Esercizi sul moto rettilineo uniforme

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1 Liceo Carducci Volterra - Classe 3 a B Scientifico - Francesco Daddi - 4 ottobre 010 Esercizi sul moto rettilineo uniforme Esercizio 1. Un auto viaggia a 144 km/h. Quanti dm percorre in un minuto? Quanti mm percorre in un secondo? Quanto tempo impiega a percorrere 8 cm? Esercizio. Un treno lungo 150 metri entra in una galleria lunga 850 metri. Sapendo che impiega 5 s per uscire dalla galleria, si determini la velocità del treno. Esercizio 3. La polizia sta inseguendo un ladro che ha svuotato una salumeria; quest ultimo ha un vantaggio di km ma viaggia con un furgone poco performante (108 km/h), mentre la polizia lo segue a 144 km/h. Stabilire quanto dura l inseguimento e quanta strada ha percorso la polizia per acciuffare il malvivente. Esercizio 4. Anna e Bernardo sono fidanzati, ma purtroppo vivono a 50 km di distanza. Bernardo la va a trovare con l auto (90 km/h), mentre Anna gli va incontro con il motorino (37,8 km/h). Sapendo che i due partono contemporaneamente dalle loro case, stabilire dove si incontrano e quanto tempo hanno viaggiato. Esercizio 5. Billy è il cane di Paolo. Un giorno il cancello di casa viene lasciato inspiegabilmente aperto e Billy fugge via ad una velocità di 18 km/h. Paolo si accorge dell accaduto, per fortuna, dopo soli 90 secondi e, per riprenderlo, prende lo scooter mettendosi all inseguimento a 43, km/h. Stabilire quanto dura l inseguimento e quanta strada ha percorso Paolo per riprendere Billy. Esercizio 6. Beniamino (alto metri) cammina ad una velocità di 5 km/h quando passa sotto un lampione alto 7 metri. Sapresti dire qual è la velocità dell ombra della sua testa? Esercizio 7. Filippo percorre 6 km in 4 minuti e i successivi 10 km in 10 minuti. Qual èlasua velocità media? Esercizio 8. Carlo percorre 6 km a 80 km/h e i successivi 6 km a 10 km/h. Qual èlasuavelocità media? (Suggerimento: la risposta non è 100 km/h!) Esercizio 9. Alberto e Boris si sfidano sui 100 metri piani. Alberto vince tagliando il traguardo in 10 s (niente male!), mentre Boris è staccato di 5 metri. Decidono allora di fare un altra sfida; Boris vuole però, visto l esito precedente, che Alberto parta 5 metri dietro. Alberto accetta. Chi vincerà ora? Esercizio 10. Il professor Distratto si deve recare alla scuola dove insegna, distante 0 km dalla sua casa. Parte alle 7:0 dalla sua abitazione e viaggia a 7 km/h. Dopo 10 minuti dalla sua partenza, si ricorda che oggi ha una verifica di Fisica e il testo è rimasto a casa; fa quindi inversione di marcia e torna a casa viaggiando a 108 km/h; infine, dopo aver impiegato 15 minuti per cercare il testo del compito, riparte verso la scuola a 90 km/h. a) Costruisci il grafico posizione-tempo. b) Stabilisci se il professore entrerà in tempo a scuola (l entrata è alle 8:00).

2 Liceo Carducci Volterra - Classe 3 a B Scientifico - Francesco Daddi - 4 ottobre 010 Soluzione degli esercizi sul moto rettilineo uniforme Esercizio 1. Un auto viaggia a 144 km/h. Quanti dm percorre in un minuto? Quanti mm percorre in un secondo? Quanto tempo impiega a percorrere 8 cm? Soluzione. Convertiamo la velocità inm/s: quindi l auto 144 km h = km 1 h = m 3, s = 144 3, 6 m s =40m s in un minuto percorre 40 m s in un secondo percorre 40 m s 60 s = 400 m, ovvero 4000 dm ; 1 s =40m, ovvero mm ; per percorrere 8 cm (= 0, 08 m) impiega 0, 08 m 40 m =0, 00 s. s Esercizio. Un treno lungo 150 metri entra in una galleria lunga 850 metri. Sapendo che impiega 5 s per uscire dalla galleria, si determini la velocità del treno. Soluzione. 150 m m v treno = = 1000 m =40 m 5 s 5 s s. Per saperne di più si consiglia di leggere il file seguente: Esercizio 3. La polizia sta inseguendo un ladro che ha svuotato una salumeria; quest ultimo ha un vantaggio di km ma viaggia con un furgone poco performante (108 km/h), mentre la polizia lo segue a 144 km/h. Stabilire quanto dura l inseguimento e quanta strada ha percorso la polizia per acciuffare il malvivente. Soluzione. Le due leggi orarie sono: x ladro = t ; x polizia =40t per rispondere alle domande del problema è sufficiente risolvere il seguente sistema: x = t x =40t x = t t =40t x = 8000 m t = 00 s dunque l inseguimento dura 00 secondi (3 minuti e 0 secondi) e la strada percorsa dalla polizia è 8000 m, ovvero 8 km. Esercizio 4. Anna e Bernardo sono fidanzati, ma purtroppo vivono a 50 km di distanza. Bernardo la va a trovare con l auto (90 km/h), mentre Anna gli va incontro con il motorino (37, 8 km/h). Sapendo che i due partono contemporaneamente dalle loro case, stabilire dove si incontrano e quanto tempo hanno viaggiato. Soluzione. Le due leggi orarie sono: x Anna =10, 5 t ; x Bernardo = t per risponedere alle domande del problema è sufficiente risolvere il seguente sistema: x =10, 5 t x = t x =10, 5 t 10, 5 t = t x m t 1408 s dunque i due fidanzati si incontrano a circa 14,8 km di distanza dalla casa di Anna, dopo circa 3 minuti e mezzo.

3 Esercizio 5. Billy è il cane di Paolo. Un giorno il cancello di casa viene lasciato inspiegabilmente aperto e Billy fugge via ad una velocità di 18 km/h. Paolo si accorge dell accaduto, per fortuna, dopo soli 90 secondi e, per riprenderlo, prende lo scooter mettendosi all inseguimento a 43, km/h. Stabilire quanto dura l inseguimento e quanta strada ha percorso Paolo per riprendere Billy. Soluzione. La legge oraria di Billy è x Billy =5t mentre per quanto riguarda la legge oraria di Paolo abbiamo per 0 s t 90 s x Paolo =0 per t 90 s x Paolo = 1(t 90) per risolvere il problema è sufficiente risolvere il seguente sistema: x =5t x = 1(t 90) x =5t 5 t = 1(t 90) x 771 m t 154 s Paolo ha percorso 771 metri per riprendere Billy; l inseguimento è durato, circa 154 s 90 s =64s (si osservi, infatti, che l inseguimento inizia dal momento in cui Paolo parte con lo scooter, ovvero dopo 90 secondi dalla fuga di Billy). Esercizio 6. Beniamino (alto metri) cammina ad una velocità di 5 km/h quando passa sotto un lampione alto 7 metri. Sapresti dire qual è la velocità dell ombra della sua testa? Soluzione. La figura 1 illustra molto chiaramente la situazione: per similitudine dei triangoli rettangoli AOM e ADB abbiamo: inserendo i dati del problema troviamo: x H = x 1 H h x = H H h x 1 v ombra = H H h v Beniamino v ombra = 7 m 7 m m 5 km h =7km h. 1 presa a pag. 165 del libro di S. M. Targ, Elementi di Meccanica Teorica, Edizioni MIR, Mosca 1974

