I SISTEMI DI NUMERAZIONE E LA NUMERAZIONE BINARIA. Indice Il sistema decimale... 3

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1 I SISTEMI DI NUMERAZIONE E LA NUMERAZIONE BINARIA Indice Il sistema decimale... 3 Il sistema binario... 4 Il sistema esadecimale... 4 Conversioni numeriche... 5 Passaggio da un numero in base dieci ad un numero in base... 5 Metodo delle divisioni successive... 5 NUMERAZIONE ESADECIMALE... 6 OPERAZIONI NEL SISTEMA DI NUMERAZIONE BINARIA... 7 Aritmetica Binaria... 7 La somma... 7 Il prodotto... 8 La sottrazione... 9 La divisione Numerazione «modulo z» Numeri binari negativi Il linguaggio della logica Osservazione: Proposizioni semplici e composte Operazione di negazione NOT Prodotto logico AND La disgiunzione esclusiva OR

2 La disgiunzione esclusiva XOR LEGGE DI DE MORGAN... 0 ESEMPI... 3 Esempio XOR... 3 Operazione l ogica OR;... 4 Operazione logica AND... 4 Somma Aritmetica... 5 Esercizi sulla logica... 6 La Codifica dei Caratteri... 7 Codifica delle immagini Codifica dei filmati Codifica dei suoni In caso di errori di battitura o se si volesse contribuire a migliorare la seguente guida contattare: o all indirizzo mail

3 Introduzione Per sistema di numerazione si intende un insieme di simboli di rappresentazione di insiemi ( gruppi) di oggetti e di regole per contare ed eseguire operazioni. Nel corso della storia l uomo seppe inventare mezzi pratici che gli permisero di designare, prima oralmente e poi per iscritto, insiemi con molti oggetti con pochi simboli. A tal fine gli fu necessaria una scala convenzionale di simboli, che ora noi chiamiamo base. Dieci simboli noi diciamo base dieci. Alla base dieci, che l uomo primitivo ha scelto per ovvie ragioni antropomorfiche, sono state fatte diverse critiche a partire dal seicento e molti hanno proposto basi alternative da adottare. Blaise Pascal, che sembra sia stato il primo a realizzare che un qualunque numero intero maggiore di 1 può essere usato come base, avrebbe scelto la base 1; E. Wiegel proponeva invece, a partire dal 1673, la base 4; il re Carlo XII di Svezia pensò, all inizio del settecento, di introdurre la base 8 nel suo regno ecc. Il sistema decimale Ritengo si possa supporre che l essere umano, per esigenze naturali, iniziò a contare usando le dita delle mani definendo così un primo insieme di numeri (costituito da dieci cifre) che venne definito naturale 0,1,,3,4,5,6,7,8,9 Ma aggiungendo un ulteriore oggetto ai nove oggetti scoprì che, per contarli tutti, le dieci cifre non gli bastavano. Per questo, e per non creare nuovi simboli, convenne di rappresentare la nuova cifra utilizzando quelle a sua disposizione. Quindi per identificare il decimo oggetto ripartì dalla cifra zero e gli aggiunse un uno creando la cifra 10 che chiamò dieci. Quindi con due cifre si identificavano insiemi di oggetti numericamente superiori a 9. Ma con quale regola si doveva procedere per identificare l undicesimo oggetto il dodicesimo,... Si convenne che man mano che si aggiungevano oggetti, per la prima cifra a destra del 10, si scorreva l insieme dei numeri naturali; per cui l undicesimo oggetto era indicato dalla cifra 11, il dodicesimo dalla cifra 1 e così via fino al diciannovesimo. Per rappresentare il ventesimo oggetto si applicava la regola appena definita e il primo numero a sinistra del dieci si incrementava di 1 divenendo mentre si riportava a zero la cifra a destra per cui il venti veniva indicato con 0. Si passò così dai numeri naturali ( insieme finito) all insieme dei numeri interi positivi ( insieme infinito). Tali numeri si possono rappresentare su una retta. Fissando una origine e riportando un segmento unitario tante volte quanto è il numero. Si scoprì allora la possibilità di rappresentare anche numeri negativi ( minori di zero) nacque così l insieme dei numeri interi relativi ( numeri con segno). 3

