PROGETTO E VERIFICA DI UN TELAIO IN C.A.

Transcript

1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DELLA BASILICATA Corso di TECNICA DELLE COSTRUZIONI PROGETTO E VERIFICA DI UN TELAIO IN C.A. Docente: Collaboratori: Prof. Ing.. Angelo MASI Ing. Giuseppe SANTARSIERO Ing. Vincenzo MANFREDI

2 Progetto di un telaio in c.a. Progetto e verifica di un telaio piano in c.a. di due livelli sottoposto a carichi verticali ed azioni orizzontali. Il primo livello è destinato ad abitazione, il secondo livello è un terrazzo praticabile. Lx1 = 5m Lx2 = 5m Lx3 = 5m Lx4 = 1.4m H2 Impalcato II Ly2 = 5m Ly1 = 5m H1 Impalcato I H2 =3.2m H 2 =3.2m Telaio da progettare/verificare

3 Schema dei carichi sul telaio carichi sul telaio: Solai di piano e di copertura

4 Schema dei carichi sul telaio carichi sul telaio: tamponature Lx1 Lx2 Lx3 Lx4 Ly2 Ly1

5 Schema dei carichi sul telaio carichi sul telaio: Gradini e pianerottoli

6 PROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A. Normativa di riferimento: Norme Tecniche per le Costruzioni D.M. 14 gennaio 2008 NTC2008 Fasi progettuali Scelta dei materiali Predimensionamento degli elementi strutturali Analisi dei carichi Creazione del modello numerico Analisi delle sollecitazioni Progetto e verifica delle armature degli elementi strutturali Elaborati grafici

7 Scelta dei materiali: DIAGRAMMI TENSIONI-DEFORMAZIONI DIAGRAMMI DI CALCOLO TENSIONI DEFORMAZIONE DEL CLS σ fcd σ fcd σ fcd 0.20% 0.35% ε (a) 0.175% 0.35% ε (b) 0.07% 0.35% ε (c) a) parabola-rettangolo; b) triangolo-rettangolo; c) rettangolo (stress block) DIAGRAMMI DI CALCOLO TENSIONI DEFORMAZIONE DELL ACCIAIO σ Kfyd fyd arctg Es εyd (a) εud εuk ε σ fyd arctg Es εyd (b) ε attenzione: nel modello (b) si può limitare la deformazione ultima (es. εud = 1%) nota: nel modello (a) K è il rapporto di incrudimento. (1.35 > K 1.15) a) bi-lineare con incrudimento; b) elastico-perfettamente plastico indefinito

8 Scelta dei materiali: Resistenze di Calcolo Le resistenze di calcolo si valutano mediante l espressione: f d = f γ dove fk è la resistenza caratteristica, γm il coefficiente parziale del materiale. La norma NTC prescrive per elementi in c.a.: k m γ M Calcestruzzo 1.5 Acciaio per c.a. 1.15

9 SCELTA DEI MATERIALI: RESISTENZE DI CALCOLO Calcestruzzo Resistenza di calcolo a compressione: f cd = α f γ cc c ck σ fcd dove: fck = R ck αcc = γ c = / 3 Resistenza media a trazione: f = 0.3 Modulo elastico: E 0.3 cm = [fcm /10] ipotizzando l impiego di un calcestruzzo C20/25 (R ck = 25 N/mm 2 -f ck = 20N/mmq) f cd = 1.5 ctm f ck dove: fcm = fck % 0.35% ε (a) [NOTA: unità in N/mmq] Modulo di Poisson: ν = 0.2 [NOTA: per cls fessurato si può ν = 0] f ctm = 2.2N / mmq 2 2 = 11.7 N/mm E c = N/mm

10 Scelta dei materiali: Resistenze di Calcolo Acciaio Resistenza a trazione: f yd f yk = dove: γ 15 γ s = 1. s σ fyd Modulo elastico: E s = N/mm 2 Deformazione al limite elastico: ε yd = f E yd s Per un acciaio B450C: fyk = 450 N/mm2 arctg Es εyd (b) ε f yk 450 f yd = = γ 1.15 s yd o = N/mm ε yd = = = 1.83 / oo Es f

11 ANALISI AZIONI ESTERNE Carichi permanenti Strutturali G1 Peso proprio di tutte le parti strutturali essenziali a portare i carichi esterni quali di solai, scale e gradini, travi, pilastri Carichi permanenti non strutturali G2 Peso proprio delle parti non strutturali quali il pavimento, il massetto, le tramezzature interne e le tamponature esterne Carichi variabili Q Definiti in funzione delle destinazioni d uso della struttura Carichi orizzontali H Rappresentano le azioni dovute ad eventi sismici. Devono essere valutate in funzione del piano e del peso dell impalcato

12 PROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A. I carichi dei solai (G1, G2, Q) gravano sulle travi. Il valore del carico è funzione dell area di influenza sottesa di ciascun elemento. Lx1 = 5m Lx2 = 5m Lx3 = 5m Lx4 = 1.4m H2 Impalcato II Ly2 = 5m Ly1 = 5m (Lx2+Lx3)/2 H1 Impalcato I H2 =3.2m H 2 =3.2m Area di influenza dei carichi sulle travi

13 SCHEMA DEI CARICHI SUL TELAIO PIANO Carichi permanenti Strutturali G1 e G2; carichi variabili Q Peso proprio strutturale, non strutturale, variabile dei solai, gradini e pianerottoli Peso proprio G1, G2, Q dei solai, pianerottoli e gradini. Carichi distribuiti (Lx2+Lx3)/2

14 SCHEMA DEI CARICHI SUL TELAIO PIANO Carichi permanenti Strutturali G1 Peso proprio di tutte le parti strutturali travi e pilastri Peso proprio delle travi ortogonali: Carichi concentrati Peso delle travi: Carichi distribuiti Peso proprio dei pilasti: carichi distribuiti

15 Schema dei carichi sul telaio carichi sul telaio: tamponature Lx1 Lx2 Lx3 Lx4 Ly2 Ly1

16 SCHEMA DEI CARICHI SUL TELAIO PIANO (Lx2+Lx3)/2 Carichi non strutturali G2 Tamponature Peso proprio delle tamponature sulle travi: carichi distribuiti Peso proprio delle tamponature sulle travi ortogonali: carichi concentrati

