MANUALE DI OTTICA. per il secondo biennio dell'indirizzo di ottica (professionale) (Interferenza, diffrazione e polarizzazione della luce)

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1 - D.1 - MANUALE DI OTTICA per il secondo biennio dell'indirizzo di ottica (professionale) (Interferenza, diffrazione e polarizzazione della luce) a cura dei docenti dell'iis G.Galilei - Milano Agosto 013

2 - D. - J - LE ONDE Sappiamo che la luce, del cui studio si occupa, l'ottica, è costituita da onde elettromagnetiche. I concetti di onda e di propagazione di onde sono talmente importanti che ad essi si dedica una parte a sé stante della fisica, che comprende oltre all'ottica anche l'acustica, ossia lo studio delle onde sonore, che sono elastiche che si propagano nei mezzi materiali. Tratteremo prima la propagazione delle onde in generale, poi la propagazione delle onde luminose. 1. Le onde: esempi e classificazione Sono molti i fenomeni che nella vita quotidiana ci presentano moti ondulatori. La superficie del mare o quella di un lago, per esempio, ci appaiono solcate da onde che generalmente si propagano dal largo verso la riva. Se gettiamo nell acqua un sasso vediamo apparire una serie di onde circolari che, come anelli concentrici, si propagano a partire dal punto in cui il sasso ha toccato la superficie dell acqua. Se pizzichiamo un elastico teso o la corda tesa di una chitarra otteniamo un moto oscillatorio molto rapido. Ma molti altri fenomeni, ancora più comuni di quelli appena ricordati, come il suono, la luce o la trasmissione di segnali attraverso apparecchi radiofonici o televisivi, si basano sulla propagazione di onde, anche se per le loro caratteristiche non siamo in grado di evidenziarne la natura ondulatoria con i nostri sensi. Figura 1. Onde che si propagano sulla superficie dell acqua. Figura. Le corde di una chitarra oscillano con un moto ondulatorio.

3 - D.3 - Tutti questi fenomeni presentano due caratteristiche comuni: - sono generati, in un punto di un mezzo materiale continuo o anche del vuoto, da una perturbazione che non rimane confinata in quel punto ma si propaga ai punti adiacenti; quando per esempio un sasso, cadendo sulla superficie dell acqua ed entrandovi, la abbassa in quel punto, questa variazione del livello dell acqua si trasmette ai punti vicini propagandosi verso l esterno; - si ha una trasmissione di informazione senza che vi sia un trasporto di materia; quando si osservano delle onde che raggiungono la riva di un lago, se ne può dedurre che in qualche punto la superficie dell acqua è stata perturbata: o perché vi è stato gettato un sasso, o dal vento, o dal passaggio di una barca ; non vi è però spostamento di acqua dal punto in cui è caduto il sasso fino alla riva, come si può verificare osservando il moto di un corpo galleggiante sull acqua, che viene fatto oscillare verticalmente dall onda ma non la segue mentre essa si propaga in direzione orizzontale. La classificazione delle onde secondo la loro natura fisica La grande varietà di fenomeni diversi nei quali si ha propagazione di onde impone una loro classificazione. Un primo tipo di classificazione corrisponde alla natura fisica della perturbazione che si propaga. Quando la perturbazione riguarda un corpo elastico, come nel caso delle vibrazioni di una corda tesa o di una lastra metallica, si parla di onde elastiche. Quando invece la perturbazione riguarda il campo elettromagnetico, come nel caso della luce, si parla di onde elettromagnetiche. Le onde elettromagnetiche possono propagarsi in un mezzo materiale, ma anche nel vuoto. Le onde elastiche, invece, si propagano solamente nei mezzi materiali. Un esempio di onde elastiche: le onde trasversali in una corda tesa Supponiamo di tenere con una mano un estremità di una lunga corda tesa orizzontalmente, che abbia l altra estremità fissata a una parete. Se imprimiamo con la mano una leggera oscillazione verticale, l oscillazione si propaga lungo la corda, comunicandosi alle sue successive porzioni che via via si mettono in movimento: abbiamo generato un onda che si propaga lungo la corda. v v v v Figura 3. Se imprimiamo con una mano un oscillazione verticale a una corda orizzontale fissata a una parete, si propaga un onda trasversale lungo la corda.

4 - D.4 - Perché l onda si propaga lungo la corda? Quando l estremo della corda viene spostato, per esempio verso l alto, tende a trascinare con sé la porzione di corda più vicina, esercitando su di essa una forza. Ma a causa della sua massa questa porzione di corda oppone una resistenza alla forza: si sposta anch essa verticalmente, ma con un certo ritardo. A sua volta essa comunica il movimento verticale a una successiva porzione della corda, e così via. Quanto maggiore è la distanza dal punto in cui inizia il movimento, tanto maggiore è il ritardo con cui la corda inizia a oscillare. La perturbazione impiega un certo tempo a comunicarsi alle varie porzioni della corda, e quindi l onda si propaga lungo la corda con una velocità v finita (figura 3). L onda che si propaga lungo la corda tesa è un esempio di onda elastica, perché le forze che determinano la sua propagazione sono di natura elastica: ogni porzione della corda tesa resiste alla perturbazione con una forza che è proporzionale alla perturbazione stessa. Mentre l onda si propaga nella direzione della corda, le singole porzioni della corda oscillano muovendosi in direzione trasversale rispetto a quella individuata dalla corda. Quando, come in questo caso, il movimento oscillatorio avviene in direzione perpendicolare rispetto alla direzione di propagazione dell onda, si dice che l onda è un onda trasversale. Le onde elastiche che si propagano in una corda tesa sono quindi onde trasversali. Come vedremo, anche le onde elettromagnetiche di cui è composta la luce sono onde trasversali. Un secondo esempio di onde elastiche: le onde sonore Quando un onda trasversale si propaga lungo una corda tesa facendola oscillare, spesso udiamo un suono. Questo avviene, per esempio, con molti strumenti musicali, come la chitarra, il violino o il pianoforte, nei quali il suono è prodotto appunto dalla vibrazione di corde tese. In altri casi il suono può essere prodotto dalla vibrazione di una membrana tesa, come per esempio nel caso del tamburo. Qual è il legame tra la vibrazione della corda (o della membrana) e il suono che viene prodotto? Consideriamo una piccola porzione di una membrana tesa verticalmente, come quella mostrata nella figura 4. A un certo istante la membrana inizia a muoversi alternativamente avanti e indietro. Si muove prima in avanti di un breve tratto: gli strati di aria più vicini alla membrana vengono compressi; la pressione e la densità in questi strati risultano maggiori che nell aria circostante, e questa perturbazione si comunica agli strati di aria adiacenti, dando origine a un impulso di compressione che si propaga allontanandosi dalla membrana. Nel suo moto oscillatorio la membrana torna poi rapidamente indietro, determinando una rarefazione degli strati di aria adiacenti alla sua superficie; la pressione e la densità in questi strati sono minori che nell aria circostante, questa perturbazione si comunica agli strati di aria adiacenti e si produce un impulso di rarefazione che segue il precedente strato di compressione. a) b) c) d) Figura 4. La vibrazione di una membrana produce nell aria circostante un onda sonora, ossia un onda longitudinale costituita da successive compressioni e rarefazioni che si propagano allontanandosi dalla membrana.

