Soluzioni Cat. M2 (Alunni di seconda Media)

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1 Settima Edizione Giochi di Achille e la tartaruga 15-DIC Chieti Il Responsabile coordinatore dei giochi: Prof. Agostino Zappacosta Chieti tel (cell.: ) agostino_zappacosta@libero.it Soluzioni Cat. M2 (Alunni di seconda Media) Quesito Risposta esatta C C B B A E D E E A Vale punti Il massimo punteggio previsto è 100. Una risposta mancante vale 1 punto. Una risposta sbagliata vale 0 punti. Quesito 1 (vale 4 punti) [Ma dov è la verità?] Qual è l affermazione vera? A) la somma di cinque numeri dispari è un numero pari; B) la somma di cinque numeri pari è un numero dispari; C) la somma di quattro numeri dispari non è un numero dispari; D) la somma di cinque numeri pari non è un numero pari; E) la somma di sei numeri pari non è un numero pari. Soluzione Quesito 1: C). A) è falsa: la somma di cinque numeri dispari dà sempre un numero dispari; B) è falsa: la somma di cinque numeri pari dà sempre un numero pari; C) è vera: la somma di quattro numeri dispari dà sempre un numero pari che non è dispari; D) è falsa: la somma di cinque numeri pari dà sempre un numero pari; E) è falsa: la somma di sei numeri pari è sempre un numero pari. Quesito 2 (vale 4 punti) [Chi è meno vecchio?] Dei miei cinque compagni ho le seguenti informazioni: 1) Carlo è nato sette mesi dopo di Luciana, ma solo quattro mesi dopo di Diego. 2) Luciana è nata 4 mesi dopo di Gianna ma tre mesi prima di Diego; 3) Gianna è nata dodici mesi prima di Anacleto; 4) Anacleto è nato cinque mesi dopo di Diego e otto mesi dopo di Luciana. Sapendo che Luciana è nata nel mese di agosto 1999, chi (dei cinque) è nato dopo? A) Carlo; B) Luciana; C) Anacleto; D) Gianna; E) Diego. Soluzione Quesito 2: C) Anacleto. Per semplicità con una M indichiamo un mese. Così la seguente scrittura: Luciana M M M M M M M Carlo sta a significare che Carlo è nato 7 mesi dopo la nascita di Luciana oppure (è la stessa cosa) che Luciana è nata sette mesi prima della nascita di Carlo. Soluzioni_M2_VII-Ed._ _Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga [Il mago dei numeri CH-ITALIA]Pag. 1

2 Adesso bisogna ricostruire tutte le informazioni: 1) Luciana M M M Diego M M M M Carlo; 2) Gianna M M M M Luciana M M M Diego 3) Gianna M M M M M M M M M M M M Anacleto; 4) Luciana M M M Diego M M M M M Anacleto. Ed ecco la ricostruzione: 1) Luciana M M M Diego M M M M Carlo; 2) Gianna M M M M Luciana M M M Diego 3) Gianna M M M M M M M M M M M M Anacleto; 4) Luciana M M M Diego M M M M M Anacleto. Perciò, Anacleto, che è il più giovane (quello che è nato topo di tutti) è anche il meno vecchio!! Adesso siamo in grado di ricostruire i mesi di nascita dei cinque ragazzi: Quesito 3 (vale 4 punti) [Dadi magici] Quanto vale il prodotto dei numeri nascosti (che non si vedono), in questi due dadi? Nota: qualsiasi dado di forma cubica presenta sulle sue sei facce i numeri da 1 a 6. A) 240; B) 12960; C) 21600; D) 144; E) 90. Soluzione Quesito 3: B) I numeri non visibili sul primo dado sono: 3, 5 e 6; i numeri non visibili sul secondo dado sono: 2, 3, 4 e 6. Il loro prodotto vale: 90x144 = Quesito 4 (vale 4 punti) [Quanti bastoncini?] Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Per costruire la prima figura abbiamo adoperato 5 bastoncini. Per la seconda figura abbiamo adoperato qualche bastoncino in più. Per la terza figura, ancora altri bastoncini. Continuando a costruire figure nello stesso modo, quanti bastoncini saranno necessari per la centesima figura? A) 502; B) 401; C) 501; D) 500; E) nessuno dei precedenti Soluzione Quesito 4: B) 401 bastoncini. Passando dalla figura 1 alla 2 si devono aggiungere 4 bastoncini Per passare dalla figura 2 alla 3 se ne devono aggiungere altri 4. Per passare dalla figura 3 alla 4 se ne devono aggiungere altri 4. E così via. Quindi per passare dalla figura 1 alla figura 100, devo aggiungere per 99 volte 4 bastoncini e 99x4 = 396 bastoncini che devono essere aggiunti ai 5 iniziali. Quindi: 5+396= 401 bastoncini. Quesito 5 (vale 5 punti) [Mattoni su 4 dita] Questo atleta, oltre a sollevare il suo corpo, è capace di sollevare anche 5 mattoni. Si sa che mezzo mattone più tre mattonelle pesano come un mattone. Una mattonella pesa 600 grammi. Sapendo che il suo peso corrisponde a 20 mattoni, qual è il peso (in kg) che l atleta riesce a sollevare stando in equilibrio su quattro dita? A) 90 kg; B) 76.6 kg; C) 66.6 kg; D) 86.6 kg; E) nessuno dei precedenti. Soluzioni_M2_VII-Ed._ _Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga [Il mago dei numeri CH-ITALIA]Pag. 2

