocita' angolare di rotazione del piano di oscillazione del pendolo e' volutamente esagerata per meglio visualizzare l'effetto(omega=2*pi*0.03, mentre in effetti =2*Pi/(24*60*60)): > with(plots): > animatecurve([x,y, t=0..22], color=red, labels=[x,y], numpoints=150, scaling=constrained); > Page 9