Syllabus di teoria dei numeri

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1 Syllabus di teoria dei numeri Ercole Suppa e Rosanna Tupitti 2 aprile 202 Sommario In questa lezione vengono ricordate le definizioni e i principali teoremi di teoria dei numeri che sono spesso utilizzati nella risoluzione di problemi olimpici. Divisibilità, MCD e MCM. Algoritmo della divisione euclidea. Dati a, b Z con b 0 esistono due unici numeri q, r Z tali che: a = bq + r, 0 r < b I numeri a, b, q, r sono chiamati rispettivamente dividendo,divisore, quoziente, resto. Divisibilità. Nel caso in cui r = 0, ossia se a = bq, diciamo che b divide a e scriviamo b a. Numeri primi. Un numero primo è un intero maggiore di che ha come divisori positivi soltanto e se stesso. Si dimostra che: esistono infiniti numeri primi (teorema di Euclide). Teorema fondamentale dell aritmetica. Ogni intero n > si può scrivere nella forma: n = p α p α 2 2 p α k k dove p, p 2,..., p k sono primi distinti e α, α 2,..., α k sono interi maggiori o uguali a uno. Tale scrittura è detta fattorizzazione di n in fattori primi ed è unica a meno dell ordine dei fattori. Massimo comun divisore. Si dice massimo comun divisore di n numeri interi positivi a, a 2,, a n il più grande intero positivo che divide tutti gli a i. Il massimo comun divisore di a, a 2,, a n si indica con MCD (a, a 2,..., a n ). Il massimo comun divisore di due interi a e b si indica con la notazione abbreviata (a, b). Due interi a e b si dicono primi fra loro o coprimi se (a, b) =. Fattorizzazione del MCD. La fattorizzazione del MCD contiene tutti e soli i fattori primi che compaiono in tutte le singole fattorizzazioni, ciascuno elevato al minimo esponente. Minimo comune multiplo. Si dice minimo comune multiplo di n numeri interi positivi a, a 2,, a n il più piccolo intero positivo che è divisibile per tutti gli a i. Il minimo comune multiplo di a, a 2,, a n si indica con MCM (a, a 2,..., a n ). Il minimo comune multiplo di due interi a e b si indica con la notazione abbreviata [a, b].

2 Fattorizzazione del MCM. La fattorizzazione del MCM contiene tutti e soli i fattori primi che compaiono in almeno una delle singole fattorizzazioni, ciascuno elevato al massimo esponente. Relazione tra MCD e MCM. Per ogni a, b Z si ha (a, b)[a, b] = ab. Algoritmo euclideo per il calcolo del MCD. Dati due interi a, b si dimostra facilmente che se a = bq + r con 0 r < b allora MCD(a, b) = MCD(b, r). Pertanto il MCD di a e b può essere determinato con il seguente algoritmo ricorsivo: () Se uno dei due numeri è uguale a 0, l altro numero è il MCD di (a, b). (2) Altrimenti eseguire la divisione euclidea e scrivere a = bq + r, con 0 r < b (3) Rimpiazzare la coppia (a, b) con la coppia (b, r). (4) Tornare al punto () Ad ogni passo il secondo elemento della coppia diventa più piccolo, per cui il procedimento terminerà dopo un numero finito di passi, fornendo il MCD di a e b. Come esempio applichiamo l algoritmo euclideo per calcolare MCD(348, 24): a b q r Pertanto (348, 24) = (24, 00) = (00, 24) = (24, 4) = (4, 0) e quindi MCD(348, 24) = 4. Teorema di Bezout. Se a, b Z e d = (a, b), esistono m, n Z tali che: d = ma + nb Teorema di Bezout generalizzato. Se a, a 2,, a n Z e d = MCD (a, a 2,..., a n ), esistono m, m 2,..., m k Z tali che: d = m a + m 2 a m k a k Lemma di Euclide 2. Se p è primo e p bc allora p b oppure p c. Numero dei divisori. Il numero dei divisori del numero naturale n = p α p α 2 2 p α k k dalla formula: d (n) = (α + ) (α 2 + ) (α k + ) è dato Étienne Bézout matematico francese ( ) 2 Euclid of Alexandria, fu un matematico Greco, spesso considerato come il Padre della Geometria. La sua opera gli Elementi di Euclide è stato uno dei testi che ha maggiormente influenzato la storia della matematica. 2

