TEORIA DELLE CODE TEORIA DELLE CODE

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1 Corso di Laurea Triennale in INGEGNERIA GESTIONALE Anno Accademico 2012/13 Prof. Davide GIGLIO 1

2 INDICE IL SISTEMA CODA Definizioni e proprietà generali Indici di prestazione Leggi fondamentali Code deterministiche CODE MARKOVIANE Coda M/M/1 Coda M/M/m Coda M/M/ Coda M/M/1/K CODE NON MARKOVIANE 2

3 LA La teoria delle code si propone di sviluppare modelli per lo studio dei fenomeni di attesa che si possono manifestare in presenza di una domanda di servizio Quando la domanda stessa e/o la capacità di erogazione del servizio sono soggetti ad aleatorietà, si possono infatti verificare situazioni temporanee in cui chi fornisce il servizio non ha la possibilità di soddisfare immediatamente le richieste La teoria delle code trova applicazione nei sistemi di produzione sistemi di elaborazione sistemi di comunicazione / trasmissione dati sistemi di trasporto... 3

4 IL SISTEMA CODA Dal punto di vista fisico, un sistema coda (o, semplicemente, coda) è un sistema costituito da uno o più servitori (identici), capaci di fornire un servizio, e da una fila di attesa capace di accogliere i clienti che non possono essere serviti immediatamente ARRIVI PARTENZE FILA DI ATTESA SERVITORE RAPPRESENTAZIONE SCHEMATICA DI UN SISTEMA CODA I clienti si assumono tutti appartenenti alla stessa classe. I clienti che si trovano in coda vengono serviti in accordo a determinate discipline di servizio. Si assume che ogni cliente lasci immediatamente la coda dopo che il suo servizio è stato completato Dal punto di vista dinamico, una coda è costituita essenzialmente da due processi: il processo di arrivo dei clienti e il processo di servizio 4

5 IL SISTEMA CODA Un sistema coda è caratterizzato da una statistica del processo degli arrivi una statistica del processo dei servizi il numero di servitori la dimensione del buffer in cui risiedono i clienti in attesa la popolazione complessiva dei clienti la disciplina (politica) di servizio NUMERO DEI SERVITORI DIMENSIONE DEL BUFFER A / B / m / K / H POPOLAZIONE COMPLESSIVA STATISTICA DEGLI ARRIVI STATISTICA DEI SERVIZI NOTAZIONE DI KENDALL 5

6 IL SISTEMA CODA Il processo degli arrivi, che descrive il modo secondo cui i clienti si presentano, è in generale un processo stocastico. Esso è definito in termini della distribuzione dell intertempo di arrivo, cioè dell intervallo di tempo che intercorre tra l arrivo di due clienti successivi Il processo dei servizi descrive il modo secondo cui ciascun servitore eroga il servizio; in particolare definisce la durata dello stesso ed è di solito un processo stocastico. Esso è definito in termini delle distribuzioni dei tempi di servizio dei diversi servitori Per ottenere modelli analiticamente trattabili di solito si assume che sia il processo degli arrivi che il processo dei servizi siano processi stazionari, ovvero che le loro proprietà statistiche non varino nel tempo (tale ipotesi in certi ambiti può essere molto limitativa) Il processo dei servizi è alimentato dal processo degli arrivi e pertanto quest ultimo condiziona il primo (un cliente può essere servito solo se è già arrivato, non può esistere una coda negativa). Dal punto di vista statistico, il processo degli arrivi e il processo dei servizi saranno considerati indipendenti 6

7 IL SISTEMA CODA I servitori sono in numero noto e costante, fissato a livello di progetto. Usualmente essi hanno caratteristiche identiche e possono sempre lavorare in parallelo. I servitori non possono mai rimanere inattivi in presenza di clienti in coda Anche se vi sono più servitori, in generale in una coda si assume l esistenza di un unica fila di attesa (buffer) comune (quando ogni servitore ha il suo buffer separato si preferisce pensare ad un insieme di code; può essere comodo introdurre più buffer in presenza di clienti provenienti da popolazioni diverse) La dimensione del buffer può essere finita o infinita. Nel primo caso essa limita di conseguenza la capacità del sistema, cioè il numero di clienti in attesa nel buffer più quelli attualmente serviti. I clienti che arrivano dopo che sia stata saturata tale capacità vengono respinti Un classico esempio di sistema a capacità limitata è quello di un centralino telefonico che può tenere in attesa solo un numero finito di chiamate. In assenza di centralino la dimensione della coda è addirittura zero, di conseguenza una chiamata o è servita immediatamente oppure è rifiutata 7

