SOLUZIONI DELL APPELLO B DEL CORSO GE110 8 LUGLIO 2019

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1 SOLUZIONI DELL APPELLO B DEL CORSO GE 8 LUGLIO 9 ESERCIZIO (8 punti) Si consideri lo spazio vettoriale C 4 con base canonica {e, e, e 3, e 4 } Si consideri l operatore lineare Φ End(C 4 ) univocamente determinato da Φ(e ) = e + e 4, Φ(e ) = e + e e 4, Φ(e 3 ) = e + e 4, Φ(e 4 ) = e e 3 e 4 (A) (,5 punti) Si calcoli il polinomio caratteristico di Φ e si mostri che il polinomio minimo di Φ è x 4 (B) (,5 punti) Si calcolino gli autovalori di Φ e, per ciascuno di essi, si determinino gli autospazi generalizzati corrispondenti (C) ( punti) Si determini la forma canonica di Jordan di Φ (D) ( punti) Per ciascun k =,,, 3, 4, determinare tutti vettori v C 4 tale che µ Φ,v (x) = x k (qualora esistano) (E) ( punti) Si determini una base di Jordan, cioè una base ordinata B di C 4 tale che M B (Φ) si scrive in forma canonica di Jordan (A) La matrice canonica di Φ è data da M(Φ) = Il polinomio caratteristico di Φ è dato da x χ Φ (x) = det x x x + Per calcolare il determinante della matrice di sopra, effettuiamo le seguenti operazioni elementari sulle righe e colonne x x x x C 3 C 3 xc 4 x x x + x x x + R R +(x )R 4 x ( x x + )x (x )(x ) x x x x x +

2 Le operazioni elementari effettuate con cambiano il determinante Facendo lo sviluppo di Laplace lungo la prima colonna e poi la terza riga, otteniamo che x ( x x + )x (x )(x ) ( ) det x x x ( x = det x + )x = x x x x x + = (x )x (x )( x x + )x = x 4 Il polinomio minimo di Φ (o equivalentemente quello di M(Φ)) è un divisore del polinomio caratteristico χ Φ e ha i suoi stessi fattori irriducibili; dunque sarà della forma µ Φ = x k con k =,, 3, 4 Per determinarlo basta calcolare le potenze della matrice M(Φ): M(Φ) =, M(Φ) 3 =, Dunque necessariamente deve essere µ Φ (x) = x 4 (B) Gli autovalori di Φ sono le radici del polinomio caratteristico di Φ Siccome χ Φ = x 4, abbiamo che è l unico autovalore di Φ Siccome la molteplicità di come radice di µ Φ (x) = x 4 è quattro, allora sappiamo dalla teoria che avremo la seguente catena di autospazi generalizzati {} E (Φ) = E (Φ) E (Φ) E 3 (Φ) E 4 (Φ) = E (Φ) = C 4 Usando che E(Φ) i = Ker(Φ i ) = Sol M(Φ) i per ogni i =,, 3, e risolvendo i sistemi lineari omogenei, troviamo che (qua andavano inseriti i conti): E (Φ) =, E (Φ) = E 3 (Φ) =,,,, (C) Siccome è l unico autovalore di Φ sappiamo dalla teoria che la forma canonica di Jordan di Φ sarà della forma J m () per una certa partizione m = (m m m r ) tale m = dim C 4 = 4 Inoltre dalla teoria sappiamo che m è uguale alla molteplicità di in µ Φ (x), che è uguale a 4 per il punto (A) Dunque ne deduciamo che la partizione in questione è m = (4)