5 - D.5 - Oscillando in modo continuo, la membrana dà origine a una successione continua di compressioni e di rarefazioni che costituiscono un onda sonora. Se quest onda sonora raggiunge un altra membrana tesa tende a comunicarle lo stesso moto oscillatorio: è quanto avviene con il timpano del nostro orecchio o con la membrana di un microfono, che si mettono a vibrare quando sono raggiunti da un onda sonora e permettono quindi di rivelarla. Le onde sonore, ossia le onde generate nell aria o in un altro mezzo materiale dalla vibrazione di sorgenti sonore come corde, piastre o membrane, sono quindi onde elastiche. Più precisamente, si considerano onde sonore quelle onde che abbiano una frequenza di oscillazione compresa tra 0 e Hz, compresa cioè entro i limiti di udibilità dell orecchio umano (limiti che normalmente sono diversi da persona a persona: solo persone molto giovani possono udire i suoni con frequenza agli estremi di questo intervallo). Percepiamo come suoni acuti le onde sonore di frequenza molto alta e come suoni gravi le onde sonore di bassa frequenza. Le onde elastiche che si propagano in un mezzo materiale con una frequenza inferiore a 0 Hz prendono il nome di infrasuoni, mentre a frequenze superiori a Hz si hanno gli ultrasuoni. La velocità con cui si propagano le onde sonore nell aria è di circa 340 m/s. In altri materiali le onde sonore si propagano con velocità diversa. Poiché le onde sonore sono onde elastiche, possono propagarsi soltanto all interno di un mezzo materiale, come l aria o un altro mezzo gassoso, liquido o solido. Le onde sonore non si possono dunque propagare nel vuoto, come può essere provato ponendo una sorgente sonora all interno di una campana di vetro dalla quale venga estratta l aria mediante una pompa: una volta ottenuto il vuoto, il suono della sorgente sonora non viene più percepito. La propagazione di onde elastiche corrisponde sempre a qualche movimento oscillatorio delle particelle che compongono il mezzo materiale entro cui l onda si propaga. Come si può notare considerando il moto di oscillazione della membrana tesa che produce l onda sonora o quello della membrana che la rivela, questo moto oscillatorio avviene nella stessa direzione in cui si propaga l onda sonora. Un onda di questo tipo, nella quale il movimento oscillatorio avviene nella stessa direzione di propagazione dell onda, è un onda longitudinale. Le onde sonore sono quindi onde longitudinali. Esistono altri esempi di onde longitudinali. Consideriamo per esempio una molla tesa verticalmente, con l estremo inferiore fissato al pavimento (figura 5). Con un brusco movimento facciamo oscillare verso l alto e verso il basso l estremo superiore della molla. Le spire della molla iniziano a vibrare verso l alto e verso il basso, dando luogo lungo la molla a un onda di compressione e rarefazione, mentre ogni singola spira oscilla nella stessa direzione in cui si propaga l onda. Anche l onda che si propaga lungo la molla, quindi, è un onda longitudinale. v v v v Figura 5. Se imprimiamo con una mano un oscillazione verticale a una molla posta verticalmente con l estremo inferiore fissato a terra, si propaga un onda longitudinale lungo la corda.

6 - D.6 - Un terzo esempio di onde elastiche: le onde di superficie Consideriamo ora un onda che si propaga sulla superficie di un liquido, per esempio l onda circolare generata sulla superficie di uno specchio d acqua da un sasso che vi cade dall alto. Entrando nell acqua il sasso sposta un certo volume d acqua. Poiché l acqua è praticamente incomprimibile, un poco di acqua deve spostarsi per far posto al sasso, determinando un innalzamento del livello dell acqua nella zona circostante il punto di caduta del sasso (figura 6.a). L acqua così accumulata ricade nell acqua sottostante, spostandola a sua volta in una regione via via più esterna: si dà così origine a un onda che si propaga verso l esterno (figure 6.b e 6.c). Nel caso delle onde che si propagano sulla superficie di un liquido incomprimibile, quindi, il moto delle particelle del mezzo in cui l onda si propaga avviene sia in direzione verticale (le varie porzioni di acqua interessate dall onda vengono prima innalzate e poi ricadono verso il basso) sia orizzontale (per far posto alle porzioni di acqua sovrastanti che ricadono verso il basso, l acqua sottostante viene spostata lateralmente): quando passa l onda, un corpo galleggiante acquista un moto a forma di ellisse, corrispondente alle due componenti del moto oscillatorio (figura 7). a) b) c) Figura 6. a) Quando un sasso cade nell acqua ne sposta una certa porzione, provocando un innalzamento dell acqua intorno a sé (porzioni evidenziate in blu); b) queste porzioni di acqua, ricadendo a loro volta verso il basso, spostano e innalzano altra acqua (porzioni evidenzaite in rosso); c) il moto delle porzioni di acqua continua dando luogo a una serie di anelli concentrici che si propagano verso l esterno. Figura 7. Le onde che si propagano sulla superficie dell acqua hanno movimenti allo stesso tempo trasversali e longitudinali, che si compongono dando luogo a un movimento ellittico.