8 IL SISTEMA CODA La popolazione è l insieme dei potenziali clienti, ovvero l insieme da cui arrivano i clienti e a cui tornano dopo essere stati serviti. Essa può essere finita o infinita. Nel primo caso le modalità di arrivo dei clienti dipendono dal numero di clienti correntemente nel sistema Una tipica situazione in cui si può ritenere che i clienti provengano da una popolazione finita è quando essi devono presentarsi forniti di (o contenuti in) determinate strutture disponibili in numero limitato. Ad esempio, in ambiente manifatturiero, spesso le parti per essere lavorate devono essere poste su opportuni pallet I clienti di una stessa popolazione sono tra loro indistinguibili. Di conseguenza si suppone che i clienti provengano da popolazioni differenti ogniqualvolta debbano essere distinti (ad esempio per priorità o per tipo di servizio richiesto) 8

9 IL SISTEMA CODA La disciplina di servizio specifica quale sarà il prossimo cliente fra quelli in attesa al momento in cui si libera un servitore. Le discipline di servizio usualmente considerate, in quanto molto comuni nella realtà e inoltre matematicamente trattabili, sono: servizio in ordine di arrivo FCFS (First Come First Served) o FIFO (First In First Out) servizio in ordine inverso di arrivo LCFS (Last Come First Served) o LIFO (Last In First Out) servizio in ordine casuale SIRO (Service In Random Order) 9

10 LA NOTAZIONE DI KENDALL NUMERO DEI SERVITORI DIMENSIONE DEL BUFFER A / B / m / K / H POPOLAZIONE COMPLESSIVA STATISTICA DEGLI ARRIVI STATISTICA DEI SERVIZI La notazione di Kendall specifica in maniera sintetica gli aspetti che caratterizzano un sistema coda In genere, in questa notazione, non viene indicata la disciplina (politica) di servizio che si suppone essere FIFO Quando K e H non sono specificati si sottintende che hanno valore infinito 10

11 LA NOTAZIONE DI KENDALL Per quanto riguarda la statistica degli arrivi e la statistica dei servizi si utilizzano le seguenti sigle M D N Markovian (distribuzione esponenziale) Deterministic (distribuzione costante) Normal (distribuzione normale, Gaussiana) Ek Erlangian (distribuzione di Erlang di ordine k) G GI General (distribuzione generica) General Independent (distribuzione generica di eventi indipendenti) La statistica M è caratterizzata da un tempo di interarrivo o un tempo di servizio con distribuzione esponenziale ( code Markoviane ) M, D, N e Ek saranno intese come distribuzioni di sequenze di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite ( v.a. i.i.d. ) G e GI sono relative a pdf su cui non si fa alcuna assunzione 11

12 INDICI DI PRESTAZIONE La teoria delle code consente di determinare proprietà statistiche di alcune grandezze di interesse. A tale proposito si consideri la seguente notazione L q (t) L w (t) T q,i T w,i T s,i a i d i Lunghezza della coda all istante di tempo (numero di clienti presenti nel sistema all istante t, siano essi in servizio o in attesa) Numero di clienti in attesa all istante t (equivale a L q (t) meno il numero di clienti in servizio all istante t ) Tempo complessivo di permanenza nel sistema (tempo di attesa + tempo di servizio) dell i-esimo cliente (arrivato nel sistema) Tempo di attesa dell i-esimo cliente Tempo di servizio dell i-esimo cliente Istante di arrivo dell i-esimo cliente Istante di partenza (dal sistema) dell i-esimo cliente t 12

