Basi e trasformate veloci

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1 Sistemi Multimediali Basi e trasformate veloci Trasformare una segnale utilizzando un'altra base puo' portare ad un notevole risparmio nella quantita' di dati da memorizzare. Un semplice esempio geometrico puo' illustrare questa potenzialita'. Marco Gribaudo marcog@di.unito.it, gribaudo@elet.polimi.it Immaginiamo di avere campionato un segnale da R in R 2, ricavando ad esempio 15 campioni quantizzati. Per memorizzare ciascuno campione, occorrono almeno 6 bit, in quanto le coordinate variano tra 0 e 7 per un asse, e tra 0 e 6 per l'altro. (1,0)(0,1)(2,1) (4,1)(1,2)(3,2) (0,3)(2,3)(4,3) (1,4)(3,4)(2,5) (4,5)(5,6)(6,7) (1,0)(0,1)(2,1) (4,1)(1,2)(3,2) (0,3)(2,3)(4,3) (1,4)(3,4)(2,5) (4,5)(5,6)(6,7) (3bit,3bit)= 6bit Se pero' si cambia base e si ruotano e translano gli assi come riportato in figura, e si ricavano le coordinate dei campioni nel nuovo sistema... Si vede che sono suffcienti solamente piu' 5 bit, in quanto lungo una direzione i campioni variano tra 0 e 6, e lungo l'altra solamente piu' tra 0 e 3. (2,0)(0,1)(1,1) (2,1)(3,1)(0,2) (1,2)(2,2)(3,2) (4,2)(5,2)(6,2) (1,3)(2,3)(3,3) (2,0)(0,1)(1,1) (2,1)(3,1)(0,2) (1,2)(2,2)(3,2) (4,2)(5,2)(6,2) (1,3)(2,3)(3,3) (3bit,2bit)= 5bit

2 Nel campionamento originale i dati sono molto correlati: esiste un legame (lineare) molto forte tra le coordinate x ed y dei punti. Nel sistema trasformato, le coordinate dei punti sono decisamente meno correlate: sono quasi ugualmente probabili tutte le combinazioni di x ed y. La trasformazione ha quindi in pratica ridotto la correlazione tra i dati. In una trasformazione di un segnale, si immagina quest'ultimo come un punto in uno spazio a N dimensioni, tante quante i campioni. Una base diventa quindi un nuovo "asse". I coefficienti della trasformazione diventano le coordinate del punto nel nuovo sistema di riferimento. Esistono numerose basi standard adottatate nella codifica di suoni ed immagini. La trasformata di Fourier (FT) e' probabilmente la piu' importante: Vediamo quali siano le piu' diffuse. Essa considera che il segnale sia codificato mediante numeri complessi. A volte questo puo' essere utile per codificare segnali da R in R 2. La trasformata risulta particolarmente utile, in quanto l'esponenziale immaginario ha una sua rappresentazione trigonometrica in seno e coseno. Altrimenti la parte immaginaria puo' essere semplicemente considerata uguale a zero.

3 Sfruttando questa carratteristica, e' possibile interpretare ogni valore dello spazio trasformato come una particolare frequenza componente il segnale. La fase del numero complesso associato ad una frequenza rappresenta la fase dell'onda, mentre il modulo l'intensita' della componente. Modulo Fase Per un segnale periodico, l'integrale si riduce ad una sommatoria, ed il periodo T entra nella definizione della trasformata. Se il segnale e' campionato, si parla di trasformata discreta di Fourier (DFT). In questo caso i coefficienti si possono determinare con una somma finita. Nel caso di segnali reali, si puo' anche esprimere la trasformata discreta in funzione di seni e coseni: Una versione speciale e' la trasformata in coseno (DCT).

4 Essa immagina che il segnale sia affiancato in modo simmetrico e poi esegue una trasformata di Fourier. Esistono diversi modi in cui si puo' far combaciare il campione simmetrico. Ognuno di questi modi viene identificato aggiungnedo un numero romano dopo il nome della trasformata: es. DCT-I, DCT-II, etc... La formula prima presentata si riferisce alla DCT-II. La simmetria azzera automaticamente tutte le componenti in seno, lasciando diverse da zero solamente quelle in coseno. La trasformata di Walsh (DWT) (per segnali discreti a tempo discreto) ha un codominio binario nei valori {0,1}. Nella formula, pi(u) rappresenta l'i-esimo bit di u. Analogamente la trasformata di Hadamard (DHT), associa anche essa valori binari, ma con una formulazione leggeremente diversa.