4 Successivamente questi insiemi si estesero con i numeri razionali ( numeri con la virgola con un numero di cifre decimali dopo la virgola- finito) e i numeri irrazionali ( numeri con parte decimale costituita da infinite cifre). L insieme costituito dai numeri interi + quelli razionali + quelli irrazionali (tutti rappresentabili su una retta) costituisce l insieme dei numeri reali. Essendo questo insieme costruito partendo da dieci cifre si definisce in base dieci. Possiamo costruire altri insiemi numerici come per esempio quello in base due costituito da due sole cifre lo zero e l uno ( 0,1) o l insieme in base sedici ( 0,1,,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D, E, F). Il sistema binario La numerazione binaria, che adotta la base due e utilizza solo le cifre 0 e 1 è, oltre a quella decimale, di impiego piuttosto frequente. Si tratta di una numerazione semplicissima, la più arcaica e insieme la più moderna numerazione posizionale (il valore delle cifre dipende dalla posizione che occupano nel numero), tant è che la potenza del calcolo dei computer deriva proprio dall utilizzo del codice binario. Infatti questo sistema trova corrispondenza con i componenti elettronici che funzionano in on/off, cioè con le condizioni di acceso/spento oppure di si/no. Per spiegare l aritmetica binaria, il grande filosofo e matematico tedesco Leibniz, che è stato il primo sostenitore di questa numerazione, scrive nel 1703: Invece della progressione di dieci in dieci, impiego da molti anni la progressione più semplice di tutte, che va di due in due, ritenendo che sia perfettamente adeguata alla scienza dei numeri. Utilizzo solo due caratteri, 0 e 1 e poi, quando sono arrivato a due, ricomincio. Il sistema esadecimale Un altro sistema entrato nell uso comune in ambito informatico per esempio per il codice RGB (Red Green Blue -) è quello esadecimale, cioè in base 16, le cui 16 cifre sono: 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F in cui le lettere hanno, nel sistema decimale, i seguenti valori : A = 10, B = 11, C = 1, D = 13, E = 14, F = 15. Tali sistemi di numerazione sono sistemi posizionali, cioè il valore delle cifre dipende dalla posizione che occupano nel numero. Spostandosi a sinistra di una posizione il valore della cifra viene moltiplicato per dieci (nel caso di un sistema decimale) o per due (nel caso di un sistema binario) per sedici ( nel caso di sistema esadecimale). Esempio: 1 0 il numero 385 = ; il numero = il numero F AC = = = possiamo ottenere questo risultato trasformando, come vedremo più avanti, il numero esadecimale in binario e poi questo in decimale 4

5 F3AC = = Conversioni numeriche = = = 6380 Passaggio da un numero in base dieci ad un numero in base Metodo delle divisioni successive Il numero in base dieci viene diviso successivamente per fino a quando si ha quoziente zero. I resti, letti dal basso verso l alto, forniscono il numero su base Esempio nella sequenza dei numeri binary distinguiamo la cifra più significativa (MSB) e quella meno significativa ( LSB); con i seguenti significati: con MSB= More Significant Bit MSB LSB LSB= Last Significant Bit per convertire un numero in base nel corrispondente numero in base dieci si individua la posizione (peso) di ogni cifra binaria andando da destra verso sinistra posizione( o peso) quindi, partendo dal MSB si fa la somma di tutti i prodotti ottenuti moltiplicando ogni cifra binaria per la base elevata alla posizione (peso) che la cifra ha nel numero binario. Quindi : corrisponde a: = 37 5