17 SCHEMA DEI CARICHI SUL TELAIO PIANO (Lx2+Lx3)/2 h2/2 Carichi orizzontale H Forza orizzontale al II livello; Area di influenza dei carichi (h1+h2)/2 Forza orizzontale al I livello; Area di influenza dei carichi (Lx2+Lx3)/2

18 PREDIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI TRAVE DI PIANO Dall analisi dei carichi possiamo definire le azioni agenti Peso Proprio solaio (strutturale e non) Carico variabile per solaio di calpestio Peso Proprio Trave (Ipotizzata 30 50) Ly2 = 5m Ly1 = 5m Lx1 = 5m Lx2 = 5m Lx3 = 5m (Lx2+Lx3)/2 Lx4 = 1.4m

19 PREDIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI Carichi unitari permanenti strutturali e non strutturali Peso proprio strutturale del solaio G 1,1 = 2.8 kn/m 2 (nervature, soletta, pignatte): g 1,1 = γ G1 x G 1,1 x L s g 1,1 = 1.3 x 2.8 x 5 = 18.2kN/m Trave emergente (G 1,2 = 3.75 kn/m): g 1,2 = γ G1 x G 1,2 g 1,2 = 1.3 x 3.75 = 4.9 kn/m Peso proprio non strutturale del solaio G 2 = 3.0 kn/m2 (massetto, pavimento, inc. tramezzi): g 2 = γ G2 x G 2 x L s g 2 = 1.5 x 3.0 x 5 = 22.5 kn/m Carichi unitari accidentali Carico accidentale per solaio di calpestio di civile abitazione (Q k.1 = 2.0 kn/m 2 ): q k,1 = γ Q x Q k.1 x L s q k,1 = 1.5 x 2.0 x 5 = 15.0 kn/m

20 PREDIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI Si considera uno schema statico semplificato (es. trave appoggiataappoggiata) Il carico uniforme q 1 è dato dalla somma di g 1,1 + g 1,2 + g 2 + q k1 q 1 = 60.6 kn/m A B 5 m Il massimo momento in campata vale: 2 q = = 1 l M Sd M AB 8 M = 8 Sd = knm

21 PREDIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI Travi rettangolari progettate a flessione con semplice armatura Equazione di equilibrio alla traslazione lungo l asse della trave: B ψ x fcd Asfyd = N N = 0 H d d B A s x C λx 0,85f cd Equazione di equilibrio alla rotazione (intorno al baricentro geometrico della sezione) A s T S H H B f cd x ψ λ x + A s f yd c = 2 2 M rd Equazione di congruenza ' 0 s.35% x εs = x d' ε = d x 4 incognite: B, H, x, A s

22 PREDIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI Travi rettangolari progettate a flessione Fissiamo alcune delle incognite in modo da avere abbastanza elementi per risolvere il problema H d d B A s A s x C λx 0,85f cd S T 1) Fissiamo la posizione dell asse neutro ξ = x / d = ) Ipotizziamo che la rottura avvenga in regione 2 ψ = λ = d B ε cu = 0.35% f cd x C f yd T S ε sd

23 PREDIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI Travi rettangolari progettate a flessione Imponendo l equilibrio alla rotazione rispetto all asse passante per il baricentro delle armature tese As si ha: M Sd = B d 2 f cd ψ ξ (1 λξ) = B d 2 f cd c H d d B A s A s x C λx 0,85f cd S T dove c = ψ ξ (1 λξ) B ε cu = 0.35% x C f cd L altezza utile d è pari a: d d = 1 c M B f Sd cd = r slu M B f Rd cd f yd TS ε sd

24 PREDIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI Travi rettangolari progettate a flessione Fissiamo il valore della base (da considerazioni di carattere architettonico) B = 300mm r slu = ψ ξ 1 ( 1 λ ξ ) H d d B A s 1 r slu = = A s x ( ) C 2.31 λx 0,85f cd S T d = r slu M b f est cd d = 2.31 = mm H = d + c = mm

25 Il copriferro - interferro Estratto dalla NTC08 (D.M. 14/01/2008)

26 Il copriferro In funzione delle condizioni ambientali e della classe di resistenza del cls deve essere utilizzato un valore del copriferro secondo quanto riportato nella tabella (circolarentc2008 C ): Per classi di cls C < Cmin il valore del copriferro deve essere aumentato di 5mm

27 PREDIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI Pilastri rettangolari progettate a sforzo normale Le dimensioni (di tentativo) della sezione di cls possono essere valutate con riferimento al solo sforzo normale N dell area di carico afferente all elemento. Lx1 = 5m Lx2 = 5m Lx3 = 5m Lx4 = 1.4m As Ly2 = 5m Ly1 = 5m (Lx2+Lx3)/2 As (Ly2+Ly1)/2 H d c c As G B N

28 PREDIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI Analisi dei carichi gravanti sul pilastro Peso proprio strutturale del solaio (nervature, soletta, pignatte): G 1,1 = 2.8 kn/m 2 g 1,1 = γ G1 x G 1,1 x A s = 60.3kN Peso proprio non strutturale del solaio (massetto, pavimento, inc. tramezzi): G 2 = 3.0 kn/m2 g 2 = γ G2 x G 2 x A s = 74.5kN Trave emergente (n. 2 elementi): G 1,2 = 4.12kN/m g 1,2 = γ G1 x G 1,2 x (Lx2+Lx3+Ly1+Ly2)/2 = 50.3 kn Pilastro 30 40: G 1,3 = 3.0kN/m g 1,3 = γg1 x G 1,3 x H 1 = 12.4 kn Carico accidentale per solaio di calpestio di civile abitazione: Q k1 = 2.0 kn/m 2 g k1 = γ Q x Q k.1 x A s = 33.1 kn