5 Entrambe hanno utilizzi molto simili e comportamenti analoghi: vi sono solamente piccole differenze su particolari ottimizzazioni utilizzabili nei loro algoritmi di calcolo. Vengono utilizzati in alcune speciali tecniche di compressione di immagini. La trasformata di Hotelling costruisce invece una base specifica per un dominio di segnale di cui si conosce la distribuzione di probabilita'. Welsh Hadamard A partire da uno specifico training set, costruisce la base che permette di ottenere la correlazione minima tra i coefficienti del segnale ricostruito. La base viene costruita mediante il calcolo degli autovalori e degli autovettori della matrice che computa la correlazione tra i vari campioni (matrice di covarianza). E' possibile dimostrare che ordinando gli autovalori in ordine crescente, e poi trascurando quelli di magnetudine piu' bassa, si puo' ottenere l'errore minimo possibile per quello specifico set di segnali. La trasformata di Karhuen-Loewe rappresenta l'equivalente della trasformata di Hotelling per segnali continui. Entrambe i tipi di trasformata vengono utilizzate per applicazioni specifiche, come la codifica ed il riconoscimento di volti.

6 Come visto in precedenza, se le basi sono ortonormali, e' possibile calcolare i coefficienti e ricostruire il segnale con complessita' o(n 2 ). Per le trasformate di Fourier, esiste una tecnica, chiamata Fast Fourier Transform (FFT), con cui e' possibile calcoalre i coefficienti in o(n log n). Requisito fondamentale per la FFT e' che il numero di campioni sia una potenza di due: n=2 k. La base delle DFT, essendo fondata su seni e coseni, e' caratterizzata da numerosi valori identici. gi[j] = La FFT suddivide i campioni di indice dispari da quelli pari e calcola due FFT distinte su meta' dei campioni. Si osserva quindi che i valori utilizzati per la parte inferiore dei coefficienti e' identica a quella superiore. I coefficienti relativi ai campioni dispari sono invece identici a meno di una rotazione costante per tutti i campioni. Utilizzando la notazione della DFT mediante numeri complessi, la rotazione puo' essere effettuata tramite una moltiplicazione. e i(a+b) = e ia e ib

7 Si puo' poi notare che i coefficienti delle colonne pari sono uguali a quelli di una FFT su meta' dei campioni. x[0] x[1] x[2] x[3] Quelli delle colonne dispari sono uguali a quelli di una FFT su meta' dei campioni, ruotate di un fattore costante, dipendente dal coefficiente. x[0] x[1] x[2] x[3] Se chiamiamo p[j] i coefficienti ricavati dalla FFT sui campioni pari, d[j] i coefficienti derivati considerando i campioni dispari e wj i fattori (costanti) di rotazione per allineare i campioni dispari, otteniamo: = p[0] + w0 d[0] = p[1] + w1 d[1] = p[2] + w2 d[2] = p[3] + w3 d[3] = p[0] + w4 d[0] = p[1] + w5 d[1] = p[2] + w6 d[2] = p[3] + w7 d[3] Il ragionamento puo' essere ripetuto in maniera ricorsiva per l'analisi delle singole parti. In log n operazioni si arriva a considerare i campioni elementari. Solitamente le operazioni necessarie vengono schematizzate attraverso appositi diagrammi "a farfalla":

8 Esistono numerose varianti delle FFT, ognuna dotata di caratteristiche proprie che la rendono piu' indicata in alcune circostanze. Pregio notevole della tecnica e' di essere utilizzabile sia per il calcolo dei coefficienti che per la ricostruzione del segnale. Inoltre esistono versioni specifiche per il calcolo di trasformate simili alle DFT, quali ad esempio le DCT e le DWT. Oltre alla codifica diretta del segnale, alcune tecniche propongono una codifica differenziale. In questo caso con differenziale si intende per differenza rispetto ad un qualche valore precedentemente ricavato. La codifica DPCM, invia la differenza tra il segnale misurato ed il campione precedente. Questo meccanismo rischia pero' di creare un accumulo di errore di quantizzazione. Allora la semplice strategia che si adoatta e' quella di inviare la differenza tra la misura effettuata e quella che si sa essere stata calcolata al ricevitore. La differenza puo' essere effettuata rispetto ad una funzione di predizione: una funzione che in base ai precedenti campioni memorizzati ipotizza la nuova misura.

9 In questo caso viene codificata la differenza tra la misurazione e la sua predizione. Una predizione accurata puo' ridurre notevolmente l'estensione del dato codificato. Caso particolare di codifica differenziale e' la modulazione delta. In questo caso non vi e' predizione, e la differenza e' coficicata con un bit. La modulazione delta soffre di due problemi: l'errore granulare codifica un punto in cui il segnale e' piatto con una oscillazione. Inoltre essa non e' in gradi di codificare pendenze superiori a 45 gradi. Questo problema si chiama slope overload. Entrambe i problemi possono essere attenuati sovracampionando il segnale trasmesso rispetto a quello acquisito. Nel caso di filmati (sequenze di immagini), spesso si utilizza una codifica differenziale spaziale (o differenziale 3D). Un fotogramma viene codificato per differenza rispetto ai precedenti - successivi.

10 Inoltre il segnale differenza puo' essere sia codificato direttamente, che prima trasformato e poi codificato come sequenza di coefficienti. Nel caso di filmati, la differenza puo' sfruttare alcune predizioni che si basano l'identificazione dei movimenti sulla scena.