6 In conclusione: un numero in forma binaria si esprime come una successione di cifre, che sono anche dette bit (in inglese «bit» significa «pezzetto» o «particella»). La cifra più a destra è quella «meno significativa» (LSB), cioè rappresenta quantità più piccole, quella più a sinistra è la «più significativa» (MSB). NUMERAZIONE ESADECIMALE Le cifre che definiscono la numerazione in base 16 sono: 1,,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F Considerando i numeri da zero a 15 possiamo mettere in corrispondenza le numerazioni nelle tre basi viste: BASE 10 BASE BASE A B C D E F Rappresentazione dei numeri con la virgola 6

7 OPERAZIONI NEL SISTEMA DI NUMERAZIONE BINARIA Aritmetica Binaria Le regole che caratterizzano l artimetica binaria sono analoghe alle regole che valgono nel sistema decimale, con il necessario adattamento derivante dall uso limitato ai due simboli 0 e 1. Le operazioni che si eseguono sui numeri sono ovviamente le quattro operazioni fondamentali: somma prodotto sottrazione divisione La somma L algoritmo della operazione di somma non cambia qualunque sia la base considerata. Soltanto che in base le combinazioni che possiamo fare con cifre sono solo 4 cioè che è come scrivere : ( base ) 0+0 = = = = 0 con riporto 1 quindi vi sono soltanto 4 regole base da ricordare, quelle sopra indicate. 10 In base dieci le combinazioni possibili con dieci cifre sono 10 = 100 per cui vi sono 100 regole base da rispettare. Osservazione: lo stesso numero risulta molto più esteso in base che non in base 10. Nei computer si utilizza la base perchè grazie alla loro velocità il numero delle cifre non incide molto sui tempi di calcolo incide invece molto il numero di regole che devono essere implementate per fare i calcoli in quanto queste vengono realizzate attraverso la circuiteria elettronica che per 100 regole sarebbe molto più complessa che per 4. Supponiamo di avere a disposizione soltanto 5 bit, possiamo allora operare su numeri binari con un massimo di 5 bit. Se il risultato di una operazione è un numero con più di 5 bit si genera un errore di overflow ( trabocco) Esempio: A = = 7 10 B = =

8 Il prodotto Analogo all'operazione di somma è il prodotto. Nel caso della base tutto si riduce a ricordare l'esiguo numero di * =4 regole, che sono: 0*0 = 0 0*1 = 0 1*0 = 0 1*1 = 1 In definitiva si hanno le regole seguenti: il prodotto per zero dà sempre come risultato zero; il prodotto per 1 dà sempre come risultato il numero stesso. Esempio: A = 1011 = B = 1101 = x altro esempio A = 1111 = B = 1111 = A B=15 15 = moltiplichiamo i due numeri binari, precisando che ogni riporto di uno lo indichiamo con un pallino 1111 x =

9 La sottrazione Nella sottrazione, il ruolo del riporto è assunto dal "prendere in prestito" quando si debba sottrarre 1 da 0 e valgono le seguenti regole: 0-0 = = = = 1 con prestito di 1 Esempio: A = 1100 = 1 10 B = 0011 = = Osservazioni: complemento a 1 di un numero binario: dicesi complemento a 1 di un numero binario l inversione dei suoi bit: esempio complemento a 1 di 1010 è 0101 complemento a di un numero binario: un metodo molto semplice per ottenere il complemento a di un numero binario consiste nell' invertire i singoli bit del numero al quale si vuole fare il complemento a e sommare 1 a questo numero. Esempio: Vogliamo fare il complemento a del numero 1001, invertiamo allora i singoli bit e otteniamo Sommiamo 1 a 0110 ottenendo 0111 (infatti il complemento a del numero 1001 è 0111 esiste un metodo ancora più semplice per ottenerte il complemento a di un numero binario esso consiste nel lasciare invariati i bit, del numero al quale si vuol fare il complemento a, a partire da destra fino al primo 1 e tutti gli altri invertirli. Esempio: Il complemento a del numero binario è , infatti a partire da destra (dall' LSB) lasciamo invariati i bit fino ad incontrare il primo 1, mentre tutti gli altri li invertiamo 9

