CAPITOLO IV- Ottica dei cristalli Liquidi. Applicazioni dei cristalli liquidi

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1 1 CAPITOLO IV- Ottica dei cristalli Liquidi. Applicazioni dei cristalli liquidi I- Richiami sulla propagazione di onde elettromagnetiche nei mezzi anisotropi non ferromagnetici. Come abbiamo visto, gli ordinari materiali liquido cristallini sono diamagnetici. Ciò significa che la suscettività magnetica è molto piccola ( χ < 10-6 ) e il tensore di permeabilità magnetica si riduce in pratica al tensore diagonale del vuoto ( µ = µ 0 I ). Le proprietà dielettriche sono, invece, rappresentate dal tensore dielettrico anisotropo ε, dunque: B= µ 0 H e D= εε 0 E (1) Le equazioni di Maxwell per i campi a grande distanza dalle sorgenti sono: D rotb = µ 0 t (2) rote B t (3) divb = 0 (4) divd = 0 (5) Adesso possiamo cercare se esistono soluzioni del sistema di equazioni (2)-(5) che corrispondano ad onde piane monocromatiche polarizzate linearmente, cioè individuate dai campi: E E k = r + 0 0e i( ωt ϕ ) (6) B B k = r + 0 0e i( ωt ϕ ) (7) D D k = r + 0 0e i( ωt ϕ ) (8) dove k è il vettore d onda ( k=2π/λ) che è perpendicolare al piano d onda e ω è la pulsazione (ω =2π ν). Sostituendo le espressioni (6)-(8) nelle (2)-(5) si trova: k B0 = µω 0 D0 (9) k E0 =ωb0 (10) k B 0 = 0 (11) k D 0 = 0 (12) Le ultime due equazioni ci dicono che i vettori D e B ( e, quindi, H) devono essere perpendicolari al vettore d onda k e, quindi giacciono nel piano d onda. Inoltre, dalla (9) si deduce che k, D e B sono fra loro perpendicolari e formano, rispettivamente, una terna destrorsa esattamente come avviene nel caso della propagazione di un onda piana in un mezzo isotropo. Stavolta, però, al contrario di quanto avviene per un mezzo isotropo, il vettore campo elettrico E non è, in generale, parallelo al vettore induzione elettrica D perchè i due vettori sono legati dalla relazione anisotropa in eq.(1). D altra parte, per la (10), il vettore B deve essere perpendicolare ai vettori k ed E. Ne consegue che il vettore E deve giacere nel piano individuato dai vettori D e k e fa un dato angolo θ con il campo D in tale piano. L orientazione dei vari vettori è mostrata schematicamente in figura 1. D θ E Figura 1 B k

2 2 Questa situazione ha un importante conseguenza per quanto riguarda la direzione di propagazione dell energia dell onda che è individuata dal vettore di Poynting S= E H = E B/µ 0. S è perpendicolare al piano individuato dai vettori E e B e, dunque, è diretto lungo una direzione diversa da quella del vettore d onda k al contrario di quanto avviene per la propagazione nei mezzi isotropi. Ricordiamo qui che il vettore d onda è un vettore perpendicolare ai piani su cui la fase dell onda ha un valore univivocamente definito ( vedi eq.(6)-(8)). Come abbiamo visto, i vettori D e B giacciono nei piani d onda. Nel seguito, per un onda polarizzata linearmente, definiremo come direzione di polarizzazione quella individuata dal vettore D. Per trovare le soluzioni generali del sistema ( 9)-(12) e la relazione di dispersione che lega la pulsazione ω a k, si deve sostituire nella (9) la relazione che lega il vettore D al campo elettrico E (eq.(1)). I calcoli sono noiosi e qui ci limitiamo a riassumere i risultati principali. Nel caso di un mezzo isotropo (D =εε 0 E), qualunque sia il vettore k e qualunque sia la direzione di polarizzazione lineare dell onda, esistono sempre soluzioni del sistema (9)-(12) che soddisfano la relazione di dispersione ω =vk, dove v =1/(εε 0 µ 0 ) 1/2 = c/n rappresenta la velocità di fase della luce nel mezzo isotropo, c quella nel vuoto ed n =(ε) 1/2 è l indice di rifrazione. Nel caso di un mezzo anisotropo, invece, per una generica orientazione del vettore d onda k e del vettore di polarizzazione, in generale, le equazioni (9)-(12) non ammettono una soluzione. Ciò significa che le onde piane polarizzate linearmente delle equazioni (6)-(8) non sono, in generale, soluzioni delle equazioni di Maxwell. Con calcoli lunghi e tediosi si dimostra, però, che per ogni orientazione del vettore d onda k, esistono sempre due direzioni di polarizzazione fra loro ortogonali che risolvono il sistema di equazioni (9)-(12). Le onde piane polarizzate linearmente lungo tali direzioni si propagano con velocità v 1 e v 2 diverse fra loro. Le espressioni matematiche che permettono di individuare tali polarizzazioni e le relative velocità sono piuttosto complesse. Esiste, però, un semplice metodo grafico che permette di individuare in modo semplice l orientazione delle due polarizzazioni di tali onde e le loro velocità di fase. Esso consiste nel disegnare l ellissoide degli indici, cioè, la superficie di equazione: x y z + + = 1 (13) n1 n2 n3 dove n 1,n 2 e n 3 sono gli indici di rifrazione lungo la terna di assi cartesiani x (1), y (2) e z (3) che diagonalizzano il tensore dielettrico ε ij. Essi sono legati alle componenti diagonali del tensore dielettrico dalle semplici relazioni: n 1 = ε 11, n 2 = ε 22 e n 3 = ε 33 (14) Senza perdere in generalità, possiamo sempre fare la scelta di ordinare gli assi x,y e z in modo tale che risultino valide le disuguaglianze: n n n (15) L ellissoide è mostrato schematicamente in fig.2.

