Codifica a blocchi mediante trasformate

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1 Codifica a blocchi mediante trasformate Consideriamo una tecnica di compressione che divide un immagine in piccoli blocchi non sovrapposti di uguale dimensione (per es. 8 8) ed elabora i blocchi indipendentemente utilizzando una trasformata 2-D. Una trasformata lineare e reversibile (come la trasformata di Fourier) viene utilizzata per mappare ogni blocco o sottoimmagine in un insieme di coefficienti della trasformata, che vengono successivamente quantizzati e codificati. Per trasformare i dati dell immagine può essere utilizzata una grande varietà di trasformate. la codifica a blocchi mediante trasformata è usata in JPEG, M-JPEG, MPEG-,2,4, H.26, H.262, H.263 e H.264, DV e HDV, VC-

2 Codifica a blocchi mediante trasformata

3 Trasformate per le immagini digitali 3

4 Cos è una trasformata? La trasformata è un operazione matematica che ci permette di passare da uno spazio di funzioni ad un altro. Nel caso di spazi vettoriali la trasformata corrisponde ad un cambio di base. Le immagini si possono pensare come elementi di uno spazio vettoriale. Pertanto possono essere rappresentate come combinazione lineari di una base dello spazio. 4

5 Base canonica Tipicamente si usa la base canonica per rappresentare le immagini digitali raster. Questo significa che l immagine originale sarà scritta come combinazione lineare di matrici con un solo valore e i restanti a =

6 Cambio di base Nulla vieta di utilizzare un altra base per rappresentare la stessa immagine. L operazione di Trasformata nel caso discreto, ci permette di utilizzare un altra base, fornendoci gli strumenti per il calcolo dei nuovi coefficienti a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 b b 2 b 3 = a + b + b 4 b 5 b 6 a 7 a 8 a 9 b 7 b 8 b 9 + i i i 2 i 3 i 4 i 5 i 6 i 7 i 8 i 9 6

7 Base qualunque per un immagine In generale possiamo scrivere un immagine I di dimensione N N, come: N N I = a i,j B i,j i=0 j=0 Dove a i,j è l elemento di posto i, j della matrice dei coefficienti A, e B i,j sono gli elementi della base B 7

8 Perché usare una Trasformata? La nuova matrice dei coefficienti potrebbe godere di alcune proprietà caratteristiche della Trasformata utilizzata. Queste proprietà possono rendere più semplice ed efficiente il trattamento delle immagini. Operazioni di compressione, enhancement, individuazione di elementi significativi, ne sono un esempio. 8

9 Quante e quali Trasformate? Esistono teoricamente infinite trasformate. Tra queste moltissime sono note e utilizzate in svariati campi. Nel dettaglio ne vedremo alcune con buone proprietà per il trattamento delle immagini digitali: Haar Walsh/Hadamard Fourier 9

10 Cosa caratterizza un Trasformata? ) Lo spazio di funzioni a cui vogliamo passare: rappresenta il cuore della trasformata e consiste nell insieme delle funzioni elementari attraverso cui descrivere la funzione originale. Tutte le proprietà utili dipendono da questo spazio. 2) Complessità nella computazione: non possiamo fare a meno di considerare il carico computazionale, poiché discuteremo di trattamento di immagini digitali. Per questo ci sono proprietà desiderabili, quali ad esempio l ortogonalità delle funzioni elementari. 0

11 Trasformata di Haar Quale spazio di funzioni utilizza? Ovviamente lo spazio delle funzioni di Haar! Ci concentreremo solo sul caso discreto a due dimensioni, ma vedremo che è strettamente legato al caso continuo ad una dimensione.

12 Funzioni di Haar Le funzioni di Haar H k di ordine k sono definite come segue: H 0 (t) = ppp 0 t < H (t) = ss 0 t < 2 ss 2 t < La funzione non è definita per valori di t esterni all intervallo 0, H 2 p +n t = 2 p 2 p ppp ppp n n t < 2p 2 p n p t < n + 2 p 0 aaaaaaaaaa Dove: p =, 2, 3, e n = 0,,, 2 p 2

13 Funzioni di Haar Le funzioni così definite saranno gli elementi fondamentali del nuovo spazio. Nel caso discreto come comportarsi? Basta valutare la funzione per un insieme discreto di valori di t. Se ci servono N valori prendiamo le t appartenenti all insieme {0, N, 2 N,, N N } 3

14 Funzioni di Haar Costruzione base nel caso discreto Se abbiamo un vettore di N elementi, serve nel caso peggiore una base di cardinalità N. Quindi dobbiamo calcolare almeno N funzioni di Haar ed ognuna per N valori di t. Procediamo prendendo le funzioni di ordine 0,,, N- ed i valori di t = 0, N, 2 N,, N N. 4