3 2 Frobenius coin problem. Il problema delle monete, noto come Frobenius coin problem 3 è il problema matematico in cui si chiede qual è la più grande somma che non può essere ottenuta usando solo monete aventi determinati tagli. Per esempio la più grande somma che non può essere ottenuta usando solo monete di 3 e 5 unità è 7 unità. La soluzione di questo problema per un dato insieme T di tagli di monete è chiamato numero di Frobenius di T. Esiste una formula esplicita per il numero di Frobenius quando si hanno solo uno oppure due tagli di monete. Se il numero di tagli di monete è superiore a due non si conosce nessuna formula esplicita. In termini matematici il problema può essere formulato nel modo seguente: Dati n interi positivi a, a 2,..., a n tali che MCD (a, a 2,..., a n ) = trovare il più grande numero intero che non può essere espresso come combinazione lineare a coefficienti interi non negativi di a, a 2,..., a n, ossia nella forma k a + k 2 a k n a n (*) dove k, k 2,..., k n sono interi non negativi. Sussistono i seguenti risultati: se n = allora a = per cui tutti i numeri naturali possono essere espressi nella forma (*), dunque il numero di Frobenius non esiste se n = ; se n = 2 il numero di Frobenius è dato dalla formula a a 2 a a 2 Questa formula fu scoperta da Sylvester 4 nel 884. Sylvester dimostrò inoltre che, in questo caso, il numero degli interi non rappresentabili nella forma k a + k 2 a 2 è dato da: (a ) (a 2 ) 2 Per esempio se a = 3 e a 2 = 5 allora ogni numero positivo N può essere espresso nella forma tranne i numeri,2,4 e 7. il problema di Frobenius con n = 3 è irrisolto. N = 3k + 5k 2 Per un approccio algoritmico si può consultare [8]. 3 Ferdinand Frobenius, matematico tedesco (849-97). 4 James Joseph Sylvester, matematico inglese (84-897) 3

4 3 Aritmetica modulare. Relazione di conguenza. Sia m > un numero intero fissato. Due numeri a, b Z si dicono congrui modulo m e si scrive: a b (mod m) se m a b. Si dimostra facilmente che a b (mod m) se e solo se a e b divisi per m danno lo stesso resto. Classe di congruenza. Si dice classe di congruenza (modulo m) di un intero a l insieme di tutti gli interi congrui ad a modulo m: [a] m = [a] = {b Z b a (mod m)} Ogni classe di congruenza contiene un unico x tale che 0 x < m (x è detto rappresentante canonico). Sistema completo di resti. Un insieme di m numeri interi x, x 2,..., x m è detto un sistema completo di resti modulo m se per ogni a Z esiste uno ed un solo x i tale che a x i (mod m). Proprietà delle congruenze. La relazione di congruenza gode delle proprietà riflessiva, simmetrica, transitiva ed è compatibile con le operazioni di somma e prodotto, ossia se allora: () a + c b + d (mod m) (2) a c b d (mod m) (3) ac bd (mod m) (4) a k b k (mod m), k N Dalle precedenti proprietà discende che a b (mod m), c d (mod m) (5) Se f(x) è un polinomio a coefficienti interi allora a b (mod m) f(a) f(b) (mod m) Non vale però, in generale, la legge di cancellazione ossia ka kb (mod m) a b (mod m) La legge di cancellazione vale solo se (k, m) = ossia: (6) Se (k, m) = e ka kb (mod m) a b (mod m). Inverso modulo m. Si dice che b è l inverso di a modulo m se ab (mod m). In tal caso si dice che a è invertibile modulo m. Criterio di invertibilità. Un intero a è invertibile modulo m se e solo se (a, m) =. 4

5 Calcolo dell inverso modulo m. Se (a, m) = per il teorema di Bezout esistono h, k Z tali che: ha + km = ah (mod m) ossia h è l inverso di a modulo m. Teorema di Wilson 5. Se p è un numero primo si ha: (p )! (mod p) Piccolo teorema di Fermat 6. Se a Z e p è un primo tale che p a si ha: a p (mod p) Corollario del piccolo teorema di Fermat. Se a Z e p è un primo si ha: a p a (mod p) Sistema di congruenze. Se m,..., m k, a,..., a k Z, si dice sistema di congruenze un sistema della forma: x a (mod m ) x a 2 (mod m 2 ) (*). x a k (mod m k ) Risolvere tale sistema significa trovare tutti gli interi x che verificano contemporaneamente le k congruenze del sistema. Teorema cinese dei resti. Se m, m 2,..., m k Z a due a due relativamente primi, allora qualunque siano gli interi a, a 2,..., a k Z il sistema (*) ammette una soluzione, unica modulo m m 2 m k. Costruzione della soluzione del sistema (*). Per ogni i {, 2,..., k} poniamo b i = j i m j e indichiamo con c i l inverso di b i modulo m i. Allora una soluzione del sistema (*) è data da x 0 = k a i b i c i i= Tutte le altre soluzioni sono della forma: x = x 0 + t m m 2 m k, t Z 5 John Wilson (74-793) matematico inglese. Diede l enunciato del teorema che porta il suo nome senza dimostrarlo. La prima dimostrazione fu data da Lagrange nel Pierre de Fermat (60-665), un giurista del parlamento di Tolosa e cultore di matematica che diede grandi contributi in diversi settori, soprattutto in teoria dei numeri. 5