3 3 z k assi straordinario ed ordinario x intersezione fra piano d'onda e ellissoide Figura 2: ellissoide degli indici e direzioni di polarizzazione straordinaria ed ordinaria. L asse y è parallelo all asse ordinario ed entrante nel foglio. Le lunghezze dei semiassi sono pari agli indici di rifrazione n e n visti dalle due onde. Per trovare le due direzioni di polarizzazione privilegiate che corrispondono ad una data direzione di propagazione dell onda e le due corrispondenti velocità v 1 e v 2, si opera nel seguente modo. Per una data direzione del vettore d onda k, risulta univocamente individuato il piano d onda perpendicolare a k e passante per l origine degli assi. Questo piano interseca l ellissoide degli indici lungo un ellissi caratterizzata da due ben definiti semiassi. Le orientazioni dei semiassi rappresentano le direzioni di polarizzazione cercate. Le lunghezze dei semiassi rappresentano, invece, gli indici di rifrazione visti dalle due onde polarizzate lungo i rispettivi semiassi (vedi fig.2). Ciò significa che, se n ed n indicano tali indici, le corrispondenti velocità di fase delle onde associate sono v 1 =c/n e v 2 =c/n. Poichè vale la disuguaglianza (15), è facile rendersi conto che esistono due direzioni speciali del vettore k giacenti nel piano xz e simmetriche rispetto all asse z in corrispondenza delle quali l intersezione del piano d onda si riduce ad un cerchio di raggio uguale ad n 2. Infatti, all aumentare dell angolo θ fra il vettore d onda e l asse z, la lunghezza del semiasse dell ellissi giacente nel piano xz cresce partendo da n 1 (per θ =0) fino a n 3 (per θ =π/2) (vedi fig.2). Dunque, deve esistere un angolo intermedio in cui la lunghezza del semiasse eguaglia il valore n 2. In questo caso, l intersezione del piano d onda si riduce ad un cerchio di raggio uguale ad n 2 e, perciò, non si possono più individuare due semiassi ben definiti e, quindi due direzioni di polarizzazione privilegiate. Dunque, un onda polarizzata lungo qualunque direzione nel piano d onda vede sempre lo stesso indice di rifrazione n 2 e viaggia con la stessa velocità di fase indipendentemente dalla sua polarizzazione come avverrebbe se si propagasse in un mezzo isotropo. Queste due direzioni vengono detti gli assi ottici del materiale anisotropo. Per una radiazione che si propaga lungo uno di tali assi, il sistema è del tutto equivalente ad un mezzo isotropo. II- Propagazione di onde e.m. in mezzi uniassici. Un caso particolarmente importante è quello dei cristalli liquidi nematici e smettici per i quali, nel riferimento dove è diagonale il tensore dielettrico vale l uguaglianza ε 11 =ε 22 e, quindi, n 1 =n 2. In tal caso l ellissoide degli indici si riduce ad un ellissoide di rotazione attorno all asse z e i due assi ottici vengono a coincidere in un unico asse (l asse z che è parallelo al direttore n). Per tale motivo materiali di questo tipo vengono detti mezzi uniassici. Il comportamento di tali materiali è individuato da due soli parametri ottici caratteristici: l indice di rifrazione ordinario n o (n o =n 1 =n 2 ) e l indice di rifrazione straordinario n e (n e =n 3 ). L espressione dell ellissoide degli indici si riduce a: x y z + + = 1 (16) n n n o o e

4 4 Nel seguito ci concentremo sulle proprietà ottiche di tali materiali. Supponiamo, ora, di avere un mezzo uniassico omogeneo con asse ottico n lungo l asse z e un onda che si propaga con un vettore d onda k che fa un dato angolo θ con n. Data la simmetria di rotazione del sistema rispetto all asse z, si può sempre scegliere l asse x nel piano contenente il vettore d onda e l asse ottico. Si vede facilmente che il piano d onda passante per l origine degli assi interseca l ellissoide degli indici lungo una ellissi che ha un semiasse di lunghezza n o lungo l asse y perpendicolare al piano individuato dal vettore d onda k e dal direttore n (piano y =0). L altro semiasse giace nel piano y =0 ed ha una lunghezza n(θ) che dipende dal valore dell angolo