3 (D) Dalla definizione di polinomio minimo di v rispetto a Φ segue che per ogni i =,,, 3, 4 abbiamo { µφ,v (x) x i v ker(φ i ) = E i (Φ), dove abbiamo posto E (Φ) = {} per comodità Dunque deduciamo che per ogni i =,, 3, 4 abbiamo { µφ,v (x) = v =, µ Φ,v (x) = x i v E i (Φ) \ E i (Φ) (E) Affinché una base ordinata B di C 4 sia tale che M B (Φ) = J 4 () =, è necessario e sufficiente che B = {w, Φ(w), Φ (w), Φ 3 (w)} con w E 3 (Φ) scegliamo w := allora deduciamo che una base di Jordan è data da B := w =, Φ(w) =, Φ (w) =, Φ3 (w) = Se ESERCIZIO (8 punti) Si consideri la seguente matrice () A = 3 3 Si consideri l operatore lineare Ψ End(R 4 ) la cui matrice canonica M(Ψ) è uguale ad A e l operatore lineare Π End(C 4 ) la cui matrice canonica M(Π) è uguale ad A (A) ( punti) Calcolare il polinomio caratteristico e il polinomio minimo di Ψ e di Π (B) (,5 punti) Si calcoli la decomposizione primaria di Ψ (C) (,5 punti) Per ciascun autovalore di Π, si calcolino gli autospazi generalizzati (D) ( punti) Si dica se Ψ e Π sono diagonalizzabili e, in caso affermativo, trovare delle basi diagonalizzanti (E) ( punti) Si calcolino tutti i vettori v R 4 tale che µ Ψ,v (x) = x + (qualora esistano) e tutti i vettori w C 4 tali che µ Π,w (x) = x (qualora esistano) 3

4 (A) I polinomi caratteristici di Ψ e di Π coincidono e sono uguali al polinomio caratteristico della matrice A Essendo A una matrice diagonale a blocchi, calcoliamo x ( ) ( ) χ A (x) = det x 3 3 x x x = det det = x 3 x x = [(x + 3)(x 3) + ] x = (x + )x La decomposizione del polinomio χ A (x) in irriducibili è data da { (x + )x in R[x], χ A (x) = (x + i)(x i)x in C[x] Siccome il polimonio minimo di Ψ divide il suo polinomio caratteristico e ha gli stessi suo fattori irriducibili, ne deduciamo che ci sono due possibilità per il polinomio minimo µ Ψ (x) = χ Ψ (x) = (x + )x oppure µ Ψ (x) = (x + )x Siccome (A + )A = 3 3 =, deduciamo che µ Ψ (x) = χ Ψ (x) = (x + )x Ripentendo lo stesso ragionamento per Π, deduciamo allo stesso modo che µ Π (x) = χ Π (x) = (x + )x (B) La decomposizione primaria di Ψ è data da R 4 = V Ψ (x + ) int V Ψ (x ) = ker(ψ + Id) int Ker(Ψ ) Risolvendo gli opportuni sistemi lineari omogenei, troviamo che (qua andavano inseriti i conti) ker(ψ + Id) =,, ker(ψ ) =, (C) Gli autovalori di Π sono le radici del polinomio caratteristico e dunque sono i, i, I primi due autovalori hanno molteplicità algebrica, e dunque molteplicità geometrica e indice uguali a Ciò implica che, per gli autovalori ±i, gli autospazi generalizzati di indice maggiore di uno coincidiono con l autospazio (di indice uno) il quale ha dimensione uguale a uno Risolvendo gli opportuni sistemi lineari omogenei, troviamo che (qua andavano inseriti i conti) + i i + i i E i (Π) = e E i (Π) = 4

5 Per quando riguarda l autovalore, siccome la sua molteplicità come radice di µ Π è due, allora sappiamo dalla teoria che avremo la seguente catena di autospazi generalizzati {} E (Π) = E (Π) E (Π) Risolvendo i sistemi lineari omogenei in questione, troviamo che (qua andavano inseriti i conti): E (Π) =, E (Π) =,, (D) Siccome i polinomi minimi di Ψ e Π non sono prodotto di fattori lineari distinti perché contengono il fattore x, allora né Ψ né Π è diagonalizzabile (E) Dalla teoria sappiamo che per un vettore v R 4 vale che µ Ψ,v (x) x + (Ψ + Id)(v) = v V Ψ (x + ) Siccome l unico divisore proprio di x + in R[x] è e µ Ψ,v (x) = se e solo se v =, ne deduciamo che µ Ψ,v (x) = x + v V Ψ (x + ) \ {} Osserviamo che per un vettore w C 4 vale che µ Π,w (x) = x 4 se e solo se µ Π,w (x) x ma µ Π,w (x) x Dalla definizione di polinomio minimo, sappiamo che per un vettore w C 4 vale che { µπ,w (x) x w ker(φ) = E (Π), Da questo deduciamo che µ Π,w (x) x w ker(φ ) = E (Π) µ Π,w (x) = x w E (Π) \ E (Π) ESERCIZIO 3 (8 punti) Sia V il sottospazio di Q 4 formato dalle soluzioni del sistema lineare X X 3 X 4 =, X X 4 =, X X X 3 =, e sia V il sottospazio di Q 4 formato dalle soluzioni del sistema lineare X + X X 3 =, X X 4 =, X X 3 X 4 =, (A) (,5 punti) Determinare una base di V, di V e di V V (B) ( punti) Calcolare la dimensione di V + V usando la formula di Grassmann, e scrivere V + V in forma cartesiana (C) (,5 punti) Dire se esiste un applicazione lineare Φ End(Q 4 ) tale che ker Φ = V e Im Φ = V, e in caso affermativo, si scriva esplicitamente una tale Φ 5