7 - D.7 - Onde monodimensionali, bidimensionali e tridimensionali Gli esempi di onde che abbiamo considerato comprendono casi di onde che si propagano in un mezzo caratterizzato da un unica dimensione, come per esempio la corda tesa; onde che si propagano su una superficie a due dimensioni, come le onde sulla superficie dell acqua; e onde che si propagano in un mezzo tridimensionale, come le onde sonore nell aria. Si parla allora rispettivamente di onde monodimensionali, bidimensionali e tridimensionali. cresta gola Figura 8. Le linee che individuano la cresta e le gole di un onda bidimensionale. a) b) Figura 9. a) I fronti d onda paralleli di un onda piana; b) i fronti d onda concentrici di un onda sferica: si osservi come una piccola porzione di un onda sferica lontana dalla sorgente (in colore più scuro) può essere approssimata da un onda piana. In un onda bidimensionale che si propaga sulla superficie di uno specchio d acqua chiamiamo cresta dell onda la linea che, a un dato istante, congiunge tutti i punti in cui l onda assume la massima altezza, e gola la linea che congiunge i punti in cui l onda assume la

8 - D.8 - massima depressione (figura 8). In modo analogo si può parlare di creste e di gole anche nel caso di onde monodimensionali o tridimensionali. L insieme dei punti contigui che in un dato istante presentano una perturbazione dello stesso valore è detto fronte d onda. Nelle onde bidimensionali e tridimensionali la direzione di propagazione dell onda è sempre perpendicolare ai fronti d onda. Casi particolari di onde tridimensionali sono le onde piane, nelle quali la perturbazione si propaga in ogni punto nella stessa direzione e con la stessa velocità e i fronti d onda sono piani paralleli (figura 9.a), e le onde sferiche, nelle quali la perturbazione si propaga con la stessa velocità in tutte le direzioni a partire da una sorgente puntiforme centrale e i fronti d onda sono superfici sferiche concentriche (figura 9.b). Una piccola porzione di un onda sferica lontana dalla sorgente può essere approssimata da un fronte d onda piano.. La descrizione matematica di un onda monodimensionale È necessario passare da una descrizione solo qualitativa della propagazione delle onde, come quella presentata nel paragrafo precedente, a una trattazione quantitativa. Ci proponiamo quindi, in questo paragrafo, di descrivere la propagazione di un onda in termini matematici. Le equazioni matematiche che descrivono la propagazione di un onda tridimensionale qualsiasi sono piuttosto complesse, e presuppongono nozioni di matematica di livello superiore. Affronteremo quindi in modo dettagliato la trattazione matematica della propagazione di un onda limitandoci a considerare il caso di un onda monodimensionale che si propaga in un mezzo omogeneo. Nel far questo, considereremo successivamente: a) come la forma che l onda assume in un determinato istante può essere descritta mediante una funzione matematica; b) come la propagazione di quest onda al variare del tempo può essere descritta mediante una funzione matematica; c) qual è la legge del moto di ogni singolo punto del mezzo materiale in cui l onda si propaga. La forma dell onda Come è possibile esprimere in termini matematici la forma dell onda, ossia l aspetto che presenterebbe il mezzo nel quale l onda si propaga se ne facessimo una fotografia a un determinato istante t? Consideriamo un onda trasversale che si propaga lungo una corda tesa coincidente con l asse x di un sistema di assi cartesiani, e supponiamo che la vibrazione della corda avvenga nella direzione dell asse y (figura 10). Consideriamo la forma della corda in un determinato istante t, per esempio t 0 = 0. Essa può essere descritta mediante una funzione matematica. y = f(x) (1) Si possono presentare diverse situazioni. Se la perturbazione riguarda solo una piccola porzione della corda, come nel caso della figura 10.a, l onda prende il nome di impulso. Se la perturbazione riguarda tutta la corda, come nel caso rappresentato nella figura 10.b, si parla di treno d onde. Se l andamento della funzione f(x) è periodico, ossia se la forma dell onda si ripete in successive porzioni della corda come nel caso mostrato nella figura 10.c, si ha un treno d onde periodico. In un treno d onde periodico le oscillazioni si ripetono uguali in punti della corda distanziati da una distanza λ: questa distanza si dice lunghezza d onda. y = y m sen(kx) Il caso più semplice di funzione periodica è la funzione sinusoidale o più in generale, nel caso in cui il valore della perturbazione nell origine x = 0 non sia nullo, y = y m sen(kx + ϕ 0) () dove ϕ 0 è una costante scelta in modo opportuno.

9 - D.9 - v a) impulso v b) treno d onde c) treno d onde periodico λ gole v creste d) onda armonica semplice λ v Figura 10. Vari tipi di onde, in relazione alla loro forma e periodicità. Per le onde periodiche si definisce una lunghezza d onda λ, pari alla distanza tra due gole o due creste successive. Un treno d onde rappresentato dalla funzione () si dice onda armonica semplice (figura 10.d). La figura 11 mostra come varia la forma dell onda al variare dei valori dei vari parametri che compaiono nella formula (): la costante y m rappresenta l ampiezza della sinusoide che corrisponde al massimo spostamento della corda dalla posizione non perturbata, mentre k prende il nome di numero d onda. Il valore che assume l argomento della funzione seno si dice fase dell onda, mentre la costante ϕ 0 è la costante di fase. Essa rappresenta la fase dell onda nell origine x = 0. Nel Sistema Internazionale la fase e la costante di fase si misurano in radianti. Per la periodicità della funzione seno, a un incremento di π radianti della fase dell onda corrisponde, sull asse x, uno spostamento x pari a una lunghezza d onda λ. Poiché per l incremento della fase dell onda si ha (kx + ϕ 0) = k x, vale la seguente relazione tra la lunghezza d onda λ e il numero d onda k: k x = kλ = π ossia π k = λ y La funzione () può quindi essere scritta nella forma π sen x + ϕ λ = y m 0 Lo studio delle onde armoniche semplici descritte dalla funzione sinusoidale nella forma () o (4) è particolarmente importante perché, come vedremo più avanti, un onda periodica qualsiasi può essere descritta come somma di onde armoniche semplici. (3) (4)

10 - D.10 - a) y λ y m 0 x y = y m sen(kx) b) y λ y' m = 0,5 y m 0 x y = 0,5 y m sen(kx) c) y λ' = λ/ y m 0 x y = y m sen(kx) d) y y m y m sen(ϕ 0) 0 x y = y m sen(kx + ϕ 0 ) Figura 11. La rappresentazione di un onda armonica y = y m sen (kx + ϕ 0) che si propaga lungo l asse x. Il valore di y m determina l ampiezza dell onda (b), il valore del numero d onda k determina la lunghezza d onda λ (c), mentre il valore della costante di fase ϕ 0 determina la posizione dell onda rispetto all origine degli assi (d).