29 PREDIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI Pilastri rettangolari progettate a sforzo normale Le dimensioni (di tentativo) della sezione di cls possono essere valutate con riferimento al solo sforzo normale N dell area di carico afferente all elemento. Per portare in conto il momento flettente si può assumere la resistenza del cls pari al 40-50% di quella di calcolo. A N 0.4 f c,s.n. = = = cd mmq Fissando una dimensione della sezione (da considerazioni di carattere architettonico) si ha: H = A B c,s.n. = = 349mm 400mm

30 Combinazioni di calcolo delle azioni COMBINAZIONI PER LE VERIFICHE ALLO STATO LIMITE ULTIMO F d = γ G1 G 1 + γ G2 G 2 + γ q Q k1 + Σ (i>1) γ q Ψ 0i Q ki COMBINAZIONI PER LE VERIFICHE ALLO STATO LIMITE DI ESERCIZIO Combinazioni rare: Carico accidentale principale Combinazioni frequenti: Combinazioni quasi permanenti: F d = G 1 + G 2 + P + Q k1 + Σ(i>1) Ψ 0i Q ki Carico accidentale secondario F d = G 1 + G 2 + P + Ψ 1i Q k1 + Σ(i>1) Ψ 2i Q ki F d = G 1 + G 2 + P + Σ(i>1) Ψ 2i Q ki G1 valore nominale delle azioni permanenti strutturali G2 valore nominale delle azioni permanenti non strutturali Qk1 valore caratteristico dell azione variabile di base di ogni combinazione Qki valore caratteristico delle altre azioni variabili Ψ0i, Ψ1i, Ψ2i coefficienti di combinazione

31 Coefficienti parziali per le azioni (γ( F ) Coefficienti parziali per le azioni γ F nelle verifiche SLU ( 2.6.1, NTC2008) γ F (STR) Carichi permanenti Carichi permanenti non strutturali Carichi variabili Favorevoli Sfavorevoli Favorevoli Sfavorevoli Favorevoli Sfavorevoli γ G γ G γ Qi

32 Coefficienti di combinazione I Coefficienti di combinazione (ψ 0j ; ψ 1j ; ψ 2j ) sono funzione della destinazione d uso dei locali

33 1) STATO LIMITE ULTIMO Le combinazioni di carico F d = γ G1 G 1 + γ G2 G 2 + γ q Q k1 + γ q Ψ 0i Q k2 1.5 x 0.5 x Q2 1.5 x Q1 1.5 x G2 1.3 x G1 Carico neve Carico di esercizio per locali suscettibili di affollamento (4kN/mq) 1.5 x Q1 Carico di esercizio per abitazioni (2kN/mq) 1.5 x G2 1.5 x Q1 1.5 x G2 1.3 x G1 1.3 x G1 Carico permanente non strutturale Carico permanente strutturale

34 2) STATO LIMITE ULTIMO Le combinazioni di carico F d = γ G1 G 1 + γ G2 G 2 + γ q Q k2 + γ q Ψ 0i Q k1 1.5 x Q2 1.5 x 0.7 x Q1 1.5 x G2 1.3 x G1 Carico neve Carico di esercizio per locali suscettibili di affollamento (4kN/mq) 1.5 x Q1 Carico di esercizio per abitazioni (2kN/mq) 1.5 x G2 1.5 x Q1 1.5 x G2 1.3 x G1 1.3 x G1 Carico permanente non strutturale Carico permanente strutturale

35 3) STATO LIMITE ULTIMO Le combinazioni di carico F d = H 1 + H 2 + G 1 + G 2 + ψ 2i Q k1 H2 = 0.1 x (G1 + G2+ ψ2i x Qk1) H1 = 0.05 x (G1 + G2+ ψ2i x Qk1) Ψ2i x Q1 G2 G1 Ψ2i x Q1 G2 G1 Ψ2i x Q1 G2 G1 Carico di esercizio per locali suscettibili di affollamento (4kN/mq) Carico di esercizio per abitazioni (2kN/mq) Carico permanente non strutturale Carico permanente strutturale

36 4) STATO LIMITE ULTIMO Le combinazioni di carico F d = H 1 + H 2 + G 1 + G 2 + ψ 2i Q k1 H2 = 0.1 x (G1 + G2+ ψ2ixqk1) H1 = 0.05 x (G1 + G2+ ψ2ixqk1) Ψ2i x Q1 G2 G1 Ψ2i x Q1 G2 G1 Ψ2i x Q1 G2 G1 Carico di esercizio per locali suscettibili di affollamento (4kN/mq) Carico di esercizio per abitazioni (2kN/mq) Carico permanente non strutturale Carico permanente strutturale

37 LA TRAVE A GINOCCHIO Schema costruttivo della scala con trave a ginocchio Reazioni vincolari dei gradini Carichi applicati alla trave 37

38 Gradini a sbalzo portati da una trave a ginocchio Progetto dei gradini Considerando il vincolo d incastro ogni gradino, o gruppo di gradini, può essere considerato come una mensola indipendente soggetta ad un carico uniformemente distribuito (peso proprio, carichi permanenti e accidentali) e ad un eventuale carico puntuale applicato alla sua estremità libera (parapetto) p = 25-35cm Pp,NST a = 15-18cm n c c h pl n s = 4-6cm l = 1.2 m PP,ST Pa FNST 38

39 Gradini a sbalzo portati da una trave a ginocchio Considerando la geometria dei gradini si intuisce che l asse di sollecitazione del momento non coincide con l asse principale d inerzia della sezione e che, quindi, si è in presenza di flessione deviata. Tuttavia, in virtù della presenza della soletta di collegamento, la scala può inflettersi essenzialmente ruotando intorno ad un asse che tende ad avere la stessa inclinazione della rampa. Piedata 35 cm Tutto il problema può essere semplificato progettando e verificando la sezione per la componente del momento secondo l angolo α Alzata 15 cm granito a = 23.2 l0 = 1 m 3 cm l = 109 cm 3 cm lv = 45 cm 39

40 Gradini a sbalzo portati da una trave a ginocchio Pp,NST PP,ST Pa FNST Il carico accidentale previsto dalla Normativa (D.M. 14/01/2008 tab 3.1.II) per scale è Pa =4 kn/m 2. Assumiamo che il peso del parapetto sia di FNST = 300N. q l + F NST ql² 2 + F NST l l = 1.2 m V F NST M Conoscendo i carichi possiamo calcolare le sollecitazioni sulla fascia di un metro di gradini Il momento torcente da applicare lungo l asse della trave a ginocchio è pari al valore del momento flettente all incastro moltiplicato per il cosα 40