θ (vedi figura 3 dove è mostrata la sezione dell ellissoide nel piano y =0). L onda polarizzata lungo l asse y viene detta onda ordinaria e vede sempre lo stesso indice ordinario n o, mentre l altra viene detta onda straordinaria e vede l indice n(θ). z k P n e θ n(θ) O n o x Figura 3: sezione dell ellissoide nel piano contenente il vettore k e l asse ottico z. n o e n e sono le lunghezze dei semiassi dell ellissi. Il valore dell indice n(θ) è pari alla lunghezza del segmento OP in fig.3, dove P =(x,y) è il punto di intersezione fra l ellissi di equazione: 2 2 x z + = 1 (17) 2 2 no ne e il piano d onda ortogonale a k. Dalla figura si deduce facilmente che x = 0P cos θ =n(θ) cos θ e z = 0P sin θ = n(θ) sin θ. sostituendo tali espressioni di x e z nella (17) si trova n( θ) = cos n 1 2 θ sin θ + n 2 2 o 2 e Per θ = 0, n(θ)=n o mentre, per θ =π/2, n(θ)=n e. l andamento di n(θ) è mostrato schematicamente in figura 4. (18)

5 5 Figura 4. Indice di rifrazione dell onda straordinaria in funzione dell angolo θ fra il vettore d onda e il direttore. In figura abbiamo assunto n o =1.50 e n e =1.70 che rappresentano valori caratteristici per molti cristalli liquidi nematici. In conclusione, per un dato vettore d onda che fa un angolo θ con l asse ottico, l onda ordinaria polarizzata perpendicolarmente all asse ottico viaggia con la velocità di fase ordinaria v o = c/n o, mentre l onda straordinaria polarizzata nel piano contenente k e l asse ottico n viaggia con la velocità v e =c/n(θ). Consideriamo, ora una lamina di materiale uniassico di spessore d e con asse ottico n dovunque orientato lungo una data direzione. Un onda elettromagnetica monocromatica polarizzata linearmente di lunghezza d onda nel vuoto pari a λ 0 e pulsazione ω incide sulla lamina. Per quanto visto, il vettore D giace nel piano d onda e individua la direzione di polarizzazione. Nel piano d onda perpendicolare al vettore d onda sono univocamente determinate due direzioni ortogonali corrispondenti alle polarizzazioni ordinaria e straordinaria. Indichiamo con x l asse straordinario nel piano d onda e con y l asse ordinario. Cosa succede se si ha un onda che è polarizzata linearmente lungo una direzione che fa un angolo α con l asse ordinario? D o y D α De x Figura 4 : Scomposizione del vettore D in una componente D e polarizzata lungo l asse straordinario ed una D o polarizzata lungo l asse ordinario. Il piano xy è il piano d onda perpendicolare al vettore d onda k. In questo caso, il campo di induzione D può essere scomposto in due componenti: la componente ordinaria D o e quella straordinaria D e che sono date da: De = Dcosα e Do = Dsinα (19) Ciò significa che l onda incidente può essere sempre pensata come la sovrapposizione di due onde, l onda ordinaria e l onda straordinaria che si propagano nel mezzo con due diverse velocità di fase: la velocità ordinaria e con quella straordinaria. Una conseguenza diretta è che, se l onda incide sulla lamina con un angolo di incidenza θ i diverso da zero, i vettori d onda delle due onde ordinaria e straordinaria vengono deviati lungo direzioni diverse (vedi figura 5) individuate dagli angoli di rifrazione θ o e θ e che soddisfano la legge di Snell: nsinθi = nosinθo e nsin θi = n( θ)sinθe (20) dove n è l indice di rifrazione del mezzo di incidenza. Questo fenomeno caratteristico dei mezzi anisotropi è noto con il nome di birifrangenza ottica. fascio incidente θ i mezzo isotropo mezzo anisotropo fasci straordinario e ordinario