6 Funzione di Eulero 7. Si dice funzione ϕ di Eulero la funzione che ad ogni intero n > associa il numero degli interi 0 < a < n che sono relativamente primi con n, ossia Proprietà della funzione di Eulero. ϕ (n) = {a 0 < a < n, (a, n) = } () ϕ è una funzione moltiplicativa ossia se (a, b) = ϕ(ab) = ϕ(a) ϕ(b) (2) se p è un numero primo ϕ(p) = p (3) se p è un numero primo ed α N: ϕ (p α ) = p α p α (4) se n = p α p α 2 2 p α k k allora ) ) ϕ (n) = n ( p ( pk = n ( ) p p n Teorema di Fermat-Eulero. Se a Z ed (a, m) = allora a ϕ(m) (mod m). 4 Equazioni diofantee. Equazione diofantea. Un equazione a coefficienti interi di cui si devono trovare le soluzioni intere è chiamata equazione diofantea (in onore di Diofanto 8 ). Equazione diofantea in due variabili di primo grado. Un equazione diofantea di primo grado in due variabili è un equazione della forma ax + by = c dove a, b, c Z. Risolvere tale equazione significa trovare tutte le coppie (x, y) di numeri interi che la soddisfano. Equazione omogenea. L equazione diofantea ax + by = c si dice omogenea se c = 0. Soluzioni dell equazione omogenea e non omogenea. Se (x, y ), (x 2, y 2 ) sono due soluzioni dell equazione non omogenea allora (x x 2, y y 2 ) è soluzione dell equazione omogenea associata ax + by = 0. Pertanto, per trovare tutte le soluzioni dell equazione non omogenea, basta trovare una soluzione qualunque dell equazione non omogenea, più tutte le soluzioni dell omogenea associata. Condizione necessaria e sufficiente per l esistenza di soluzioni. Un equazione diofantea omogenea ammette sempre infinite soluzioni. Un equazione diofantea non omogenea ammette almeno una soluzione se e solo se (a, b) c. In tal caso le soluzioni sono infinite. Pertanto un equazione diofantea di primo grado ammette o zero o infinite soluzioni. 7 Leonhard Euler, matematico svizzero ( ) 8 Diofanto di Alessandria, matematico dell antica Grecia vissuto nel periodo tra il III e il IV secolo dopo Cristo, considerato come il Padre dell algebra. 6

7 Come trovare una soluzione dell equazione non omogenea. Sia d = (a, b) e siano m, n come nel teorema di Bezout, cioè tali che ma + nb = d. Se è verificata la condizione necessaria e sufficiente, cioè se esiste un intero k tale che c = kd allora x 0 = km, y 0 = kn è una delle soluzioni dell equazione non omogenea. Come trovare tutte le soluzioni dell equazione omogenea. Sia d = (a, b) e siano α, β Z tali che a = αd, b = βd. Allora le soluzioni dell equazione omogenea sono tutte e sole quelle del tipo x = βt, y = αt con t Z. 5 Frazioni continue. Frazione continua finita. Si definisce frazione continua finita un espressione della forma [a 0 ; a, a 2,..., a n ] := a 0 + a + a dove a, a 2,..., a n sono numeri reali positivi ed a 0 è un numero reale non negativo. I numeri a,..., a n sono detti denominatori parziali. La frazione continua è detta semplice se i numeri a i sono interi. Sviluppo di un numero razionale in frazione continua. Utilizzando l algoritmo euclideo delle divisioni successive si dimostra facilmente che ogni numero razionale può essere scritto come una frazione continua semplice finita. Illustriamo, ad esempio, come la frazione 7 può 6 essere sviluppata in frazione continua: a n 7 6 = = [0; 3,,, 2, 3] = = = La rappresentazione di un numero razionale come frazione continua semplice finita non è unica in quanto possiamo sempre modificare l ultimo termine. Infatti se a n > allora a n = (a n ) + [a 0 ; a, a 2,..., a n ] = [a 0 ; a, a 2,..., a n, ] mentre se a n = allora a n + a n = a n + [a 0 ; a, a 2,..., a n ] = [a 0 ; a, a 2,..., a n 2, a n + ] 7

8 Ad esempio abbiamo che 7 6 = [0; 3,,, 2, 3] = [0; 3,,, 2, 2, ] Convergenti di una frazione continua. La frazione continua ottenuta da [a 0 ; a, a 2,..., a n ] considerando i denominatori parziali fino ad a k è detta convergente k-esima ed è indicata con Ad esempio le convergenti della frazione 7 6 C k = [a 0 ; a, a 2,..., a k ] = p k q k = [0; 3,,, 2, 3] sono: C 0 = 0 C = [0; 3] = = 3 C 2 = [0; 3, ] = 0 + = C 3 = [0; 3,, ] = = C 4 = [0; 3,,, 2] = = C 5 = [0; 3,,, 2, 3] = = Formula ricorsiva per il calcolo delle convergenti di una frazione continua. Si dimostra facilmente per induzione che le convergenti C k = p k /q k della una frazione continua [a 0 ; a, a 2,..., a n ] possono essere calcolate con le seguenti formule ricorsive: p 0 = a 0 q 0 = p = a a 0 + q = a p k = a k p k + p k 2 q k = a k q k + q k 2, k 2 8

