Lezione Risoluzione di sistemi

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1 Lezione Risoluzione di sistemi Sia AX = B un sistema di equazioni lineari, con la sua matrice completa associate (A B) Per la Proposizione sappiamo di poter trasformare con operazioni elementari di riga la matrice A in una nuova matrice A fortemente ridotta per righe: con le stesse operazioni elementari si ottiene una nuova matrice (A B ) corrispondente, in generale, ad un nuovo sistema di equazioni lineari A X = B,diversodal precedente ma ad esso equivalente Risolvendo, se possibile, tale sistema con il metodo descritto nell Esempio otteniamo l insieme delle soluzioni del sistema di partenza Lemma Sia K = R, esianoa, A K m,n, B,B K m, matrici Sia (A B) la matrice completa associata al sistema lineare di m equazioni in n incognite AX = B esia(a B ) matrice equivalente per righe a (A B) Allora i sistemi AX = B e A X = B sono equivalenti Dimostrazione L enunciato segue dal fatto che ogni operazione elementare non cambia l insieme delle soluzioni di un sistema Questo è ovvio per le operazioni (E) e (E) Nel caso dell operazione (E) è sufficiente imitare quanto fatto nell Esempio Siamo finalmente pronti ad enunciare e dimostrare il principale risultato sulla teoria dei sistemi di equazioni lineari, detto Teorema di Rouché apelli Proposizione (Teorema di Rouché apelli) Sia K = R,, A K m,n e B K m, matrici; si consideri il sistema lineare di m equazioni in n incognite AX = B, conmatricecompletaassociata(a B) Allora (i) il sistema è compatibile se e solo se rk(a) =rk(a B); (ii) se il sistema è compatibile, le sue soluzioni dipendono da n liberi; rk(a) parametri (iii) se il sistema è compatibile e X èunasuasoluzionefissata,alloraognialtra sua soluzione X èdellaformax = X + Y,doveY appartiene all insieme delle soluzioni del sistema omogeneo associato AX = m,

2 6 Dimostrazione (i) Per quanto visto sopra possiamo assumere senza perdere in generalità che A sia una matrice fortemente ridotta per righe Si possono presentare due situazioni per le righe della matrice completa (A B) Il primo caso è che esista una riga di A, diciamoquelladiindicei, conentratetuttenulle che si prolunga in (A B) aunarigaconentratenontuttenulle:chiaramentel entratanon nulla deve essere l i esima entrata di B, cioèb i 6= In particolare quindi rk(a) 6= rk(a B) iò significa che nel nostro sistema figura un equazione della forma =b i che, per l ipotesi b i 6=,nonhasoluzioniecioèilsistemaèincompatibile Nel secondo caso ogni riga di A con entrate tutte nulle si prolunga in (A B) aunariga con entrate tutte nulle (è anche possibile che queste righe non esistano) In questo caso possiamo risolvere il sistema come spiegato nell Esempio 7, e il sistema è compatibile: inoltre i numeri di righe di A edi(a B) contenenti entrate non nulle coincidono, cioè rk(a) =rk(a B) (ii) Quanto visto nella parte (i) dimostra anche l affermazione (ii): infatti possiamo esprimere le incognite i cui coefficienti sono i pivot (e che sono in totale rk(a)) infunzionedellerimanenti incognite (in totale n rk(a)), cui possiamo dare valori arbitrari (iii) Sia X R n, una soluzione fissata del sistema, cioè AX = B, esiax R n, un altra soluzione del sistema, quindi tale che AX = B SiaY = X X,allora AY = A(X X )=AX + A( X )=AX + A( )X = AX AX = B B = m,, quindi Y è soluzione del sistema omogeneo associato Viceversa sia Y R n, una soluzione del sistema omogeneo associato, cioè tale che AY = m, SiaX = Y + X,allora AX = A(Y + X )=AY + AX = m, + B = B, equindix èsoluzionedelsistemadipartenza,comevolevamodimostrare Esempio Si consideri il sistema a B b A Bc da = B A e Le matrici incompleta e completa del sistema sono rispettivamente A = B A, (A B )= B A Osserviamo che nell Esempio 6 abbiamo già ridotto A alla matrice ridotta per righe A = B A 7