15 Trasformata di Haar Caso discreto per N=4 H 0 0 = H 0 4 = H = H = H 0 = H 4 = H 2 4 = H 3 4 = H 2 0 = 2 H 2 4 = 2 H = 0 H = 0 H 3 0 = 0 H 3 4 = 0 H = 2 H = 2 H 0 = H = H 2 = H 3 =

16 Trasformata di Haar 2D Il passaggio a due dimensioni è molto semplice. Gli elementi della base devono essere matrici N N. Per ottenere la matrice H i,j si usano i vettori monodimensionali H i e H j. H i,j = H i H j T 6

17 Trasformata di Haar Caso discreto per un certo N Le matrici appena costruite saranno quelle della nuova base. Servono dunque i coefficienti. I vettori invece possono essere raccolti in una matrice. Questa matrice è importantissima. Essa infatti descrive una trasformazione lineare che ci permette di ottenere la matrice dei nuovi coefficienti A. 7

18 Trasformata di Haar Caso discreto per N=4 Riversando i vettori H i nelle righe di una matrice otteniamo H: H = Se I è la matrice originale e H T la trasposta di H, la matrice dei nuovi coefficienti A sarà (per un qualsiasi N): A = H I H T 8

19 Trasformata di Haar Caso discreto per un certo N Viene da se che nel caso in cui ci serva il singolo coefficiente A i,j : A i,j = H i T I H j Fare i calcoli per ogni i e j ci fornisce infatti la matrice A 9

20 Trasformata di Haar -2D Allora se abbiamo un immagine I di dimensione N N, per N = 4 la matrice dei nuovi coefficienti A sarà: A = H I H T A = I T 20

21 Antitrasformata L Antitrasformata non è altro che una trasformata che permette di tornare allo spazio originale. Nel caso delle immagini è essenziale tornare indietro dopo aver eseguito il task richiesto. E desiderabile che le coppie Trasformata- Antitrasformata siano veloci da calcolare. 2

22 Trasformata di Haar Nel caso della trasformata di Haar potrebbe tornarci utile la proprietà di ortogonalità. Diremo che H è ortogonale se H H T = H T H = I d. Dove I d è la matrice identità. In altre parole la matrice inversa e la trasposta corrispondono. Questo in generale non è vero, ma se moltiplichiamo la matrice H per N la proprietà diventa vera. 22

23 Trasformata di Haar N=4 Quindi per N=4, H diventa: H = Ovviamente la formula per ottenere A non cambia, ma non dimentichiamoci di usare sempre la stessa H una volta fissata. Inoltre il coefficiente moltiplicativo non modifica le proprietà della Trasformata in esame 23

24 (Anti)Trasformata di Haar 2D Se la proprietà di ortogonalità è soddisfatta possiamo ritornare all immagine originale I molto semplicemente, infatti: I = H T A H Dimostrare! 24

25 Trasformata di Haar Basi 2D 8 8 La base per la trasformata di Haar nel caso di matrici 8 8. Poiché si tratta di una versione adatta ad essere visualizzata, i pixel bianchi sono i valori positivi, i neri i valori negativi e i grigi valori uguali a 0. 25

26 Trasformata di Walsh Utilizza come spazio di funzioni quello delle funzioni di Walsh. Come vedremo, nel nostro caso la funzione assumerà solo 2 valori: - e. Questa caratteristica ha portato a diverse definizioni per le funzioni di Walsh. 26

27 Funzioni di Walsh Definizione ricorsiva Le funzioni di Walsh di ordine n sono definite ricorsivamente nel seguente modo: W 0 (t) = ppp 0 t < 0 aaaaaaaaaa W 2j+q t = ( ) j 2 +q [W j (2t) + j+q W j (2t )] con q = 0 o e j = 0,, 2, 27

28 Funzioni di Walsh Definizione tramite funzioni di Rademacher Le funzioni di Walsh di ordine n sono definite attraverso le funzioni di Rademacher nel seguente modo: m+ WW n t = R i (t) i=,b i 0 Dove R i è la funzione di Rademacher di ordine i, m + è il numero di bit necessari a rappresentare n in binario e b i è l i-esimo bit della rappresentazione in binario di n. 28

29 Funzioni di Rademacher Le funzioni di Rademacher di ordine n sono definite nel seguente modo: R 0 t = ppp 0 t R n t = sign sin(2 n ππ) ppp 0 t Dove sign(x) è la funzione segno, definita come: sign x = ppp x > 0 ppp x < 0 0 ppp x = 0 29

