L INFINITO IN MATEMATICA. dalla geometria proiettiva alla prospettiva GIORGIO DONATI UNIVERSITÀ DI NAPOLI FEDERICO II

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1 L INFINITO IN MATEMATICA dalla geometria proiettiva alla prospettiva GIORGIO DONATI UNIVERSITÀ DI NAPOLI FEDERICO II

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3 Infinito potenziale Euclide, Elementi, Proposizione 20, libro IX (III secolo a.c.) I numeri primi sono più di qualsiasi moltitudine assegnata, ovvero comunque sia fissato un numero primo, ne esiste sempre uno maggiore.

4 Infinito potenziale Una retta è un segmento prolungabile, non è mai data nella sua interezza V postulato di Euclide, Elementi Libro I Se una retta secante, incontrando due rette, forma da una parte angoli interni di somma inferiore a due angoli retti, allora le due rette, se prolungate indefinitamente, si incontrano dalla parte detta.

5 Infinito in atto Assioma di Playfair (1795) Per un punto esterno a una retta passa una e una sola retta parallela alla retta data.

6 Aristotele, Fisica, IV secolo a.c. E impossibile che l infinito sia in atto, l infinito è solo in potenza. Anselmo d Aosta ( ), prove dell esistenza di Dio Dio è ciò di cui non si può pensare nulla di più grande. Tommaso d'aquino ( ) In senso assoluto può esistere un solo infinito attuale, l'essere Assoluto o Essere Sussistente.

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9 Ampliamento proiettivo di un piano euclideo

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15 Non esiste nessun punto del piano proiettivo di coordinate omogenee (0,0,0). Ad esempio (1,0,0) sono le coordinate omogenee del punto all infinito dell asse x, (0,1,0) quelle del punto all infinito dell asse y, (1,1,0) quelle della retta bisettrice del I e III quadrante.

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18 Determinante di una matrice 2x2

19 Matrici 3x3

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51 Prima della Prospettiva Stampa medioevale

52 Duccio di Boninsegna, Ultima Cena, 1308

53 Dipinto, secolo XIV

54 Paolo Uccello, Miracolo dell ostia profanata, 1467

55 Paolo Uccello, Miracolo dell ostia profanata, 1467

56 Piero Della Francesca, Flagellazione di Cristo, 1453

57 Leonardo Da Vinci, Ultima Cena, 1495

58 Idea nuova su cui è fondata la prospettiva rinascimentale: Intersezione della Piramide visiva con il piano contenente il quadro

59 Da ogni punto dello spazio parte un raggio che termina nell occhio dell osservatore; l intersezione di questo raggio con il quadro è un punto che provoca nell osservatore la stessa impressione visiva del punto dato. L insieme di tutti i raggi che terminano nell occhio dell osservatore costituisce la Piramide Visiva, ed è la sua intersezione con il quadro che determina la cosiddetta: Prospettiva piana matematicamente corretta (F. Brunelleschi) CONSEGUENZA NOTEVOLE: Rette che nella scena reale sono parallele hanno come immagini sul quadro rette che si intersecano nel cosiddetto Punto di fuga.

60 Intersezione della piramide visiva con il quadro

61 Albrecht Durer, Uomo che disegna un liuto, 1514

62 Nell opera di Leonardo da Vinci le rette ortogonali al quadro (parallele tra loro) si intersecano tutte in un punto. Nell opera di Duccio di Boninsegna tali rette non si intersecano tutte in un punto.

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64 La prospettiva di una figura consiste nell applicare una proiezione centrale.

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67 Il ribaltamento come particolare proiezione centrale

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71 Le rette contenute nel piano geometrico hanno per punti di fuga i punti della linea di orizzonte.

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73 Prospettiva di un pavimento a scacchiera

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