6 (D) (,5 punti) Usando l identificazione canonica (Q 4 ) = Q 4, si calcolino Ann(V ) e Ann(V ) in forma cartesiana (E) (,5 punti) Scrivere Ann(V ) Ann(V ) in forma parametrica e Ann(V ) + Ann(V ) in forma cartesiana [NOTA: l esercizio era stata pensato con l ultima equazione per V uguale a X X 3 + X 4 = A causa di questo refuso, gran parte dell esercizio diventa banale (e quindi molto piú semplice)!!] (A) Risolvendo il primo sistema lineare (qua andavano inseriti i conti), otteniamo che una base di V è data da v :=, v := Risolvendo il secondo sistema lineare (qua andavano inseriti i conti), otteniamo che una base di V è data da w := Osserviamo che v = w e dunque V V Ne concludiamo che V V = V (B) Siccome V V come visto nel punto precedente, allora abbiamo che V + V = V Dunque la dimensione di V + V è uguale a due e una sua forma cartesiana è uguale alla forma cartesiana di V (C) Una tale applicazione Φ non esiste Infatti, se una tale Φ esistesse, dal teorema di rango-nullità avremmo che 4 = dim Q 4 = dim ker(φ) + dim Im(Φ) = dim V + dim V = + = 3, che è assurdo (D) Usando la formula () Ann(Span A ) = Sol A t, e partendo dalla forma parametriche di V e V ottenute nel punto (A), deduciamo che una forma cartesiana di Ann(V ) è data da { X + X 3 = X + X + X 4 =, mentre una forma cartesiana di Ann(V ) è data da { X + X 3 = (E) Siccome Ann scambia l intersezione con la somma, allora usando quanto stabilito in (A) e (B), abbiamo che { Ann(V ) Ann(V ) = Ann(V + V ) = Ann(V ), Ora usando le formule Ann(V ) + Ann(V ) = Ann(V V ) = Ann(V ) (3) Ann(Sol A ) = Span A t e Ann(Span A ) = Sol A t 6

7 e le equazioni cartesiane di V (date nel testo) e parametriche di V (trovate in (A)), otteniamo che Ann(V ) Ann(V ) = Ann(V ) =,, x Ann(V ) + Ann(V ) = Ann(V ) = x x 3 : x + x 3 = ESERCIZIO 4 (8 punti) Si consideri l applicazione lineare Θ Hom(Q 3, Q 4 ) la cui matrice canonica è 3 M(Θ) = (A) (,5 punti) Trovare una base di Ker(Θ) e una base di Im(Θ) (B) ( punti) Trovare una base del dominio e una base del codominio rispetto alle quali Θ si scrive in forma canonica (rispetto alla relazione di equivalenza) (C) (,5 punti) Usando le identificazioni canoniche (Q 4 ) = Q 4 e (Q 3 ) = Q 3, si consideri l applicazione duale Θ Hom(Q 4, Q 3 ) Calcolare Ker(Θ ) in forma parametrica e Im(Θ ) in forma cartesiana (D) ( punti) Sia V := Q 3 / Ker(Θ) e W := Im(Θ) Si consideri l isomorfismo indotto da Θ: Θ : V W, x 4 x + Ker(Θ) Θ(x) Trovate una base B di V e una base C di W e scrivere M C,B (Φ) (E) ( punti) Calcolare l operatore inverso (Θ) di Θ (A) Risolvendo il sistema lineare omogeneo con matrice associata M(Θ) (qua andavano inseriti i conti), otteniamo che un base di Ker(Θ) è data da Applicando il teorema di rango-nullità Φ, otteniamo che dim Im(Θ) = dim Q 3 dim ker(θ) = 3 = Siccome Im(Θ) è generato dalle colonne della matrice M(Θ) e le prime due colonne sono linearmente indipendenti in quanto non proporzionali, deduciamo che una base di Im(Θ) è data da 3, 3 7

