competizioni di torte perfettamente tonde, quelle in cui vince chi ricorda più cifre

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2 π Il π day nel mondo Il 14 Marzo (o come scrivono gli anglosassoni il 3.14) nel 1988 è stato dichiarato il giorno del pi-greco dall'osservatorio di San Francisco, il grande museo della scienza celebrando questa giornata con varie iniziative tutte dedicate al pi-greco. Nel 2009 il presidente degli Stati Uniti, Obama, ha proclamato il 14 Marzo data ufficiale per festeggiare il ϖ come occasione per incoraggiare i giovani verso lo studio della matematica. Ormai i festeggiamenti si estendono un po' a tutto il mondo, la fantasia non ha limiti!!! Una giornata così particolare non poteva che prevedere festeggiamenti altrettanto particolari. Qualche esempio? Ci sono competizioni di torte perfettamente tonde, quelle in cui vince chi ricorda più cifre decimali del π senza dimenticare le corse sulla distanza di 3,14 miglia. Matematici ed appassionati si riuniscono per comporre musica, poesie o dipingere quadri che si ispirano a questo numero magico che rappresenta il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un qualsiasi cerchio. Pi-greco è un numero IRRAZIONALE, cioè ha infinite cifre dopo la virgola che non si ripetono; dunque il valore 3,14 che normalmente utilizziamo è solo un approssimazione. In Australia c'è un club di Amici del pi-greco di cui si può far parte soltanto se si sanno recitare a memoria almeno 100 cifre dopo la virgola. Uno studente cinese nel 2007 (Chao Lu) ne ha imparate a memoria ben recitandole in 24 ore e 4 minuti, il record è stato riconosciuto dal Guiness dei primati. Dicono di lui che è uno studente con una memoria eccezionale, ma ha comunque iniziato a studiare le cifre circa un anno prima dell'esibizione, arrivando a dedicarci anche 10 ore al giorno. Da notare che il 14 Marzo è anche il compleanno di Einstein!!!

3 E in Italia? Il record italiano di cifre del pi greco imparate a memoria è di sole 6935 ed è stato conquistato da un ingegnere friulano. Torino da alcuni anni è sede della mostra 14 Marzo. Pigrecoday. Orientare al pensiero scientifico, organizzata dal Gruppo Polimath, in cui si festeggia con varie iniziative questo numero magico. Sul pi-greco è anche stato prodotto un film - PI Greco Il teorema del delirio (1998) di Darren Aronofsky, con Sean Gullette, Mark Margolis-Thriller E scritto un libro - Le gioie del Pi Greco, di David Blatner, ed. Garzanti, Digitare l'equazione qui.

4 Attività di laboratorio RAPPORTO TRA IL DIAMETRO DEL CERCHIO E LA SUA CIRCONFERENZA La classe viene suddivisa in sottogruppi (almeno 4) ai quali verrà chiesto di realizzare, con il cartoncino colorato, dei cerchi aventi diametri differenti e di ritagliarli con la massima precisione. Ogni sottogruppo dovrà quindi realizzare un solo cerchio di dato diametro e più precisamente: A1: cerchio GIALLO, r = 6 cm; A2: cerchio ROSSO, r = 10 cm; A3: cerchio VERDE, r = 12 cm; A4: cerchio BLU, r = 18 cm. Successivamente, con la massima precisione possibile, ogni gruppo leggerà la misura su cui si è fermato il pallino colorato. I gruppi verranno invitati ad eseguire un numero significativo di prove per ridurre eventuali errori e raccogliere i dati ottenuti in una tabella. Sulla circonferenza verrà segnato un PUNTO COLORATO che verrà poi posto sullo 0 della riga da disegno, poi il disco sarà fatto ruotare, con molta accuratezza e attenzione per evitare fenomeni di scorrimento, di 360. I gruppi sono poi invitati a calcolare il valore del rapporto tra la circonferenza e il diametro di ciascun cerchio e constatare che tale valore è costante e uguale a circa 3.14, come mostrato dalla tabella CERCHIO DIAMETRO d DISTANZA PERCORSA (media) C C / d GIALLO 6 cm 18,85 cm 3,14 ROSSO 10 cm 31,40 cm 3,14 VERDE 12 cm 37,70 cm 3,14 BLU 15 cm 47,10 cm 3,14 Per una miglior comprensione del problema si potrebbe, ad esempio, far osservare la ruota della propria bicicletta, un barattolo di pelati con uno spago,. Gli studenti giungeranno quindi alla conclusione che vi è un VALORE COSTANTE che permette di definire il rapporto tra la circonferenza di un qualsiasi cerchio ed il suo diametro e verrà indicato con la lettera pi greco.