3 Soluzione Quesito 5: A) 90. Se mezzo mattone valgono tre mattonelle, un mattone equivale a 6 mattonelle. Un mattone, perciò pesa 6x0.6 = 3600 g = 3.6 Kg. Il peso dell atleta + 5 mattoni corrisponde al peso di 25 mattoni (20+5). Perciò l atleta riesce a sollevare 90 kg (25x3.6). Quesito 6 (vale 5 punti) [ore simmetriche!?!?] Sul quadrante di un orologio digitale le ore ed i minuti vengono indicati ciascuno con due cifre (da 00 a 23 per le ore e da 00 a 59 per i minuti). Durante le 24 ore della giornata, quanti numeri simmetrici vedremo sul quadrante considerando le 4 cifre? (l ordine è quello usuale: le prime due cifre da sinistra indicano.le ore; le altre due cifre poste a destra indicano i minuti). Nota Bene: Un numero è simmetrico quando le cifre equidistanti dagli estremi sono uguali: così: 03:30; 12:21; 23:32 sono ore simmetriche. Per indicare mezzanotte si adoperano quattro zeri 00:00 e non 24:00. A) 24; B) 23; C) 18; D) 17; E) nessuno dei precedenti. Soluzione Quesito 6: E) 16. I numeri che si possono adoperare per le ore sono da 00 fino a 23. Però non possono finire per 6, 7, 8 o 9 i cui simmetrici andrebbero oltre il 59 dei minuti. Perciò 06:60 non va bene perché i minuti si fermano a 59 per ricominciare da 00. Lo stesso vale per 07:70; 08:80 e 09:90; 16:61; 17:71: 18:81: 19:91 che sono tutti da escludere. Ecco l elenco completo: 00:00; 01:10; 02:20; 03:30; 04:40; 05:50; 10:01; 11:11; 12:21; 13:31: 14:41; 15:51; 20:02; 21:12; 22:22; 23:32. Quesito 7 (vale 5 punti) [quanti sono??!!] Se prendo tutti i numeri, da 11 a 99 (escludendo i numeri che finiscono per zero), quanti di questi diminuiscono di valore se scambio di posto le due cifre? A) 55; B) 40; C) 45; D) 36; E) nessuno dei precedenti. Soluzione Quesito 7: D) 36. I numeri di due cifre che non finiscono per zero sono 9x9 = 81. (ragionando in altro modo:90-9 = 81). Nello scambio delle due cifre il numero diminuisce solo quando la cifra delle decine supera quella delle unità. Nello scambio delle cifre: da 11 a 19 nessuno diminuisce di valore Da 21 a 29 solo 1 diminuisce di valore: 21; Da 31 a 39 solo 2 diminuiscono di valore: 31 e 32; Da 41 a 49 solo 3 diminuiscono di valore: 41; 42; e 43; Da 51 a 59 solo 4 diminuiscono di valore: 51; 52; 53 e 54; Da 61 a 69 solo 5 diminuiscono di valore: 61; 62; 63, 64 e 65; Da 71 a 79 solo 6 diminuiscono di valore: 71; 72; 73; 74; 75 e 76; Da 81 a 89 solo 7 diminuiscono di valore: 81; 82; 83; 84; 85; 86; 87; Da 91 a 99 solo 8 diminuiscono di valore: 91; 92; 93; 94; 95; 96; 97; 98. Ricapitolando, nello scambio delle due cifre, i numeri che diminuiscono di valore sono 36: = 36. Quesito 8 (vale 5 punti) [Ma la testa dove ce l hai?.. e adesso pedala!!!!] Marcellino si sta godendo le vacanze al mare lungo la costa abruzzese, nei pressi di San Vito Chietino. Il 3 luglio, decide di tornare in bicicletta al suo paese (Guardiagrele) dove l amico lo aspetta. Senonché, dopo aver percorso un terzo di strada, si accorge di aver dimenticato la chiave di casa di Guardiagrele. Allora torna indietro per riprendere la chiave lasciata nella casa al mare. Ripresa la chiave, ritorna al paese. Sapendo che la distanza tra le due case è esattamente di 30 km, che la sua velocità media è stata di 25 km all ora e che ha perso mezz ora per le soste, quanto tempo ha impiegato Marcellino complessivamente per tornare dal mare a Guardiagrele? A) tre ore e mezza; B) 3 ore; C) 150 minuti; D) 120 minuti; E) 2 ore e mezza. Soluzioni_M2_VII-Ed._ _Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga [Il mago dei numeri CH-ITALIA]Pag. 3