4 Esercizio 7. Filippo percorre 6 km in 4 minuti e i successivi 10 km in 10 minuti. Qual è la sua velocità media? Soluzione. La velocità media (in m/s) si ottiene nel modo seguente: v media = 6000 m m 40 s s = m 840 s 19 m s. Esercizio 8. Carlo percorre 6 km a 80 km/h e i successivi 6 km a 10 km/h. Qual è la sua velocità media? Soluzione. La velocità media (in m/s) si ottiene nel modo seguente: v media = 6000 m m 6000 m m 80 m 10 m 3, 6 s 3, 6 s 6, 7 m s ( 96 km h ). Esercizio 9. Alberto e Boris si sfidano sui 100 metri piani. Alberto vince tagliando il traguardo in 10 s(niente male!), mentre Boris è staccato di 5 metri. Decidono allora di fare un altra sfida; Boris vuole però, visto l esito precedente, che Alberto parta 5 metri dietro. Alberto accetta. Chi vincerà ora? Soluzione. Dai dati del problema abbiamo: v Alberto = 100 m 10 s =10m s ; v Boris = 95 m 10 s =9, 5 m s ; nella seconda sfida Alberto impiega 105 m 10 m =10, 50 s a tagliare il traguardo, mentre Boris ci impiega 100 m 9, 5 m s s 10, 53 s. Alberto vince anche stavolta! Esercizio 10. Il professor Distratto si deve recare alla scuola dove insegna, distante 0 km dalla sua casa. Parte alle 7:0 dalla sua abitazione e viaggia a 7 km/h. Dopo 10 minuti dalla sua partenza, si ricorda che oggi ha una verifica di Fisica e il testo è rimasto a casa; fa quindi inversione di marcia e torna a casa viaggiando a 108 km/h; infine, dopo aver impiegato 15 minuti per cercare il testo del compito, riparte verso la scuola a 90 km/h. a) Costruisci il grafico posizione-tempo. b) Stabilisci se il professore entrerà in tempo a scuola (l entrata è alle 8:00). Soluzione. a) b) Sommiamo tutti i tempi: s + 7 m 3, 6 s s s m = 7000 s =45minuti m 90 m s 3, 6 s 108 3, 6 il professore arriva dunque con 5 minuti di ritardo. 3

5 Liceo Carducci Volterra - Classe 3 a B Scientifico - Francesco Daddi - 14 ottobre 010 Esercizi di preparazione alla verifica sul moto rettilineo uniforme Esercizio 1. Alberto e Biagio fanno una gara sui 00 metri piani. Si sa che Alberto corre in, mentre Biagio corre in 3,5. Alberto parte però 10 metri dietro a Biagio. Chi taglierà per primo il traguardo? Esercizio. Ferruccio ha calcolato che la sua velocità media sul percorso di 100 km che lo separano dalla casa della sua nonna è stata pari a 7 km/h. Sapendo che i primi 50 km li ha percorsi tenendo una velocità costante di 81 km/h, qual èlavelocità (anch essa costante) che ha tenuto negli ultimi 50 km? Esercizio 3. Fernando e Sebastian si sfidano sulla distanza di tre giri di pista; Fernando percorre i tre giri con le seguenti medie: 0 km/h, 3 km/h, 40 km/h. Sebastian, invece, fa registrare le seguenti medie: 5 km/h, 30 km/h, 38 km/h. Sai dire chi ha vinto? Esercizio 4. Il solito ladro 1 della salumeria stavolta può disporre di un mezzo più veloce del vecchio furgone: 16 km/h. La polizia (che dispone del solito mezzo a 144 km/h), parte all inseguimento e lo acciuffa dopo aver percorso 10 km. Si calcoli il vantaggio (in km) che il ladro aveva sulla polizia. Esercizio 5. Paolo e Francesca si devono incontrare per studiare un po di fisica; decidono di incontrarsi alla biblioteca comunale, distante 10 km dalla casa di Paolo e 5 km dalla casa di Francesca. I due partono contemporaneamente dalle rispettive case, però Paolo, arrivato a metà strada, si accorge di essersi dimenticato il libro e torna indietro a prenderlo. Sapendo che: Francesca è arrivata in 0 minuti; Paolo, arrivato a casa, ha impiegato minuti per prendere il libro; Paolo ha tenuto sempre la stessa velocità, ma è arrivato con 4 minuti di ritardo rispetto a Francesca; si determini la velocità di Paolo. Esercizio 6. Beatrice e Dante hanno litigato. Beatrice sale in auto (7 km/h) e torna a casa sua, distante 40 km. Dante resta un po a pensare, ma alla fine decide di andare verso di lei per fare pace. Sapendo che Dante viaggia a 108 km/h, quanto tempo può, al massimo, restare fermo se vuole incontrare Beatrice prima che lei rientri in casa? Esercizio 7. Anna e Bruno si vogliono incontrare lungo la strada che collega le loro case; Anna parte alle 15:0 con lo scooter (36 km/h), mentre Bruno parte più tardi ma viaggia in auto (90 km/h). Sapendo che i due si sono incontrati dopo 48 minuti dalla partenza di Anna e che la strada percorsa da Anna è il doppio della strada percorsa da Bruno, determinare la distanza tra le loro case e l orario di partenza di Bruno. Esercizio 8. Il professor Distratto ha invitato a cena la prof.ssa Precisina presso il ristorante Da Einstein, che si trova a 10 km da entrambe le loro due abitazioni; la prof.ssa Precisina parte da casa alle 19:30 e tiene una velocità di 7 km/h, mentre il professor Distratto parte un po in ritardo in quanto non riesce a trovare la sua carta di credito. Sapendo che la sua velocità sarà di 108 km/h e che i due arrivano contemporaneamente al ristorante, a che ora è partito da casa? 1 qui si fa riferimento all esercizio numero 3 del file

6 Liceo Carducci Volterra - Classe 3 a B Scientifico - Francesco Daddi - 14 ottobre 010 Soluzione degli esercizi di preparazione alla verifica sul moto rettilineo uniforme Esercizio 1. Alberto e Biagio fanno una gara sui 00 metri piani. Si sa che Alberto corre in, mentre Biagio corre in 3, 5. Alberto parte però 10 metri dietro a Biagio. Chi taglierà per primo il traguardo? Soluzione. La velocità di Alberto è 00 m s 9, 09 m s 3, 1 per tagliare il traguardo: Alberto vince la gara. ; nella sfida con Biagio, Alberto impiega 10 m 9, 09 m s Esercizio. Ferruccio ha calcolato che la sua velocità media sul percorso di 100 km che lo separano dalla casa della sua nonna è stata pari a 7 km/h. Sapendo che i primi 50 km li ha percorsi tenendo una velocità costante di 81 km/h, qual è la velocità (anch essa costante) che ha tenuto negli ultimi 50 km? Soluzione. Indicando con v la velocità che ha tenuto negli ultimi 50 km di strada, abbiamo: m m m m 81 m v 3, 6 s = 7 m 3, 6 s semplificando e svolgendo i calcoli algebrici abbiamo: v = 18 m s ; possiamo affermare, quindi, che Ferruccio ha tenuto negli ultimi 50 km una velocità di 18 m/s, ovvero di 64,8 km/h. Esercizio 3. Fernando e Sebastian si sfidano sulla distanza di tre giri di pista; Fernando percorre i tre giri con le seguenti medie: 0 km/h, 3 km/h, 40 km/h. Sebastian, invece, fa registrare le seguenti medie: 5 km/h, 30 km/h, 38 km/h. Sai dire chi ha vinto? Soluzione. Indicando la lunghezza del circuito con L (non occorre conoscere la lunghezza della pista!), calcoliamo le due velocità medie: v media(f ) = L 0 3, 6 3 L + L 3 3, 6 + L 40 3, 6 = 1 0 3, , , 6 3 = 3, , , 6 63, 99 m/s (30, 37 km/h) 40 v media(s) = L 5 3, 6 3 L + L 30 3, 6 + L 38 3, 6 la sfida viene vinta da Sebastian. = 1 5 3, , , 6 3 = 3, , , 6 64, 13 m/s (30, 88 km/h) 38