10 La divisione La divisione è l'operazione più complessa del sistema binario (come nel sistema decimale) in quanto per effettuarla viene usato il metodo delle successive sottrazioni. Esempio: A = = B =1100 = : :1 10 Procedimento dell'operazione: si cerca la prima parte del dividendo che sia maggiore del divisore. Tale prima parte è nel nostro caso 10010, e dobbiamo scrivere 1 al quoziente, calcolando il resto come differenza Si ottiene 110. A questo punto "si abbassa" la cifra successiva del dividendo, cioè 1, ottenendo Il divisore 1100 "sta" nel 1101, ovviamente una volta e con resto 1. Il quoziente diviene 11 e abbassando la cifra successiva 1 si ha 11. Questa volta il divisore "non sta" in questa parte del dividendo e quindi si aggiunge uno 0 al quoziente, abbassando la cifra successiva. Questo è l'ultimo 0, che dà 110 nel dividendo. Di nuovo il 1100 non sta nel 110 e perciò si aggiunge un altro 0 al quoziente. Non essendoci più cifre da calare ciò significa che l'operazione è finita: quindi il quoziente è 1100 =1 10, il resto è 110 =6 10. Risultato :1 10 =1 10 con resto :1100 =1100 con resto Numerazione «modulo z». La nostra immaginazione ci consente di considerare l'esistenza di numeri arbitrariamente grandi, disposti su di una retta idealmente illimitata. Invece per «memorizzare» i numeri su un qualunque supporto fisico vanno adottate delle limitazioni (ad esempio, la lunghezza finita del righello su cui si riportano le tacche dei numeri, la grandezza della memoria elettronica, eccetera). In particolare, in un elaboratore elettronico occorre stabilire quanto spazio (cioè quanti bit) dedicare a ogni numero che si vuole utilizzare. Tale limitazione è necessaria, pur potendo variare la sua entità a seconda del contesto. Se rivediamo la corrispondenza tra numeri in base e numeri in base 10 rileviamo che con cifre binarie possiamo rappresentare 4 numeri cioè. 10

11 Con tre cifre binarie possiamo rappresentare 8 numeri cioè binarie possiamo rappresentare n numeri; 3. Possiamo allora asserire che con n cifre Cifre Binarie 3 Cifre Binarie 4 Cifre Binarie BASE 10 BASE BASE 10 BASE BASE 10 BASE Quindi possiamo asserire che: una sequenza di 8 bit, chiamata «byte» o anche «char», è possibile rappresentare 8 =56 numeri interi; una sequenza di 16 bit, cioè due byte affiancati, è chiamata «integer» e permette di rappresentare 16 =65536 numeri interi; una sequenza di 3 bit (o quattro byte) è chiamata «long» e permette di rappresentare 3 = numeri interi. Qui faremo le nostre considerazioni solo per i numeri rappresentabili come integer, ma il tutto si può ripetere per gli altri tipi di dati apportando pochi semplici adattamenti. Come nella numerazione decimale, è consuetudine tralasciare le eventuali cifre 0 iniziali (a sinistra), a meno che non sia importante evidenziare quante sono le cifre utilizzabili. Così il numero binario 111 corrisponde al numero decimale 7 per tutti e tre i tipi di numeri suddetti (char, integer e long). Supponiamo per un momento di eseguire il conteggio partendo da 0 e di poter scrivere via via tutti i numeri consecutivi in forma binaria, senza alcuna limitazione. Così, dopo 3767= 15-1 passi, troviamo il numero x = (la cifra iniziale 0, che è seguita da quindici cifre 1, potrebbe essere omessa). Il successore di x cioè y = x + 1 y = (1 seguito da quindici 0), infatti: = Proseguendo ancora, dopo altri 3767 passi troviamo il numero binario costituito da sedici cifre uguali a 1 (al quale per ora non diamo un nome) e il suo successore z = (1 seguito da sedici 0). Il procedimento potrebbe continuare, ma ci fermiamo qui. 11