6 6 Figura 5. Ovviamente, se l incidenza è normale (θ i =0) i due fasci proseguono indisturbati nel mezzo (attenzione questo vale per i vettori d onda che sono perpendicolari ai piani d onda ma non per la direzione di propagazione dell energia individuata dai vettori di Poynting). Un caso particolarmente importante si verifica quando l onda si propaga lungo l asse z perpendicolare alla lamina anisotropa di spessore d (incidenza normale). La superficie di incidenza è il piano z=0. In tal caso le onde straordinaria ed ordinaria sono descritte da: D = x D i n k z 0cosαexp[ ( ( θ) 0 ω t)] (21) = D0sinαexp[ i( nok0z ω t)] (22) dove D 0 è l ampiezza dell onda incidente e k 0 =2π/λ 0 è il vettore d onda nel vuoto e ω =ck 0 è la pulsazione. Per scrivere la (21) e la (22) abbiamo scelto l origine dei tempi in modo che la fase dell onda sia nulla nel piano z =0 al tempo t =0. All uscita dalla lamina [z = d in eq.(21) e (22)] le due onde hanno una differenza di fase 2π δ = [ n( θ) no] k0d= lott (23) λ0 dove si è definita la differenza di cammino ottico lott = [ n( θ) no] d (24) Come è noto, due onde polarizzate linearmente che hanno una differenza di fase δ danno origine ad un onda risultante che è polarizzata ellitticamente cioè con il vettore D che ruota con velocità angolare ω descrivendo una ellissi invece che oscillare. Dunque, l effetto della lamina birifrangente è quello di trasformare un onda che era inizialmente polarizzata linearmente lungo una direzione che fa l angolo α con l asse straordinario x, in un onda polarizzata ellitticamente quando esce dalla lamina. Naturalmente, se lo sfasamento è un multiplo di 2π, l onda risultante torna ad essere polarizzata linearmente. Un caso particolarmente importante si realizza quando l onda incidente è polarizzata linearmente lungo un asse che fa un angolo α =π/4 con l asse straordinario. In tal caso si dimostra che: 1) gli assi lungo e corto dell ellissi di polarizzazione sono, rispettivamente parallelo ed ortogonale alla direzione di polarizzazione. 2) il rapporto fra i semiassi dell ellissi, cioè l eccentricità è pari a e = tan (δ/2) 3) per δ =π/2 ( l ott =λ/4, lamina a quarto d onda) l ellitticità è pari ad 1 e l onda uscente è un onda polarizzata circolarmente, mentre per δ =π ( l ott =λ/2, lamina a semionda) l onda uscente è polarizzata linearmente ma dungo la direzione ortogonale alla direzione di polarizzazione dell onda incidente. Alcuni casi che si verificano al variare di δ sono mostrati schematicamente in figura 6.

7 7 D x D x D x δ = 0 δ = π/4 δ = π/2 D x D x D x δ = 3π/4 δ = π δ = 2π Figura 6. Polarizzazioni al variare dello sfasamento δ. 3-Intensità della radiazione fra polarizzatori incrociati. Un modo utile per studiare una lamina cristallina è quello di osservarla al microscopio polarizzatore in luce monocromatica. La luce che incide sul campione viene polarizzata da un polarizzatore P e, dopo aver attraversato il campione, viene fatta passare attraverso ad un analizzatore A. La lamina è posta su una tavola che può ruotare attorno all asse del microscopio. Dunque, ruotando la piastra, si varia con continuità l orientazione dell asse ottico e, quindi, gli angoli α e β che l asse del polarizzatore e quello dell analizzatore fanno con la direzione di polarizzazione dell onda straordinaria (asse x). Le componenti del vettore D all uscita del campione sono date dalle equazioni (21) e (22) con z =d. Conseguentemente, il campo uscente dall analizzatore che fa l angolo β con l asse straordinario x è dato da: D ' = Dxcosβ+ sinβ = D0 { cosαcosβexp[ i( γ + δ ωt)] + sinαsinβexp[ i( γ ωt)] } (25) Ricordando che l intensità dell onda è data da I =γd (D )* con γ =costante di proporzionalità, si trova dopo semplici passaggi algebrici: I = I0[ cos ( )] 2 ( β α) sin( 2 α)sin( 2 β)sin 2 δ (26) 2 Dove abbiamo definito l intensità I 0 = γ D 2 0. Per un campione trasparente, I 0 può essere misurata direttamente rimuovendo la lamina cristallina e misurando l intensità trasmessa fra polarizzatori paralleli ( α =β e δ =0 in eq.(26)). Si danno due casi importanti: a) Polarizzatori incrociati : β =α+π/2. In tal caso, la (26) diventa: 2 2 I = I0 sin ( 2α)sin ( δ 2) (27) Se il campione viene ruotato attorno all asse z del microscopio, l angolo α con la direzione di polarizzazione varia di conseguenza mentre i due polarizzatori restano incrociati. L andamento dell intensità trasmessa in funzione di α per δ =π e in funzione di δ per α =π/4 è mostrato in figura 7.