7 Esercizio 4. Il solito ladro 1 della salumeria stavolta può disporre di un mezzo più veloce del vecchio furgone: 16 km/h. La polizia (che dispone del solito mezzo con velocità di 144 km/h), parte all inseguimento e lo acciuffa dopo aver percorso 10 km. Si calcoli il vantaggio (in km) che il ladro aveva sulla polizia. Soluzione. Indichiamo con d il vantaggio del ladro; dal momento che il sistema x = d + 35 t x = 40 t è risolto per x = 10 km = m, dalla seconda equazione ricaviamo = 40 t t = 50 s (4 minuti e 10 secondi) ; per determinare, infine, il vantaggio iniziale d del ladro, basta sostituire i valori nella prima equazione: = d d = 150 m (1, 5 km). Esercizio 5. Paolo e Francesca si devono incontrare per studiare un po di fisica; decidono di incontrarsi alla biblioteca comunale, distante 10 km dalla casa di Paolo e 5 km dalla casa di Francesca. I due partono contemporaneamente dalle rispettive case, però Paolo, arrivato a metà strada, si accorge di essersi dimenticato il libro e torna indietro a prenderlo. Sapendo che: Francesca è arrivata in 0 minuti; Paolo, arrivato a casa, ha impiegato minuti per prendere il libro; Paolo ha tenuto sempre la stessa velocità, ma è arrivato con 4 minuti di ritardo rispetto a Francesca; si determini la velocità di Paolo. Soluzione. Poiché Francesca impiega 0 minuti per arrivare alla biblioteca, Paolo ci arriverà dopo 4 minuti dalla partenza di Francesca. Togliendo i minuti che ha impiegato in casa per prendere il libro, 10 km 10 km Paolo ha viaggiato per minuti, durante i quali ha percorso in totale km = 0 km; possiamo quindi determinare la velocità di Paolo: v P aolo = 0000 m 60 s 15, 15 m/s ( 54, 5 km/h). Si osservi che il dato dei 5 km (= distanza biblioteca - casa di Francesca) è superfluo. Esercizio 6. Beatrice e Dante hanno litigato. Beatrice sale in auto (7 km/h) e torna a casa sua, distante 40 km. Dante resta un po a pensare, ma alla fine decide di andare verso di lei per fare pace. Sapendo che Dante viaggia a 108 km/h, quanto tempo può, al massimo, restare fermo se vuole incontrare Beatrice prima che lei rientri in casa? Soluzione. Calcoliamo prima di tutto quanto tempo impiega Beatrice per tornare a casa: t Beatrice = m 7 m 3, 6 s = 000 s ; 1 qui si fa riferimento all esercizio numero 3 del file

8 Dante, invece, una volta partito, per arrivare a casa di Beatrice impiega: t Dante = m 1333, 3 s ; 108 m 3, 6 s dai risultati ottenuti si capisce che Dante può partire, al massimo, dopo ( , 3)s 666, 7 s (11 minuti e 7 secondi). Esercizio 7. Anna e Bruno si vogliono incontrare lungo la strada che collega le loro case; Anna parte alle 15:0 con lo scooter (36 km/h), mentre Bruno parte più tardi ma viaggia in auto (90 km/h). Sapendo che i due si sono incontrati dopo 48 minuti dalla partenza di Anna e che la strada percorsa da Anna è il doppio della strada percorsa da Bruno, determinare la distanza tra le loro case e l orario di partenza di Bruno. Soluzione. (Primo metodo) In 48 minuti Anna ha percorso 36 m s = 8800 m 3, 6 s sappiamo che la strada percorsa da Bruno è la metà della strada percorsa da Anna, quindi Bruno ha percorso 8800 m = m ; la distanza tra le loro case è dato dalla somma delle strade percorse: distanza tra le loro case = 8800 m m = 4300 m. Determiniamo ora l ora di partenza di Bruno: per percorrere m, Bruno ha impiegato m = 576 s 90 m 3, 6 s Bruno è partito, dunque, dopo (48 60 s 576 s) = 304 s (38 minuti e 4 secondi) dalla partenza di Francesca; in definitiva, Bruno è partito alle 15:40 e 4 secondi. (Secondo metodo) Indicando con d la distanza delle loro case e con t 0 l istante in cui parte Bruno, scriviamo le due leggi orarie: x Anna = 10 t ; x Bruno = d 5 (t t 0 ) con t t 0 sostituendo t = s = 880 s nella prima legge oraria scritta si trova che Anna ha percorso 8800 m; la condizione sul rapporto delle strade percorse si traduce nell equazione (si faccia molta attenzione al fatto che posizione e strada percorsa sono due cose diverse per Bruno!): 8800 = [5 (880 t 0 )] ; quindi, a questo punto, dobbiamo risolvere il sistema seguente: 8800 = d 5 (880 t0 ) 8800 = [5 (880 t 0 )] si trovano i seguenti risultati: d = 4300 m ( = distanza tra le loro case) t 0 = 304 s ( = istante in cui parte Bruno) per determinare l ora di partenza di Bruno basta osservare che 304 s = 38 minuti e 4 secondi, quindi ora di partenza di Bruno = 15 : 40 e 4 secondi. 3

9 Esercizio 8. Il professor Distratto ha invitato a cena la prof.ssa Precisina presso il ristorante Da Einstein, che si trova a 10 km da entrambe le loro due abitazioni; la prof.ssa Precisina parte da casa alle 19:30 e tiene una velocità di 7 km/h, mentre il professor Distratto parte un po in ritardo in quanto non riesce a trovare la sua carta di credito. Sapendo che la sua velocità sarà di 108 km/h e che i due arrivano contemporaneamente al ristorante, a che ora è partito da casa? Soluzione. Calcoliamo il tempo che impiega la prof.ssa Precisina per raggiungere il ristorante: t P recisina = m 7 m 3, 6 s = 500 s il professor Distratto, invece, una volta partito, impiega t Distratto = m 108 m 3, 6 s 333, 3 s dal momento che ii due arrivano contemporaneamente, il prof. Distratto ha impiegato un tempo pari a ( , 3) s = 166, 7 s per trovare la sua carta di credito, ovvero minuti e 47 secondi (circa); in definitiva risulta: ora di partenza del prof. Distratto = 19 : 3 e 47 secondi. 4