12 Nell'insieme di numeri che abbiamo scritto (da 0 a z) ce n'è uno di troppo, dato che per la rappresentazione di questi numeri abbiamo solo 16 =65536 posti, consentiti dalle 16 cifre «identifichiamo» z con il numero 0. Il risultato del procedimento può essere descritto come segue: ciascuno dei numeri considerati è stato contrassegnato con una tacca su di una fettuccia flessibile, che è stata poi piegata a forma di circolo, in modo da far combaciare gli estremi, dove erano stati posti rispettivamente i valori 0 e z. Il conteggio dei numeri così disposti è dunque ciclico: partendo da un qualunque numero k, dopo z passi ritroviamo il numero k di partenza. La particolare numerazione descritta è detta «numerazione modulo z»: in essa due numeri che differiscono per un multiplo intero di z sono considerati lo stesso numero. Ad esempio, i numeri 6, 16, 96, -14 sono lo stesso numero nella numerazione modulo 10. Numeri binari negativi. I numeri binari di 16 cifre, interpretati come nel paragrafo precedente, sono detti «unsigned integer», cioè integer privi di segno, dato che rappresentano numeri non negativi. Se occorre utilizzare anche numeri negativi, come accade normalmente, si deve suddividere l'insieme in due parti, ciascuna delle quali è composta da 15 =3768 elementi: insieme P (numeri Positivi) dei numeri con primo bit (msb) uguale a 0: da 0 a x ( numeri positivi); insieme N (numeri negativi) dei numeri con primo bit (msb) uguale a 1: da y a z-1 (numeri negativi). Il bit più significativo (il primo a sinistra nella rappresentazione binaria) distingue così i numeri dell'insieme P (positivi) da quelli dell'insieme N (negativi). Perciò si usa dire che tale bit rappresenta il «segno» del numero integer (il segno è 1 esattamente quando il numero è negativo). Ma c'è un'apparente contraddizione. Nel precedente paragrafo i numeri binari dell'insieme N corrispondevano ai numeri decimali: Come mai è legittimo interpretare tali numeri come negativi? Per il semplice motivo che, considerati «modulo z», essi sono la stessa cosa. Infatti, sottraendo z (decimale 65536) dai numeri di sopra, si ottengono nell'ordine i numeri:

13 Dunque gli integer con segno variano fra il minimo y (decimale -3768) e il massimo x (decimale 3767). Naturalmente le limitazioni poste impongono di controllare che non si eccedano i limiti consentiti. Ad esempio, operando con numeri integer con segno non è lecito considerare il numero x+1, cioè il successore di x. Se un programma tentasse di utilizzare tale numero, si genererebbe una situazione di errore detta «overflow» (eccesso). Notare che il numero decimale può essere rappresentato come unsigned integer, mentre -1 può essere rappresentato come integer con segno: entrambi questi numeri corrispondono alla sequenza di sedici bit 1. Va anche osservato che le operazioni algebriche con numeri integer negativi funzionano in modo coerente. In particolare vale la seguente operazione di somma binaria (che tradotta in forma decimale significa «-1+1=0»): = Notare che, se non ci fossero limitazioni nel numero di bit, il risultato della somma precedente dovrebbe essere il numero binario di diciassette cifre (cioè la cifra 1, che scaturisce dai riporti, seguita da sedici cifre 0). In realtà si agisce proprio in questo modo, ma viene scartata la cifra 1, scivolata nella diciassettesima posizione (contando da destra), grazie all'identificazione fra i numeri 0 e z che, modulo z, hanno lo stesso valore. Un altro esempio è dato dalla seguente somma, che esprime in forma binaria l'operazione x+y=-1: =