8 8 Figura 7. Dalla (27) si deduce che l intensità trasmessa si annulla ogni volta che il polarizzatore è orientato lungo l asse straordinario (α =0 o α =π) o ortogonale a tale asse (α =π/2 e α =3π/2). I massimi di intensità si raggiungono, invece, quando il polarizzatore fa un angolo α =π/4 ( o 3/4π, 5/4π e 7/4π) con l asse straordinario. La procedura che viene usata sperimentalmente consiste nel ruotare il campione fino a trovare un estinzione della luce trasmessa. Dopodichè si compie un ulteriore rotazione di π/4 in modo che sin 2 (2α)=1 in eq.(27). In queste condizioni dalla misura dell intensità trasmessa si può dedurre il valore di sin 2 (δ/2) e, quindi lo sfasamento δ (a meno di multipli di 2π). b) Polarizzatori paralleli : β =α. In tal caso, la (26) diventa: 2 2 I// = I0 I0sin ( 2α)sin ( δ 2) (28) Si noti che I + // I = I, dunque I 0 0 può essere determinato anche misurando la somma delle intensità fra polarizzatori incrociati e paralleli. 4- Sistemi ottici con asse ottico che varia lungo l asse z perpendicolare alla lamina. Fino ad ora abbiamo considerato una lamina uniassica di spessore d con asse ottico dovunque orientato lungo la stessa direzione. In realtà, nel caso dei cristalli liquidi si presenta spesso la situazione in cui l asse ottico varia spazialmente lungo l asse z perpendicolare alla lamina ( geometria di twist o di splay-bend). Consideriamo un onda elettromagnetica che incide perpendicolarmente su una lamina di cristallo liquido. In queste condizioni, il piano d onda xy coincide con il piano della lamina. a) distorsione di splay-bend. In questo caso, il direttore n (asse ottico) giace dovunque nel piano xz ( vedi figura 8) e forma un angolo θ(z) con la normale allo strato ( asse z, direzione di propagazione del fascio incidente). z z x θ n Figura 8: distorsione di splay-bend che si verifica quando un campo elettrico o magnetico superiore alla soglia di Freederickz viene applicato perpendicolarmente alle superfici su un campione planare. Per quanto visto in precedenza, l asse ordinario è perpendicolare al piano individuato dal vettore d onda e dal direttore, mentre l asse straordinario è diretto lungo la proiezione del direttore nel piano d onda (piano xy in figura). Ne consegue che l asse ordinario è sempre parallelo all asse y, mentre quello straordinario è lungo x. Se isoliamo uno straterellino infinitesimo di spessore dz esso si comporta come una lamina uniformemente orientata all angolo θ(z). Lo sfasamento fra raggio straordinario ed ordinario nell attraversare lo straterellino è dδ = [ n( θ( z)) no] k 0 dz (29) Lo sfasamento risultante nell attraversamento dell intera lamina di cristallo liquido è: d [ ] δ = k n( θ( z)) n dz 0 0 o dove n(θ) è dato dalla (18). Poichè l angolo θ(z) dipende dall intensità dei campi (elettrici o magnetici) applicati, anche lo sfasamento δ dipende dall intensità dei campi. Inoltre, i campi (30)

9 9 necessari per avere sensibili variazioni di δ sono generalmente piccoli. Ciò rende particolarmente attraenti i cristalli liquidi per costruire modulatori elettroottici. b) distorsione di twist. Nel caso di una distorsione di twist, il direttore ruota gradualmente nel piano xy al variare di z. Di conseguenza l asse straordinario e quello ordinario ruotano solidalmente con il direttore. l analisi del comportamento ottico di un tale sistema è piuttosto complesso ma si semplifica notevolmente se la lunghezza caratteristica su cui avviene la distorsione di twist è molto minore della lunghezza d onda della luce. In questo caso si dimostra il seguente Teorema adiabatico: un fascio di luce che incide sulla lamina con polarizzazione parallela al direttore (fascio straordinario) si propaga con la velocità di fase straordinaria con il vettore di polarizzazione che ruota solidalmente con il direttore, un fascio ordinario si propaga con la velocità di fase ordinaria con la polarizzazione che si mantiene in ogni punto ortogonale al direttore. Dunque, per una generica polarizzazione, il fascio incidente viene separato in due fasci ( ordinario e straordinario) che si propagano con le relative velocità e con polarizzazioni che ruotano solidalmente con il direttore. 5- Modulatori di luce e display elettroottici. L anisotropia ottica dei cristalli liquidi e la grande facilità con cui questa può essere variata ricorrendo a campi elettrici esterni relativamente deboli ( sono sufficienti voltaggi di pochi volts applicati ai capi di una cella elettroottica) rende questi materiali particolarmente attraenti per applicazioni magnetoottiche, elettroottiche e opto-ottiche. Le prime applicazioni elettroottiche di questi materiali risalgono ai primi anni ottanta ma è solo nell ultimo decennio che, grazie a notevoli progressi tecnologici, è stato possibile raggiungere un alto grado di affidabilità. Finora le principali applicazioni riguardano i display ( orologi, calcolatori da tasca, schermi del computer, schermi televisivi, proiettori) ma negli ultimi anni è stato anche mostrato che l orientazione del direttore può essere facilmente modificata utilizzando il campo elettrico della radiazione ottica. Dunque, dal punto di vista ottico, questi sistemi sono fortemente nonlineari. Infatti, l indice di rifrazione visto dalla radiazione dipende dall orientazione del direttore che è, a sua volta, dipendente dall intensità dell onda. Ciò significa che l indice di rifrazione è una funzione dell intensità, cioè il sistema si comporta come un materiale otticamente non lineare con importanti possibili applicazioni nel campo delle tecnologie ottiche per il trasporto di informazioni. Nel seguito daremo una breve e non esaustiva descrizione delle applicazioni più importanti nel campo dei displays elettroottici. I principali vantaggi degli schermi a cristallo liquido sono: schermi piatti; basso consumo di energia ; possibilità di ridurre al minimo i disturbi arrecati dallo stare a lungo davanti allo schermo. Gli svantaggi sono: angolo di vista limitato, contrasto limitato, alti costi. Tutti questi svantaggi si stanno riducendo notevolmente di anno in anno e diventeranno probabilmente trascurabili nel prossimo futuro. Generalmente il cristallo liquido si trova fra due piastre di vetro piane e parallele poste ad una distanza d dell ordine di pochi micron. Sulle superfici interne di ciascuna piastra (quelle a contatto con il cristallo liquido) viene depositato un sottile strato di ossido conduttore trasparente ( ITO) di spessore inferiore a 100 nm che permette l applicazione di una d.d.p. e il passaggio della luce. Sullo strato di ITO è depositato un polimero ( polyimide) strusciato in modo da imporre un allineamento ben definito. Generalmente, uno o due polarizzatori (polaroid) vengo posti su uno o su entrambi i vetrini. Nella maggior parte dei casi i polarizzatori sono disposti in modo che, in assenza di campo, la luce non attraversi i polarizzatori incrociati. Se si applica un campo superiore alla soglia, il direttore inizia a distorcersi e, di conseguenza, la luce inizia a passare attraverso al display.