5 Un po di storia Il π è un bell esempio di come da un problema pratico nasce l esigenza di trovare un numero. Infatti i geometri del tempo sapevano bene che la misura della circonferenza (il perimetro di un cerchio) era poco più lunga del triplo del diametro. Ma non riuscivano a trovare la formula di calcolo precisa, come quella che definisce il perimetro del quadrato, data la misura del suo lato. I primi a trovare un approssimazione di π furono i Babilonesi: probabilmente i costruttori di carri erano curiosi di sapere quanta strada potesse percorrere una ruota di un certo diametro in un giro completo. Anche gli Egizi lo conoscevano. ARCHIMEDE è il padre del π Ai tempi di Archimede era noto che il perimetro della circonferenza misurava poco più di 3 diametri e molto meno di 4 diametri Immaginatevi un QUADRATO e una CIRCONFERENZA inscritta (cioè scritta dentro) il perimetro del quadrato è pari a 4 volte il diametro della circonferenza. Quindi il perimetro della circonferenza è inferiore al perimetro del quadrato, e quindi a 4 volte il diametro. Circonferenza < 4 diametri Immaginatevi poi un ESAGONO e una CIRCONFERENZA circoscritta (cioè scritta intorno) il perimetro dell esagono è pari a 6 volte il raggio, quindi a 3 volte il diametro della circonferenza. Quindi il perimetro della circonferenza è superiore al perimetro dell esagono, e quindi a 3 volte il diametro. Circonferenza > 3 diametri Quindi mettendo insieme queste due informazioni otteniamo: 3 diametri < Circonferenza < 4 diametri Quindi usando il QUADRATO e l ESAGONO ai tempi di ARCHIMEDE già si sapeva che: 3< π <4 Continuando con questo ragionamento Archimede da bravo ingegnere (tra le altre cose, fu davvero un genio-inventore!) iniziò a usare la geometria, disegnando dentro e fuori la circonferenza dei poligoni con un numero sempre maggiore di lati per trovare la misura della lunghezza della circonferenza, finché non disegnò dei poligoni di 24 lati e scoprì che i perimetri avevano la stessa prima cifra dopo la virgola: 3,132 < π <3,159 Si accorse che 1 è la prima cifra dopo la virgola!

6 Proseguendo fino a disegnare poligoni di 96 lati scoprì a quel punto che il perimetro interno misurava 3,140 e quello esterno 3,142 i cosiddetti numeri guardiani, quindi: 3,140 < π <3,142 Aveva scoperto che 4 è la seconda cifra dopo la virgola! Archimede capì che 3,14 è il rapporto tra circonferenza e diametro, allora per trovare il perimetro di una circonferenza basta moltiplicare il suo diametro per 3,14! Siccome π è un numero irrazionale che ha infinite cifre dopo la virgola abbiamo sempre una approssimazione del valore preciso. Un ultima curiosità, tornando ad Archimede, pare che la sua ultima frase sia stata: noli tangere circulos meos non toccare i miei cerchi! Il simbolo π è stato introdotto nel 1706 dal matematico William Jones, ma è diventato di uso comune grazie ad Eulero. Infatti è la prima lettera di περίμετρος (perimetros), che significa «misura attorno» in greco. Ripercorriamo le varie tappe della storia di π dall antichità ai giorni nostri. - EGIZIANI La più antica documentazione esistente di questo rapporto ci è stata lasciata da uno scriba egizio di nome Ahmes, intorno al 1650 a.c., in quello che è noto oggi come il Papiro di Rhind 1. Ahmes calcolò il valore 3,16049 manifestando una precisione notevole per quel tempo. Questo risultato non ebbe però alcuna diffusione. Mille anni dopo i Babilonesi e gli antichi Ebrei continuavano infatti a usare il valore 3, che era molto meno esatto. In realtà non c è alcuna prova diretta che gli Egizi abbiano considerato un numero costante e, tanto meno, che abbiano tentato di calcolarlo. Essi furono invece interessati a trovare il rapporto fra il cerchio e il quadrato, probabilmente allo scopo di misurare con precisione terreni ed edifici. 1 Un frammento del Papiro di Rhind 1650 a.c., come mostra l immagine, è conservato presso il British Museum di Londra.