9 Proprietà fondamentale delle convergenti di una frazione continua. Se C k = p k /q k è la k-esima convergente della frazione continua [a 0 ; a, a 2,..., a n ] allora: p k q k q k p k = ( ) k, k {, 2,..., n} Da questa proprietà discende che MCD(p k, q k ) = per ogni k {, 2,..., n}. Risoluzione di un equazione diofantea lineare. Le frazioni continue possono essere impiegate per trovare le soluzioni dell equazione diofantea ax + by = dove a, b sono due interi tali coprimi. Espandiamo a b in frazione continua a b = [a 0; a,..., a n ]. Le ultime due convergenti di questa frazione sono C n = p n /q n e C n = p n /q n = a/b. Poichè MCD(p n, q n ) = = MCD(a, b) abbiamo che p n = a, q n = b. Pertanto dalla proprietà fondamentale delle convergenti abbiamo p n q n q n p n = ( ) n aq n bp n = ( ) n Allora una soluzione particolare di ax + by = è: (i) x 0 = q n, y 0 = p n se n è dispari (ii) x 0 = q n, y 0 = p n se n è pari La soluzione generale di ax + by = è: x = x 0 + bt, y = y 0 at t Z Frazione continua infinita. Se a 0, a, a 2,... è una successione (infinita) di interi positivi (escluso al più a 0 che può anche essere uguale a 0) allora l espressione: [a 0 ; a, a 2, a 3,... ] := a 0 + a + a 2 + a è chiamata frazione continua semplice infinita. Per attribuire un significato numerico a tale espressione poniamo: [a 0 ; a, a 2, a 3,... ] := lim k [a 0 ; a, a 2,..., a k ] Se una frazione continua infinita, come ad esempio [3;, 2,, 6,, 2,, 6,... ] contiene un blocco di denominatori parziali b, b 2,..., b n che si ripetono, la frazione è detta periodica. Una frazione continua periodica [a 0 ; a,..., a m, b,..., b n, b,..., b n,... ] viene indicata con la notazione: [a 0 ; a,..., a m, b,..., b n ] dove la barra indica che i termini b,..., b n si ripetono infinite volte. Se b,..., b n è il più piccolo blocco di interi che si ripetono, diciamo che b,..., b n è il periodo della frazione continua ed n è detta la lunghezza del periodo. Si possono dimostrare le seguenti proprietà: 9

10 (i) Il valore di una frazione continua infinita è un numero irrazionale. (ii) Due frazioni continue infinite [a 0, a, a 2,... ] e [b 0, b, b 2,... ] rappresentano lo stesso numero se e solo se a i = b i per ogni i 0. (iii) La frazione continua sviluppo di un irrazionale quadratico x = K è periodica da un certo punto in poi (teorema dimostrato da Lagrange 9 nel 770). (iv) Se d è un intero positivo che non è un quadrato perfetto, allora lo sviluppo in frazione continua di d è della forma d = [a0 ; a, a 2, a 3,..., a 3, a 2, a, 2a 0 ] (v) Siano C k = p k /q k le convergenti della frazione continua sviluppo di d e sia n il suo periodo. Allora p 2 kn dq 2 kn = ( ) kn, k {, 2, 3,... } Sviluppo di un numero reale in frazione continua. Se x è un numero reale positivo, poniamo x 0 := x, a 0 := [x 0 ] da cui segue che 0 x 0 a 0 <. Se x 0 a 0 > 0 poniamo x := x 0 a 0, a := [x ] ed in generale per n, se x n a n > 0, poniamo x n+ := x n a n, a n+ := [x n+ ] La sequenza (x n ) termina dopo un numero finito di passi se x è un numero razionale, in caso contrario è una sequenza infinita. Se x è un numero irrazionale otteniamo due successioni: (a n ) di numeri interi positivi ed (x n ) di numeri irrazionali maggiori di e si può dimostrare che x = [a 0 ; a, a 2,... ] Determinare lo sviluppo in frazione continua di : x 0 = a 0 = 3 x = x 0 [x 0 ] = + 3 = 3, 5 a = x 2 = x [x ] = +3 3 = + 3 6, 3 a2 = 6 2 x 3 = x 2 [x 2 ] = = 3, 5 a 2 = Pertanto = [3; 3, 6]. 9 Joseph Louis Lagrange (736-83) fu, dopo Eulero, il più grande matematico del XVIII secolo. 0

11 Sviluppo in frazione continua di N per N {,..., 99}, N non quadrato. 2 = [; 2] 3 = [;, 2] 5 = [2; 4] 6 = [2; 2, 4] 7 = [2;,,, 4] 8 = [2;, 4] 0 = [3; 6] = [3; 3, 6] 2 = [3; 2, 6] 3 = [3;,,,, 6] 4 = [3;, 2,, 6] 5 = [3;, 6] 7 = [4; 8] 8 = [4; 4, 8] 9 = [4; 2,, 3,, 2, 8] 20 = [4; 2, 8] 2 = [4;,, 2,,, 8] 22 = [4;, 2, 4, 2,, 8] 23 = [4;, 3,, 8] 24 = [4;, 8] 26 = [5; 0] 27 = [5; 5, 0] 28 = [5; 3, 2, 3, 0] 29 = [5; 2,,, 2, 0] 30 = [5; 2, 0] 3 = [5;,, 3, 5, 3,,, 0] 32 = [5;,,, 0] 33 = [5;, 2,, 0] 34 = [5;, 4,, 0] 35 = [5;, 0] 37 = [6; 2] 38 = [6; 6, 2] 39 = [6; 4, 2] 40 = [6; 3, 2] 4 = [6; 2, 2, 2] 42 = [6; 2, 2] 43 = [6;,, 3,, 5,, 3,,, 2] 44 = [6;,,, 2,,,, 2] 45 = [6;, 2, 2, 2,, 2] 46 = [6;, 3,,, 2, 6, 2,,, 3,, 2] 47 = [6;, 5,, 2] 48 = [6;, 2] 50 = [7; 4] 5 = [7; 7, 4] 52 = [7; 4,, 2,, 4, 4] 53 = [7; 3,,, 3, 4] 54 = [7; 2,, 6,, 2, 4] 55 = [7; 2, 2, 2, 4] 56 = [7; 2, 4] 57 = [7;,, 4,,, 4] 58 = [7;,,,,,, 4] 59 = [7;, 2, 7, 2,, 4] 60 = [7;, 2,, 4] 6 = [7;, 4, 3,, 2, 2,, 3, 4,, 4] 62 = [7;, 6,, 4] 63 = [7;, 4] 65 = [8; 6] 66 = [8; 8, 6] 67 = [8; 5, 2,,, 7,,, 2, 5, 6] 68 = [8; 4, 6] 69 = [8; 3, 3,, 4,, 3, 3, 6] 70 = [8; 2,, 2,, 2, 6]