10 Liceo Carducci Volterra - Classe 3 a B Scientifico - Francesco Daddi - 8 novembre 010 Esercizi sul moto rettilineo uniformemente accelerato Esercizio 1. Un corpo parte da fermo con accelerazione pari a 4 m/s. Quale sarà la sua velocità dopo 7 secondi? Quanto spazio ha percorso in questo intervallo di tempo? Esercizio. Un corpo parte da fermo con accelerazione pari a 6 m/s. Quanto tempo impiegherà per raggiungere la velocità di 108 km/h? Quanto spazio ha percorso in questo intervallo di tempo? Esercizio 3. Un auto passa da una velocità di 36 km/h a una velocità di 108 km/h in 5 secondi. Qual è l accelerazione? Quanta strada ha percorso durante questo intervallo di tempo? Esercizio 4. Un auto sta viaggiando a 90 km/h; sapendo che ha frenato in 15 s, quanto vale l accelerazione? Qual è lo spazio di frenata? Esercizio 5. Un auto aumenta la sua velocità da 7 km/h a 108 km/h percorrendo un tratto di 500 m. Qual è la sua accelerazione? Quanto tempo ha impiegato per percorrere questo tratto? Esercizio 6. Un auto si muove con accelerazione costante pari a 0, 5 m/s ; sapendo che quando esce da una galleria lunga 180 m la sua velocità è di 16 km/h, si determini la velocità con cui è entrata nella galleria. Esercizio 7. Un sasso viene lasciato cadere da fermo da un altezza di m. Qual è la velocità di impatto con il suolo? Qual è il tempo di caduta? Si tenga presente che l accelerazione di gravità ha modulo 9, 8 m/s. Esercizio 8. Una motocicletta aumenta la sua velocità da 36 km/h a 108 km/h con un accelerazione pari a 1 m/s. Quanto tempo ha impiegato? Quanto spazio ha percorso in questo intervallo di tempo? Esercizio 9. Un auto frena e si ferma in 10 s. Sapendo che in questo intervallo di tempo ha percorso 100 m, determina l accelerazione e la velocità iniziale. Esercizio 10. Un auto passa dalla velocità v 0 alla velocità di 30 m/s in 15 s, percorrendo una distanza pari a 300 m. Determinare la velocità iniziale v 0 e l accelerazione. Esercizio 11. Un auto inizia a frenare quando la sua velocità è di 144 km/h. Sapendo che la sua accelerazione, in modulo, è 6 m/s, qual è il tempo di frenata? Qual è lo spazio di frenata? Determinare quanta strada ha percorso in 4 s. Esercizio 1. Fabio e Guido stanno parlando delle loro auto; Fabio dice che la sua auto, da ferma, impiega 6 s per raggiungere la velocità di 100 km/h, mentre Guido afferma che la sua auto, da ferma, raggiunge i 90 km/h in 75 m. Qual è l auto con la maggiore accelerazione? Esercizio 13. Un auto sta viaggiando a 16 km/h quando il conducente vede un ostacolo sulla strada (distante 140 m) e inizia a frenare. Tenendo conto del tempo di reazione, pari a 0, s, e del fatto che l accelerazione è 5 m/s, dire se ce la fa ad evitare l ostacolo.

11 Esercizio 14. Converti 3 m/s in km/h. Esercizio 15. Un punto materiale si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato; i valori della sua velocità a istanti successivi sono i seguenti: Determina il valore dell accelerazione. t (s) 3,5 6,5 9,5 1,5 15,5 v (m/s) 4, 7,4 10,6 13,8 17,0 Esercizio 16. Un punto materiale si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato; i valori della sua posizione a istanti successivi sono i seguenti: Determina la velocità iniziale e l accelerazione. t (s) 4,7 6,5 8,3 10,1 11,9 x (m),5 10,96 9,14 57,04 94,66 Esercizio 17. Due auto, inizialmente distanti 00 m, si stanno venendo incontro; la prima viaggia a 108 km/h e frena con accelerazione in modulo uguale a 4 m/s. La seconda auto viaggia a 7 km/h e frena con accelerazione in modulo uguale a 5 m/s. Dire se le due auto si scontreranno. Esercizio 18. Lo spazio di frenata di un auto è pari a 50 m se la sua velocità iniziale è v 0 ; qual è lo spazio di frenata se la velocità è v 0? Si supponga che l accelerazione sia la stessa in entrambi i casi. Esercizio 19. Un auto, inizialmente ferma, impiega 50 s per percorrere 1, km (accelerazione e arresto compresi). Sapendo che il tempo impiegato per raggiungere la velocità massima e quello impiegato per arrestarsi sono entrambi uguali a 10 s, si determini la velocità massima raggiunta e l accelerazione in partenza. Esercizio 0. Alice e Barbara fanno una gara sui 100 metri piani; Alice accelera con accelerazione costante pari a 3 m/s per 3 s, poi si muove di moto rettilineo uniforme. Barbara, invece, accelera con accelerazione costante pari a, 5 m/s per 4 s, poi si muove di moto rettilineo uniforme. Chi vincerà la gara? Con quale distacco (in metri)? Esercizio 1. Un auto parte da ferma e accelera per tre quarti di un certo percorso; successivamente si muove di moto rettilineo uniforme per l ultimo quarto del percorso. Sapendo che la velocità massima è pari a 90 km/h e che il tempo impiegato totale è 1 s, si determini la lunghezza del percorso e l accelerazione iniziale dell auto. Esercizio. Un corpo parte da fermo con accelerazione pari a 5 m/s. Ad un certo istante il corpo passa davanti ad un punto fisso A; 0, 5 s più tardi passa davanti ad un altro punto fisso B, posto 4 m più avanti. Qual è l istante in cui passa davanti al punto A? Qual è la distanza di A dal punto iniziale? Esercizio 3. All istante t 0 = 0 s un auto parte da ferma e in 10 s raggiunge (con accelerazione costante) la velocità di 108 km/h; una moto, avente una velocità iniziale di 7 km/h, all istante t = 0 s la affianca ed inizia a frenare. Sapendo che la moto impiega 6 s per fermarsi, determinare l istante in cui l auto sorpassa la moto. Esercizio 4. Un automobilista sta viaggiando ad una velocità costante di 54 km/h; ad un certo istante vede diventare rosso un semaforo distante 50 m ed inizia a frenare (con accelerazione costante) per 50 m, poi smette di frenare e percorre a velocità costante i successivi 00 m arrivando davanti al semaforo quando scatta il verde. Tenendo conto che il rosso resta acceso esattamente per 30 s, si determini l accelerazione dell auto durante la frenata. Esercizio 5. Un ciclista viaggia ad una velocità costante di 36 km/h; ad un certo punto sorpassa un motociclista fermo. Passati 4 s dal sorpasso, la moto parte con accelerazione costante di modulo pari a 1 m/s e raggiunge il ciclista. Qual è la velocità della moto al momento del sorpasso?

12 Liceo Carducci Volterra - Classe 3 a B Scientifico - Francesco Daddi - 8 novembre 010 Soluzione degli esercizi sul moto rettilineo uniformemente accelerato Esercizio 1. Un corpo parte da fermo con accelerazione pari a 4 m/s. Quale sarà la sua velocità dopo 7 secondi? Quanto spazio ha percorso in questo intervallo di tempo? Soluzione. Applichiamo la formula v f = v 0 + a t : Lo spazio percorso in tale intervallo di tempo è pari a v f = 0 m/s + 4 m/s 7 s v f = 8 m/s. x x 0 = 1 4 m/s (7 s) = 98 m alternativamente possiamo applicare la formula x x 0 = v 0 + v f x x 0 = 0 m/s + 8 m/s t : 7 s = 98 m. Esercizio. Un corpo parte da fermo con accelerazione pari a 6 m/s. Quanto tempo impiegherà per raggiungere la velocità di 108 km/h? Quanto spazio ha percorso in questo intervallo di tempo? Soluzione. Applichiamo la formula v f = v 0 + a t : Lo spazio percorso in tale intervallo di tempo è uguale a 30 m/s = 0 m/s + 6 m/s t t = 5 s. x x 0 = 0 m/s + 30 m/s 5 s = 75 m. Esercizio 3. Un auto passa da una velocità di 36 km/h a una velocità di 108 km/h in 5 secondi. Qual è l accelerazione? Quanta strada ha percorso durante questo intervallo di tempo? Soluzione. Applichiamo la formula v f = v 0 + a t : Lo spazio percorso in tale intervallo di tempo è uguale a 30 m/s = 10 m/s + a 5 s a = 0, 8 m/s. x x 0 = 10 m/s + 30 m/s alternativamente, possiamo utilizzare la formula x x 0 = v 0 t + 1 a t : 5 s = 500 m ; x x 0 = 10 m/s 5 s + 1 0, 8 m/s (5 s) = 500 m. Esercizio 4. Un auto sta viaggiando a 90 km/h; sapendo che ha frenato in 15 s, quanto vale l accelerazione? Qual è lo spazio di frenata? Soluzione. L accelerazione è 0 m/s 5 m/s a = 1, 67 m/s. 15 s Lo spazio di frenata è pari a : 5 m/s + 0 m/s x x 0 = 15 s = 187, 5 m ; alternativamente possiamo sfruttare la formula x x 0 = v 0 t + 1 a t : x x 0 = 5 m/s 15 s + 1 ( 1, 67 m/s ) (15 s) = 187, 5 m.