8 (B) Sia {e, e, e 3 } la base canonica di Q 3 e {f, f, f 3, f 4 } la base canonica di Q 4 Consideriamo la base di ker(θ) trovata in (A) ed estendiamola ad una base di Q 3 aggiungendo {e, e } Ora calcoliamo 3 Θ(e ) = e Θ(e ) = 3, ed estendiamo questi due vettori ad una base di Q 4 aggiungendo f e f Dunque, se consideriamo le due basi ordinate di Q 3 e Q 4 B :=,, 3 e C :=, 3,,, abbiamo che M C,B (Θ) =, che è la forma canonica richiesta (C) Dalla teoria e da quanto calcolato in (A), sappiamo che ker(θ ) = Ann(Im(Θ)) = Ann Span 3 3 = Sol 3 3 Risolvendo il sistema lineare omogeneo di cui sopra (qua andavano inseriti i conti), otteniamo che ker(θ ) =, Similmente, abbiamo che Im(Θ ) = Ann(ker(Θ)) = Ann Span = Sol ( ) (D) Siccome abbiamo che Q 3 = ker(θ) int e, e (come già osservato nel punto (B)), allora sappiamo dalla teoria che una base ordinata di Q 3 / ker(θ) è data da B := {b := e + ker(θ), b := e + ker(θ)} 8

9 D altra parte, dal punto (A) sappiamo che una base ordinata di Im(Θ) è data da: 3 C := c :=, c := 3 Siccome Θ(b ) = Θ(e ) = c e Θ(b ) = Θ(e ) = c, allora avremmo che ( ) M C,B (Φ) = (E) Basta determinare la matrice di (Φ) rispetto alla base C del dominio e B del codominio Usando quanto visto a teoria e il punto (D), otteniamo che ( ) M B,C ((Φ) ) = M C,B (Φ) = ESERCIZIO 5 (8 punti) Sia Φ End(V ) un operatore e consideriamo la sua decomposizione primaria V = V Φ (p ) V Φ (p r ) Dimostrare che Φ è ciclico se e solo se Φ VΦ (p i ) è ciclico per ogni i r Mostriamo separatamente le due implicazioni : Se Φ è ciclico, allora sappiamo dalla teoria che per ogni sottospazio W V Φ- invariante si ha che Φ W è ciclico In particolare, Φ VΦ (p i ) è ciclico per ogni i r : Fissiamo un generatore v i per ogni Φ VΦ (p i ), cioè un elemento v i V Φ (p i ) tale che V Φ (p i ) = Φ, v i Mostreremo che v := v + + v r è un generatore di V rispetto a Φ, cioè: V = Φ, v A tal fine, usando che V = V Φ (p ) V Φ (p r ) = Φ, v Φ, v r, basta mostrare che (4) v i Φ, v per ogni i r Poniamo q i (x) := j i p j(x) e osserviamo che, siccome q i (x) è multiplo di ciascun polinomio µ Φ,vj (x) = p j (x) con j i r, abbiamo che (5) q i (Φ)(v) = q i (Φ)(v + + v r ) = q i (Φ)(v i ) Siccome p i (x) e q i (x) sono coprimi tra di loro, allora l identità di Bezout ci fornisce due polinomi f(x), g(x) tali che = f(x)q i (x) + g(x)p i (x) Applicano questa identità all operatore Φ e poi valutando in v i, e usando che µ Φ,vi (x) = p i (x), otteniamo (6) v i = f(φ)(q i (Φ)(v i )) + g(φ)(p i (Φ)(v i )) = f(φ)(q i (Φ)(v i )) Mettendo insieme (6) e (5), deduciamo che da cui si evince che vale (4) v i = (f q i )(Φ)(v), 9