12 7 = [8; 2, 2,, 7,, 2, 2, 6] 72 = [8; 2, 6] 73 = [8;,, 5, 5,,, 6] 74 = [8;,,,, 6] 75 = [8;,,, 6] 76 = [8;, 2,,, 5, 4, 5,,, 2,, 6] 77 = [8;, 3, 2, 3,, 6] 78 = [8;, 4,, 6] 79 = [8;, 7,, 6] 80 = [8;, 6] 82 = [9; 8] 83 = [9; 9, 8] 84 = [9; 6, 8] 85 = [9; 4,,, 4, 8] 86 = [9; 3,,,, 8,,,, 3, 8] 87 = [9; 3, 8] 88 = [9; 2,,,, 2, 8] 89 = [9; 2, 3, 3, 2, 8] 90 = [9; 2, 8] 9 = [9;,, 5,, 5,,, 8] 92 = [9;,, 2, 4, 2,,, 8] 93 = [9;,,, 4, 6, 4,,,, 8] 94 = [9;, 2, 3,,, 5,, 8,, 5,,, 3, 2,, 8] 95 = [9;, 2,, 8] 96 = [9;, 3,, 8] 97 = [9;, 5,,,,,,, 5,, 8] 98 = [9;, 8,, 8] 99 = [9;, 8] 6 Equazioni diofantee di secondo grado. 6. Equazione pitagorica L equazione diofantea x 2 + y 2 = z 2 è chiamata equazione pitagorica in quanto se consideriamo un triangolo rettangolo i cui cateti e la cui ipotenusa hanno lunghezze x, y, z espresse da numeri interi allora, per il teorema di Pitagora, (x, y, z) è una soluzione. Una soluzione (x, y, z) dell equazione x 2 + y 2 = z 2 è detta primitiva se MCD(x, y, z) =. Ricerca delle soluzioni (positive) primitive. Le soluzioni (positive) primitive dell equazione x 2 + y 2 = z 2 con y pari sono x = r 2 s 2, y = 2rs, z = r 2 + s 2 dove r, s sono interi arbitrari di parità opposta tali che r > s > 0 ed (r, s) =. Ricerca delle soluzioni positive. Le soluzioni positive dell equazione x 2 + y 2 = z 2 con y pari sono x = k ( r 2 s 2), y = 2krs, z = k ( r 2 + s 2) dove r, s sono interi arbitrari, di parità opposta, tali che r > s > 0 e k è un intero qualsiasi. 2

13 6.2 Equazione di Pell Se d è un intero l equazione diofantea x 2 dy 2 = è detta equazione di Pell. Se d è un quadrato perfetto, diciamo d = a 2, l equazione può essere scritta nella forma (x ay)(x + ay) = e, pertanto, ammette un numero finito di soluzioni. Anche se d < 0 l equazione ha un numero finito di soluzioni. Il caso più interessante si ha quando d è un numero intero positivo che non è un quadrato perfetto. Una soluzione (x, y) è detta positiva se entrambi x ed y sono numeri interi positivi. Una soluzione (x, y ) è detta soluzione fondamentale (o soluzione minima) se è la più piccola soluzione positiva, cioè se per ogni altra soluzione positiva (x, y ) risulta che x < x ed y < y. Nella trattazione che segue ci limitiamo alla determinazione delle soluzioni positive in quanto, a parte le soluzioni banali (±, 0), tutte le altre sono della forma (±x, ±y), dove x > 0 ed y > 0. Ricerca delle soluzioni positive. Sebbene John Pell 0 abbia contribuito molto poco allo studio di questa equazione, essa porta il suo nome a causa di un errore di Eulero. I matematici che per primi si occuparono di questa equazione furono Brahmagupta (VII secolo), Bhaskara (XII secolo) e Fermat (XVII secolo) che ne fece uno studio sistematico. Il metodo di risoluzione dell equazione di Pell, basato sulla teoria delle frazioni continue, è dovuto a Lagrange (XVIII secolo). Esponiamo il procedimento risolutivo, omettendo le dimostrazioni : (i) Troviamo lo sviluppo in frazione continua di d d = [a0 ; a, a 2, a 3,..., a 3, a 2, a, 2a 0 ] e determiniamo le sue convergenti C k = p k /q k con k {0,,..., n } se n è pari e k {0,,..., 2n } se n è dispari. (ii) Se n è pari allora la soluzione fondamentale è data da x = p n, y = q n, mentre se n è dispari la soluzione fondamentale è data da x = p 2n, y = q 2n. (iii) ogni soluzione positiva di x 2 dy 2 = è data da (x n, y n ), dove x n, y n sono interi determinati dall uguaglianza x n + y n d = (x + y d ) n, n 2 Equivalentemente, dopo aver trovato la soluzione fondamentale (x, y ), possiamo calcolare tutte le altre soluzioni mediante le formule ricorsive x n+ = x x n + dy y n y n+ = x y n + y x n 0 John Pell (6-685) grande insegnante e grande studioso ammesso al Trinity College di Cambridge all età di 3 anni. Fu professore di matematica ad Amsterdam e a Breda e fu eletto membro della Royal Society nel 663. Al lettore interessato sull argomento si consiglia [?] 3