3 Utilizziamo le stesse operazioni di riga alla matrice completa (A B ):rifacciamocioè gli stessi passaggi ma teniamo conto anche dell effetto delle operazioni su B (A B ) R R R B A R R R R R +R B A =(A B) 7 R R R R R R B 6 A Si noti che rk(a) =rk(a )=mentre rk(a B )=rk(a B)=: da questo deduciamo che il sistema AX = B èincompatibile Esempio Si consideri ora il sistema a B b A Bc da = B A e Le matrici incompleta e completa del sistema sono rispettivamente A = B A, (A B )= B A, quindi la matrice incompleta è di nuovo quella dell Esempio 6 Utilizzando le stesse operazioni elementari e tenendo di nuovo conto del loro effetto su B,troviamo (A B ) R R R B A R R R R R +R B A =(A B) 7 R R R R R R B 6 A Poiché rk(a) =rk(a )==rk(a B )=rk(a B ) segue che il sistema in esame ècompatibile Perciòproseguiamoconleoperazionielementaridirigariducendo ulteriormente la matrice completa del sistema, in modo da trovarne le soluzioni 7

4 8 Di nuovo, nell Esempio 6 avevamo già ridotto A ad una forma fortemente ridotta per righe, ora applichiamo le stesse operazioni di riga alla matrice completa (A B ): R R / (A B) R R / B 7 9 R R +R / R R R 9 B R R R 9 B R $R 9 B 7 A A A A =(b A B b ) Quindi il sistema AX = B èequivalentealsistemaax b = B b,cheècompatibile perché rk(a) =rk( A)==rk( b A b B b )=rk(a B ) In particolare le incognite corrispondenti ai pivot sono a, b, c esiha 8 >< a = 7 6d e b = 9 +d + >: e c = +d + 7e L insieme delle soluzioni del sistema di partenza è quindi 8 9 >< B >: 7 6d e 9 +d + e +d + 7e d A e >= d, e R Per esempio, se scegliamo i valori d = e =otteniamo la soluzione particolare X = t / / / Sinoticheognialtrasoluzioneèdellaforma / / B / A + d B 6 A + e B >; 7/ 9/ 7/ A

5 al variare di d e e in R SiverifichichelesoluzionidelsistemaAX = m, sono tutte esolelematricidellaforma 6 7/ d B A + e 9/ B 7/ A 9 al variare di d e e in R, come previsto dal Teorema di Rouché-apelli Equazioni matriciali Negli Esempi e abbiamo studiato due diversi sistemi AX = B e AX = B aventi la stessa matrice incompleta A; questotipodiproblemasipresentainvarie situazioni (vedremo in seguito il problema del calcolo della matrice inversa) È evidente che è inutile ripetere le stesse operazioni per ciascun sistema, e che sarebbe più conveniente risolvere i sistemi simultaneamente La risoluzione simultanea dei due sistemi indicati sopra equivale a considerare le soluzioni dell equazione matriciale AX = B ove X e B sono rispettivamente una matrice incognita ed una numerica aventi colonna di indice j pari ad X j e B j rispettivamente Vediamo più in dettaglio di cosa si tratta nella seguente definizione Definizione (Equazioni matriciali e loro soluzioni) Sia K = R, esiano A =(a i,j ) 6i6m K m,n e B =(b i,h ) 6i6m K m,p matrici 6j6n 6h6p Un equazione matriciale lineare con matrice incompleta A e matrice dei termini noti B èun equazionedellaforma AX = B, () dove X èunamatriceincognitan p La matrice a, a, a,n a, a, a,n (A B) = B a m, a m, a m,n b, b,p b, b,p A b m, b m,p viene detta matrice completa dell equazione () L equazione () si dice omogenea se B = m,p, non omogenea B 6= m,p Una soluzione dell equazione () è una matrice numerica X K n,p per cui vale l identità numerica AX = B; se esiste una soluzione, l equazione () si dice compatibile, altrimentiincompatibile

6 L equazione () può essere pensata come sistema di mp equazioni, una per ogni entrata di B, innp incognite, una per ogni entrata di X Si noti però che la riga di indice i di A definisce esattamente p equazioni di tale grande sistema, una per ogni entrata della riga di indice i della matrice B Fissato un tale i, l entrataa i,j moltiplica nelle equazioni considerate tutte le entrate x h,j di X per j =,,pindicataconx h la riga di indice h di X, possiamo allora pensare all equazione () come un sistema di m equazioni corrispondenti alle m righe di (A B) nelle n incognite matriciali della forma 8 a, X + a, X + + a,n X n =(b, b,p ) >< a, X + a, X + + a,n X n =(b, b,p ) >: a m, X + a m, X + + a m,n X n =(b m, b m,p ) Ne segue che il metodo di soluzione delle equazioni matriciali è totalmente analogo a quello dei sistemi di equazioni lineari (che ne sono un caso particolare quando la matrice dei termini noti si riduce ad un unica colonna) Infatti esso si basa sulla riduzione della matrice completa (A B) con operazioni elementari di riga che continuano ad avere senso anche per incognite di tipo matriciale Esempio 6 Si consideri l equazione matriciale X =, () la cui matrice completa è corrispondente al sistema, ( X +X =( ) X + X =() Trasformando (A B) con operazioni elementari di riga otteniamo (A B) R R R R R R R R Pertanto l equazione () è equivalente a X = /, /