41 Gradini a sbalzo portati da una trave a ginocchio l = 1.2 m Pp,NST PP,ST Pa FNST F d = γ g1 G 1 + γ g2 G 2 + γ q Q k = =1.3 (P P,ST ) P P,NST P a = = 1.3 (1.24) (2.4) = 12.4kN/m V sd = F d l + F NST 1.5 = = = 12.8kN q l + F ql² 2 + F l V F M M sd = F d l 2 / 2 + F NST = = ( )/ = 9.5 knm Il momento torcente da applicare lungo l asse della trave a ginocchio è: M d =M sd cosα=9.5 cos 23.2=8.7kNm 41

42 Progetto di un telaio piano in c.a. Analisi delle sollecitazioni DIAGRAMMA DEL MOMENTO FLETTENTE

43 Progetto di un telaio piano in c.a. Analisi delle sollecitazioni DIAGRAMMA DEL TAGLIO Prof. A. Masi

44 Progetto di un telaio piano in c.a. Analisi delle sollecitazioni DIAGRAMMA DEL MOMENTO TORCENTE

45 TRASLAZIONE DEL DIAGRAMMA DEI MOMENTI La normativa (D.M. 14/01/2008, p ) impone un unica correzione sul diagramma d inviluppo dei momenti delle travi dovuta all interazione tra il momento flettente ed il taglio La norma dice che, per gli elementi armati a taglio, le armature longitudinali devono essere progettate su un diagramma dei momenti traslato di una quantità a 1 nella direzione che dà luogo ad un aumento del valore assoluto del momento flettente: a 1 = 0.9 d (cotθ cotgα)/2 0 dove α è l angolo d inclinazione delle armature a taglio e θ è l angolo di inclinazione delle bielle compresse.

46 TRASLAZIONE DEL DIAGRAMMA DEI MOMENTI Adottando staffe come armature a taglio si ha: α = 90 cotgα = 0 Il valore dell angolo θ sarà valutato analiticamente in seguito. Come dato di partenza si può assumere il valore limite indicato dalla normativa: cotθ = 2.5 θ= 21.8 Per quanto riguarda il copriferro si assume d = 3 cm Nell esempio, la trave è alta 55cm (d = 55-3 = 52cm) Si avrà quindi: a 1 = = 117cm

47 PRESCRIZIONI DI NORMATIVA ARMATURE LONGITUDINALI La normativa ( ) fornisce alcune indicazioni sulla quantità minima di armatura longitudinale delle travi. Alle estremità delle travi deve essere disposta un armatura inferiore, convenientemente ancorata, in grado di assorbire allo stato limite ultimo uno sforzo di trazione pari al taglio Vd. A s,min =V d / f yd

48 PRESCRIZIONI DI NORMATIVA ARMATURE LONGITUDINALI La percentuale di armatura, in zona tesa o compressa non deve superare il seguente limite: A s,max = 0.04 A c dove A c è l area della sezione In zona tesa l area dell armatura minima deve essere pari a: A s,min f = 0.26 f ctm yk b t d dove b t è la larghezza media della zona tesa b t d

49 PROGETTO ARMATURE LONGITUDINALI DELLE TRAVI I dati delle travi riportate nell esempio sono: H = 55cm b t = 30 cm d = 3 cm d = 52 cm A c = 1560 cm 2 La trave ha staffe a due braccia quindi si avranno, come minimo, 2 correnti inferiori e 2 correnti superiori L area minima di armatura nelle zone tese deve essere: A A s,min s,min f = 0.26 f ctm yk = b b t t d d = = = = 1.98cmq 2.02cmq A s, min = 2.02cmq

50 PROGETTO ARMATURE LONGITUDINALI DELLE TRAVI Infine, l armatura minima in una generica sezione deve essere in grado di assorbire il momento flettente di calcolo A s,min =M d / (0.9 d f yd ) con A s,min area minima di ferro, M d = momento di calcolo espresso, d = altezza utile della sezione d = H d ( d = copriferro) f yd = resistenza di calcolo dell acciaio ATTENZIONE: nel dimensionamento si deve tenere in conto che la dimensione del copriferro e dell interferro devono essere tali da garantire un getto compatto consentendo il passaggio degli inerti

51 MOMENTO RESISTENTE DI UNA SEZIONE DIAGRAMMA DEI MOMENTI RESISTENTI ULTIMI Mrd (4Ø20) Mrd (2Ø20) Mrd (2Ø16) Mrd (3Ø16) Mrd (5Ø16)

52 PROGETTO DELLE ARMATURE LONGITUDINALI DISPOSIZIONE DEI FERRI 2Ø20 2Ø20 1Ø16 1Ø16 2Ø16 2Ø16

53 L ancoraggio delle barre fctk = 0.7 x fctm = 1.54N/mmq fbd = 2.31N/mmq

54 LUNGHEZZA DI ANCORAGGIO Ipotesi di ripartizione uniforme delle tensioni tangenziali di aderenza in zone di calcestruzzo compatto f bd =2.25 f ctk /γ c aderenza migliorata [NOTA: fctk = 0.7 fctm] Tenendo conto dell equilibrio tra la forza di trazione nella barra e la risultante delle tensioni tangenziali lungo il suo perimetro si può calcolare la lunghezza di ancoraggio come: L b =(f yd Φ) / 4f bd L b non può comunque essere inferiore a 20 Φ o 15 cm. Spesso, si approssima L b =40 Φ

55 PROGETTO DELLE ARMATURE LONGITUDINALI LUNGHEZZE DI ANCORAGGIO 2Ø20 2Ø20 1Ø16 1Ø16 2Ø16 2Ø16

56 Verifiche a flessione semplice Sezione B. Ipotizziamo che la regione sia la 2 a.n. c =< x < xlim; ψ = 0.809; λ = x 0.35% d 0.35% + ε lim = = = yd 341.4mm 4Ø20 B=30cm εs εsy F (acciaio teso) x H d=52cm x lim C 0.41 x 2Ø % C fcd