10 10 vetro ito z polyimide ito x E polarizzatori Figura 9. vetro I parametri più importanti per il display sono: il voltaggio di soglia V s, e la rapidità della risposta, che dipende inversamente dalla differenza di voltaggio necessaria per passare dal 10% al 90% della massima brillantezza (V 90 -V 10 ). Altri parametri importanti sono i tempi caratteristici di risposta T on all accensione del campo e quello T off allo spegnimento. Normalmente T off > T on. Infatti, il rilassamento verso la configurazione iniziale allo spegnimento del campo è dovuto solamente alle coppie di richiamo elastiche che tendono a ridurre la distorsione. Invece, la riorientazione dipende dalle coppie del campo che sono normalmente più grosse. Infine, un altro importante parametro è il rapporto di contrasto definito come il rapporto fra le intensità di luce misurate al massimo campo e a campo zero. Il rapporto di contrasto dipende fortemente dall angolo di vista (angolo con cui viene osservato il display) e decresce all aumentare di esso. Rispetto ai primi display, il massimo angolo di vista è cresciuto notevolmente negli ultimi decenni rendendo i display a cristallo liquidi ormai competitivi con quelli a tubo catodico. Generalmente un display è costituito da un numero più o meno grande di pixel, cioè di cellette adiacenti del tipo mostrato in fig.9 elettricamente separate. Per pilotare i pixel si possono usare due distinte metodologie. a) pilotaggio diretto. In tal caso, ogni pixel è connesso alla sorgente di voltaggio con due fili conduttori. Questo tipo di pilotaggio può essere utilizzato solamente per sistemi costituiti da un numero ridotto di pixel ( ad es. i display degli orologi) ma è assolutamente impraticabile nel caso dei display più grandi dove sarebbero necessarie molte decine o centinaia di migliaia di fili. b) pilotaggio multiplexing. In questo caso tutti i pixel di una colonna sono connessi insieme elettricamente su una piastra e tutti quelli su una riga sono connessi insieme sull altra piastra. Le righe sono indirizzate serialmente ( cioè i voltaggi vengono assegnati in una sequenza temporale a partire dalla prima riga fino alla colonna N per poi ripartire dalla prima), mentre i vari voltaggi di ciascuna colonna sono applicati separatamente. Supponiamo, ad esempio, che il cristallo liquido si riorienti completamente con una differenza di potenziale di 2 V. In tal caso, un voltaggio positivo di 1 V verrà inviato alle righe e un voltaggio negativo di 1 V alle colonne. La differenza di voltaggio applicato ad un singolo pixel è, perciò V= V r -V c =2V dove V r e V c sono i voltaggi di riga e di colonna. Questo tipo di indirizzamento ha lo svantaggio che, normalmente, resta sempre un voltaggio diverso da zero su un singolo pixel anche quando si vorrebbe che il pixel fosse nello stato off. Ad esempio, supponiamo di voler accendere il pixel con numero di riga i e di colonna j. Per far ciò, bisogna mandare un voltaggio +1V sulla riga i e 1V sulla colonna j. Ma allora, qualunque altro pixel della riga i e della colonna j sarà soggetto ad una d.d.p. di 1 V. Dunque, questi pixel non sono completamente spenti e ciò può ridurre notevolmente il contrasto del display. I principali displays si suddividono in passivi ed attivi. I primi sono meno costosi e richiedono più basse energie ma hanno più basso angolo di vista e peggiori caratteristiche dell immagine. I secondi hanno una qualità di immagine superiore ma sono più costosi e consumano una maggior quantità di energia. A) il Twisted Nematic. In questa configurazione gli assi facili sono paralleli alle superfici ma fanno un angolo di 90 fra di loro. I polarizzatori sulle due superfici sono incrociati fra loro e paralleli al direttore su

11 11 ciascuna superficie. Il cristallo liquido assume, perciò, una configurazione di twist. Spesso, un materiale chirale è disciolto nel campione in modo da favorire dovunque lo stesso verso del twist ( per un nematico puro, se le orientazioni sulle due superfici sono esattamente a 90, la configurazione con rotazione oraria e quella con rotazione antioraria hanno esattamente la stessa energia libera e, quindi, sono egualmente probabili). Per il Teorema adiabatico (vedi paragrafo 4 punto b)), se il polarizzatore è parallelo al direttore in entrata, la radiazione è interamente straordinaria e si propaga con la velocità straordinaria ruotando il vettore di polarizzazione solidalmente con il direttore. Ciò significa che la polarizzazione in uscita dalla lamina è uguale all orientazione del direttore in uscita che è a 90 con il polarizzatore in ingresso. Dunque la radiazione in uscita ha una polarizzazione parallela all analizzatore e la cella appare luminosa. Quando il campo, superiore alla soglia, viene applicato sul campione, il direttore tende ad orientarsi lungo l asse z perpendicolare alle piastre e