4 Soluzione Quesito 8: E) due ore e mezza La distanza tra le due abitazioni è di 30 km. Quando si accorge di non avere la chiave ha già percorso un terzo del tragitto che corrisponde a 10 km (km 30:3). Per tornare alla casa sul mare deve rifare questi dieci km. Infine per tornare al paese deve percorrere i trenta km che separano le due abitazioni (quella delle vacanze e quella principale). I km percorsi saranno perciò: = 50 km. Marcellino in un ora percorre 25 km. Per percorrere l intero tragitto impiegherà esattamente due ore: (2h = 50 km : 25 km orari). Aggiungendo la mezz ora persa per le soste Marcellino complessivamente per tornare dal mare a Guardiagrele ha impiegato due ore e mezza? Quesito 9 (vale 6 punti) [La sveglia. che non vuole camminare!!!!] Una sveglia ha le lancette ferme. Quante volte nel corso del secondo bimestre dell anno 2011 ha segnato l ora esatta? A) Due volte; B) 2011 volte; C) 61 volte; D) Mai; E) Nessuna delle precedenti. Soluzione Quesito 9: E) 122 volte. Nel corso di un giorno (formato da 24 ore), l orologio dà due volte l ora esatta. Il secondo bimestre dell anno 2011 è formato da 61 giorni (31 giorni di marzo e 30 giorni di aprile: = 61). Quella sveglia perciò, nel corso del secondo bimestre, ha segnato per 122 volte (61x2) l ora esatta. Quesito 10 (vale 6 punti) [Che calcoli!!!] Se dal triplo della differenza tra 57 e la sua terza parte, tolgo il prodotto tra il doppio e la metà di 6, che numero ottengo? A) 78; B) 57; C) 70; D) 66; E) nessuno dei precedenti. Soluzione Quesito 10: A) 78 Si tratta di trasformare le parole in una espressione. La differenza tra 57 e la sua terza parte si può indicare così: (57 57 : 3). Il triplo di questa differenza, allora, si indicherà in questo modo: 3x(57 57 : 3). (a) Il prodotto tra il doppio e la metà di 6 si può indicare in questo modo: 12x3. (b) Se (b) deve essere tolto da (a) ecco che arriviamo all espressione finale: 3x(57 57 : 3) - 12x3. Eseguiamo i calcoli: 3x(57-19) 36 = 3x38 36 = = 78. Quesito 11 (vale 6 punti) [Quante disposizioni diverse?] Nella griglia formata da 15 caselle bisogna mettere questi tre simboli:,,, in modo che: 1) non ci sia più di un simbolo nella stessa colonna; 2) ci sia almeno un simbolo per ogni riga; 3) siano presenti tutti e solo i tre simboli. In quanti modi diversi posso disporre i tre simboli? Soluzione Quesito 11: 360 combinazioni diverse. Inserendo il simbolo in una delle cinque caselle della prima riga; il secondo simbolo, si può inserire in ciascuna delle quattro caselle restanti della seconda riga e il terzo simbolo in una delle tre caselle rimaste a disposizione nella terza riga. In tutto 5x4x3 = 60 combinazioni. Tenendo conto che i tre simboli possono presentare un ordine diverso in 6 modi diversi: Soluzioni_M2_VII-Ed._ _Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga [Il mago dei numeri CH-ITALIA]Pag. 4