57 Verifiche a flessione semplice La posizione dell asse neutro è valutata imponendo l equilibrio alla traslazione delle risultanti di compressione e di trazione: (A A ) f ' ' s s yd ( ) N Rd = B ψ x fcd As fyd + As fyd = 0 x = = = 117< 341mm= B ψ fcd !!bisogna verificare l ipotesi di acciaio compresso snervato!! x lim 4Ø20 B=30cm εs F (acciaio teso) H d=52cm x x lim C 0.41 x 2Ø % C fcd

58 Verifiche a flessione semplice Dalla similitudine dei triangoli definiti dalla posizione dell asse neutro e dal valore delle deformata del cls e dell acciaio compresso risulta: x x c = εs ε s (117 30) = 117 = = 0.26% Il limite di deformazione in corrispondenza dello snervamento è: f ε < ε yd yd = = = = 0.183% Es s acciaio compresso snervato 4Ø16 B=30cm εs F (acciaio teso) H d=52cm x x lim C 0.41 x 2Ø % C fcd

59 M Rd = B ψ x f cd Verifiche a flessione semplice Il valore del momento resistente è valutato imponendo l equilibrio alla rotazione delle risultanti di trazione e di compressione rispetto a qualsiasi asse (es: H/2): ' ( H 2 λ x ) + A f ( H 2 c' ) + A f ( H 2 c) s yd s yd M Rd ( ) ( ) ( 275 ) = = = Nmm= 234kNm > 208kNm = Msd verificato Il momento resistente risulta maggiore di quello agente: LA SEZIONE è VERIFICATA

60 VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TAGLIO ELEMENTI CON ARMATURE TRASVERSALI RESISTENTI A TAGLIO La verifica allo SLU per elementi con armature trasversale resistente a taglio è soddisfatta se: VRd VEd dove VEd è il valore dello sforzo di taglio agente e VRd è il taglio resistente pari al mimino tra il valore del taglio compressione VRcd e taglio trazione VRsd : VRd = min (VRcd; VRsd) 60

61 VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TAGLIO ELEMENTI CON ARMATURE TRASVERSALI RESISTENTI A TAGLIO Taglio compressione La resistenza delle bielle compresse di cls si valuta attraverso la seguente espressione: V Rcd = 0.9 d b w α C f ' cd (cot α + cot θ) /(1 + cot 2 θ) bw è la larghezza minima della sezione; d è l altezza utile della sezione; α angolo di inclinazione dell armatura trasversale rispetto all asse della trave; f 'cd resistenza a compressione ridotta del calcestruzzo d anima ( f 'cd = 0,5 fcd ); θ angolo di inclinazione delle bielle di cls 1 cot θ 2.5 αc coefficiente maggiorativo pari a: 1 per membrature non compresse 1 + σcp/fcd 0 σcp < 0.25fcd 1, fcd σcp 0.5fcd 2,5(1 - σcp/fcd) 0.5fcd < σcp < fcd σcp è la tensione media di compressione della sezione; 61

62 VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TAGLIO ELEMENTI CON ARMATURE TRASVERSALI RESISTENTI A TAGLIO Taglio trazione La resistenza delle armature trasversali si valuta attraverso la seguente espressione: V Rsd Asw d s α f yd θ Asw = 0.9 d f yd (cot α + cot θ) senα s è l area dell armatura trasversale; è l altezza utile della sezione; interasse tra due armature trasversali consecutive; angolo di inclinazione dell armatura trasversale rispetto all asse della trave; resistenza di calcolo dell acciaio; angolo di inclinazione delle bielle di cls 1 cot θ

63 PROGETTO DELLE STAFFE staffatura minima: Asw = 1.5 x bw = 1.5 x 300 = 450mmq/m Minimo 3 staffe per metro Passo staffa massimo 0.8 x d = s = 220mm s = 330mm s = 416mm smin = 220mm 63

64 PROGETTO DELLE STAFFE Esempio: progetto e verifica per taglio della trave B-C = VRd,min

65 VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TAGLIO FASE DI PROGETTO 1) Controllo che Vsd VRcd(cotθ=1) 2) Determinazione del valore cotθ 3) Controllo del rispetto dei limiti di normativa: 1 cot θ 2.5 4) Calcolo dell armatura a taglio 5) Controllo dei minimi di armatura da normativa FASE DI VERIFICA 1) Determinazione del valore di cotθ 2) Controllo del rispetto dei limiti di normativa: 1 cotθ 2.5 3) Calcolo del taglio resistente Vrd della sezione 4) Confronto taglio resistente taglio di calcolo VRd(min) VSd 65

66 Il Progetto delle armature Per la progettazione delle armatura si procedere secondo il seguente schema: V < Rcd(cotθ= 1) No V Sd Sì Si deve ri-progettare la sezione geometrica o utilizzare un cls di resistenza maggiore. Caso 1 V V Rcd cot 1.0 Sd V θ= Rcd cot θ= 2.5 Sì Vedi caso 2 No V Sd < V Rcd cot θ= 2.5 Sì Vedi caso 3

67 Il Progetto delle armature Caso 2. V V Rcd cot 1.0 Sd V θ= Rcd cotθ= 2.5 Il valore della cotθ è valutato attraverso l uguaglianza tra il taglio agente VSd e quello resistente del cls VRcd (taglio compressione ) : V Rcd = V Sd cot θ = f (V Sd,d,b w, α C,f ' cd,cot α) Noto il valore di cotθ l armatura a taglio è determinata attraverso l uguaglianza tra il taglio agente VSd e quello resistente trazione VRsd, dove l unica incognita è il rapporto Asw/s. A s sw = 0.9 d f yd VSd (cot α + cot θ) senα Asw s è l area dell armatura trasversale interasse tra due armature trasversali consecutive