13 INDICI DI PRESTAZIONE L obiettivo è determinare, se possibile, attraverso le precedenti grandezze, i seguenti valori medi L q L w T q T w Numero medio di clienti nel sistema (sia in attesa di servizio che riceventi servizio) Numero medio di clienti in attesa (ovvero lunghezza media della fila di attesa) Tempo medio di permanenza dei clienti (sia in attesa di servizio che riceventi servizio) nel sistema Tempo di attesa medio dei clienti (nella fila di attesa) prima di essere serviti L q =E[L q (t)] L w =E[L w (t)] T q =E[T q,i ] T w =E[T w,i ] Altri indici di prestazione p n Coefficiente di utilizzazione dei servitori (rapporto tra tempo impiegato in servizio e tempo disponibile complessivo) Probabilità che vi siano a regime n clienti nel sistema 13

14 INDICI DI PRESTAZIONE I valori che sono assunti dagli indici di prestazione precedentemente elencati dipendono ovviamente dalla struttura della coda (dimensione del buffer, numero di servitori, tempo medio di servizio, ecc.) e dal tasso di arrivo dei clienti Generalmente si suppone che ogni cliente lasci immediatamente la coda una volta che il suo servizio è stato completato Inoltre si suppone che, qualunque sia la statistica usata per la gestione del sequenziamento del servizio dei clienti in coda, non vi possano mai essere servitori inattivi e contemporaneamente clienti in attesa Nel caso in cui nel sistema cosa vi siano più servitori, si supporrà che le politiche di servizio non privilegino alcuno dei servitori 14

15 Due ovvie relazioni sono INDICI DI PRESTAZIONE T q,i = T w,i + T s,i T q,i = d i a i Per un sistema a coda con m servitori in parallelo, si definisce coefficiente di carico il rapporto essendo c c = E[T s] E[T a ] m T s T a Variabile aleatoria tempo di servizio dei clienti Variabile aleatoria tempo di interarrivo dei clienti 15

16 INDICI DI PRESTAZIONE Ponendo = 1 E[T a ] µ = 1 E[T s ] Frequenza degli arrivi Frequenza massima di servizio la precedente relazione diventa c = µ m Per sistemi con buffer illimitati (in cui quindi i clienti che arrivano non possono mai essere rifiutati), condizione sufficiente di stabilità è che sia 0 apple c < 1 ( c > 1 è condizione sufficiente di instabilità) 16

17 INDICI DI PRESTAZIONE Sia 0 la probabilità che un generico servitore sia inattivo in un certo istante selezionato a caso, in condizioni di equilibrio stocastico (tale probabilità non dipende dal servitore in quanto si è assunto che le politiche di servizio non privilegiano alcun servitore) Il coefficiente di utilizzazione del generico servitore è definito come =1 0 Il throughput del generico servitore (numero medio di clienti che escono dal servitore nell unità di tempo) è (1 0 ) µ Il throughput complessivo del sistema è pertanto (1 0 ) µ m Poiché si assume che il sistema si trovi in condizioni di equilibrio stocastico si ha =(1 0 ) µ m e quindi = µ m (il coefficiente di utilizzazione corrisponde pertanto al coefficiente di carico precedentemente definito) 17

18 INDICI DI PRESTAZIONE Qualunque sia il sistema fisico considerato, le problematiche di interesse generalmente riguardano i costi (o i profitti) coinvolti I costi sono di solito suddivisi tra costi variabili, funzione di almeno una delle grandezze che caratterizzano la dinamica del sistema, e costi fissi, indipendenti dalla dinamica osservata e generalmente funzione della sola struttura fisica del sistema In un sistema coda i costi variabili sono generalmente legati al tempo di attesa dei clienti mentre i costi fissi sono generalmente legati al numero di servitori disponibili I clienti ritengono fondamentale la riduzione dei tempi di attesa Il gestore del sistema è perlopiù interessato al massimo sfruttamento delle risorse (servitori) pur cercando di rispettare le esigenze dei clienti 18

19 LEGGI FONDAMENTALI Per code del tutto generali possono essere forniti solo pochi risultati LEGGE DI LINDLEY In un sistema coda con un solo servitore e disciplina di servizio FIFO, si ha d i = max{a i,d i 1 } + T s,i La legge di Lindley riguarda solo il comportamento nel transitorio 19

