q xi Modelli probabilis-ci Lanciando un dado abbiamo sei parametri p i >0;

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1 Modelli probabilis-ci Lanciando un dado abbiamo sei parametri p1 p6 p i >0; 6! i=1 p i =1 Sequenza di dna/proteine x con probabilita q x Probabilita dell intera sequenza n " i!1 q xi

2 Massima verosimiglianza S-ma di parametri da un training set Per esempio q i puo essere s-mato dalla frequenza dell aminoacido i in tude le sequenze di proteine note Dato un modello con parametri θ e un set di da- D, la s-ma per massima verosimiglianza e quella che massimizza P(D θ)

3 Supponiamo di avere due dadi D 1 e D 2, la probabilita di odenere i con D 1 e P(i D 1 ), probabilita condizionale di avere i dato il dado D 1. Se il dado e scelto a caso con una probabilita P(D j ), j=1,2 allora la probabilita di scegliere il dado j e odenere ii diventa P(i,D j )=P(D j )P(i D j )

4 Generalizzando P(X,Y) = P(X Y)P(Y) joint probability! Y! Y P(X) = P(X,Y ) = P(X Y )P(Y )

5 Il casino occasionalmente disonesto Due -pi di dadi, il 99% ones- e l 1% trucca- in modo che il 6 venga il 50% delle volte. Prendiamo un dado a caso, qual e la probabilita di odenere un 6? P(6) =P(D o )P(6 D o )+P(D t )P(6 D t ) = 0.01*0.5+1/6*(0.99) = 0.17

6 Prendiamo un dado a caso e -riamolo tre volte: odeniamo tre volte 6. Qual e la probabilita che il dado sia truccato? P(D t 3 sei) = P(3 sei D t )P(D t )/P(3 sei) = *0.01 P(3 sei) = (0.5) 3 *0.01+(1/6) 3 *0.99 P(D t 3 sei) / P(3 sei) = 0.27

7 Esempio piu biologico Assumiamo che le proteine extracellulari abbiano una diversa composizione e usiamo questa informazione per decidere se una certa proteina e extracellulare cioe calcolare p ext InnanzituDo procuriamoci due set di sequenze proteiche intracellulari e extracellulari e con-amo le frequenze degli aminoacidi in ciascun set q a int e q a est

8 P ext = 1- P int probabilita a priori S-miamo calcoliamo q a int e q a est P(x ext) = dai nostri dataset e! q ext xi e P(x int) = q xi i p(x) = P(x ext)+ p(x int) P(ext x) = p ext! i p ext q xi! i ext q xi ext + p int! i! i int q xi int

9 Analisi di sequenze E importante ed u-le capire se due sequenze sono evolu-vamente correlate per varie ragioni: Iden-ficazione delle regioni conservate Inferenza funzionale Modellizzazione tridimensionale

10 Ci servono evidenze che si siano evolute da un progenitore comune adraverso un processo di mutazione e selezione. Le mutazioni sono fondamentalmente sos-tuzioni e inserzioni o delezioni (gaps)

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12 Il concedo di base e che due sequenze sono omologhe se sono piu simili di quello che mi aspedo per caso Devo calcolare la verosimiglianza rela-va che le due sequenze siano correlate rispedo a quella che non lo siano. Il primo passo e di misurare una distanza tra due sequenze.

13 Per misurare la distanza occorre medere in corrspondenza le due sequenze cioe odenere un ALLINEAMENTO. Possiamo usare come distanza il numero minimo di operazioni di edi-ng per passare da una sequenza all altra un punteggio che e la somma di un termine per ciscuna coppia allineata che indica la verosimiglianza che i due amino acidi possano essere sta- entrambi origina- dallo stesso amino acido ancestrale (o che possano sos-tuirsi l uno all altro durante l evoluzione)

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15 Occorre un punteggio per ogni coppia di aminoacidi Date due sequenze x e y di lunghezza n ed m, x i e l i- esimo simbolo in x e y j il j- esimo in y

16 Caso 0: due sequenze della stessa lunghezza Modello random R P(x,y R) = Modello M P(x,y M) =! q q xi yj i! i! j p xi y i

17 Rapporto: P(x, y M ) P(x, y R) =! i! i q xi p xi y i! i Per odenere l addi-vita consideriamo: q yi =! i p xx y i q xi q yi S =! s(x i, y i ) i s(a, b) = log( p ab q a q b )

18 Matrici di punteggio (o sos-tuzione)

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20 Matrici di sos-tuzione I punteggi che usiamo devono coprrispondere alla divergenza adesa fra le sequenze. P ab deve essere P(b a,t) = p ab (t)/q a

21 Matrici di Dayhoff S-mate da coppie di proteine ad 1 PAM scalata con la condizione che la somma di ogni riga e uguale a 1. PAM2 = PAM1 2 PAM250

22 Matrici BLOSUM Sderivate da blocchi di sequenze della stessa famiglia allineate con la condizione che vengano considerate equivalen- due sequenze quando la percentuale dei loro residui iden-ci supera un certo livello L% BLOSUM62, BLOSUM50

23 A R N D C Q E G H I L K M F P S T W Y V! A ! R ! N ! D ! C ! Q ! E ! G ! H ! I ! L ! K ! M ! F ! P ! S ! T ! W ! Y ! V !

24 Occorre penalizzare i gap Il costo di un gap di lunghezza g e s-mato in y(g) = - gd Oppure (score affine) y(g)=- d- (1- g)e d = gap- open penalty; e=gap- extension penalty Gap corte sono quasi altredanto frequen- di gap singole.

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26 P(gap) = f (g)! j in gap f(g) e una funzione della lunghezza del gap L assunzione e che la lunghezza del gap non e correlata con gli aminoacidi che con-ene. Quando dividiamo per il modello random odeniamo: P(gap) = f (g) y(g) = log( f (g)) q xi

27 H E A G A W G H E E P A W H E A E

28 Programmazione dinamica (Needleman and Wunsch) F(i!1, j!1) F(i, j!1) s(x i, y j )! d F(i!1, j) F(i, j)! d " F(i!1, j!1)+ s(x i, y j) )& $ $ F(i, j) = max# F(i!1, j)! d ' $ % F(i, j!1)! d $ (

29 L G A x i! A L G A x i! G A x i - -! L G V y j! G V y j - -!! S L G V y j! " F(i!1, j!1)+ s(x i, y j) )& $ $ F(i, j) = max# F(i!1, j)! d ' $ % F(i, j!1)! d $ (