11 La propagazione dell onda - D.11 - Consideriamo ora come è possibile esprimere matematicamente la propagazione di quest onda al passare del tempo. Supponiamo che l onda si propaghi lungo la corda con velocità v costante senza cambiare forma. Queste ipotesi corrispondono effettivamente a quanto si verifica se la corda è omogenea e perfettamente flessibile. All istante t ogni cresta dell onda si troverà spostata di un tratto vt rispetto alla sua posizione iniziale, come è mostrato nella figura 1. La funzione che descrive la forma dell onda sarà ora y = f(x vt) che si ottiene dalla funzione (1) y = f(x) (1) sostituendo (x vt) alla variabile x. Al tempo t la funzione (1a) ha infatti nel punto x = vt lo stesso valore y = f(0) che la funzione (1) aveva nel punto x = 0 al tempo t = 0. Qualsiasi funzione che abbia la forma (1a) descrive un onda che si propaga lungo la corda nel verso dell asse x, così come qualsiasi funzione che abbia la forma y = f(x + vt) descrive un onda che si propaga lungo la corda nel verso opposto a quello dell asse x, ossia con velocità v. (1a) (1b) a) y t = 0 x max x b) y vt t x max x Figura 1. a) La forma di un impulso che si propaga con velocità v lungo una corda può essere descritta, in un determinato istante, da una funzione y = f(x), con un massimo nella posizione x max. b) Dopo un tempo t, l impulso si è spostato di un tratto pari a vt, e la funzione che descrive la forma dell onda è y = f (x vt). Una generica funzione y = f(x vt) può quindi descrivere un impulso o un treno d onde di forma qualsiasi che si propaga nel verso dell asse x lungo la corda. Se la funzione f è periodica, essa descrive un treno d onde periodico. Un onda periodica descritta dalla formula (4) si dice onda armonica semplice. La funzione che descrive la propagazione di un onda armonica semplice assume quindi la forma: y π sen λ ( x vt ) + ϕ = y m 0 Questa formula rappresenta l espressione generale di un onda armonica monodimensionale che si propaga nel verso positivo dell asse x del sistema di riferimento. Poiché v è la velocità con cui si muovono lungo l asse x punti caratterizzati da un valore di fase costante (per esempio, le creste dell onda), essa si dice velocità di fase. (5) L espressione matematica dell onda al variare del tempo Se anziché la forma che l onda assume in un determinato istante t, espressa dalle

12 - D.1 - formule (1a) o (1b), ci interessasse esprimere come un determinato punto x della corda si muove, ossia ci interessasse la sua legge oraria, come potremmo procedere? Consideriamo un onda armonica semplice come quella descritta dalla formula (5). Se ci poniamo in un punto x 0 fisso avremo: ( ) + + = = + = = + = sen sen sen ϕ λ π λ π ϕ λ π λ π ϕ λ π x t v y t v x y vt x y y m m m Se scegliamo opportunamente il punto x 0 questa espressione può essere semplificata e resa più chiara. Poniamo per esempio x 0 = λ/4. Si ha allora: = = = = + + = = + + = cos sen 4 sen sen ϕ λ π ϕ λ π π ϕ λ λ π λ π ϕ λ π λ π t v y t v y t v y x t v y y m m m m (6) Poniamo ora λ π ω v = (7) e sostituiamo nella formula (6), in modo da ottenere ( ) cos ϕ 0 ω = t y y m (8) Questa equazione è la legge oraria per un moto armonico di ampiezza y m e pulsazione ω (si veda un ripasso sul moto armonico nel prossimo paragrafo). Quando la forma dell onda è sinusoidale, quindi, ogni elemento della corda si muove di moto armonico con la stessa ampiezza dell onda. Diciamo che l onda ha una pulsazione ω e, come nel caso del moto armonico, definiamo la frequenza ν dell onda come π ω ν = (9) e il periodo T dell onda come l inverso della frequenza ν: ω π ν 1 = = T (10) Come nel caso del moto armonico, la pulsazione ω si misura nel Sistema Internazionale in radianti al secondo, la frequenza ν in hertz e il periodo T in secondi. Sostituendo la relazione (7) nella (9) si ricava: λ λ π π ν v v = = 1 o, equivalentemente, νλ = v (11) Questa è la relazione fondamentale tra la velocità di propagazione v, la frequenza ν e la lunghezza d onda λ di un onda. Può essere espressa dicendo che il prodotto della frequenza di un onda per la sua lunghezza d onda è pari alla velocità di propagazione dell onda. Questa relazione vale non solo per le onde armoniche, ma per qualsiasi treno d onde periodico. Notiamo infine che la definizione del numero d onda k e della pulsazione ω permettono

13 - D.13 - di scrivere la funzione (5) y π sen λ ( x vt ) + ϕ = y m 0 in una forma particolarmente concisa. Si ha infatti (5) y π sen λ π λ ( x vt ) + ϕ = y sen x t + ϕ = y m 0 m 0 πv λ Quindi, tenendo conto della definizione (3) del numero d onda e della definizione (7) della pulsazione, si ha: π k = λ πv ω = λ Possiamo allora esprimere un onda sinusoidale che si propaga lungo la corda nel verso positivo dell asse x con l espressione ( kx ω + ) y = y m sen t ϕ 0 invece (3) (7) (1a) Per un onda sinusoidale che si propaga lungo la corda in verso contrario all asse x si ha ( kx + ω + ) y = y m sen t ϕ 0 (1b) Problema 1. Un onda armonica si propaga lungo una corda tesa con un ampiezza di 3,0 cm, un periodo di 0,5 s e una velocità di 5,0 m/s. Un sistema di riferimento cartesiano è disposto con l asse x nella direzione della corda, diretto nel verso di propagazione dell onda. All istante t = 0 l ampiezza dell onda nell origine del sistema di riferimento è y = 1,5 cm. Scrivere la funzione che descrive l onda, utilizzando unità di misura del Sistema Internazionale. Dato che conosciamo il periodo T = 0,5 s e la velocità di fase v = 5,0 m/s, mediante la formule (11) e (10) possiamo calcolare la lunghezza d onda: v λ = = vt ν = ( 5,0 0,5) m = 1,5 m Dalla formula (3) ricaviamo allora il numero d onda: π 3,14 k = = m λ 1,5-1 = 5,0 m -1 La formula (7) ci fornisce invece la pulsazione: πv ω = λ = 3,14 5,0 rad s 1,5-1 = 5 rad s -1 Poiché l onda si propaga nel verso positivo dell asse x, la funzione che la descrive avrà la forma (1a). Ponendo l ampiezza y m = 3,0 cm = 0,030 m si ha: ( kx ω t + ϕ 0 ) = 0,030 sen(5,0 x 5 + ϕ ) y = y m sen t 0 Il valore della costante di fase ϕ 0 è determinato dalla condizione che per x = 0 e t = 0 si abbia y = 1,5 cm = 0,015 m. Inserendo questi valori nella funzione d onda si ha: 0,015 = 0,030 sen ϕ 0 ossia sen ϕ 0 = 0,50 e quindi ϕ 0 = π/6 = 0,5 rad L equazione dell onda è quindi