la configurazione di twist viene distrutta. Conseguentemente, la polarizzazione della radiazione non viene più ruotata di 90 e viene parziamente estinta dall analizzatore. Allo spegnimento del campo, il sistema torna gradualmente nella configurazione iniziale. Usando filtri rossi,blu e verdi su gruppi adiacenti di 3 pixel si ottiene un display colorato. Spesso, invece di usare polarizzatori incrociati, si utilizzano polarizzatori paralleli. In tal caso non si ha passaggio di luce in assenza di campo e si ha passaggio di luce con il campo applicato. Questa configurazione con pilotaggio multiplexing viene usata in numerosi LCDs a matrice passiva. Essi hanno diversi inconvenienti. In primo luogo la brillantezza è ridotta perchè i polarizzatori assorbono comunque più di metà della radiazione incidente. In secondo luogo, il contrasto decresce rapidamente all aumentare dell angolo di vista perchè il teorema adiabatico è ben verificato solo per incidenza normale. Inoltre, la curva brillantezza-voltaggio non è molto ripida e, quindi, si ha un contrasto scarso. Queste caratteristiche rendono il sistema non utilizzabile, ad esempio, per schermi televisivi. B) il super-twisted nematic. In questo caso la configurazione a campo spento è ancora di twist ma il twist è di 270 invece che 90. Una situazione con twist di 270 si ottiene ancora imponendo due assi facili a 90 sulle due superfici. Infatti, se il direttore su una superficie è orientato lungo un asse x, una rotazione uniforme di 270 lo porta ad essere antiparallelo all asse facile sulla seconda superficie. Data l equivalenza fra n e n, questa situazione è compatibile con la condizione al contorno imposta dalla seconda superficie e rappresenta una soluzione stazionaria per il direttore ( risolve l equazione di Eulero-Lagrange del volume). Tuttavia, tale configurazione ha, ovviamente, una energia elastica maggiore di quella corrispondente ad un twist di 90 e, quindi, rappresenta un minimo relativo dell energia libera totale ma non un minimo assoluto. Ne consegue che, per un cristallo liquido nematico puro, la situazione super-twisted non si può realizzare perchè una rotazione di soli 90 è favorita energeticamente. Per realizzare tale situazione si deve aggiungere al cristallo liquido un materiale chirale che induca una torsione spontanea ( struttura colesterica) con twist di 270 sullo spessore d della cella. Questa scelta permette di ottenere una risposta brillantezza-voltaggio molto più ripida di quella del twistednematic in modo da aumentare notevolmente il contrasto. Inoltre anche l angolo di vista risulta notevolmente aumentato. Un notevole miglioramento di alcune caratteristiche come l angolo di vista si ottiene con i super-twisted display a celle doppie. In tal caso, due display con twist di 270 in versi opposti sono sovrapposti uno sull altro. Il teorema adiabatico su cui si basa il funzionamento dei twisted-nematic è valido solo nel limite di lunghezze d onda molto minori dello spessore della cella. Le deviazioni dal teorema adiabatico dipendono, perciò, dalla lunghezza d onda della radiazione. Ne consegue che il contrasto dipende dalla lunghezza d onda è ciò porta a disturbi di colorazione del display. Usando celle successive con twist in verso opposto, questi

12 12 effetti spuri tendono a compensarsi portando a minori disturbi cromatici ed anche ad un aumento dell angolo di vista. I sistemi precedentemente descritti sono a matrice passiva. Un notevole miglioramento delle caratteristiche di questi displays (contrasto e velocità di commutazione) si ottiene inserendo su ciascun pixel un transistor a film sottile. Questi displays sono ben compatibili con un indirizzamento veloce che è richiesto, ad esempio, per gli schermi televisivi. Questo transistor fa in modo che il voltaggio di colonna viene sentito solamente dalla riga che viene indirizzata. Tali sistemi vengono detti a matrice attiva e sono, ovviamente, molto più costosi. Infine è importante ricordare che il funzionamento dei display dipende notevolmente dal tipo di multiplexing utilizzato per indirizzare le righe e le colonne del display. Recentemente è stato introdatta una nuova metodologia di multiplexing ( indirizzamento attivo) che permette di migliorare notevolmente le caratteristiche di funzionamento dei display passivi a spese di una maggior complessità dell elettronica. Tutti i sistemi passivi descritti fino ad ora sono di tipo monostabile. Quando il campo viene acceso, essi passano dalla configurazione iniziale ad una nuova configurazione. Allo spegnimento del campo, il sistema rilassa nuovamente verso la configurazione iniziale. Questo comportamento pone dei problemi per l indirizzamento multiplexing che vengono risolti utilizzando i sistemi attivi. In principio, questi problemi verrebbero risolti se si potesse utilizzare sistemi bistabili, cioè