5 ,, ;,, ;,, ;,,, ;,, ;,,. Avremo in tutto 60x6 = 360 combinazioni diverse. Quesito 12 (vale 6 punti) [Combinazioni orologio-calendario] Ora Minuti Giorno Mese Anno Questo orologio digitale oltre ad indicare le ore ed i minuti, indica la data (giorno, mese ed anno). [Negli orologi digitali le ore vanno da 00 a 23, mentre i minuti vanno da 00 a 59]. Nell esempio riportato sopra l orologio indica le ore 20:09 del 20 settembre del Nell esempio riportato sopra notiamo che, partendo dalla sinistra, il numero 2009 si ripete per tre volte. Dal 2000 al 2050 quante volte si verifica questo fatto? Attenzione: da 2000 a 2050 sono in tutto 51 anni. Soluzione Quesito 12: 12 volte. Per l anno non possiamo formare il mese 00 (che non esiste). Dall anno 2013 non abbiamo il 13 mese e quindi è impossibile formare il numero richiesto. Restano solo 12 possibilità (dal 2001 al 2012) (vedi tabella). Anno Ora-minuti Giorno-mese Anno Osservazioni ?? Impossibile Possibile Possibile.... Possibile Possibile Possibile Impossibile.... Impossibile Impossibile Impossibile Quesito 13 (vale 8 punti) [Attenzione a non rompere le damigiane!!!] Una damigiana di vino quando è piena per un quarto della sua capienza pesa 23 kg. Se invece è piena per tre quarti pesa 53 kg. Quanto pesa la damigiana vuota? Nota Bene: 1 litro di vino pesa 1 chilo. Soluzione Quesito 13: kg 8. Se dalla damigiana piena per tre quarti togliamo un quarto, la quantità tolta è pari a kg (53-23) = 30 kg. Ma ¾ - 1/4 = 2/4 = 1/2 Se la metà è 30 Kg, il vino contenuto dalla damigiana piena sarà kg (30x2) = 60 kg. Un quarto di 60 è uguale a 15 kg di vino. La damigiana vuota peserà: kg (23-15) = 8 kg. Soluzioni_M2_VII-Ed._ _Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga [Il mago dei numeri CH-ITALIA]Pag. 5