7 - EBREI La Bibbia ci fornisce informazioni molto chiare sul valore raggiunto dagli antichi Ebrei. Nell Antico Testamento, leggiamo a proposito dell altare costruito nel tempio di Salomone che il rapporto tra la circonferenza e il suo diametro è 3; esso fu scritto probabilmente intorno al VI secolo a.c., anche se descrive il tempio costruito nel X secolo a.c. - GRECI Dopo che in Egitto lo scriba Ahmes ebbe registrato le sue formulazioni, per un migliaio di anni nessuno dedicò più molte riflessioni al rapporto fra cerchi e quadrati. Lo studio della misura del cerchio fu ripreso con rinnovato impegno nel IV secolo a.c. dai Greci. Due greci contemporanei di Socrate ( a.c.), tentarono di trovare l'area di un cerchio usando una brillante nuova idea: il principio di esaustione. Se si prende un esagono e si raddoppiano i suoi lati trasformandolo in un dodecagono, e poi li si raddoppia ancora, e ancora, prima o poi si avrà un poligono con un numero di lati tanto grande da essersi trasformato in un cerchio. Prima stimò l area di un cerchio, calcolando l area dei successivi poligoni, dal numero di lati sempre maggiore, in esso inscritti. Poi fece un secondo passo rivoluzionario, calcolando le aree di due poligoni, uno inscritto nel cerchio e l altro ad esso circoscritto. Egli ipotizzò che l area del cerchio dovesse essere compresa fra le aree dei due poligoni: questa fu probabilmente la prima volta che si determinò un risultato usando limiti inferiori e superiori. - ROMANI Un paio di secoli dopo, la sfida fu ripresa da Archimede ( a.c.) uno fra i massimi pensatori della storia, straordinario matematico, fisico e inventore, che usò nei suoi calcoli i metodi di esaustione. Si concentrò però sui perimetri dei due poligoni anziché sulle loro aree, trovando così un approssimazione alla circonferenza del cerchio. Successivamente rese pubbliche le sue scoperte nel libro Misura del cerchio. Archimede sapeva di poter descrivere solo i limiti superiore e inferiore del rapporto, ma se si fa una media dei due valori si ottiene 3,1419, con un errore minore dello 0.03% del valore reale. Al culmine del loro impero (27 a.c d.c.), i Romani usarono spesso per il valore di 3+1/8 (pur sapendo che 3+1/7 era più esatto) era più facile usare 1/8, perché è una metà di una metà di una metà.