7 ovvero al sistema ad incognite matriciali ( X =( / ) X =(/ ) che, come unica soluzione, ha ovviamente la matrice / / Esempio 7 Si consideri l equazione matriciale X = la cui matrice completa è L equazione () equivale al sistema ( X +X + X =( ) X X + X =( ) Trasformando (A B) con operazioni elementari di riga otteniamo (A B) R R R R R / R R R Pertanto l equazione () è equivalente a X = / /, () ovvero a ( X + X =( /) X =(/) Quindi l insieme delle soluzioni dell equazione () è 8 9 < x, / x, = / A x :,,x, R ; x, x, In particolare le soluzioni dipendono da = =n rk(a) righe libere

8 Anche per equazioni matriciali vale il Teorema di Rouché apelli Lo enunciamo omettendone la dimostrazione in quanto totalmente analoga a quella della Proposizione Proposizione 8 (Teorema di Rouché apelli per equazioni matriciali) Sia K = R, esianoa K m,n e B K m,p matrici Si consideri l equazione matriciale AX = B, conmatricecompletaassociata(a B) Allora (i) l equazione è compatibile se e solo se rk(a) =rk(a B); (ii) se l equazione è compatibile, allora le matrici n p che sono sue soluzioni dipendono da n rk(a) righe libere; (iii) se l equazione è compatibile e X èunasuasoluzionefissata,alloraognialtra sua soluzione X èdellaformax = X + Y,doveY appartiene all insieme dell equazione matriciale omogenea associata AX = m,p Esempio 9 Si considerino i sistemi degli Esempi e ; invece di risolverli separatamente consideriamo l equazione matriciale a a B b b A Bc c d d A = B A e e La matrice completa associata è (A B) = B A on operazioni elementari per riga, tenendo conto dei già citati Esempi e, possiamo trasformarla nella matrice (A B) = B 7 A Deduciamo che l equazione è incompatibile perché rk(a) =< =rk(a B) (infatti ogni sua soluzione darebbe una soluzione del sistema avente come colonna dei termini noti la prima colonna di B, che è incompatibile, come già visto nell Esempio ) alcolo dell inversa di una matrice Un caso particolarmente interessante di equazione matriciale è quello della forma AX = I n ove A K n,n èunamatricequadrata InfattiA èinvertibileseesolose il sistema AX = I n ha soluzione e in tal caso l unica soluzione è X = A

9 Proposizione Sia K = R, Una matrice quadrata A K n,n èinvertibile se e solo se rk(a) =n Dimostrazione hiedere che A sia invertibile equivale a chiedere che AX = I n abbia soluzione La Proposizione 8 indica che questo avviene se e solo se rk(a) =rk(a I n ):quest ultimamatrice èfortementeridottaperrigheedilsuorangoèesattamenterk(i n )=n La proposizione precedente ci fornisce anche un metodo per calcolare A,in caso essa esista Tale metodo consiste nello scrivere la matrice completa (A I n ),econtrasformazioni elementari di riga ridurre tale matrice alla matrice fortemente ridotta (A A ) Su ogni riga di A ci deve essere un entrata pari ad, poichérk(a) =n: poiché ci sono n colonne su ogni riga tutte le entrate sono nulle eccetto una che vale e che si trova sempre in una colonna diversa Quindi, semplicemente con permutazioni di riga, si può ulteriormente trasformare (A A ) in una nuova matrice della forma (I n A )Aquestopuntosiosservichel equazionedipartenzaèequivalente a I n X = A,dunqueA = A Esempio Si consideri la matrice A = A Vogliamo stabilire se A è invertibile e, in caso affermativo, determinarne l inversa Atalescoposcriviamolamatrice(A I ) trasformandola, come spiegato sopra, con operazioni elementari di riga: A R R +R R R R A A = A Notiamo che i passaggi fatti sono sufficienti per calcolare che rk(a) =,edunque che A èinvertibile,perciòhasensocontinuareilcalcolodia : A R R / A R R R R R R A R R R $R A R R +R A R $R A A

10 oncludiamo che A = A