30 Funzioni di Walsh Le funzioni così definite saranno gli elementi fondamentali del nuovo spazio. Nel caso discreto come comportarsi? Basta valutare la funzione per un insieme discreto di valori di t. Se ci servono N valori prendiamo le t appartenenti all insieme {0, N, 2 N,, N N } 30

31 Funzioni di Walsh Costruzione base nel caso discreto Se abbiamo un vettore di N elementi, serve nel caso peggiore una base di cardinalità N. Quindi dobbiamo calcolare almeno N ordini di funzioni di Walsh ed ognuna per N valori di t. Procediamo prendendo le funzioni di ordine 0,,, N- ed i valori di t = 0, N, 2 N,, N N. 3

32 Trasformata di Walsh Caso discreto per N=4 W 0 0 = W 0 4 = W = W = W 0 = W 4 = W 2 4 = W 3 4 = W 2 0 = W 2 4 = W = W = W 3 0 = W 3 4 = W = W = W 0 = W = W 2 = W 3 = 32

33 Trasformata di Walsh 2D Il passaggio a due dimensioni è identico a quello della trasformata di Haar. Gli elementi della base devono essere matrici N N. Per ottenere le matrici della base W i,j si usano i vettori monodimensionali W i e W j. W i,j = W i W j T 33

34 Trasformata di Walsh Caso discreto per un certo N Le matrici appena costruite saranno quelle della nuova base. Servono quindi i coefficienti. In modo analogo alla trasformata di Haar, si possono usare i vettori calcolati per costruire la matrice di trasformazione. 34

35 Trasformata di Walsh Caso discreto per N=4 Riversando i vettori W i nelle righe di una matrice otteniamo W: W = Se I è la matrice originale e W T la trasposta di W, la matrice dei nuovi coefficienti A sarà (per un qualsiasi N): A = W I W T 35

36 Trasformata di Walsh Caso discreto per un certo N Viene da se che nel caso in cui ci serva il singolo coefficiente A i,j : A i,j = W i T I W j Fare i calcoli per ogni i e j ci fornisce infatti la matrice A 36

37 Trasformata di Walsh - 2D Allora se abbiamo un immagine I di dimensione N N, per N = 4 la matrice dei nuovi coefficienti A sarà: A = W I W T A = I T 37

38 Trasformata di Walsh Anche nel caso della trasformata di Walsh l ortogonalità della matrice di trasformazione sarebbe desiderabile. Possiamo garantire che W W T = W T W = I d? Come per Haar ci basta moltiplicare la matrice W per N. 38

39 Trasformata di Walsh N=4 Quindi per N=4, W diventa: W = 4 Anche in questo caso ricordiamoci di usare la stessa W una volta scelta (che sia quella «aggiustata» o meno). 39

40 (Anti)Trasformata di Walsh 2D Se la proprietà di ortogonalità è soddisfatta possiamo ritornare all immagine originale I esattamente come per l antitrasformata di Haar, infatti: I = W T A W La dimostrazione è identica a quella per Haar! 40

41 Trasformata di Walsh Basi 2D 8 8 La base per la trasformata di Walsh nel caso di matrici 8 8, calcolata tramite la funzione ricorsiva (la prima). Poiché si tratta di una versione adatta ad essere visualizzata, i pixel bianchi sono i valori positivi ed i neri i valori negativi. 4

42 Trasformata di Walsh/Hadamard Problema! La funzione ricorsiva può essere computazionalmente onerosa! Idea: costruire direttamente matrici ortogonali composte da soli e - a meno di una costante moltiplicativa. Hadamard trovò un modo, ma sotto un vincolo molto stringente. L algoritmo funziona solo per matrici di dimensioni N, con N potenza di 2. 42

43 Matrici di Hadamard Le matrici sono definite ricorsivamente: HH HH HH N HH N 2N HH N HH N 43

44 Trasformata di Walsh/Hadamard Attenzione! Le matrici costruite con le funzioni di Walsh ricorsive, tramite Rademacher e tramite l algoritmo di Hadamard NON sono uguali. Tuttavia la prima e la terza possono essere utilizzate efficacemente per il calcolo della Trasformata e dell Antitrasformata. La seconda (Rademacher), necessità di alcuni accorgimenti per garantire l ortogonalità. 44

45 Trasformata di Fourier Utilizza le funzioni trigonometriche complesse nella forma: U n t = e i2πππ Ricordiamo che: e ix = cos x + i sin x 45

46 Funzioni trigonometriche Costruzione base nel caso discreto Se abbiamo un vettore di N elementi, serve nel caso peggiore una base di cardinalità N. Quindi dobbiamo calcolare almeno N funzioni trigonometriche ognuna per N valori di t. Procediamo prendendo le funzioni di ordine 0,,, N- ed i valori di t = 0, N, 2 N,, N N. 46