14 - D.14 - y = 0,030 sen(5,0 x 5t + 0,5) Le figure 13.a e 13.b mostrano i grafici corrispondenti alla forma dell onda per t = 0 e alla legge oraria del punto della corda di coordinata x = 0. Occorre sempre tenere presente, in questo caso come in tutti gli altri casi che si presenteranno nel seguito, che questi due grafici hanno un aspetto simile ma un significato essenzialmente diverso: il grafico della figura 13.a rappresenta la forma che assume la corda in un determinato istante, mentre il grafico della figura 13.b rappresenta la legge oraria di un punto della corda, e descrive quindi il moto di un punto della corda in funzione del tempo. a) b) y (m) 0,04 0,03 0,0 0,01 0-0,01-0,0-0,03-0, x (m) y (m) 0,04 0,03 0,0 0,01 0-0,01-0,0-0,03-0, t (s) Figura 13. a) Rappresentazione dell onda armonica al tempo t = 0, in funzione della posizione x lungo la corda. b) Legge oraria del punto x = Il moto circolare uniforme e il moto armonico (ripasso) Sono frequenti gli esempi di moto lungo una traiettoria circolare. Un punto di una ruota che gira intorno al suo asse, un pianeta che ruota intorno al Sole lungo un orbita circolare, una persona sul seggiolino di una giostra in movimento, sono esempi di corpi in moto circolare. Il caso più semplice di moto circolare è quello del moto circolare uniforme, nel quale il modulo v della velocità del punto materiale resta costante. Prima però conviene dare alcune utili definizioni. Il moto circolare uniforme ha una caratteristica che lo distingue dal moto rettilineo (uniforme o accelerato): un punto materiale che si muove lungo una traiettoria circolare ripassa più volte nello stesso punto della traiettoria. La valvolina della ruota della bicicletta, per esempio, nel sistema di riferimento della bicicletta ripassa a ogni giro nel punto più basso della sua traiettoria, in corrispondenza del punto di contatto della ruota con il terreno. Il moto circolare uniforme è quindi un esempio di moto periodico, ossia di un moto nel quale un punto materiale ripassa periodicamente, a intervalli regolari di tempo, in ogni punto della sua traiettoria. Definizione di periodo e di frequenza Nel caso di un moto periodico si dice periodo e si indica generalmente con la lettera T maiuscola l intervallo di tempo compreso tra due successivi passaggi nello stesso punto della traiettoria. L unità di misura del periodo è ovviamente la stessa utilizzata per misurare gli intervalli di tempo, ossia il secondo. Il numero di passaggi nell unità di tempo nello stesso punto della traiettoria si dice frequenza, e si indica generalmente con la lettera greca ν. Nel caso del moto circolare, la frequenza corrisponde al numero di giri al secondo. Tra la frequenza ν e il periodo T si ha la seguente relazione: ν = 1 T (13)

15 - D.15 - Un corpo che fa un giro in un secondo (T = 1 s), infatti, passa 1 volta al secondo nello stesso punto della traiettoria; un corpo che fa un giro in mezzo secondo (T = 0,5 s), passa volte nello stesso punto della traiettoria, ecc. La frequenza è quindi l inverso del periodo. L unità di misura della frequenza, ossia la frequenza di un moto periodico con periodo T = 1 s, corrisponde all inverso del secondo (s -1 ) e nel Sistema Internazionale si dice hertz (simbolo Hz), dal nome del fisico tedesco Heinrich Rudolph Hertz ( ). La velocità angolare Come possiamo descrivere il moto di un punto materiale P che si muove di moto circolare? Il modo più semplice è ricorrere a un sistema di coordinate polari, con l origine O nel centro della circonferenza di raggio r corrispondente alla traiettoria del punto materiale P. La distanza ρ di P dall origine O sarà ovviamente sempre uguale al raggio r della traiettoria circolare. L angolo θ tra la posizione di P e l asse x sarà invece una funzione del tempo, che dipende da come il punto materiale si muove lungo la traiettoria circolare (figura 14). In un dato intervallo di tempo t, l angolo che descrive la posizione di P varierà di θ. In analogia con quanto abbiamo fatto quando abbiamo definito la velocità media e la velocità istantanea, chiamiamo velocità angolare media nell intervallo di tempo t il rapporto ω m = θ t e velocità angolare istantanea, o semplicemente velocità angolare, il limite della velocità angolare media quando l intervallo di tempo su cui è calcolata tende a zero: θ ω = lim (15) t 0 t L unità di misura della velocità angolare nel Sistema Internazionale è il radiante al secondo (rad/s). Normalmente il sistema di coordinate polari è scelto in modo che la velocità angolare risulta positiva per un moto in senso antiorario, e negativa per un moto in senso orario. r θ P (14) O x Figura 14. Scelto un sistema di coordinate polari con l origine O nel centro della traiettoria circolare di raggio r di un punto materiale P, la distanza di P dall origine O è sempre uguale al raggio r della traiettoria circolare. La posizione di P è quindi specificata dall angolo θ tra la posizione di P e l asse x, che dipende da come il punto materiale si muove lungo la traiettoria circolare. La legge oraria del moto circolare uniforme Consideriamo allora il caso più semplice di moto circolare, ossia il moto circolare uniforme: è definito come il moto di un punto materiale che si muove su una traiettoria circolare di raggio r con velocità v r costante in modulo (la velocità, intesa come vettore, in questo caso non è costante, perché essendo la traiettoria circolare la direzione del vettore velocità v r cambia continuamente). Qual è la legge oraria di un punto materiale P che si muova di moto circolare uniforme? Consideriamo prima il caso più semplice in cui il punto materiale P si trovi al tempo t = 0