14 Il linguaggio della logica Osservazione: tutto quello che di seguito verrà detto sulle proposizioni vale anche per le variabili logiche; intendendo per variabile logica una variabile che può assumere due soli valori di verità o vero o falso. A tali valori si può attribuire, in logica positiva, il valore numerico uno (1) per il vero e zero (0) per il falso; oppure, in logica negativa zero (0) per il vero e uno (1) per il falso.. Proposizioni semplici e composte Le frasi che formano i discorsi del nostro linguaggio naturale possono essere dichiarative, descrittive, esclamative, interrogative, possono esprimere sollecitazioni, ordini, esortazioni. Al tipo dichiarativo o al tipo descrittivo appartengono frasi che esprimono opinioni, giudizi, credenze, valutazioni, situazioni di fatto. Ci occupiamo solo di queste ultime. Sono esempi di frasi che indicano situazioni di fatto: 1) Antonio abita a Roma. ) Lucia ha rubato un biscotto. 3) Paola sta lavorando a maglia. 4) 5 è un numero primo. 5) Mario è maggiorenne. 6) Oggi piove. 7) Il cane è un quadrupede. 8) Il rettangolo è un parallelogramma. Tutte queste frasi hanno due caratteristiche fondamentali: Sono frasi semplici perché non contengono altra frase come componente; Di ciascuna di esse si può obiettivamente dire se è vera o se è falsa ossia è possibile attribuirle uno ed uno solo dei due valori di verità: vero, falso. Per questa seconda caratteristica, sono chiamate proposizioni quindi una proposizione logica è una frase a cui è possibile attribuireuno solo dei due valori vero o falso. Mentre si parla di proposizione composta quando la frase è composta da più proposizioni semplici collegate dai termini non, e, o (o anche oppure ), se... allora..., In grammatica questi termini sono chiamati congiunzioni proposizionali; spesso sono anche indicati col nome di connettivi del linguaggio o, anche, connettivi logici. Sono esempi di proposizioni composte: Non è vero che Lucia ha rubato un biscotto. Antonio abita a Roma e lavora a Fossombrone. Paola sta lavorando a maglia o ascoltando la radio. Se Lucia ha rubato un biscotto, allora sarà punita. La prima proposizione è stata ottenuta negando la precedente proposizione ; la seconda, collegando con il connettivo e la proposizione 1 con un'altra proposizione semplice; la terza, collegando la proposizione 3 con un'altra, pure semplice, mediante il connettivo o; l'ultima è stata ottenuta collegando due proposizioni semplici, di cui la prima è ancora la, con il connettivo se.. allora

15 Non ci dobbiamo tuttavia limitare alla costruzione di proposizioni composte mediante i connettivi logici. Dobbiamo anche stabilire il loro valore di verità, cosa che si ottiene solo a partire dal valore di verità delle proposizioni componenti. La ricerca del valore di verità delle proposizioni composte è il primo degli oggetti di studio di un capitolo della logica chiamato calcolo delle proposizioni o algebra delle proposizioni. Quando, nel linguaggio naturale, si esprime una proposizione composta, al posto dei connettivi sopra indicati, si usano spesso altri termini aventi la stessa funzione ma che conferiscono al discorso maggiore efficacia e lo rendono più espressivo. Tuttavia la ricchezza di sfumature, resa possibile dall'uso di questi termini, comporta il pericolo della poca precisione e di una non univoca interpretazione. Nel linguaggio della logica invece, l'uso dei connettivi è strettamente limitato alle loro forme essenziali che, se fanno perdere in potere espressivo appiattendo ogni sfumatura, fanno tuttavia guadagnare in rigore. Per altro verso, le proposizioni composte del linguaggio naturale sono solo quelle nelle quali esiste un nesso tra le componenti. Ad esempio, possono avere uno stesso soggetto che compie due azioni diverse, contemporanee o successive, come nella proposizione: Roberto prese la patente e guidò auto d ogni cilindrata La congiunzione presente in questa proposizione composta ha significato di successione temporale perciò se si scambiano le due proposizioni fra loro si ottiene una proposizione che nel linguaggio naturale si riterrebbe assurda: «Roberto guidò auto d ogni cilindrata e prese la patente» Nel linguaggio logico invece, poiché non ci si preoccupa del significato ma solo dei loro valori di verità, le due proposizioni sono entrambe corrette. Le seguenti frasi non sono proposizioni(non si può loro attribuire un significato di vero o falso). Chi dorme non piglia pesci. (è un proverbio, una sentenza) Cerca di comportarti onestamente. (è un esortazione) Sbrigati altrimenti perderai il treno. (è una sollecitazione) Voglio essere la migliore della classe. (Indica un aspirazione) Laura è una ragazza bella e spiritosa. (è un giudizio) La matematica è una disciplina difficile. (Indica un opinione) Il tuo cinismo mi addolora. (Esprime un sentimento) Toccare ferro porta fortuna (é una credenza) Hai superato l'esame per la patente guida? (è una domanda) Correre in bicicletta mi diverte molto. (Esprime una sensazione) Smettila d essere maleducato! (è un ordine) Come fa freddo oggi! (è un esclamazione) La negazione di proposizioni è un operazione logica unaria perché opera su una sola proposizione. Si ottiene il risultato dell 'operazione anteponendo non è vero che alla proposizione che si vuole negare oppure premettendo un non al suo predicato come si fa nel linguaggio naturale. Le proposizioni si rappresentano di solito con lettere maiuscole dell'alfabeto internazionale. 15