13 Esercizio 5. Un auto aumenta la sua velocità da 7 km/h a 108 km/h percorrendo un tratto di 500 m. Qual è la sua accelerazione? Quanto tempo ha impiegato per percorrere questo tratto? Soluzione. Sfruttiamo la formula v f v i = a(x x 0) : (30 m/s) (0 m/s) = a (500 m) a = 0, 5 m/s. Per determinare il tempo impiegato per percorrere questi 500 m, basta riferirsi alla formula v f = v i + a t : 30 m/s = 0 m/s + 0, 5 m/s t t = 0 s. Esercizio 6. Un auto si muove con accelerazione costante pari a 0, 5 m/s ; sapendo che quando esce da una galleria lunga 180 m la sua velocità è di 16 km/h, si determini la velocità con cui è entrata nella galleria. Soluzione. Considerando la formula v f v i = a(x x 0) abbiamo: v i = v f a(x x 0 ) v i = v f a(x x 0) = (35 m/s) (0, 5 m/s ) (180 m) 3, 3 m/s. Esercizio 7. Un sasso viene lasciato cadere da fermo da un altezza di m. Qual è la velocità di impatto con il suolo? Qual è il tempo di caduta? Si tenga presente che l accelerazione di gravità ha modulo 9, 8 m/s. Soluzione. Considerando la formula v f v i = a(x x 0) abbiamo: v f = v i + a(x x 0) = (0 m/s) + 9, 8 m/s ( m) 6, 6 m/s. Per quanto riguarda il tempo di caduta, dalla formula x x 0 = v 0 t+ 1 at abbiamo (si noti che nel nostro caso v 0 = 0 m/s): (x x0 ) ( m) t = = 0, 64 s ; a 9, 8 m/s alternativamente, possiamo anche riferirci alla formula x x 0 = v 0 + v f t = (x x 0) ( m) t = 0, 64 s. v 0 + v f 0 m/s + 6, 6 m/s t: Esercizio 8. Una motocicletta aumenta la sua velocità da 36 km/h a 108 km/h con un accelerazione pari a 1 m/s. Quanto tempo ha impiegato? Quanto spazio ha percorso in questo intervallo di tempo? Soluzione. Dalla formula v f = v i + a t abbiamo 30 m/s = 10 m/s + 1 m/s t t = 0 s. Lo spazio percorso è pari a alternativamente abbiamo x x 0 = v i + v f t = 10 m/s + 30 m/s 0 s = 400 m ; x x 0 = 10 m/s 0 s m/s (0 s) = 400 m. Esercizio 9. Un auto frena e si ferma in 10 s. Sapendo che in questo intervallo di tempo ha percorso 100 m, determina l accelerazione e la velocità iniziale. Soluzione. Dalla formula x x 0 = v i + v f L accelerazione si ottiene nel modo seguente: t abbiamo: 100 m = v i + 0 m/s 10 s v i = 0 m/s. v f = v i + a t 0 m/s = 0 m/s + a (10 s) a = m/s.

14 Esercizio 10. Un auto passa dalla velocità v 0 alla velocità di 30 m/s in 15 s, percorrendo una distanza pari a 300 m. Determinare la velocità iniziale v 0 e l accelerazione. Soluzione. Dalla formula x x 0 = v i + v f t abbiamo: L accelerazione si ottiene nel modo seguente: 300 m = v m/s 15 s v 0 = 10 m/s. v f = v i + a t 30 m/s = 10 m/s + a (15 s) a 1, 3 m/s. Esercizio 11. Un auto inizia a frenare quando la sua velocità è di 144 km/h. Sapendo che la sua accelerazione, in modulo, è 6 m/s, qual è il tempo di frenata? Qual è lo spazio di frenata? Determinare quanta strada ha percorso in 4 s. Soluzione. Il tempo di frenata è t = 0m/s 40 m/s 6 m/s 6, 67 s ; per calcolare lo spazio di frenata basta riferirsi alla formula v f v i = a(x x 0) : (0 m/s) (40 m/s) = ( 6 m/s ) (x x 0 ) x x 0 133, 3 m. In 4 s l auto percorre x x 0 = 40 m/s 4 s + 1 ( 6 m/s ) (4 s) = 11 m. Esercizio 1. Fabio e Guido stanno parlando delle loro auto; Fabio dice che la sua auto, da ferma, impiega 6 s per raggiungere la velocità di 100 km/h, mentre Guido afferma che la sua auto, da ferma, raggiunge i 90 km/h in 75 m. Qual è l auto con la maggiore accelerazione? Soluzione. Calcoliamo l accelerazione a F dell auto di Fabio: a F = vediamo ora l accelerazione a G dell auto di Guido: l auto di Fabio ha quindi una migliore accelerazione. 7, 8 m/s 0 m/s 6 s 4, 6 m/s ; (5 m/s) (0 m/s) = a G (75 m) a G 4, m/s ; Esercizio 13. Un auto sta viaggiando a 16 km/h quando il conducente vede un ostacolo sulla strada (distante 140 m) e inizia a frenare. Tenendo conto del tempo di reazione, pari a 0, s, e del fatto che l accelerazione è 5 m/s, dire se ce la fa ad evitare l ostacolo. Soluzione. Calcoliamo lo spazio di reazione (ovvero lo spazio percorso a velocità costante prima che il conducente inizi a frenare): spazio di reazione = (35 m/s) (0, s) = 7 m ; lo spazio di frenata è invece pari a spazio di frenata = (0 m/s) (35 m/s) ( 5 m/s ) = 1, 5 m. sommando lo spazio di reazione e lo spazio di frenata abbiamo 19, 5 m; dal momento che l ostacolo si trovava inizialmente a 140 m, possiamo affermare che il conducente riesce, per fortuna, ad evitare l ostacolo. 3