47 Trasformata di Fourier Caso discreto per N=4 U 0 0 = U 0 4 = U = U = U 0 = U 4 = i U 2 4 = U 3 4 = i U 2 0 = U 2 4 = U = U = U 3 0 = U 3 4 = i U = U = i U 0 = U = i U 2 = U 3 = i i i 47

48 Trasformata di Fourier 2D Il passaggio a due dimensioni è identico a quello della trasformata di Haar e Walsh. Gli elementi della base devono essere matrici N N. Per ottenere le matrici della base U i,j si usano i vettori monodimensionali U i e U j. U i,j = U i U j T 48

49 Trasformata di Fourier Caso discreto per un certo N Le matrici appena costruite saranno quelle della nuova base. Servono quindi i coefficienti. In modo analogo alla trasformata di Haar e Walsh, si possono usare i vettori calcolati per costruire la matrice di trasformazione. 49

50 Trasformata di Fourier Caso discreto per N=4 Riversando i vettori U i nelle righe di una matrice otteniamo U: U = i i i i Vale la stessa regola dei casi precedenti, ma poiché la matrice U è simmetrica (per ogni N), allora U = U T. Ergo: A = U I U T = U I U 50

51 Trasformata di Fourier Caso discreto per un certo N Viene da se che nel caso in cui ci serva il singolo coefficiente A i,j : A i,j = U i T I U j Fare i calcoli per ogni i e j ci fornisce infatti la matrice A 5

52 Trasformata di Fourier - 2D Allora se abbiamo un immagine I di dimensione N N, per N = 4 la matrice dei nuovi coefficienti A sarà: A = U I U T = U I U A = i i i i I i i i i 52

53 Trasformata di Fourier Nel caso della trasformata di Fourier la matrice di trasformazione è simmetrica. L ortogonalità non basta, poiché siamo in presenza di numeri complessi. Serve che la matrice sia unitaria. Una matrice U si dice unitaria se U U H = U H U = I d dove U H è la trasposta coniugata. Anche in questo caso se moltiplichiamo U per otteniamo la proprietà. N 53

54 Trasformata di Fourier N=4 Quindi per N=4, U diventa: U = 4 i i i i Anche in questo caso ricordiamoci di usare la stessa U una volta scelta (che sia quella «aggiustata» o meno), e che il coefficiente moltiplicativo non distrugge le proprietà dello spazio di funzioni della Trasformata. 54

55 (Anti)Trasformata di Fourier 2D Adesso se U è una matrice unitaria possiamo ritornare all immagine originale I in maniera piuttosto semplice, infatti: I = U H A U H 55

56 Trasformata di Fourier Base 8 8 (parte reale) 56

57 Trasformata di Fourier Base 8 8 (parte immaginaria) 57

58 Trasformata di Fourier Formula diretta I coefficienti della trasformata di Fourier per un immagine N N possono anche essere calcolati con la seguente formula: N N F u, v = N f x, y e iiπxx+yy N x=0 y=0 Questa corrisponde esattamente al calcolo dei prodotti riga per colonna tra l immagine originale e la matrice di trasformazione costruita. 58

59 (Anti)Trasformata di Fourier Formula diretta I coefficienti dell immagine originale N N, partendo dai coefficienti nello spazio di Fourier, possono anche essere calcolati con la seguente formula: N N f x, y = N F u, v eiiπxx+yy N u=0 v=0 Questa corrisponde esattamente al calcolo dei prodotti riga per colonna tra la matrice dei coefficienti di Fourier e la matrice di trasformazione inversa. 59

60 Caratteristiche Trasformata di Haar Ogni coefficiente della trasformata di Haar si riferisce ad aree limitate dell immagine originale. Pertanto azzerare un coefficiente ci fa perdere l informazione su una zona in particolare. Possiamo sfruttare questa caratteristica per eliminare zone non interessanti (compressione) oppure per individuare elementi in aree particolari. E alla base del famoso algoritmo Viola-Jones, usato in Computer Vision per il face-detection. 60

61 Caratteristiche Trasformata di Walsh A differenza della trasformata di Haar, ogni coefficiente codifica un insieme di dettagli relativo all intera immagine. Pertanto azzerare un coefficiente ci fa perdere l informazione su tutta l immagine, ma suddividendo la perdita nell intera matrice. Possiamo sfruttare questa caratteristica per eliminare dettagli non interessanti (compressione). La base di Walsh è usata in telecomunicazioni, ed in particolare per la multiplazione CDM (Code Division Multiplexing). 6