20 LEGGI FONDAMENTALI LEGGE DI LITTLE Si riferisce a sistemi coda con un generico numero di servitori, in condizioni di equilibrio stocastico La legge di Little, che riguarda il comportamento a regime, definisce un legame tra il numero medio di clienti presenti nel sistema, tempo medio di permanenza nel sistema e frequenza degli arrivi. Tale legame è L q = T q La legge di Little è del tutto generale e non prevede, quindi, ipotesi in relazione alle statistiche dei processi degli arrivi e dei servizi, il numero di servitori, la politica di servizio, ecc. 20

21 LEGGI FONDAMENTALI LEGGE DI LITTLE L importanza della legge di Little risiede nel fatto che essa vale per qualsiasi sistema (in equilibrio stocastico) in cui possa essere identificato un processo di arrivi (di clienti) e possa essere chiaramente individuato un sistema, distinto da quanto si trova all esterno SISTEMA (si noti che in condizioni di equilibrio in media devono uscire dal sistema tanti clienti quanti entrano, altrimenti non si ha equilibrio) Si ha pertanto anche L w = T w 21

22 LEGGI FONDAMENTALI Sulla base delle precedenti relazioni e sulla base della legge di Little si ha L q L w 1 T q = T w + T s = + µ e quindi L q = L w + µ L q = L w + m 22

23 CODE DETERMINISTICHE D/D/1 Nelle code deterministiche gli istanti di arrivo dei clienti e i tempi di espletamento dei servizi richiesti sono noti a priori senza incertezza In questo caso si possono facilmente determinare le prestazioni del sistema. Se infatti la disciplina di servizio è FIFO, noti con esattezza i valori T s,i si possono calcolare attraverso la legge di Lindley gli istanti di uscita dei clienti dal sistema (ipotizzando d 0 =0) a i e Inoltre T w,i = d i a i T s,i Quindi, per calcolare il numero di clienti nel sistema all istante t, basta contare il numero di clienti i per cui a i apple t<d i (si considera che un cliente è già nel sistema nell istante in cui entra mentre non è più nel sistema nell istante in cui esce) Il caso totalmente deterministico è però difficile che avvenga nella realtà. In genere gli arrivi dei clienti e la durata dei servizi sono affetti da incertezza e sono pertanto modellati come processi stocastici 23

24 CODE MARKOVIANE Una coda markoviana è un sistema coda in cui il processo degli arrivi e il processo dei servizi sono processi di Poisson e sono quindi variabili aleatorie distribuite in modo esponenziale T a T s Un sistema coda di questo tipo corrisponde ad una catena di Markov a tempo continuo (CTMC) per cui è (potenzialmente) possibile determinare la distribuzione di probabilità a regime dello stato 24

25 E la coda markoviana più semplice CODA M/M/1 Tale tipologia di sistema coda può essere modellata come un processo birth-death a tempo continuo (CTMC-BD) in cui n =, n =0, 1, 2,... µ n = µ, n =1, 2, 3,... dove e µ sono rispettivamente il tasso medio di interarrivo e il tasso medio di servizio che caratterizzano il sistema coda L arrivo di un nuovo cliente in coda può essere infatti interpretato come una nascita; viceversa la fine di un servizio, quindi l uscita di un cliente dal sistema, può essere interpretato come una morte Si assume che la coda sia stabile ovvero = µ < 1 25

26 CODA M/M/1 Sulla base di quanto visto in relazione al processo birth-death a tempo continuo, si può affermare che, avendo supposto <1, esiste una distribuzione di probabilità a regime dello stato Dal punto di vista del sistema coda, esiste un regime se e solo se in media il sistema ha la potenzialità di servire i clienti più velocemente di quanto essi arrivino (altrimenti la lunghezza della coda è destinata ad aumentare indefinitamente e quindi non si raggiunge mai uno stato stazionario) Dai risultati ottenuti per il processo birth-death a tempo continuo si ha 0 = n = 1 1X n = 1+ µ n=1 1 1X 1+ n=1 n 0 = n 0,n 1 µ n 26