16 - D.16 - sull asse polare x. Poiché il modulo v della velocità è costante, la distanza l che il corpo P percorre in un intervallo di tempo t, misurata lungo la circonferenza, risulta proporzionale a t: l = vt Ricordiamo che la misura in radianti di un angolo θ corrisponde al rapporto tra la lunghezza l dell arco ad esso associato e il raggio r della circonferenza: θ = l r Sostituendo in questa formula il valore di l dato dalla relazione (16), otteniamo la relazione che esprime come nel moto circolare uniforme l angolo θ varia in funzione del tempo t: v θ = t = ωt r v ω = r Il rapporto costante tra la velocità del punto materiale e il raggio della traiettoria circolare è in questo caso sempre uguale alla velocità angolare definita dalla formula (14). Possiamo convincercene, riscrivendo questa relazione per un intervallo di tempo qualsiasi t = t t 1: θ = θ θ 1 = ω (t t 1) = ω t e quindi ω = θ t che coincide con la definizione (14) di velocità angolare. La formula (18) è quindi la legge oraria per un punto materiale P che si muove di moto circolare uniforme e che si trova al tempo t = 0 sull asse polare x (nel moto circolare la legge oraria si esprime quindi nella forma θ = θ(t) anziché con x = x(t) come nel caso del moto rettilineo). Se poi la posizione del punto materiale P al tempo t = 0 non coincide con l asse polare x, ma è data da un angolo θ 0, allora la legge oraria assume la forma più generale θ = θ 0 + ωt Conviene anche ricavare alcune utili relazioni che legano tra loro le grandezze caratteristiche del moto circolare uniforme. Se è nota la velocità angolare ω di un corpo in moto circolare uniforme lungo una traiettoria di raggio r, dalla formula (19) si ricava immediatamente la velocità v, che per evitare confusioni, è detta a volte velocità tangenziale: v = rω Poiché inoltre il periodo T è il tempo impiegato a percorrere l intera lunghezza della circonferenza l = πr, la velocità tangenziale v è uguale anche a πr v = T = πνr e la velocità angolare ω risulta quindi data anche da π ω = = πν T Il moto armonico è strettamente legato al moto circolare uniforme. Anche il moto armonico si incontra spesso in natura: le piccole oscillazioni di un pendolo, il moto delle onde sulla superficie del mare, le vibrazioni dell aria che percepiamo come suoni, sono tutti esempi di moti armonici. Il moto armonico è definito come la proiezione del moto circolare uniforme su un diametro della circonferenza. Consideriamo la figura 15. Il punto P si muove di moto circolare (16) (17) (18) (19) (0) (1) () (3)

17 - D.17 - uniforme su una circonferenza di raggio r e centro O. Il punto Q, proiezione di P sull asse delle ascisse x, si muove allora di moto armonico. La legge oraria del punto Q che si muove di moto armonico può essere ricavata in modo semplice sempre considerando la figura 15. Indichiamo con θ l angolo formato con l asse x dalla retta uscente da O e passante per P. L ascissa x di Q è data, come sappiamo, dal prodotto del raggio r della traiettoria circolare per il coseno dell angolo θ: x = r cos θ y (4) r y P P θ -r O Q r x -r r cos θ Figura 15. Dato un punto materiale P che si muove di moto circolare uniforme, il moto armonico è definito come il moto della sua proiezione Q su un diametro della circonferenza. Ricordiamo ora che nel moto circolare uniforme con posizione iniziale θ 0 coincidente con l asse x l angolo θ è dato dalla formula (18): θ = ωt Sostituendo la formula (18) nella formula (4) si ottiene allora x = x m cos (ωt) (5) dove con x m abbiamo indicato l ascissa massima raggiunta da Q nel suo moto, uguale al raggio r della traiettoria circolare di P. Questa equazione è la legge oraria del moto armonico. Se il punto materiale P, anziché partire dalla posizione iniziale θ 0 = 0, si trova al tempo t 0 in una posizione θ 0 qualsiasi, l equazione del moto del punto Q assume la forma più generale x = x m cos (ωt + θ 0) (6) Anche nel caso del moto armonico si parla di un periodo T, ossia del tempo necessario perché il corpo ritorni nella stessa posizione, muovendosi nello stesso verso; e di una frequenza ν = 1/T, corrispondente al numero di oscillazioni complete nell unità di tempo. La quantità ω = πν, corrispondente alla velocità angolare del moto circolare uniforme, nel caso del moto armonico prende il nome di pulsazione. L argomento della funzione coseno si dice fase dell oscillazione e quindi l angolo θ 0 costituisce la fase iniziale. La quantità x m, infine, si dice ampiezza del moto armonico. 4. L intensità di un onda elastica Ogni volta che si propaga un onda, un corpo compie del lavoro su altri corpi che si possono anche trovare in punti molto lontani; ciò avviene sia nel caso delle onde elastiche, sia nel caso delle onde elettromagnetiche come la luce. Consideriamo per esempio una corda tesa a cui sia legata, a metà della sua lunghezza, una massa m. La corda è inizialmente ferma e l energia cinetica della massa m è nulla. Diamo quindi un leggero colpo a un estremo della corda, generando un impulso che si propaga lungo di essa. Quando l impulso raggiunge la massa m, le imprime un moto oscillatorio: nel momento in cui la massa inizia a muoversi con una velocità v, ha acquistato un energia cinetica ½mv che le è stata trasmessa dall onda. Possiamo quindi dire che si ha una propagazione di energia da un punto della corda a un altro punto della corda. Anche nel caso delle onde elettromagnetiche, come per esempio la luce, si ha un trasporto di energia: un corpo esposto al Sole si scalda, perché assorbe parte dell energia (18)

18 - D.18 - trasportata dalla luce emessa dalla superficie calda del Sole. Possiamo enunciare un risultato generale, valido per qualsiasi tipo di onde: la quantità di energia trasportata da un onda nell unità di tempo (ossia la potenza dell onda) è direttamente proporzionale al quadrato dell ampiezza dell onda e al quadrato della sua frequenza. Nel caso di un onda trasversale che si propaga lungo una corda tesa, per esempio, la potenza P dell onda risulta data da 1 P = µ vω y m dove µ è la densità lineare di massa della corda, ossia la sua massa per unità di lunghezza, v è la velocità di propagazione dell onda, y m l ampiezza dell onda e ω la pulsazione legata alla frequenza ν dell onda dalla relazione ω = πν. La potenza trasmessa dall'onda risulta quindi proporzionale al quadrato della sua ampiezza. L intensità di un onda tridimensionale Consideriamo ora il caso di un onda che si propaga nello spazio a partire da una sorgente S puntiforme, ossia da una sorgente che abbia dimensioni trascurabili rispetto alle altre distanze considerate. L onda viene emessa in maniera tale che la sua energia è distribuita in uguale misura in tutte le direzioni (figura 16). Supponiamo che non vi siano effetti dissipativi e che quindi l energia dell onda si mantenga costante, senza perdite, man mano che l onda si propaga. (7) S Figura 16. Un onda sferica si propaga da una sorgente S di dimensioni trascurabili con la stessa intensità in tutte le direzioni. Più che all energia complessivamente trasportata dall onda, in molti casi pratici siamo interessati alla quantità di energia che nell unità di tempo attraversa una superficie posta a una distanza r dalla sorgente. Definiamo allora l intensità I di un onda come la quantità di energia che nell unità di tempo attraversa un unità di superficie perpendicolare alla direzione di propagazione dell onda. Nel Sistema Internazionale l unità di misura dell intensità è il watt al metro quadrato (W/m ). Dalla definizione dell intensità I, risulta chiaro che se l onda si propaga uniformemente in tutte le direzioni la sua intensità I a una distanza r dalla sorgente S si ottiene dividendo la potenza P complessivamente emessa dalla sorgente S per l area A = 4πr del guscio sferico di raggio r: I = P A P = 4πr (8)