6 Quesito 14 (vale 8 punti) [Attenzione alla media aritmetica!!] Arianna dopo i primi quattro compiti di matematica, ha una media aritmetica di 6.5 (sei e mezzo). Se al quinto compito ha preso 9 quale sarà la nuova media? Nota: se adoperate numeri decimali, prendete solo le prime due cifre decimali. Soluzione Quesito 14: 7. Come si sa, la media aritmetica dei voti si trova eseguendo la divisione tra la somma dei voti e il numero dei voti. Nell effettuare la media precedente (pari a 6.5) questo risultato è venuto fuori dopo aver diviso la somma dei quattro voti per 4.La somma dei quattro voti era quindi 26 (6.5x4). A questo totale debbo aggiungere il quinto voto (9) e ottengo 35 (26+9) che rappresenta la somma di 5 voti. La nuova media sarà 35:5= 7. Quesito 15 (vale 12 punti) [Ma quanto costa ricoprire un tavolo!!!] La figura a fianco mostra una delle sette banconote entrate in vigore dal 1 gennaio 2002 in quelle nazioni europee che hanno aderito alla moneta comune. Francesca vuole ricoprire con banconote da euro il piano rettangolare della sua scrivania (dimensioni 133 cm x 64.8 cm). Qual è il numero minimo di banconote da 20 che gli permette di ricoprire tutto il piano (evitando sovrapposizioni o zone scoperte)? 133 mm x 72 mm Soluzione Quesito 15: 90 banconote. Mettendo 10 banconote accostate in modo da far combaciare il lato più corto ricopriamo una parte di tavolino della lunghezza di 133 cm (133 mm x 10 = 1330 mm = 133 cm) e larghezza 72 mm. Formando, in tutto, nove di queste strisce, avremo ricoperto tutto il tavolino. Infatti 72 mm x 9 = = 648 mm = 64.8 cm. In tutto abbiamo adoperato 90 banconote da (10x9). Quesito 16 (vale 12 punti) [Aguzzate bene la vista!!!] Quanti rettangoli di tutte le dimensioni, escludendo i quadrati, vedete in questa figura? Soluzione: 104 I rettangoli 2x1 e 1x2 sono = 28 (Fig. 1 e Fig. 2); i rettangoli 3x1 e 1x3 sono 8+8 = 16 (Fig. 3 e Fig. 4); i rettangoli 4x1 e 1x4 sono 4+4 = 8 (Fig. 5 e Fig. 6); i rettangoli 3x2 e 2x3 sono = 16 (Fig. 7; Fig. 8; Fig. 9 e Fig. 10); i rettangoli 4x2 e 2x4 sono = 18 (Fig. 11; Fig. 12; Fig. 13 e Fig. 14); i rettangoli 5x2 e 2x5 sono 2+2 = 4 (Fig. 15 e Fig. 16); i rettangoli 4x3 e 3x4 sono 2+2 = 4 (Fig. 17 e Fig. 18); i rettangoli 6x2 e 2x6 sono 3+3 = 6 (Fig. 19 e Fig. 20); i rettangoli 6x4 e 4x6 sono 2+2 = 4 (Fig. 21 e Fig. 22). Concludendo i rettangoli sono: ( ) = = 104 Soluzioni_M2_VII-Ed._ _Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga [Il mago dei numeri CH-ITALIA]Pag. 6

7 Fig. 1 - rett. (2x1): 4+6+4=14 Fig. 2 - rett. (2x1): 4+6+4=14 Fig. 3 - rett. (3x1): 2x4=8 Fig. 4 - rett. (3x1): 2x4=8 Fig. 5 - rett. (1x4): 1x4=4 Fig. 6 - rett. (4x1): 1x4=4 Fig. 7 - rett. (3x2): 2x3=6 Fig. 8 - rett. (2x3): 3x2=6 Fig. 9 - rett. (3x2): 1x2=2 Soluzioni_M2_VII-Ed._ _Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga [Il mago dei numeri CH-ITALIA]Pag. 7

8 Fig rett. (2x3): 2x1=2 Fig rett. (4x2): 3x1=3 Fig rett. (2x4): 1x3=3 Fig rett. (4x2): 3x2=6 Fig rett. (2x4): 2x3=6 Fig rett. (5x2): 2x1= 2 Fig. 16- rett. (2x5): 1x2=2 Fig rett. (4x3): 2x1= 2 Fig rett. (3x4): 2x1= 2 Soluzioni_M2_VII-Ed._ _Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga [Il mago dei numeri CH-ITALIA]Pag. 8

9 Fig rett. (6x2): 3x1= 3 Fig rett. (2x6): 1x3= 3 Fig rett. (6x4): 1x2= 2 Fig rett. (4x6): 2x1= 2 Soluzioni_M2_VII-Ed._ _Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga [Il mago dei numeri CH-ITALIA]Pag. 9