27 CODA M/M/1 1X Poiché <1, la serie n converge al valore n=1 1 0 = =1 n = n 0 = n (1 ),n 1 Sulla base di queste probabilità a regime dello stato è possibile calcolare gli indici di prestazione di interesse (numero medio di clienti nel sistema e nella fila di attesa e tempo medio di permanenza nel sistema e nella fila di attesa) 27

28 CODA M/M/1 Per quanto riguarda il numero medio di clienti nel sistema (o lunghezza media della coda) L q = 1X n n = 1X n n (1 ) =(1 ) 1X n n n=0 n=0 n=0 1X Con, la serie n n <1 converge al valore e quindi (1 ) 2 n=0 L q =(1 ) (1 ) = 2 1 = µ Dalla legge di Little si può calcolare il tempo medio di permanenza nel sistema T q = L q 1 µ = 1 = 1 µ(1 ) = 1 µ 28

29 CODA M/M/1 Inoltre T w = T q T s = 1 µ 1 µ = µ(µ ) = µ(1 ) Sempre dalla legge di Little si può calcolare il tempo medio di permanenza nella fila di attesa L w = T w = 2 µ(µ ) =

30 CODA M/M/1 Riassumendo, per quanto riguarda la coda M/M/1, gli indici di prestazione di interesse assumono i seguenti valori L q L w µ 2 µ(µ ) T q 1 µ(1 ) µ 1 T w µ(1 ) µ(µ ) 30

31 IL COEFFICIENTE DI UTILIZZAZIONE Per assicurare la stabilità del sistema ci deve essere una probabilità 0 =1 non nulla che il servitore sia inattivo Al crescere di aumenta l occupazione del servitore e quindi la permanenza media e il numero medio di clienti nel sistema, nonché la permanenza media e il numero medio di clienti nella fila di attesa T q Tempo medio di permanenza nel sistema in funzione del coefficiente di utilizzazione della macchina 1/µ 1 31

32 IL COEFFICIENTE DI UTILIZZAZIONE Un incremento di non introduce però solo svantaggi Se aumenta a causa di un maggiore arrivo di clienti, si ha come conseguenza una maggiore utilizzazione delle risorse disponibili Se l aumento di è dovuto all utilizzo di servitori meno veloci, dovrebbero diminuire i costi di acquisizione degli stessi Nella fase di progettazione di un sistema è quindi necessario fissare in modo da avere un giusto compromesso tra costi, prestazioni (qualità) e utilizzazione delle risorse Inoltre, fissato, si può dimensionare (sempre in fase di progetto) il flusso in modo da avere un tempo di attesa medio in un range assegnato Un altro fattore molto importante che è influenzato da raggiungimento del regime è il tempo di 32

33 IL COEFFICIENTE DI UTILIZZAZIONE Il tempo di raggiungimento del regime è il tempo dopo il quale le statistiche che descrivono il comportamento medio del sistema non variano più in modo significativo e quindi il processo che descrive la dinamica della coda può essere ritenuto praticamente stazionario con =0.7 il regime è raggiunto dopo meno di un migliaio di clienti con =0.85 il regime è raggiunto dopo una decina di migliaia di clienti con >0.95 il regime è raggiunto dopo diversi milioni di clienti E legittimo chiedersi se, in presenza di coefficienti di utilizzazione vicini all unità, i risultati ottenuti abbiano interesse pratico. Infatti pochi sistemi mantengono caratteristiche costanti per tempi così lunghi, sia per quanto riguarda l arrivo dei clienti che il servizio agli stessi 33

34 CODA M/M/m E la coda markoviana in cui sono presenti m servitori in parallelo Anche tale tipologia di sistema coda può essere modellata come un processo birth-death a tempo continuo (CTMC-BD). In questo caso però i rate di morte non sono indipendenti dallo stato Considerando il tasso medio di interarrivo servizio µ, si ha e il tasso medio di n =, n =0, 1, 2,... µ n = nµ n =1, 2,...,m 1 se se mµ n m La dipendenza da n del death-rate µ n si spiega con il fatto che più elevato è il numero di servitori attivi, più elevato deve essere µ n, fino ad un valore di n pari a m Da n = m in poi il numero di servitori attivi rimane costante e quindi anche deve rimanere costante µ n 34