14 Soluzione fondamentale di x 2 dy 2 = per d {,..., 03}. d x y d x y d x y Soluzione fondamentale di x 2 dy 2 = per d {,..., 03}. d x y d x y d x y

15 Esempio. Trovare le soluzioni intere positive dell equazione x 2 7y 2 =. (i) Osserviamo che 7 = [2;,,, 4] e che il periodo della frazione continua è 4. Le prime 5 convergenti di 3 sono: 2, 3, 5 2, 8 3, 37 4 (ii) Poichè il periodo è pari la soluzione fondamentale è x = p 3 = 8, y = q 3 = 3. (iii) Altre soluzioni sono determinate dall uguaglianza x n + y n 7 = ( ) n, n 2 Ad esempio (x 2, y 2 ) = (27, 48), (x 3, y 3 ) = (2024, 765), etc. Esempio 2. Trovare le soluzioni intere positive dell equazione x 2 3y 2 =. (i) Osserviamo che 3 = [3;,,,, 6] e che il periodo della frazione continua è 5. Le prime 0 convergenti di 3 sono: 3, 4, 7 2, 3, 8 5, 9 33, 37 38, 256 7, , (ii) Poichè il periodo è dispari la soluzione fondamentale è x = p 9 = 649, y = q 9 = 80. (iii) Altre soluzioni sono determinate dall uguaglianza Ad esempio (x 2, y 2 ) = (84240, ). x n + y n 3 = ( ) n, n 2 Ricerca della soluzione fondamentale per tentativi. Talvolta la soluzione fondamentale dell equazione di Pell x 2 dy 2 = può essere trovata manualmente sostituendo di volta in volta i valori y =, 2, 3,... nell espressione + dy 2, finchè si ottiene un quadrato. Equazione di Pell negativa. L equazione di Pell negativa è data da x 2 dy 2 = Anche questa equazione è stata studiata estensivamente. Essa può essere risolta con la stessa tecnica delle frazioni continue ed ammette soluzioni quando il periodo della frazione continua che rappresenta d ha lunghezza dispari. Tuttavia a tutt oggi non si conosce un criterio per stabilire se il periodo di d ha lunghezza dispari e quindi non siamo in grado di stabilire per quali valori di d l equazione x 2 dy 2 = risulta risolubile. Ad esempio x 2 3y 2 = non ha soluzioni intere (basta osservare che un quadrato è congruo a 0 oppure ad modulo 3). 5

16 7 Problemi. Dimostare che l equazione x 2 y 2 = 2 non ha soluzioni intere. 2. Dimostrare che 6 divide n(n )(2n ) per ogni n N. 3. Dimostrare che 7 divide 2 n 3 2n per ogni n N. 4. Dimostrare che 7 n 2 n 24 n + 9 n è divisibile per 35 per ogni n N. 5. Dimostrare che è divisibile per Dimostrare che 3 6n 2 6n è divisibile per 35 per ogni n N Dimostrare che n 5 5n 3 + 4n è divisibile per 20 per ogni n N. 8. Dimostrare che n 2 + 3n + 5 non è divisibile per 2 per ogni n N. 9. Sia A la somma delle cifre del numero Sia B la somma delle cifre di A. Qual è la somma delle cifre di B? (IMO 975). 0. Lungo un corridoio sono disposte 2000 porte contrassegnate con i numeri {, 2,..., 2000}. All inizio tutte le porte sono chiuse. Una persona cammina lungo il corridoio ed apre tutte le porte con numero pari a partire dalla numero 2, così che tutte le porte {2, 4,..., 998, 2000} sono aperte. Un altra persona cammina lungo il corridoio e cambia lo stato (cioè chiude una porta se essa è aperta e la apre se è chiusa) delle porte contrassegnate con un multiplo di 3. Quindi un altra persona cambia lo stato delle porte contrassegnate con un multiplo di 4, ecc. Questo processo continua finchè lo stato delle porte non può essere più alterato. Dire quante sono le porte chiuse alla fine del processo.. Quale resto si ottiene dividendo per 37? 2. Sia N = Determinare (a) la parità di N; (b) l ultima cifra di N; (c) il resto quando N viene diviso per Trova l ultima cifra del numero Trova l ultima cifra del numero Trova l ultima cifra del numero Qual è l ultima cifra del numero ((((((((((7) 7 ) 7 ) 7 ) 7 ) 7 ) 7 ) 7 ) 7 ) 7 ) 7 in cui 7 figura 0 volte come esponente. 7. Qual è l ultima cifra del numero Trova le ultime due cifre di Trova le ultime tre cifre di