68 Il Progetto delle armature Caso 3. V Sd < V Rcd cot θ= 2.5 Il progetto dell armatura a taglio (rapporto Asw/s) viene eseguito imponendo l uguaglianza tra il taglio agente VSd e quello resistente dell armatura VRsd (taglio trazione ) in corrispondenza di cotθ = 2.5 : 0.9d VSd = V = Asw f yd senα (cot α + 2.5) Rsd cot θ= 2.5 s A s sw = 0.9 d f yd VSd (cot α + 2.5) senα Asw s è l area dell armatura trasversale interasse tra due armature trasversali consecutive

69 VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TAGLIO FASE DI PROGETTO ESEMPIO: DATI DI PROGETTO DELLA TRAVE B-C - Vsd = kN; - d = 520mm; - bw = 300mm; - αc = 1; - f 'cd = 0,5 fcd = 5.85N/mmq; -cotα = 0 (ipotesi di utilizzo staffe α = 90 ) Controllo della resistenza massima del cls V Rcd (cot θ = 1) V Sd V (cot θ = 1) = kN = Rcd V Sd Se la verifica non è soddisfatta bisogna definire una nuova geometria della sezione ovvero adottare un cls più resistente

70 Il Progetto delle armature Controllo Caso 2 V V Rcd cot 1.0 Sd V θ= Rcd cotθ= kN = V VSd V cotθ= 1.0 Rcd cotθ= 2. 5 Rcd = 322.8kN La sezione in esame non rientra nel Caso 2 Controllo del Caso 3 V = 280.7kN < VRcd cot = 2. 5 Sd = 322.8kN θ Caso 3

71 Il Progetto delle armature Caso 3. V Sd < V Rcd cot θ= 2.5 Il progetto dell armatura a taglio (rapporto Asw/s) viene eseguito imponendo l uguaglianza tra il taglio agente VSd e quello resistente dell armatura VRsd (taglio trazione ) in corrispondenza di cotθ = 2.5 : 0.9d VSd = V = Asw f yd senα (cot α + 2.5) Rsd cot θ= 2.5 s A s V 0.9 d f yd sw Sd = = = 0.61 Ipotizzando l uso di staffe Ø8 a due braccia (Asw=2x0.5cmq) si ha: Asw 2 50 s = = = 163.9mm Passo = 15cm

72 VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TAGLIO FASE DI VERIFICA 1) Calcolo del taglio resistente Il valore del taglio resistente è dato dal valore minimo tra il taglio compressione e il taglio trazione. VRd = min (VRcd; VRsd) La verifica deve essere effettuata per ogni sezione con l armatura effettiva. Questo comporta la determinazione del valore cotθ in questa nuova configurazione. Tale valore è prodotto uguagliando il valore del taglio compressione e taglio trazione. V Rcd = V Rsd cot θ = ' s bw αc fcd A f senα sw yd 1 72

73 VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TAGLIO Il valore cotθ deve rispettare i limiti prescritti dalla normativa. Quindi si possono avere tre casi: caso 1): 1 cot θ 2.5 V = V = Rd Rcd V Rsd caso 2): caso 3): cot θ > 2.5 VRd = min(vrsd cot θ= 2.5;VRcd cot θ= 2. 5) cot θ < 1 VRd = min(vrsd cot θ= 1.0;VRcd cot θ= 1. 0) Nell esempio in svolgimento si ha che: V Rcd = V Rsd cot θ = 2.57 > 2.5 caso2 V Rcd = 306.8kN VRd = min(vrsd; VRsd) = 306.8kN > kn = VSd 73

74 PROGETTO DEI PILASTRI ARMATURE LONGITUDINALI DI UN PILASTRO Prescrizioni normative Nei pilastri soggetti a compressione centrata o eccentrica deve essere disposta un armatura longitudinale di sezione non minore di A s,min 0.10 N sd / f yd Dove N sd è la forza normale per combinazione di carico per SLU L armatura totale del pilastro deve avere sezione compresa tra 0.3% A c A s 4% A c dove A c è l area della sezione in calcestruzzo

75 PROGETTO DEI PILASTRI ARMATURE LONGITUDINALI E TRASVERSALI Prescrizioni normative Diametro delle barre longitudinali non minore di 12 mm con interasse non minore di 300 mm Staffatura posta ad interasse non maggiore di: s min =min(12φ l ; 25 cm) dove Φ l è il diametro più piccolo dei ferri longitudinali adottati per armare il pilastro Diametro delle staffe non minore di 6 mm e di 1/4 del diametro massimo delle barre longitudinali

76 Utilizzo dei domini M N per progetto-verifica Le dimensioni della sezione sono note Si costruiscono i domini M-N per diverse quantità di armatura. Si riporta sul diagramma il punto di coordinate (N Sd, M Sd ) delle sezioni maggiormente sollecitate valutate per tutte le combinazioni di carico considerate Si determina la quantità di armatura necessaria M Nsd; Msd (comb1) A s =A s = 2 φ 18 cm 2 A s =A s = 2 φ 16 cm 2 A s =A s = 2 φ 14 cm 2 A s =A s = 2 φ 12 cm 2 A s =A s = 2 φ 10 cm N

77 Domini M N allo Stato Limite Ultimo Per ogni pilastro devono essere riportate le coordinate N,M delle sezioni di testa e alla base (N Sd, M Sd ) punto ESTERNO al dominio SEZIONE NON VERIFICATA (N Sd, M Sd ) punto INTERNO al dominio SEZIONE VERIFICATA

78 REGOLE PRATICHE DI PROGETTAZIONE PER I PILASTRI L interasse tra le barre longitudinali non deve essere superiori a 30 cm anche lungo i lati meno sollecitati del pilastro. Per evitare problemi d instabilità delle barre longitudinali è bene prevedere dei ganci supplementari quando il lato della staffa è troppo lungo 40 6Ø Ø16

79 REGOLE PRATICHE DI PROGETTAZIONE PER I PILASTRI In alcuni casi, soprattutto in zona sismica, quando si desidera non solo garantire la stabilità dei ferri longitudinali ma anche la duttilità e il confinamento del calcestruzzo della sezione, invece dei ganci vengono usati anche due o più staffe