35 CODA M/M/m Per quanto riguarda la stabilità della coda, in questo caso è necessario ipotizzare = mµ < 1 In questo caso infatti, facendo riferimento alla condizione per cui una CTMC-BD ammette una distribuzione di probabilità a regime dello stato, esiste j tale che j/µ j < 1 per ogni j j (basta prendere un qualunque j m ) Sotto tale ipotesi è pertanto possibile determinare le probabilità a regime dello stato, sfruttando i risultati ottenuti in relazione al processo birthdeath a tempo continuo Si noti che rappresenta il coefficiente di utilizzazione di ogni singolo servitore presente nel sistema coda 35

36 CODA M/M/m Le probabilità a regime dello stato che si ottengono sono 0 = n = " 8 >< >: 1+ mx 1 n=1 0 (m ) n n! (m ) n n! se 1 + (m )m m! m m 0 m! n se n m 1 1 # n =1, 2,...,m 1 Sulla base di queste probabilità a regime dello stato è possibile calcolare gli indici di prestazione di interesse a partire dal numero medio di clienti nel sistema 36

37 CODA M/M/m Il numero medio di clienti nel sistema è L q = 1X n=0 n n = m + (m )m m! (1 ) 2 0 Dalla legge di Little si può calcolare il tempo medio di permanenza nel sistema, che è T q = L q 1 = µ + 1 µ (m )m m! 1 m(1 ) 2 0 Da questi due valori si possono determinare, come fatto nel caso di coda M/M/1, gli indici di prestazione e L w T w 37

38 CODA M/M/m Nel caso specifico di due servitori (coda M/M/2) si hanno i seguenti indici di prestazione 0 n (1 ) L q L w n =1 n 1+ 2 n (1 ) T q 1 µ(1 2 ) n 2 1+ T w 2 µ(1 2 ) 38

39 CODA M/M/m Nel caso specifico di tre servitori (coda M/M/3) si hanno i seguenti indici di prestazione 0 2(1 ) L q 3 ( ) (1 )( ) n n =1 6 (1 ) L w 9 4 µ(1 )( ) n n =2 9 2 (1 ) T q µ(1 )( ) n n 3 9 n (1 ) T w 3 3 µ(1 )( ) 39

40 CODA M/M/m Sia S la variabile aleatoria che indica il numero di servitori attivi Il numero medio di servitori attivi è pertanto E[S] = mx 1 n n + 1X m n n=0 n=m che risulta essere, con opportuni calcoli E[S] =m = µ Tale valore esprime la cosiddetta probabilità di blocco, ovvero la probabilità che un cliente, al momento del suo arrivo, trovi tutti i servitori occupati 40

41 CODA M/M/ Rappresenta il caso limite della coda M/M/m vista in precedenza Serve a modellare una situazione in cui ogni cliente non deve mai attendere nella fila di attesa (quindi T w =0e T q = T s ) La capacità della coda M/M/ è illimitata Anche questa classe di sistema coda può essere modellata come un processo birth-death a tempo continuo (CTMC-BD) in cui n =, n =0, 1, 2,... µ n = nµ, n =1, 2, 3,... dove e µ sono come sempre il tasso medio di interarrivo e il tasso medio di servizio che caratterizzano il sistema coda In questo caso è evidente che, non essendoci permanenza dei clienti nella fila di attesa, la coda è stabile qualunque siano i valori e µ 41

42 CODA M/M/ Ponendo µ = (che però non ha più il significato fisico di coefficiente di carico del sistema) si ottiene dalle equazioni viste per le CTMC-BD 0 = X n=1 1 n µ(2µ)...(nµ) = X n=1 1 µ n! n = X n=1 n n! = 1 e =e n = n µ(2µ)...(nµ) 0 = n µ n n! 0 = n n! 0 e quindi 0 =e n =e n n!,n 1 42