17 20. Dimostrare che esiste un multiplo di 2 avente 24 come ultime tre cifre. 2. Dimostrare che il numero } 222 {{ 22} è divisibile per cifre 22. Dimostrare che se 2n + e 3n + sono quadrati perfetti allora n è divisibile per Dimostrare che la somma di due quadrati dispari non può essere un quadrato 24. Dimostrare che la successione di numeri,,,,... (scritti in base 0) non contiene quadrati perfetti. 25. Dimostrare che il numero } {{ } è divisibile per 8. 8 cifre 26. Dimostrare che nella successione, 3, 33, 333,... esistono infiniti numeri composti. 27. Dimostrare che è divisibile per Dimostrare che è divisibile per Dimostrare che è divisibile per Dimostrare che 4 n + 5n è divisibile per Dimostrare che non è un quadrato perfetto. 32. Dimostrare che non esistono numeri interi a, b tali che a 2 3b 2 = Dimostrare che non esistono numeri interi a, b tali che 5a 2 7b 2 = Dimostrare che l equazione x 2 + y 2 + z 2 = 2xyz non ha soluzioni intere eccetto (0, 0, 0). 35. Dimostrare che la somma dei quadrati di cinque numeri naturali consecutivi non può essere un quadrato perfetto. 36. Dimostrare che il numero (00 zeri nei due gruppi) non è un cubo perfetto. 37. Se a + è divisibile per 3 dimostra che 4 + 7a è divisibile per Trova l ultima cifra del numero Sette numeri naturali sono tali che la somma di ogni sei di essi è divisibile per 5. Dimostra che ognuno di questi numeri è divisibile per Dimostrare che esiste un numero naturale n tale che i numeri n +, n + 2,, n sono tutti composti. 4. Dimostrare che è divisibile per Quale resto si ottiene dividendo il numero per Dimostra che, se p è un numero primo maggiore di 3, allora p 2 è divisibile per Trova la somma di tutti gli interi x divisibili per 7 tali che x

18 45. La successione di numeri naturali (a n ) soddisfa le condizioni (a) a = a 2 = (b) a n+2 = a n+ a n per ogni n N Dimostrare che nessun termine della successione è divisibile per Dimostra che nessuno dei numeri a n = è primo, dove n = 2, 3, 4,... indica il numero delle occorrenze delle cifra in a n. 47. Trovare il più piccolo intero positivo che diviso per 3 da resto 5 e diviso per 23 da resto Paolo ha una collezione di monete. Se egli dispone le monete in pile da 6 gli restano 3 monete. Se le monete sono disposte in pile da 8 restano 7 monete e se sono disposte in pile da 5 restano 4 monete. Se il numero n di monete è minore di 00, trovare n. (Flanders Mathematical Olympiad ) 49. Sia d un intero positivo diverso da 2,5,3. Prova che esistono due numeri interi distinti a, b {2, 5, 3, d} tali che ab non è un quadrato perfetto (IMO 986). 50. Dimostra che un intero positivo n è somma di almeno due interi positivi consecutivi se e solo se non è una potenza di due. (Canadian Mathematical Olympiad 976) 5. Trova tutte le soluzioni intere dell equazione diofantea 5x + 3y = Marinai, noci di cocco e scimmie. Cinque marinai sono finiti dopo un naufragio su un isola. Per procurarsi cibo, essi raccolgono tutte le noci di cocco che riescono a trovare. Durante la notte uno dei marinai si sveglia e decide di prendersi la sua parte di noci. Egli le divide in cinque mucchi uguali e scopre che ne avanza una, ed allora questa la getta alle scimmie. Poi nasconde la sua parte e torna a dormire. Dopo un po si sveglia un secondo marinaio con la medesima idea. Egli divide quel che è restato delle noci in cinque mucchi uguali, scopre che ne avanza ancora una e la getta alle scimmie. Poi nasconde la sua parte. A loro volta gli altri tre marinai fanno lo stesso, e ciascuno getta una noce alle scimmie. La mattina dopo i marinai, con l aria più innocente del mondo, dividono le noci rimaste in cinque mucchi uguali e questa volta non ne avanza nessuna. Trovare il minimo numero possibile di noci del mucchio originario. (Hint: Il problema è ricondotto a quello di trovare le soluzioni intere positive dell equazione diofantea: 024x 5625y = 8404) 53. Trova tutte le soluzioni intere delle seguenti equazioni diofantee: (a) 3x + 2y = (b) 9x + 22y = 5 (c) 40x + 503y = Decomporre il numero 7 nella somma di due addendi positivi, dei quali il primo sia multiplo di 5 e l altro multiplo di Rappresentare il numero 3 come somma di due addendi non negativi di cui il primo, diviso per 7, dia resto 3 e l altro, diviso per, dia resto 5. 8