15 Esercizio 14. Converti 3 m/s in km/h. Soluzione. 3 m s = 3 1 m (1 s) = km ( ) = 3 1 3, h = , km h km = 38, h 10 3 km 1 1, h = km = 3, h. Esercizio 15. Un punto materiale si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato; i valori della sua velocità a istanti successivi sono i seguenti: Determina il valore dell accelerazione. t (s) 3,5 6,5 9,5 1,5 15,5 v (m/s) 4, 7,4 10,6 13,8 17,0 Soluzione. L accelerazione può essere determinata nel modo seguente: a = 7, 4 m/s 4, m/s 6, 5 s 3, 5 s = 3, m/s 3, 0 s 1, 07 m/s. Esercizio 16. Un punto materiale si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato; i valori della sua posizione a istanti successivi sono i seguenti: Determina la velocità iniziale e l accelerazione. t (s) 4,7 6,5 8,3 10,1 11,9 x (m),5 10,96 9,14 57,04 94,66 Soluzione. La legge oraria, in generale, ha la seguente espressione: con i dati t 0 = 4, 7 s e x 0 =, 5 m abbiamo: x x 0 = v 0 (t t 0 ) + 1 a (t t 0) x, 5 = v 0 (t 4, 7) + 1 a (t 4, 7) per determinare v 0 (velocità iniziale) e a (accelerazione) sostituiamo i valori agli istanti t 1 = 6, 5 s e t = 8, 3 s : 10, 96, 5 = v 0 (6, 5 4, 7) + 1 a (6, 5 4, 7) 9, 14, 5 = v 0 (8, 3 4, 7) + 1 a (8, 3 4, 7) risolvendo il sistema lineare si trovano i seguenti valori: v0 = m/s a = 3 m/s Esercizio 17. Due auto, inizialmente distanti 00 m, si stanno venendo incontro; la prima viaggia a 108 km/h e frena con accelerazione in modulo uguale a 4 m/s. La seconda auto viaggia a 7 km/h e frena con accelerazione in modulo uguale a 5 m/s. Dire se le due auto si scontreranno. Soluzione. Calcoliamo i due spazi di frenata, li sommiamo e confrontiamo il risultato con la distanza iniziale (00 m). Vediamo quindi il primo spazio di frenata: (x x 0 ) 1 = (0 m/s) (30 m/s) ( 4m/s ) = 11, 5 m ; 4

16 per quanto riguarda il secondo spazio di frenata si ha: (x x 0 ) = (0 m/s) (0 m/s) ( 5m/s ) = 40 m ; sommando i due spazi di frenata: (x x 0 ) 1 + (x x 0 ) = 11, 5 m + 40 m = 15, 5 m, si scopre che le due auto non si scontrano in quanto 15, 5 m < 00 m. Esercizio 18. Lo spazio di frenata di un auto è pari a 50 m se la sua velocità iniziale è v 0 ; qual è lo spazio di frenata se la velocità è v 0? Si supponga che l accelerazione sia la stessa in entrambi i casi. Soluzione. Vediamo la formula generale per lo spazio di frenata (si osservi che a < 0): se raddoppiamo la velocità iniziale si ottiene: x x 0 = 0 v 0 a x x 0 = v 0 a (x x 0 ) = ( v 0) a = 4 v 0 a = 4 (x x 0) quindi lo spazio di frenata non raddoppia, ma quadruplica! Questo ci fa riflettere sui rischi della velocità. Esercizio 19. Un auto, inizialmente ferma, impiega 50 s per percorrere 1, km (accelerazione e arresto compresi). Sapendo che il tempo impiegato per raggiungere la velocità massima e quello impiegato per arrestarsi sono entrambi uguali a 10 s, si determini la velocità massima raggiunta e l accelerazione in partenza. Soluzione. Indichiamo con v max la velocità massima raggiunta dall auto; lo spazio percorso nella fase di accelerazione iniziale è pari a 1 v max (10 s); osserviamo che questo spazio è identico a quello percorso durante la fase finale di frenata. Durante i 30 s centrali lo spazio percorso è pari a v max (30 s); a questo punto possiamo sommare tutti questi spazi parziali e possiamo uguagliare a 100 m : 1 v max (10 s) + v max (30 s) + 1 v max (10 s) = 100 m risolvendo l equazione si ricava v max = 30 m/s. L accelerazione iniziale è 3 m/s. Esercizio 0. Alice e Barbara fanno una gara sui 100 metri piani; Alice accelera con accelerazione costante pari a 3 m/s per 3 s, poi si muove di moto rettilineo uniforme. Barbara, invece, accelera con accelerazione costante pari a, 5 m/s per 4 s, poi si muove di moto rettilineo uniforme. Chi vincerà la gara? Con quale distacco (in metri)? Soluzione. Studiamo il moto di Alice; la sua velocità massima è di 9 m/s che mantiene dall istante t = 3 s in poi. Nei primi 3 secondi Alice percorre uno spazio di 1 (3 m/s ) (3 s) = 13, 5 m, per cui i restanti (100 13, 5) m = 86, 5 m li percorre in 86,5 m 9 m/s 9, 61 s; Alice percorre i 100 metri in (3 + 9, 61) s = 1, 61 s. Analizziamo ora nello stesso modo il moto di Barbara. La sua velocità massima è di 10 m/s; nei primi 4 secondi Barbara percorre uno spazio di 1 (, 5 m/s ) (4 s) = 0 m, quindi i restanti (100 0) m = 80 m li percorre in 80 m 10 m/s = 8 s ; Barbara percorre i 100 metri in (4 + 8) s = 1 s. Barbara vince la gara. Per determinare infine il distacco in metri dobbiamo determinare la posizione di Alice all istante t = 1 s: x = 13, 5 m + 9 m/s (1 3) s = 94, 5 m all istante in cui Barbara taglia il traguardo Alice è staccata di 5, 5 m. Lo stesso risultato si ottiene osservando che Alice taglia il traguardo 0, 61 s più tardi, quindi in questo intervallo di tempo ha percorso un tratto di lunghezza 0, 61 s 9 m/s 5, 5 m. 5

17 Esercizio 1. Un auto parte da ferma e accelera per tre quarti di un certo percorso; successivamente si muove di moto rettilineo uniforme per l ultimo quarto del percorso. Sapendo che la velocità massima è pari a 90 km/h e che il tempo impiegato totale è 1 s, si determini la lunghezza del percorso e l accelerazione iniziale dell auto. Soluzione. Indichiamo con t l istante in cui l auto inizia a muoversi di moto rettilineo uniforme; lo spazio percorso nei primi t secondi è pari a 5 t, mentre lo spazio percorso negli ultimi (1 t) secondi è 5 (1 t). Poiché sappiamo che nella fase di accelerazione iniziale l auto percorre i tre quarti dell intero percorso, possiamo affermare che lo spazio 5 t risulta essere il triplo dello spazio 5 (1 t) : 5 t = 3 [5 (1 t)] risolvendo l equazione si trova t = 18 s; l intero percorso è lungo 5 m/s 18 s Calcoliamo infine l accelerazione iniziale dell auto: a = + 5 m/s (1 s 18 s) = 300 m. 5 m/s 0 m/s 18 s 1, 39 m/s. Esercizio. Un corpo parte da fermo con accelerazione pari a 5 m/s. Ad un certo istante il corpo passa davanti ad un punto fisso A; 0, 5 s più tardi passa davanti ad un altro punto fisso B, posto 4 m più avanti. Qual è l istante in cui passa davanti al punto A? Qual è la distanza di A dal punto iniziale? Soluzione. Indicato con t l istante in cui il corpo passa davanti al punto fisso A, osservato che la velocità all istante t è 5 t (mentre all istante (t + 0, 5 s) è 5(t + 0, 5)), abbiamo: 5 t + 5(t + 0, 5) 0, 5 = 4 risolvendo l equazione si trova t = 1, 35 s. Il punto fisso A si trova a 1 5 m/s (1, 35 s) 4, 56 m dal punto iniziale. Alternativamente possiamo procedere nel modo seguente: risolvendo l equazione si trova nuovamente t = 1, 35 s. 1 5 (t + 0, 5) 1 5 t = 4 Esercizio 3. All istante t 0 = 0 s un auto parte da ferma e in 10 s raggiunge (con accelerazione costante) la velocità di 108 km/h; una moto, avente una velocità iniziale di 7 km/h, all istante t = 0 s la affianca ed inizia a frenare. Sapendo che la moto impiega 6 s per fermarsi, determinare l istante in cui l auto sorpassa la moto. Soluzione. Scriviamo il sistema delle due leggi orarie: x = 1 3 t x = 0 t + 1 ( 3, 33) t le soluzioni sono le seguenti: x = 0 m t = 0 s ; x = 59, 9 m t = 6, 3 s la prima soluzione non ci dice niente di nuovo (infatti sappiamo dal testo del problema che i due veicoli si trovano affiancati all istante t = 0 s); l auto sorpassa la moto all istante t = 6, 3 s dopo aver percorso 60 metri (circa). 6