16 Operazione di negazione NOT Per indicare l'operazione di negazione sono in uso vari simboli; fra questi adottiamo quello che occupa minor spazio: se con p indichiamo una qualsiasi proposizione semplice, con non p indicheremo la sua negazione che leggeremo: non è vero p oppure non p. La funzione dell 'operatore di negazione è di cambiare il valore di verità della proposizione a cui si applica: se p è vera, allora non p è falsa; se p è falsa, allora non p è vera. P Non P Tabella di verità Possiamo definire anche la variabile logica come quella variabile che può assumere due soli valori quello vero o quello falso. In logica positiva al vero si associa il valore uno (1) e al falso il valore zero (0); in logica negativa l inverso. In logica elettronica al vero si associa il livello alto di tensione e al falso quello basso. Quindi se A è una variabile logica, riassumendo nella tabella di verità scriveremo: Variabile logica A Mentre per la variabile negata di A indicata con A a soprasegnato, avremo: Variabile logica A Normalmente vengono indicate con le lettere maiuscole dell alfabeto Il simbolo elettronico del componente ( detto porta logica) che esegue l operazione negazione o not logico è: Prodotto logico AND La congiunzione ( end logico o prodotto logico ) di proposizioni è un operazione logica binaria che consiste nel collegare due proposizioni con la congiunzione e. Essa da una proposizione vera ( o una variabile vera) soltanto quando tutte le preposizioni sono vere I simboli usati per la congiunzione o prodotto logico sono:: x. Se P e Q sono due proposizioni semplici, l operazione di congiunzione permette di costruire la proposizione composta (P e Q). I risultati dell operazione di congiunzione ( end o prodotto logico) sono raccolti nella tabella: 16

17 P Q P Q ( and logico) Tabella di verità Relativamente a due variabili logiche A e B avremo: Il simbolo elettronico del componente è: La disgiunzione esclusiva OR La disgiunzione inclusiva( o OR logico) è pure un operazione binaria che consiste nel collegare due proposizioni con il connettivo o inclusivo, la o debole: Se P, Q sono due proposizioni semplici qualsiasi, l OR logico permette di costruire la proposizione composta P v Q (legge P or Q or logico o somma logica). La preposizione risultante ( o la variabile) è vera sempre tranne nel caso in cui entrambe le proposizioni componenti ( le variabili) sono false. I risultati dell'operazione di OR Logico sono pertanto quelli raccolti nella tabella P Q P Q (Or logico) Tabella di verità Se consideriamo due variabili avremo: 17