43 CODA M/M/ La distribuzione di probabilità a regime dello stato è pertanto una distribuzione di Poisson Il valor medio di tale distribuzione corrisponde alla lunghezza media della coda e quindi L q = = µ Dalla legge di Little si ottiene il tempo medio di permanenza nel sistema T q = L q 1 = µ = T s che mette in evidenza come il tempo medio di permanenza nel sistema coda corrisponda al tempo medio di servizio (non essendoci attesa) Il modello M/M/ può servire a modellare situazioni in cui il servizio è sostanzialmente un ritardo puro e non c è nessuna linea di attesa E il caso ad esempio del trasporto dei pezzi su un nastro trasportatore 43

44 CODA M/M/ Riassumendo, per quanto riguarda la coda M/M/, si hanno i seguenti indici di prestazione L q µ L w 0 T q 1 µ T w 0 44

45 CODA M/M/1/K Si tratta del caso più semplice di coda con buffer limitato Si suppone che i clienti che arrivano quando il buffer è pieno siano semplicemente persi (ciò può essere modellato semplicemente imponendo che il processo degli arrivi si azzeri quando il buffer è pieno e si riaccende non appena nel buffer si libera una posizione) Anche questa classe di sistema coda può essere modellata come un processo birth-death a tempo continuo (CTMC-BD) in cui 0 apple n<k n = 0 n K µ n = µ 1 apple n apple K 0 n>k in cui K è il numero massimo di clienti nel sistema coda (quindi la dimensione del buffer è K 1 ) 45

46 CODA M/M/1/K E possibile riaccendere semplicemente il processo degli arrivi grazie alla proprietà memoryless che caratterizza la distribuzione esponenziale di tale processo (processo che comprende sia l arrivo dei clienti accettati che l arrivo dei clienti rigettati) Quando si riaccende il processo degli arrivi, ovvero quando un cliente esce dal sistema liberando quindi una posizione nel sistema, qualunque sia il tempo trascorso dall ultimo arrivo (accettato o rigettato), il tempo residuo che precede il prossimo arrivo ha sempre una distribuzione esponenziale E evidente che lo stato del sistema è in questo caso finito E banale quindi concludere che tutti gli stati sono ricorrenti positivi e pertanto è possibile determinare la distribuzione di probabilità a regime dello stato La coda M/M/1/K è stabile per definizione (anche in presenza di rapporti = /µ 1 ) 46

47 CODA M/M/1/K Partendo dai risultati ottenuti per le CTMC-BD si ha 0 = 1+ 1 KX n=1 n = µ n = 1+ µ µ µ K! = K 1 n 0 = n (solo se n apple K in quanto è ovvio che 0 µ se n>ksi ha sicuramente n =0) = 1 1 K+1 e quindi n = 8 >< >: 1 1 K+1 n 0 apple n apple K 0 n>k 47

48 CODA M/M/1/K La coda media risulta in questo caso L q = KX n=0 n n = 1 1 K+1 KX n=0 n n = 1 K+1 " 1 K 1 K K # Per determinare T q si può utilizzare la legge di Little. Essa deve però essere utilizzata tenendo conto del flusso effettivamente entrante nel sistema (flusso efficace). Esso è h i e = Pr{L(t) <K} = 1 Pr{L(t) =K} = " K 1 (1 ) 1 K+1 # = 1 K 1 K+1 Il tempo medio di permanenza nel sistema è quindi T q = L " q 1 1 K = µ (1 K ) 1 e K K # 48

49 CODA M/M/1/K Dai valori L q e T q si possono determinare, nel modo consueto già visto in precedenza, gli indici di prestazione e Essendo il sistema in condizioni di equilibrio stocastico, il throughput del sistema è uguale a e L utilizzazione del server è L w T w 1 0 = 1 1 K = 1 K+1 1 K+1 La probabilità di blocco è K =(1 ) K 1 K+1 49

50 CODA M/M/1/K Riassumendo, per quanto riguarda la coda M/M/1/K, si hanno i seguenti indici di prestazione L q L w 1 K+1 1 " 1 1 K T q µ (1 K ) 1 " 1 1 K T w 1 K+1 " 1 K 1 " 1 K µ (1 K ) 1 # K K # K K # K K # K K 50