18 Esercizio 4. Un automobilista sta viaggiando ad una velocità costante di 54 km/h; ad un certo istante vede diventare rosso un semaforo distante 50 m ed inizia a frenare (con accelerazione costante) per 50 m, poi smette di frenare e percorre a velocità costante i successivi 00 m arrivando davanti al semaforo quando scatta il verde. Tenendo conto che il rosso resta acceso esattamente per 30 s, si determini l accelerazione dell auto durante la frenata. Soluzione. Prima di tutto, indichiamo con t l istante in cui l automobilista smette di frenare; i primi 50 metri sono percorsi con moto rettilineo uniformemente accelerato, quindi si ha 50 = 15 + (15 + a t) poiché gli ultimi 00 metri sono percorsi con velocità costante pari a (15 + a t), risulta: dobbiamo quindi risolvere il sistema ricaviamo a dalla prima equazione: t 00 = (15 + a t) (30 t) 50 = 15 + (15 + a t) t 00 = (15 + a t) (30 t) a = sostituiamo l espressione di a nella seconda equazione: t t 00 = (15 + a t) (30 t) t a = 00 = t ( ) t 15 + t t risolvendo la seconda equazione nell incognita t troviamo le soluzioni (30 t) t 1 = , 38 s ; t = , 6 s la seconda soluzione va ovviamente scartata in quanto la nostra soluzione deve essere compresa tra 0 s e 30 s. La soluzione, t perciò, risulta essere t = 4, 38 s; per determinare l accelerazione è sufficiente sostituire nella formula a = t : a = , 38 (4, 38) a 1, 64 m/s. Esercizio 5. Un ciclista viaggia ad una velocità costante di 36 km/h; ad un certo punto sorpassa un motociclista fermo. Passati 4 s dal sorpasso, la moto parte con accelerazione costante di modulo pari a 1 m/s e raggiunge il ciclista. Qual è la velocità della moto al momento del sorpasso? Soluzione. Nei primi 4 secondi il ciclista ha percorso 40 metri; per risolvere il problema è sufficiente risolvere il seguente sistema delle leggi orarie: x = t x = t x = 1 1 t t = 1 1 t la seconda equazione ammette le seguenti soluzioni: t 1 3, 4 s ; t 3, 4 s ; la soluzione t 1 va scartata in quanto siamo interessati alle soluzioni t > 0 s; la moto raggiunge il ciclista dopo 3, 4 s dalla sua partenza. La velocità della moto al momento del sorpasso è pari a 3, 4 m/s (infatti ogni secondo la velocità della moto aumenta di 1 m/s). 7

19 Liceo Carducci Volterra - Classe 3 a B Scientifico - Prof. Francesco Daddi - 3 novembre 010 Esercizi sul moto rettilineo uniformemente accelerato Esercizio 1. Un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato. Sapendo che l accelerazione è 4, 5 m/s e che la sua velocità triplica dopo aver percorso un tratto lungo 00 m, si determini la sua velocità iniziale. Esercizio. Vogliamo calcolare i riflessi di un pilota quando guida la sua auto da corsa; sappiamo che quando viaggia a 144 km/h lo spazio totale di arresto (uguale alla somma dello spazio di reazione e dello spazio di frenata) è pari a 10 m, mentre quando viaggia a 88 km/h lo spazio totale di arresto è uguale a 440 m. Qual è il tempo di reazione? Qual è l accelerazione dell auto? Esercizio 3. Il grafico rappresenta l andamento della velocità di un punto materiale in funzione del tempo. a) Qual è lo spazio percorso nell intervallo di tempo compreso tra gli istanti t = 0 s e t = 8 s? b) Qual è la sua velocità media sull intero percorso? c) A quale istante ha percorso esattamente i 3/5 dell intero tragitto? Esercizio 4. Un corpo parte con velocità iniziale nulla accelerando per 4 s, poi si muove a velocità costante per 6 s, infine frena e si arresta in s. Sapendo che lo spazio di frenata è pari a 5 m, si determini lo spazio percorso totale. Esercizio 5. Un corpo si sta muovendo di moto rettilineo uniformemente accelerato. Sapendo che all istante t = 0 s il corpo passa dalla posizione x = 0 m con una velocità di m/s, che passa dalla posizione x 1 all istante t 1 = 3 s e dalla posizione x (6 m più avanti) all istante t = 5 s, determinare l accelerazione del corpo.

20 Liceo Carducci Volterra - Classe 3 a B Scientifico - Prof. Francesco Daddi - 3 novembre 010 Soluzione degli esercizi sul moto rettilineo uniformemente accelerato Esercizio 1. Un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato. Sapendo che l accelerazione è 4, 5 m/s e che la sua velocità triplica dopo aver percorso un tratto lungo 00 m, si determini la sua velocità iniziale. Soluzione. Dalla formula v f v i =a(x x 0), posto v f =3v i abbiamo: (3 v i ) v i =a(x x 0 ) 8 v i =a(x x 0 ) v i = a(x x0 ) sostituendo i valori del problema si ricava: 4, 5 m/s (00 m) v i = =15m/s. 4 Esercizio. Vogliamo calcolare i riflessi di un pilota quando guida la sua auto da corsa; sappiamo che quando viaggia a 144 km/h lo spazio totale di arresto (uguale alla somma dello spazio di reazione e dello spazio di frenata) èparia10 m, mentre quando viaggia a 88 km/h lo spazio totale di arresto èugualea 440 m. Qualè il tempo di reazione? Qual è l accelerazione dell auto? Soluzione. Indicato con t 0 il tempo di reazione e con a l accelerazione dell auto, abbiamo: risolvendo il sistema si trova 40 t 0 40 a = t 0 80 a = 440 t 0 =0, 5 s ; a = 8 m/s. Esercizio 3. Il grafico rappresenta l andamento della velocità di un punto materiale in funzione del tempo. a) Qual è lo spazio percorso nell intervallo di tempo compreso tra gli istanti t =0set =8s? b) Qual è la sua velocità media sull intero percorso? c) A quale istante ha percorso esattamente i 3/5 dell intero tragitto? 4 Soluzione. a) Per calcolare lo spazio percorso è sufficiente calcolare l area sotto il grafico: spazio perc. = (3 m/s) (1 s) +(3m/s) (3 s)+ (3 m/s +4m/s) ( s) 1 + (4 m/s +0m/s) ( s) =1, 5 m.