80 REGOLE PRATICHE DI PROGETTAZIONE PER I PILASTRI Rastremazione dei pilastri per dimensioni superiori o inferiori ai 10 cm Nella modalità di rastremazione per riseghe di dimensioni inferiori a 10 cm è importante prevedere delle staffe più consistenti in corrispondenza della piegatura al fine di assorbire le componenti di forza trasversale che nascono per il cambiamento di direzione del ferro teso

81 LA TRAVE A GINOCCHIO Schema costruttivo della scala con trave a ginocchio Reazioni vincolari dei gradini Carichi applicati alla trave 81

82 Gradini a sbalzo portati da una trave a ginocchio Progetto dei gradini Considerando il vincolo d incastro ogni gradino, o gruppo di gradini, può essere considerato come una mensola indipendente soggetta ad un carico uniformemente distribuito (peso proprio, carichi permanenti e accidentali) e ad un eventuale carico puntuale applicato alla sua estremità libera (parapetto) p = 25-35cm Pp,NST a = 15-18cm n c c h pl n s = 4-6cm l = 1.2 m PP,ST Pa FNST 82

83 Gradini a sbalzo portati da una trave a ginocchio Considerando la geometria dei gradini si intuisce che l asse di sollecitazione del momento non coincide con l asse principale d inerzia della sezione e che, quindi, si è in presenza di flessione deviata. Tuttavia, in virtù della presenza della soletta di collegamento, la scala può inflettersi essenzialmente ruotando intorno ad un asse che tende ad avere la stessa inclinazione della rampa. Piedata 35 cm Tutto il problema può essere semplificato progettando e verificando la sezione per la componente del momento secondo l angolo α Alzata 15 cm granito a = 23.2 l0 = 1 m 3 cm l = 109 cm 3 cm lv = 45 cm 83

84 Gradini a sbalzo portati da una trave a ginocchio Pp,NST PP,ST Pa FNST Il carico accidentale previsto dalla Normativa (D.M. 14/01/2008 tab 3.1.II) per scale è Pa = 4 kn/m 2. Assumiamo che il peso del parapetto sia di FNST = 300N. q l + F NST ql² 2 + F NST l l = 1.2 m V F NST M Conoscendo i carichi possiamo calcolare le sollecitazioni sulla fascia di un metro di gradini Il momento torcente da applicare lungo l asse della trave a ginocchio è pari al valore del momento flettente all incastro moltiplicato per il cosα 84

85 Gradini a sbalzo portati da una trave a ginocchio l = 1.2 m Pp,NST PP,ST Pa FNST F d = γ g1 G 1 + γ g2 G 2 + γ q Q k = =1.3 (P P,ST ) P P,NST +1.5 P a = = 1.3 (1.24) (2.4) = 12.4kN/m V sd = F d l + F NST 1.5 = = = 12.8kN q l + F ql² 2 + F l V F M M sd = F d l 2 / 2 + F NST = = ( )/ = 9.5 knm Il momento torcente da applicare lungo l asse della trave a ginocchio è: M d =M sd cosα=9.5 cos 23.2=8.7kNm 85

86 REGOLE PRATICHE DI PROGETTAZIONE PER LA SCALA Il minimo di armature tesa da disporre è pari a: A s,min fctm = 0.26 bt d bt d A 71.6mmq f f 1 = yk L armatura necessaria per il momento flettente è valutata attraverso: A f2 = M d /(0.9d f yd ) = 5.2*10^6 / ( )=101mm 2 = 1.01 cm 2 Scegliamo la massima tra le due quantità: A f = MAX (A f1 ; A f2 )=1.01 cm 2 Trasformando l area in tondini di ferro, disponiamo una barra Φ12 nella parte superiore della sezione per portare il momento pari a Af (Φ12)=1.13 cm 2. Disponiamo un altra barra Φ12 nella parte inferiore come reggi staffa Disponiamo un armatura di ripartizione della soletta costituita da una rete elettrosaldata di Φ8/20 86

87 REGOLE PRATICHE DI PROGETTAZIONE PER LA SCALA Esempi di armatura longitudinale a flessione del gradino 87

88 REGOLE PRATICHE DI PROGETTAZIONE PER LA SCALA Armatura longitudinale a flessione del gradino La scala con gradini portanti può essere vista e progettata come una soletta in c.a., e quindi in virtù di quanto previsto dalla normativa su solai e solette piene. può non essere armata a taglio. Le staffe, quindi hanno solo una funzione costruttiva, vengono disposte a distanze di circa cm e l armatura di ripartizione della soletta mantiene lo stesso passo. Dovendo calcolare il valore del taglio resistente viene utilizzata la nota espressione impiegata per il solaio utilizzando come altezza utile h assieme ad una base equivalente Armatura trasversale Armatura a flessione 88

89 VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TORSIONE La verifica dello SLU per sollecitazioni di torsione è soddisfatta se: TRd TEd dove TEd è il valore dello sforzo di torsione agente e TRd è la torsione resistente pari al mimino tra il valore della resistenza delle bielle di cls compresse TRcd, delle barre longitudinali TRld e delle armature trasversali TRsd tese: TRd = min (TRcd; TRld; TRsd)* * La verifica è riferita a sezioni prismatiche cave o piene il cui schema resistente è riconducibile a un traliccio periferico in cui gli sforzi di trazione sono affidati alle armature longitudinali e trasversali ivi contenute e gli sforzi di compressione sono affidati alle bielle di calcestruzzo. 89

90 S.L.U. TORSIONE (NTC2008) Momento torcente resistente delle bielle di calcestruzzo (TRcd) La resistenza delle bielle si calcola attraverso la seguente espressione: T Rcd ' = 2 A t fcd cot θ /(1 + cot θ) t 2 c t = A c /u 2c è lo spessore della sezione cava; A c = b x H è l area della sezione; um u m è il perimetro medio della sezione; A area racchiusa entro la fibra media del perimetro della sezione; f cd f' cd resistenza a compressione ridotta del calcestruzzo d anima (f ' cd = 0,5 f cd ); θ angolo di inclinazione delle bielle di cls con limitazione A b 0.4 cot θ 2.5 H NOTA: la tensione del cls è ridotta perché le bielle sono presso-inflesse