51 CODE NON MARKOVIANE Nei modelli non markoviani almeno uno tra l intertempo di arrivo e il tempo di servizio non è una variabile aleatoria distribuita in modo esponenziale In generale, l utilizzo di una variabile aleatoria distribuita in modo esponenziale per quanto riguarda l intertempo di arrivo è accettato nella maggior parte dei casi. Pertanto si considererà la possibilità che sia il tempo di servizio ad essere rappresentato da una variabile aleatoria non esponenziale In ogni caso, lo studio dei sistemi coda in cui non siano rispettate le ipotesi di markovianità si presenta assai più complesso di quello nel caso markoviano Ci limiteremo a presentare alcuni risultati in relazione alle code M/G/1, M/D/1 e M/Ek/1 51

52 CODA M/G/1 La coda M/G/1 ha arrivi poissoniani (con frequenza ), ma tempi di servizio qualunque, purché indipendenti e omogenei (cioè con la stessa distribuzione di probabilità) e con media e varianza note µ = 1 E[T s ] 2 = Var[T s ]=E (T s E[T s ]) 2 La condizione di stazionarietà è sempre = µ < 1 Per tale classe di coda, la formula di Khinchine-Pollaczek fornisce la lunghezza media del buffer L w = 2 (1 + 2 µ 2 ) 2(1 ) da cui si possono calcolare, nel modo usuale, i tempi T q = T w +1/µ e la lunghezza L q = T q T w = L w / e Si osservi che L w cresce con e quindi un servitore regolare (ovvero con bassa varianza del tempo di servizio) ha prestazioni migliori 52

53 CODA M/D/1 La coda M/D/1 ha arrivi poissoniani (con frequenza servizio costante (uguale a µ ) ) e tempo di E un caso particolare di coda M/G/1 con varianza nulla ( =0) In questo caso, la formula di Khinchine-Pollaczek si riduce a L w = Si osservi che il numero medio di clienti in attesa di servizio è per una coda M/D/1 la metà che per una coda M/M/1 2 2(1 ) 53

54 CODA M/Ek/1 La coda M/Ek/1 è utilizzata per modellare casi intermedi in cui, oltre che la media e la varianza, è nota anche la forma della distribuzione di probabilità della variabile aleatoria tempo di servizio Ek indica che il tempo di servizio è una variabile aleatoria con distribuzione di Erlang di ordine k f(t) = (kµ)k t k (k 1)! 1 e kµt,t 0 dove k è un intero positivo detto fattore di forma 1 1 La distribuzione di Erlang di ordine k ha media e varianza µ kµ 2 Ek è quindi una variabile aleatoria non negativa che dipende da due parametri: µ e k, dove il primo determina la media e il secondo determina la varianza 54

55 CODA M/Ek/1 k =1 k =2 k =4 k =8 k = 16 ERLANG PROBABILITY DISTRIBUTION FUNCTION (al variare del parametro k) 55

56 CODA M/Ek/1 Per k!1 normale la distribuzione di Erlang tende a diventare la distribuzione Un importante proprietà che riguarda la distribuzione di Erlang e la distribuzione esponenziale è la seguente La somma T = T 1 + T T k di k variabili aleatorie indipendenti distribuite in modo esponenziale, ciascuna con media 1/kµ, è una variabile aleatoria con distribuzione di Erlang di ordine k e parametri µ e k L importanza di tale proprietà risiede nel fatto che è possibile modellare un servitore che ha un tempo di servizio che è una variabile aleatoria con distribuzione di Erlang di ordine k attraverso k code markoviane poste in successione (in cui però il servitore della prima coda non può iniziare un nuovo servizio fino a quando il servitore dell ultima coda non ha concluso il proprio) 56

57 CODA M/Ek/1 Per la coda M/Ek/1 si ricava che L w = (1 + k) 2 µ(µ ) da cui si possono calcolare, nel modo usuale, i tempi T q = T w +1/µ e la lunghezza L q = T q T w = L w / e 57