21 b) La velocità media si ottiene semplicemente dividendo lo spostamento per l intervallo di tempo totale: v media = 1, 5 m, 69 m/s. 8 s c) I 3/5 dell intero percorso corrispondono a 3/5 1, 5m=1, 9m.Poiché nei primi 4 s il punto materiale percorre 10, 5 m e nei primi 6 s percorre 17, 5 m, l istante t da determinare è ovviamente compreso tra t =4 set = 6 s; risulta: 10, 5+3 (t 4) + 1 0, 5 (t 4) =1, 9 t 4, 75 s (l altro risultato non è accettabile). Esercizio 4. Un corpo parte con velocità iniziale nulla accelerando per 4 s, poi si muove a velocità costante per 6 s, infine frena e si arresta in s. Sapendo che lo spazio di frenata èparia5 m, si determini lo spazio percorso totale. Soluzione. Indichiamo con v la velocità massima; dato che lo spazio di frenata è pari a 5 m, abbiamo v =5 v =5m/s ; (5 m/s) (4 s) lo spazio percorso durante l accelerazione iniziale è uguale a =10m ; lo spazio percorso nei ( 6 s centrali è 5 m ) (6 s) =30m ; lo spazio totale percorso è10m +30m +5m =45m. s Esercizio 5. Un corpo si sta muovendo di moto rettilineo uniformemente accelerato. Sapendo che all istante t =0s il corpo passa dalla posizione x =0m con una velocità di m/s, che passa dalla posizione x 1 all istante t 1 =3s e dalla posizione x (6 mpiù avanti) all istante t =5s, determinare l accelerazione del corpo. Soluzione. Dato che la legge oraria del corpo è abbiamo: x =0+t + 1 at x =t + 1 at x 1 = 3+ 1 a (3) =6+4, 5 a ; x = 5+ 1 a (5) =10+1, 5 a ; considerando la differenza delle posizioni si ha x x 1 =10+1, 5 a (6 + 4, 5 a), da cui x x 1 =4+8a; visto che x x 1 =6m si ricava: 6=4+8a a =0, 5 m/s.

22 Liceo Carducci Volterra - Prof. Francesco Daddi Esercizi sul moto parabolico (3 a B Scientifico) - 31/01/011 Esercizio 1. Un ragazzo lancia un pallone orizzontalmente da un tetto con una velocità iniziale di 15 m/s; sapendo che atterra a 0 m dalla base della casa, si determini: a) il tempo di volo; b) l altezza dell edificio. Esercizio. Un tuffatore di Acapulco si lancia orizzontalmente da un altezza di 35 m; sapendo che ci sono scogli per 5 m dalla base della piattaforma, determinare: a) il tempo di volo; b) la velocità minima che gli permette di evitare gli scogli; c) la velocità con cui entra in acqua. Esercizio 3. Un pallone viene calciato con un angolo θ =30 dalla sommità di un palazzo alto 3 m. Sapendo che la velocità iniziale è di 10 m/s, si determini: a) l altezza massima raggiunta; b) il tempo di volo; c) la gittata del pallone, misurata a partire dalla base del palazzo; d) la velocità con cui giunge a terra. Esercizio 4. Alle olimpiadi un atleta lancia il peso con un angolo di 40 rispetto all orizzonte; sapendo che il peso lascia la mano dell atleta ad un altezza di 30 cm, si dica qual è la velocità iniziale minima che permette di battere il record (risalente al 1990) di Randy Barnes (USA): 3, 1 m. Esercizio 5. Guglielmo Tell deve colpire la mela posta sulla testa di suo figlio Gualtierino a una distanza di 5 m. Tenendo conto del fatto che la velocità iniziale della freccia è di 38 m/s e che, se mira direttamente alla mela, la freccia è orizzontale, a quale angolo deve inclinare la balestra per colpire la mela? Esercizio 6. Facendo riferimento alla figura, qual è la velocità minima che permette alla palla di scavalcare il muro alto 4, 5 m? Esercizio 7. Un ragazzo calcia un pallone con una velocitàinizialedi1m/s; qualè la massima gittata orizzontale? Esercizio 8. Pierino sta puntando la sua fionda, caricata con un innocuo palloncino ad acqua, verso una mela appesa al ramo di un albero. Nell esatto istante in cui parte il proiettile la mela cade dall abero. Dimostrare che Pierino ha avuto tanta fortuna... Esercizio 9. Un pallone viene calciato con velocità iniziale di 108 km/h; dopo aver rimbalzato contro un muro, distante 15 m, lapallacadea75, 44 m dal muro stesso. Quali sono i possibili due angoli iniziali? Esercizio 10. Un pallone è calciato con velocità inizialedi5m/s su un pendio inclinato di un angolo pari a 30 rispetto all orizzonte (vedi la figura). Qual è la gittata massima sul pendio? Suggerimento: si usi l equazione cartesiana della parabola di sicurezza. E se siamo in presenza di una discesa (sempre con angolo uguale a 30?)

23 Liceo Carducci Volterra - 3 a B Scientifico - Prof. Francesco Daddi Soluzione degli esercizi sul moto parabolico - 31/01/011 Esercizio 1. Un ragazzo lancia un pallone orizzontalmente da un tetto con una velocità iniziale di 15 m/s; sapendo che atterra a 0 m dalla base della casa, si determini: a) il tempo di volo; b) l altezza dell edificio. Soluzione. a) In generale, la legge oraria è x = x o + v o,x t y = y o + v o,y t 1 (1) gt indicata con h l altezza dell edificio, tenendo conto che v o,x =15m/s e v o,y =0m/s, abbiamo x =15t y = h 4, 9 t ; il pallone cade a 0 m dalla base dell edificio per cui dalla prima equazione si ricava 15 t =0 t 1, 33 s. b) Per determinare h è sufficiente sostituire il valore trovato al punto a) nella seconda equazione: 0=h 4, 9 (1, 33) h 8, 7 m. Esercizio. Un tuffatore di Acapulco si lancia orizzontalmente da un altezza di 35 m; sapendo che ci sono scogli per 5 m dalla base della piattaforma, determinare: a) il tempo di volo; b) la velocità minima che gli permette di evitare gli scogli. Soluzione. a) Indicata con v o la velocità iniziale del tuffatore, dalla formula (1) abbiamo x = vo t y =35 4, 9 t 1

24 il tempo di volo si trova risolvendo l equazione 0=35 4, 9 t t, 67 s. b) Per evitare gli scogli deve risultare v o (, 67 s) > 5 m v o > 1, 87 m/s. Esercizio 3. Un pallone viene calciato con un angolo θ =30 dalla sommità di un palazzo alto 3 m. Sapendo che la velocità iniziale è di 10 m/s, si determini: a) l altezza massima raggiunta; b) il tempo di volo; c) la gittata del pallone, misurata a partire dalla base del palazzo; d) la velocità con cui giunge a terra. Soluzione. La velocità inizialeè vo,x = v o cos θ v o,y = v o sin θ vo,x =(10m/s) cos 30 v o,y =(10m/s) sin 30 vo,x =8, 66 m/s v o,y =5m/s. La legge oraria del pallone è x =8, 66 t y =3+5t 4, 9 t. La velocità del pallone all istante generico t è vx =8, 66 m/s v y =5m/s (9, 8 m/s ) t. a) Primo metodo. L altezza massima raggiunta y max è (0 m/s) (5 m/s) = ( 9, 8 m/s ) (y max 3 m) y max 33, 8 m. Secondo metodo. Il pallone raggiunge la massima altezza quando la componente y della velocità si annulla: v y =0m/s 5 m/s (9, 8 m/s ) t =0m/s t 0, 51 s ; sostituendo il valore appena calcolato nell espressione di y si trova l altezza massima raggiunta: y max =3m +(5m/s) (0, 51 s) (4, 9 m/s ) (0, 51 s) 33, 8 m. Terzo metodo. L equazione cartesiana della traiettoria parabolica è sostituendo i dati otteniamo y = h + v o,y v o,x x y =3+0, 577 x 0, 0653 x ; l altezza massima coincide con l ordinata del vertice della parabola: g vo,x x () y max = (0, 577) +4 ( 0, 0653) (3) 4 ( 0, 0653) 33, 8 m. b) Calcoliamo il tempo di volo: 0=3+5t 4, 9 t t 3, 1 s. c) La gittata del pallone è x =8, 66 m/s (3, 1 s) 7, 0 m.