91 S.L.U. TORSIONE (NTC2008) Momento torcente resistente delle armature trasversali e longitudinali (TRsd, TRld) La resistenza delle armature trasversali si calcola attraverso la seguente espressione: T Rsd As = 2 A f yd cot θ s La resistenza delle armature longitudinali si calcola attraverso la seguente espressione: T Rld A = 2 A u sl m f yd 1 cot θ t = A c /u è lo spessore della sezione cava, Ac è l area e u il perimetro; A s è l area della staffa; um è il perimetro medio del nucleo resistente, s passo delle staffe; A sl area complessiva delle barre longitudinali; A area racchiusa nel perimetro medio della sezione cava θ angolo di inclinazione delle bielle di cls con la limitazione 0.4 cot θ 2.5

92 VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TORSIONE COMPORTAMENTO A ROTTURA DELLE SEZIONI Nelle sezioni in c.a. sottoposte a torsione sono possibili 3 diverse condizioni di verifica: Snervamento simultaneo delle armature (staffe + barre longitudinali) Rottura delle bielle di cls e contemporaneo snervamento delle staffe Rottura delle bielle di cls e contemporaneo snervamento delle barre longitudinali

93 VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TORSIONE Esempio: progetto per torsione trave Diagramma della sollecitazione di torsione H b t c DATI DI PROGETTO t = Ac/u = 1800/180 = 10cm Ac = b x H = 30 x 60 = 1800cmq u = 2 x ( ) = 180cm A = ((30 10) x (60-10)) = 1000cmq f cd = 5.85N/mmq (fcd = 11.7N/mmq) TSd = 26.5kNm c = 3cm um = 2 x ((30 10) + (60 10)) = 140cm 93

94 VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TORSIONE PROGETTO PER TORSIONE Per il progetto dell armatura resistente a torsione può essere realizzato un diagramma riportante la funzione della torsione resistente del cls (TRcd) e le funzioni della torsione resistente delle barre longitudinali (TRld) e trasversali (TRsd) per diversi valori del rapporto di armatura (ωsw; ωsl) al variare del valore di cotθ. A tale scopo possono essere considerati tutti i punti di incontro tra le funzioni TRld e TRsd che ricadono entro i valori cotθ = 0.4 e cotθ = 2.5 e delimitati dai punti della funzione TRcd e del valore della torsione agente TSd ATTENZIONE: Se il valore della torsione agente TSd risulta essere maggiore del valore massimo della torsione resistente del cls TRcd (valutato per cotθ = 1) bisogna necessariamente definire una nuova geometria della sezione di cls ovvero utilizzare un cls di resistenza maggiore

95 VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TORSIONE θ=68.2 ω s =0.3 ω s =0.2 θ=21.8 ω s =0.1 torsione [knm] area di verifica soddisfatta Trd > Tsd ω s = ω l =0.1 ω l =0.2 ω l =0.3 ω l = cotθ ω s = A s f s t f yd cd ω l = u A m l f yd t f cd Trcd (300 x 600mm) Trsd Tsd Trld

96 VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TORSIONE PROGETTO PER TORSIONE Per l esempio in svolgimento si prende in considerazione il punto con ωsw = 0.1 e ωsl = 0.2. Il passo delle staffe e l area dell armatura corrispondente ai due valori assegnati è di seguito valutato: s = ω s A f s t f yd cd mm Passo staffe di verifica 150mm A ω u f t f l m cd l = = yd 830mmq Armatura longitudinale di verifica 6Ø16 (Asl = 6 x 201mmq = 1206mmq) ATTENZIONE: la verifica di sicurezza deve essere effettuata con il valore effettivo dell armatura disposta

97 PROGETTO DELLA TRAVE A GINOCCHIO Disposizione delle barre a torsione e a flessione La disposizione longitudinale delle barre a torsione si effettua allo stesso modo del momento flettente. Le uniche differenze stanno nel fatto che i ferri a torsione si sommano a quelli a flessione, e vengono disposti lungo il perimetro della sezione Ciò avviene non solo per un miglior funzionamento delle sezioni nei confronti della torsione, ma anche per la mancanza di spazio nella parte superiore e in quella inferiore delle sezioni delle travi. 97

98 PROGETTO DELLA TRAVE A GINOCCHIO Disposizione delle staffe a torsione e taglio Le staffe disposte per il taglio e per la torsione devono essere sommate, in modo tale che il passo sia sufficiente per sopportare contemporaneamente taglio e torsione Calcoliamo il rapporto tra l area delle staffe disposte per il taglio (lavorano con 2 braccia) ed il relativo passo: A swv /s Calcoliamo il rapporto tra l area delle staffe disposte per la torsione (lavorano con 1 braccio) e il passo necessario per portare la sola torsione: 2A swt /s La somma di questi due contributi rappresenta il rapporto tra l area totale delle staffe e il passo A swtot /s 98

99 PROGETTO DELLA TRAVE A GINOCCHIO TORSIONE E TAGLIO Per quanto riguarda la crisi lato calcestruzzo, la resistenza massima di una membratura soggetta a torsione e taglio è limitata dalla resistenza delle bielle compresse di calcestruzzo. La verifica è soddisfatta se risulta: T T Ed Rcd + V V Ed Rcd 1 ATTENZIONE: Per l angolo θ delle bielle compresse di conglomerato cementizio deve essere assunto un unico valore per le due verifiche di taglio e torsione. 99

100 S.L.U.: SOLLECITAZIONI COMPOSTE (NTC2008) TORSIONE, FLESSIONE E SFORZO NORMALE Le armature longitudinali calcolate come indicato per la resistenza nei riguardi della sollecitazione torcente devono essere aggiunte a quelle calcolate nei riguardi delle verifiche per flessione Si applicano inoltre le seguenti regole: - nella zona tesa all armatura longitudinale richiesta dalla sollecitazione di flessione e sforzo normale, deve essere aggiunta l armatura richiesta dalla torsione - nella zona compressa, se la tensione di trazione dovuta alla torsione è minore della tensione di compressione nel calcestruzzo dovuta alla flessione e allo sforzo normale, non è necessaria armatura longitudinale aggiuntiva per torsione