19 56. Decomporre la frazione 28/7 nella somma di due frazioni positive aventi per denominatori 9 e Un fattore compra delle mucche a lire l una, e dei maiali a lire l uno. Paga in tutto lire. Quante mucche e quanti maiali ha comprato? 58. Dimostra che se l equazione ax + by + cz = e ammette soluzioni intere allora MCD(a, b, c) e. Viceversa, supposto che MCD(a, b, c) e, prova che esistono w, z Z tali che e poi prova che esistono x, y Z tali che (a, b)w + cz = e ax + by = (a, b)w La stessa tecnica può essere utilizzata per risolvere equazioni diofantee lineari con n incognite. 59. Trova le soluzioni intere dell equazione 323x + 39y + 437z = Roberto ha 56 monete in pezzi da, 5, 0 centesimi. Dire quante sono le monete di ciascun taglio sapendo che la somma complessiva è di 97 centesimi. 6. Esprimere ciascuno dei seguenti numeri razionali sotto forma di frazione continua semplice finita: (a) (b) (c) 69 3 (d) Trovare i numeri razionali rappresentati dalle seguenti frazioni continue: (a) [4;, 3, 5, 7] (b) [2;, 3,,, 5] (c) [0;, 2, 3, 4, 3, 2, ] (d) [ ;, 4, 6] 63. Determinare le convergenti dalle seguenti frazioni continue: (a) [; 4, 3, 3, 4, ] (b) [2;,,,, 5] (c) [0; 3, 5,, 0, 3] 64. Mediante le frazioni continue trovare la soluzione generale di ciascuna delle seguenti equazioni diofantee (a) x + 3y = (b) 2x + 9y = (c) 58x 57y = (d) 7x 2y = 65. Calcolare il valore di ognuna delle seguenti frazioni continue infinite: (a) [3, 4] (b) [2;, 3, ] (c) [; 3, 2, ] (d) [0;, 2, 3] 66. Esprimere ciascuno dei seguenti numeri irrazionali sotto forma di frazione continua semplice infinita: (a) (b) (c) (d)

20 67. Sostituendo successivamente i valori y =, 2, 3,... nell espressione dy 2 + determinare la soluzione fondamentale dell equazione x 2 dy 2 = quando d vale (a) 7 (b) (c) 8 (d) 30 (e) Trovare la soluzione fondamentale delle seguenti equazioni (a) x 2 29y 2 = (b) x 2 26y 2 = (c) x 2 4y 2 = (d) x 2 74y 2 = 69. Dimostrare che n 2 + (n + ) 2 è un quadrato perfetto per infiniti valori di n. 70. Dimostrare che se (x, y ) è la soluzione fondamentale di x 2 dy 2 = allora la coppia (x 2, y 2 ) definita dall uguaglianza x 2 + y 2 d = (x + y d ) 2 è la soluzione fondamentale di x 2 dy 2 =. 7. Trovare il più piccolo numero naturale n di tre cifre tale che la somma n è un quadrato perfetto. n(n + ) 72. Un numero naturale a si dice triangolare se esiste n N tale che a =. Il numero 2 36 è sia triangolare che quadrato dato che 36 = 6 2 = 8 9. Trovare il più piccolo numero 2 triangolare-quadrato maggiore di Trovare il più piccolo numero naturale di due cifre della forma n(n + )/3 che è un quadrato perfetto. 74. Risolvere l equazione diofantea x 2 + y 2 = 4xy Trovare tutti i valori di n per cui il numero di diagonali di un poligono convesso di n lati è un quadrato perfetto. (Mathematical Reflection n. 5 (2009), Problem J35) 76. Trovare gli interi n per cui esiste un intero m tale che 77. Determinare gli interi positivi m, n tali che m = (m + ) + (m + 2) + + n m + (m + ) + + (n ) + n = mn (International Mathematical Talent Search 2/3) 78. Dimostrare che esistono infiniti interi n tali che n, n +, n + 2 sono ognuno la somma di due quadrati perfetti. (Esempio 0 = , = , 2 = ). (W.L. Putnam Mathematical Competition 2000). 79. Trovare tutti i triangoli tali che le lunghezze dei lati sono interi consecutivi e la cui area è espressa da un numero intero. 80. Dimostrare che esistono infiniti interi n, multipli di 40 tali che 2n + e 3n + sono quadrati perfetti. (American Math Monthly E2606) 8. Dimostrare che esistono infiniti interi positivi n tali che n 2 + divide n! 82. Dimostrare che esistono infiniti interi positivi n tali che [ 2n ] + è un quadrato perfetto. 20

21 Riferimenti bibliografici [] Massimo Gobbino, Schede Olimpiche, U.M.I, Bologna (200) [2] C.D. Olds, Frazioni Continue, Zanichelli, Bologna (968) [3] David M. Burton, Elementary Number Theory, Allyn and Bacon, Boston (980) [4] Edward J. Barbeau, Pell s Equation, Springer (2000) [5] Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu, An introduction to Diophantine equations, Birkhauser, New York (200) [6] Kin Y. Li, Pell s Equation (I), Mathematical Excalibur, vol.6, n.3 (200) [7] Kin Y. Li, Pell s Equation (II), Mathematical Excalibur, vol.7, n. (2002) [8] R.W. Owens, An algorithm to solve the Frobenius problem, Mathematics Magazine 76(4), (2003), pag