19 - D.19 - L intensità di un onda sferica che si propaga senza effetti dissipativi diminuisce quindi al crescere della distanza r dalla sorgente come l inverso del quadrato della distanza r. In funzione dell ampiezza y m dell onda e della sua pulsazione ω l intensità I di un onda elastica tridimensionale è espressa da una formula molto simile alla formula (7) relativa alla potenza trasmessa da un onda che si propaga lungo una corda tesa. Si ha infatti 1 I = ρvω y m dove ρ è la densità del mezzo in cui l onda si propaga. L'intensità dell'onda risulta quindi proporzionale al quadrato della sua ampiezza. Ciò è vero non solo nel caso delle onde elastiche, ma anche per le onde elettromagnetiche come la luce. Problema. Nel problema 1 abbiamo ricavato la funzione che descrive un onda armonica che si propaga lungo una corda tesa con un ampiezza di 3,0 cm, un periodo di 0,5 s e una velocità di 5,0 m/s. Supponendo che la corda sia lunga 8,0 m e abbia una massa di 0,40 kg, calcolare la potenza trasmessa dall onda. Possiamo calcolare la potenza P trasmessa dall onda utilizzando la formula (8) nella quale poniamo i seguenti valori: m 0,40 - densità lineare di massa della corda µ = = kg/m = 0,050 kg/m l 8,0 - velocità v = 5,0 m/s (9) - pulsazione π 3,14 ω = = s T 0,5-1 = 5 s -1 P - ampiezza y m = 3,0 cm = 0,030 m La potenza trasmessa dall onda è quindi 1 = m 0,030 µ vω y 1 = 0,050 5,0 5 W = 0,070 W Problema 3. Una sorgente emette un onda sferica tridimensionale con una potenza P = 500 W. Qual è l intensità dell onda a una distanza di 300 m dalla sorgente? Per calcolare l intensità I dell onda a una distanza r = 300 m dalla sorgente è necessario applicare la formula (8), dividendo la potenza P emessa dalla sorgente per l area A della superficie sferica di raggio r = 300 m. Si ha quindi: I = P A P = 4πr 500 = 4 3, W/m = 4, W/m Esercizi 1. Che cosa si intende per lunghezza d'onda della luce, e come è correlata con la frequenza e la velocità di propagazione?. Scrivere l'equazione fondamentale per la propagazione delle onde. Data la velocità della luce nell'aria di m/s, determinare la lunghezza d'onda della luce rossa, gialla e blu di frequenze pari a rosso giallo blu Hz Hz Hz Esprimere le lunghezza d'onda in nanometri, micron e metri.

20 - D.0-3. Una serie di onde di lunghezza d'onda pari a 100 cm si propaga lungo una corda tesa su cui tre nodi A, B e C oscillano rispettivamente alle distanze di 1,5,,5 e 3,8 m da un punto dato. In che direzione ogni nodo si muove quando una cresta dell'onda passa per il punto dato? Indicare anche per ogni nodo se si trova sopra o sotto la sua posizione media. 4. Che cosa si intende per moto armonico semplice? Definire i termini periodo, ampiezza e fase. 5. Disegnare il grafico del moto armonico semplice rappresentato da πt y = 3 sen Una particella è animata simultaneamente lungo la stessa linea retta da due moti πt πt π armonici semplici rappresentati da y = 3 sen e y = 5 sen. Disegnare 6 8 un grafico che mostri il moto risultante. 7. Trovare graficamente il moto risultante di una particella animata da due moti armonici semplici perpendicolari di uguale periodo e ampiezza, che differiscono in fase di: (a) 0 (b) π/4 (c) π/ (d) 3π/4 (e) π (f) 3π/ 8. Ripetere la costruzione grafica dell'esercizio 7 nel caso in cui uno dei due moti abbia ampiezza doppia dell'altro. 9. Una particella B che si muove di moto armonico semplice dato dall'espressione y = 8 sen 6πt emette onde in un mezzo continuo che si propagano alla velocità di 00 cm/s. Trovare lo spostamento di una particella che si trova a 150 cm da B un secondo dopo che è iniziata l'oscillazione di B. 10. Se un piccolo galleggiante sulla superficie di un lago si vede oscillare su e giù con una frequenza di,5 Hz, a che velocità si propagano le onde sull'acqua se la loro lunghezza d'onda è 700 mm? 11. Un'onda trasversale è descritta dall'equazione y = 5,0 sen (0,0πx + 4,0πt) dove x e y sono in millimetri e t in secondi. Calcolare: (a) la frequenza dell'onda (b) l'ampiezza dell'onda (c) la lunghezza d'onda 1. Una particella che si muove di moto armonico semplice dato dall'equazione y = 3 sen (t/6 + α) è spostata di unità quando t = 0. Trovare: (a) la fase α quando t = 0 (b) la differenza di fase tra due posizioni qualsiasi separate in tempo di 1 s (c) il tempo necessario per raggiungere uno spostamento di,5 13. Quattro moti armonici semplici della stessa ampiezza e frequenza sono sovrapposti. Se la differenza di fase tra due moti successivi è sempre la stessa, trovare la differenza di fase per la quale l'effetto risultante è nullo. 14. Un onda armonica è descritta dalla funzione y = 37 sen(5x 8t). Indicare a) il numero d onda, b) la pulsazione, c) la costante di fase. (Si utilizzano unità del Sistema Internazionale) 15. Un onda armonica è descritta dalla funzione y = 5 sen(x + 3t + 1). Indicare a) l ampiezza, b) la pulsazione, c) la costante di fase. (Si utilizzano unità del Sistema Internazionale) 16. Un onda armonica è descritta dalla funzione y = sen(4x 3t + ). Qual è la lunghezza d onda? (Si utilizzano unità del Sistema Internazionale)