8 - CINESI La Cina fu una fra le più antiche civiltà scientifiche e matematiche. Benché già nel XII secolo a.c. la matematica cinese avesse raggiunto buoni livelli, i Cinesi continuavano a usare nei loro calcoli il valore di =3. Gli autentici progressi della Cina nella misurazione del cerchio si sarebbero avuti solo novecento anni dopo. Un ministro e astrologo dell imperatore nella prima metà del II secolo d.c., prima di morire calcolò che il valore implicito di è circa 3,162. Pur essendo tutt altro che esatto, questo valore divenne per molti anni l approssimazione più popolare per in tutta l Asia. Un altro cinese nel 263, usando il metodo di esaustione con un poligono di 3072 lati, trovò per il valore di 3,1416 L astronomo del V secolo (ritratto), usando poligoni inscritti di almeno lati dedusse che vale approssimativamente circa 3, Nessuno avrebbe trovato un valore più esatto per oltre mille anni. - ARABI Nel IX secolo, matematica e scienza stavano prosperando nelle culture islamiche, specialmente nell attuale Iraq, dove insegnava uno dei più grandi matematici Al-Khwarizmi. Nelle sue opere usò per il il valore di 3+1/7. Fatto più importante, nei suoi scritti usò le cifre indiane, successivamente note anche come arabe, compresi lo zero e la virgola dei decimali. - MEDIOEVO Nel 1202 Leonardo Pisano (Fibonacci) scrisse il Liber abaci, che contribuì alla diffusione in Europa dei numerali arabi e in seguito usò il valore approssimato di di circa 3, Il filosofo Alberto di Sassonia ( ) scrisse nel De quadratura circuli che il rapporto della circonferenza al diametro era esattamente 3+1/7. Alla metà del Quattrocento il cardinale Niccolò Cusano affermò di avere quadrato esattamente il cerchio, trovando che il rapporto della circonferenza al diametro era di 3,1423. Nel 1579 Viète usò lo sperimentato metodo di Archimede dei poligoni inscritti e circoscritti per stabilire che era maggiore di 3, e minore di 3, Nel 1947 con l aiuto di una delle prime calcolatrici da tavolo, furono trovate 808 cifre di. Nel 1949 usando un computer furono calcolate 2037 cifre. Questo calcolo richiese solo settanta ore con una media di una cifra ogni due minuti. Nel 2003, Kanasa ha calcolato cifre,utilizzando 64 computer, in più di 600 ore. Nel 2010 Shigeru Kondo ha calcolato in 90 giorni 5000 miliardi di cifre decimali e per ora questo è il record mondiale.

9 Il numero π : IRRAZIONALE e TRASCENDENTE Con una terminologia che può apparire suggestiva ai non addetti ai lavori, la matematica definisce PI GRECO un numero reale, irrazionale e trascendente. Il numero è IRRAZIONALE, ovvero non è esprimibile come una frazione di due numeri interi a/b. I numeri irrazionali hanno infinite cifre dopo la virgola che non si ripetono come accade nei numeri periodici. Al momento ne sono state verificate , 9 trilioni (ossia 9 mila miliardi) dopo la virgola in più rispetto a prima del novembre 2016, quando un supercomputer con 24 dischi rigidi, ciascuno con 6 terabyte di memoria, ha completato l'arduo compito. Se dovessimo stampare questo numero occorrerebbe una biblioteca con diversi milioni di volumi, ciascuno con migliaia di pagine. Ecco perché quando si tratta di impiegare il Pi greco nei calcoli è necessario "fermarsi" all'approssimazione che ci serve. Nei calcoli quindi basta indicare solo il simbolo, non serve riportare i numeri corrispondenti al : essendo un decimale illimitato e non periodico, si definisce anche un numero TRASCENDENTE poiché trascende, va oltre le normali operazioni per risolvere un equazione algebrica poiché non esiste un equazione polinomiale a coefficienti interi che, risolta, dia π come risultato. Per questo, quando ne parliamo nell'accezione comune di "tre e quattordici", la formula corretta da usare è: π 3,14. Viene naturale porsi una domanda: Perché tanto interesse a calcolare così tante cifre decimali di π? Certamente non c è alcuna necessità di calcolare miliardi di cifre decimali di π per scopi pratici o ingegneristici (per calcolare il volume di una sfera che racchiude l intero universo con un errore piccolissimo è sufficiente conoscere qualche dozzina di cifre decimali di π!) Una motivazione è che questi calcoli sono eccellenti test di affidabilità del software e dell hardware di un computer, inoltre è accaduto che molti algoritmi nati dagli sforzi per accelerare il calcolo delle cifre del π hanno trovato applicazioni in svariati rami della scienza e della ingegneria, come per esempio l invenzione degli scanner.

10 FORMULE Il CERCHIO tra le figure piane è quella che a parità di PERIMETRO racchiude la massima AREA C = 2πr A cerchio = πr 2 S laterale = 2πr h S totale = 2 A b + S laterale = 2 πr 2 + 2πr h V = A b h = πr 2 h S totale = 4πr 2 V = 4 3 πr3