sistemi che passano da uno stato off ad uno stato on quando sottoposti ad un impulso + restando nello stato on finchè non arriva un successivo impulso - che li manda nello stato off. Molta della ricerca attuale è rivolta a cercare configurazioni bistabili che soddisfino a questi requisiti. Un sistema di questo tipo è quello attualmente commercializzato dalla Nemoptic che sfrutta la transizione di saturazione descritta nel capitolo precedente. Altri sistemi molto promettenti a causa delle alte velocità di commutazione sono i display che utilizzano smettici C* che sono ferroelettrici. In particolare, è stato proposta una configurazione detta Surface Stabilized Ferroelectric che, in via di principio, presenta notevoli vantaggi fra cui quello di essere bistabile. Purtroppo, però, restano ancora numerosi problemi di tipo tecnico che devono essere ancora risolti prima che questo tipo di display possa soppiantare quelli descritti in precedenza. C) i Polymer-dispersed liquid crystals. Un altra interessante categoria di displays sono i polymer-dispersed liquid crystals. In questo caso un cristallo liquido viene mescolato in opportune concentrazioni con materiali chimici che, reagendo insieme, polimerizzano. Una situazione di questo tipo si può ottenere, ad esempio, utilizzando una comune colla epossidica a due componenti e miscelando le due componenti con un cristallo liquido. Quando, al passare di tempo il materiale polimerizza e la colla si solidifica, si ha una separazione di fase fra cristallo liquido e polimero e si formano delle bolle sferiche contenenti il cristallo liquido immerse nel polimero. Le dimensioni di queste bolle possono essere variate in un ampio intervallo con una opportuna scelta dei materiali e dei parametri della polimerizzazione. Normalmente i raggi delle bolle sono dell ordine dei micron. Le orientazioni del direttore all interno di ciascuna bolla sono disposte in modo casuale da una bolla all altra. Il materiale polimerico contenente la dispersione di gocce di nematico viene sagomato in forma di sottili fogli di poche decine o centinaia di micron e degli elettrodi trasparenti (ITO) vengono disposti sulle due facce dei fogli in modo da poter applicare un campo elettrico.

13 13 radiazione diffusa radiazione trasmessa E radiazione incidente radiazione incidente a) campo spento b) campo acceso Figura 10. Consideriamo, ora, un fascio di luce non polarizzata che incide normalmente su una lamina di polimero contenente al suo interno una dispersione di gocce di nematico. Il polimero è scelto in modo che l indice ordinario sia uguale all indice di rifrazione del polimero. Quando un campo sufficientemente elevato viene applicato al campione, il direttore si orienta lungo la direzione del campo che coincide con la direzione di propagazione del fascio di luce. Qualunque sia la polarizzazione della luce, dunque, l indice di rifrazione visto dalla luce è l indice ordinario che coincide con quello del polimero. Dal punto di vista ottico, quindi, il sistema si comporta come un film omogeneo trasparente, e la radiazione attraversa indisturbata la lamina. Al contrario, in assenza di campo, il direttore è orientato in modo casuale in ciascuna bolla e, quindi, l indice di rifrazione visto dalla radiazione è diverso da bolla a bolla e diverso da quello del polimero. Le goccioline si comportano, quindi, allo stesso modo delle goccioline di acqua presenti nella nebbia che diffondono la radiazione. Dunque, in questa configurazione, il foglio polimerico diventa completamente opaco. Data la facilità con cui si riescono ad ottenere fogli di polimero di notevole estensione, questi sistemi hanno trovato importanti applicazioni soprattutto per la realizzazione di finestre che diventano trasparenti all accensione del campo. Le applicazioni dei cristalli liquidi nell industria dei displays elettroottici sono sicuramente quelle che hanno trovato ad oggi la maggiore diffusione, ma essi vengono anche utilizzate nei sistemi utilizzati per modulare la fase, la polarizzazione e l intensità di fasci di luce monocromatica come quelli dei laser. In particolare, utilizzando i cristalli liquidi si possono costruire modulatori di fase delll onda, modulatori di ampiezza ecc... E importante, infine, ricordare che i cristalli liquidi sono sensibili anche al campo elettrico delle onde elettromagnetiche. All aumentare dell intensità dell onda, il direttore si riorienta e, quindi, cambia l indice di rifrazione visto dalla radiazione stessa. Ciò significa che l indice di rifrazione n è una funzione dell intensità I. Il cristallo liquido si comporta, perciò, come un mezzo ottico con una non-linearità estremamente più elevata della maggior parte degli altri mezzi non lineari. Questo rende tali materiali estremamente interessanti per applicazioni nel campo dell ottica non lineare e della fotonica.