21 - D Un onda armonica è descritta dalla funzione y = 45 sen(0,14x + 65t). Qual è la frequenza dell onda? (Si utilizzano unità del Sistema Internazionale) 18. Un onda armonica è descritta dalla funzione y = 30 sen(40x + 3t + 1). Qual è la velocità di fase dell onda? (Si utilizzano unità del Sistema Internazionale) 19. Un onda armonica è descritta dalla funzione y = 8 sen(0,56x 45t + 0,34). Qual è la velocità di fase dell onda? (Si utilizzano unità del Sistema Internazionale) 0. Un onda sonora che si propaga con una velocità di fase di 340 m/s ha una frequenza di Hz. Qual è la sua lunghezza d onda? 1. Un onda si propaga lungo una corda tesa con una velocità di fase di 1,5 m/s. La frequenza è di 3,7 Hz. Qual è la sua lunghezza d onda?. Sulla superficie del mare si propagano con una velocità di,4 m/s onde che hanno una lunghezza di 0 m. Qual è la loro frequenza? 3. Le onde elettromagnetiche che percepiamo come luce verde hanno una lunghezza d onda di circa 500 nm e si propagano nel vuoto con una velocità di m/s. Qual è la loro frequenza? 4. Su una corda tesa viene generata un onda con una frequenza di 3,6 Hz. La lunghezza d onda risulta pari a,6 m. Qual è la velocità di fase dell onda? 5. Viene generata un onda sonora con una frequenza di.500 Hz in un gas, e si misura una lunghezza d onda di 1,6 cm. Qual è la velocità del suono nel gas? 6. Un onda armonica si propaga lungo una corda tesa con un ampiezza di,5 cm, un periodo di 0,1 s e una velocità di 7,0 m/s. Un sistema di riferimento cartesiano è disposto con l asse x nella direzione della corda, diretto nel verso di propagazione dell onda. All istante t = 0 l ampiezza dell onda nell origine del sistema di riferimento è y = 0,50 cm. Scrivere la funzione che descrive l onda, utilizzando unità di misura del Sistema Internazionale. 7. Un onda armonica si propaga lungo un filo di acciaio teso con un ampiezza di 1,3 cm, un periodo di 0,034 s e una velocità di 1,0 m/s. Un sistema di riferimento cartesiano è disposto con l asse x nella direzione della corda, diretto nel verso di propagazione dell onda. All istante t = 0 l ampiezza dell onda nell origine del sistema di riferimento è y = 0,35 cm. Scrivere la funzione che descrive l onda, utilizzando unità di misura del Sistema Internazionale. 8. La membrana di un altoparlante vibra con un moto armonico di ampiezza pari a 3, mm e una frequenza di.000 Hz. All istante t = 0 si trova nella posizione di massimo spostamento. Scrivere l equazione che descrive il moto delle particelle di aria a una distanza di 40 cm dall altoparlante, supponendo che l ampiezza dell onda resti costante e che la velocità del suono sia di 340 m/s. Utilizzare unità di misura del Sistema Internazionale. 9. La membrana di un altoparlante vibra con un moto armonico di ampiezza pari a, mm e una frequenza di 1.00 Hz. All istante t = 0 si trova nella posizione di massimo spostamento. Scrivere l equazione che descrive il moto delle particelle di aria a una distanza di 50 cm dall altoparlante, supponendo che l ampiezza dell onda resti costante e che la velocità del suono sia di 340 m/s. Utilizzare unità di misura del Sistema Internazionale. 30. Una corda tesa vibra con una frequenza di 30 Hz e un ampiezza di 3,5 cm. La velocità di propagazione dell onda è di 15 m/s. Un sistema di riferimento cartesiano è disposto con l asse x nella direzione della corda, diretto nel verso di propagazione dell onda. All istante t = 0 nell origine del sistema di riferimento si ha una cresta dell onda. Scrivere la funzione che descrive la forma dell onda all istante t = s, utilizzando unità di misura del Sistema Internazionale. 31. Una corda tesa vibra con una frequenza di 10 Hz e un ampiezza di 0,63 cm. La velocità di propagazione dell onda è di 56 m/s. Un sistema di riferimento cartesiano è disposto con l asse x nella direzione della corda, diretto nel verso di propagazione dell onda. All istante t = 0 nell origine del sistema di riferimento lo spostamento della

22 - D. - corda rispetto alla posizione di equilibrio è nullo. Scrivere la funzione che descrive la forma dell onda all istante t = 0,3 s, utilizzando unità di misura del Sistema Internazionale. 3. Una corda che ha una massa di 50 g per ogni metro di lunghezza viene fatta oscillare con un ampiezza di 10 cm e una frequenza di Hz. Sapendo che la velocità dell onda è di 30 m/s, qual è la potenza necessaria per mantenere in oscillazione la corda? 33. Una corda di chitarra con una densità di massa di 0,80 g/m viene tenuta in vibrazione alla frequenza di 10 Hz con un ampiezza di 0,3 cm. Se la velocità di propagazione dell onda è di 19 m/s, qual è la potenza necessaria per mantenere in vibrazione la corda? 34. Un motore elettrico con una potenza di 00 W viene utilizzato per far oscillare, con un ampiezza di 10,0 cm, una corda che ha una densità lineare di 15 g/cm e che è stata tesa con una tensione tale che le onde trasversali si propagano con una velocità di 50 m/s. Qual è la massima frequenza con cui il motore può far oscillare la corda? 35. Un altoparlante ha una potenza di 50 W. Qual è l intensità dell onda sonora a una distanza di 10 m, se si suppone che l emissione sia isotropa (ossia distribuita in modo uniforme in tutte le direzioni) e non ci siano effetti dissipativi? 36. La potenza dell impianto di amplificazione utilizzato in un concerto rock all aperto può arrivare a W. Se l orecchio umano, in condizioni ideali, può percepire suoni con un intensità di 10-1 W/m, a quale distanza si potrebbe in teoria udire il suono prodotto dal concerto, se non ci fossero effetti dissipativi, supponendo che l onda si propaghi in modo uniforme in tutte le direzioni? 37. Una trasmittente radio ha una potenza di 3,00 MW. Quale intensità minima deve poter rilevare un apparecchio ricevente, per sintonizzarsi su questa trasmittente a una distanza di 150 km? 38. Quale potenza deve avere una trasmittente radio, per raggiungere una distanza di 15 km con un segnale che abbia un intensità di 0,10 mw/m?