18 il simbolo elettronico del componente è: Il connettivo o è usato nel linguaggio naturale anche con altri significati che ora esaminiamo. Quelli sopra indicati sono le porte logiche fondamentali, tutte le preposizioni più o meno complesse si possono realizzare attraverso loro. La disgiunzione esclusiva XOR La disgiunzione esclusiva ( o XOR), la o forte, usa per questa disgiunzione è >-< oppure XOR. Essa mi da vero soltanto quando le proposizioni non sono o tutte vere o tutte false. Ad esempio, ha significato esclusivo la o della espressione frutta o formaggio scritta nei menù dei ristoranti; precisa che il ristorante mette a disposizione, nel prezzo convenuto per il menù scelto, o frutta o formaggio ma non entrambe le cose. P Q P Q (Or esclusivo o XOR) Tabella di verità Se consideriamo due variabili avremo: il simbolo elettronico del componente è: L'implicazione è un operazione logica binaria che permette di collegare due proposizioni, di cui la prima (P) è detta antecedente e la seconda (Q) è detta conseguente, per formare la proposizione composta P Q (si legge: se P allora Q, o anche P implica Q ) Non si deve confondere l operazione ora definita con l affermazione: 18

19 da P si deduce logicamente Q. Infatti la verità della proposizione P Q dipende soltanto dai valori di verità di P e Q. (Implicazione materiale) La tavola di verità di figura seguente mette in evidenza che la proposizione P => Q è sempre vera tranne nel caso in cui da una premessa vera segue una conseguenza falsa. P Q P Q (P implica Q) Tabella di verità Analizziamo questa tavola alla luce di un esempio. Consideriamo la proposizione: se ho la febbre, allora sono ammalato formata dalle proposizioni semplici: P: ho la febbre Q: sono ammalato Delle situazioni descritte nelle proposizioni seguenti quale di esse non può verificarsi: (a) se ho la febbre allora sono ammalato; (b) se ho la febbre allora non sono ammalato; (c) se non ho la febbre allora sono ammalato; (d) se non ho la febbre allora non sono ammalato. Le situazioni indicate in (a) e in (d) si verificano certamente; può verificarsi anche la (c) perché ci possono essere malattie che non comportano febbre. L'unica situazione che non può verificarsi è la (b) che corrisponde al caso in cui da una premessa vera segue una conseguenza falsa: è falso dire di non essere ammalati quando si ha la febbre. Come si può verificare vale la seguente equivalenza: Indichiamo con un trattino sopra la lettera la negazione della relativa proposizione o variabile logica. Il senso dell implicazione materiale P P Q P Q P P Q (or) P Q P Q P Q Tabella di verità Q lo ritroviamo nei seguenti casi: se ABC e un triangolo equilatero, allora ABC e un triangolo isoscele. L implicazione non è commutativa: P Q e Q P non hanno lo stesso valore di verità. Se si compongono le precedenti proposizioni con una congiunzione P Q Q P ( ) ( ) si ottiene una nuova proposizione chiamata doppia implicazione che si indica con 19

20 P Q Che è vera solo quando le implicazioni componenti sono entrambe vere o entrambe false. P Q R P Q R ( ) ( ) ( ) ( ) P Q R P Q R (Commutatie ) associative. Proprietà distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione; ( ) ( ) P ( Q R) equivale a P Q P R Proprietà distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzione; ( ) ( ) P ( Q R) equivale a P Q P R Gli unici connettivi logici essenziali sono: la negazione, la disgiunzione inclusiva, la congiunzione. A B C ( A B) C ( A C) ( B C) ( A B) C ( A C) ( B C) Tabella di verità LEGGE DI DE MORGAN Una funzione logica è uguale a se stessa negata ove ad ogni variabile logica si sostituisce la sua negata agli OR si sostituiscono gli AND e agli AND si sostituiscono gli OR f ( A, B, C, OR, AND...) = f ( A, B, C, AND, OR...) esempi: A x B = A + B = A + B A x B = A + B = A + B A + B = A X B = A x B 0

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