LEZIONE 1 APPROSSIMAZIONI NUMERICHE-MATEMATICA ESERCIZI

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1 LEZIONE 1 APPROSSIMAZIONI NUMERICHE-MATEMATICA ESERCIZI Arrotondare i seguenti numeri a due, tre e quattro cifre dopo la virgola: 6,41287; 4,12161; 8,19919 Quante cifre significative hanno i seguenti numeri 273,16; 4000; 28,140; 0,00460; 0,76 Il metro, unità di misura della lunghezza, era definito come ,73 volte la lunghezza d onda nel vuoto della luce rosso-arancione emessa nella scarica gassosa del krypton 86. Esprimere lo stesso numero in notazione esponenziale con quattro cifre significative Arrotondamento Numeri a 4 cifre a 3 cifre a 2 cifre 6, ,4129 6,413 6,41 4, ,1216 4,122 4,12 8, ,1992 8,199 8,20 Soluzione. i quattro numeri hanno rispettivamente 5, 4, 5, 3, 2 cifre significative Soluzione. Il numero dato ha nove cifre significative; riducendole a quattro, il numero diventa , cioè, in notazione esponenziale, dovendo spostare la virgola di sei posti verso sinistra, 1, Dati i due numeri 1,0474 e 1,0313, calcolarne la somma, differenza, quoziente e prodotto nei seguenti casi : a) arrotondare a tre cifre decimali dopo aver eseguito le operazioni ; b) arrotondare subito ed eseguire le operazioni ( OK) Calcolare l errore percentuale che si commette, assumendo come valore corretto quello del caso a Per il caso a) Le operazioni richieste danno i seguenti risultati: 2,079 (+); 0,016 (-) 1,016 (/) 1,080 (x) Per il caso b) i due numeri diventano: 1,047 e 1,031 e i risultati sono: 2,078 (+) 0,016 (-) 1,015 (/) 1,079 (x). L errore commesso considerando esatta la procedura a) è 2,079-2,078 *100 = 0,05% per la Somma 2,079 0,016-0,016 *100 = 0% per la Differenza 0,016 1,016-1,015 * 100 = 0,1% per il Quoziente 1,016 1,080-1, =0,09 per il Prodotto Buona Norma: Arrotondare subito i dati esprimendoli tutti con lo stesso numero di cifre decimali di quello meno preciso, e poi fare i calcoli.

2 Un asta di legno viene costruita incollando assieme tre pezzi, il primo di lunghezza l 1 = 20,26 cm, il secondo l 2 = 12,4 cm e il terzo l 3 = 6,164 cm. Qual è la lunghezza dell asta? Soluzione: Eseguendo l=l 1 +l 2 +l 3 si ottiene 38,824 cm, Il numero di cifre decimali con cui possiamo dare la lunghezza dell asta non può essere superiore a quello minimo con cui sono note le lunghezze parziali. Il pezzo misurato con peggiore sensibilità è 12,4. Anche la somma deve essere data con una sola cifra decimale. Ogni cifra in più non ha significato. Avremmo potuto arrotondare la somma 38,824 a 38,8, ma non avremmo in questo caso il risultato più corretto. Il procedimento corretto consiste nello scrivere le tre lunghezze con una sola cifra decimale e nel sommare quindi i tre numeri cosi ottenuti: 20,26 diventa quindi 20,3; 6,164 diventa 6,2 la somma diventa 20,3 +12,4+ 6,2 = 38,9cm. Quante cifre significative ci sono nei seguenti numeri: 149, ,80 5 0, , , , , Qual è l'errore Massimo in ciascuna delle seguenti misure? 73,854 cm intervallo 73, ,8545 Errore Max. 0,0005 cm 0,09800 cm 3 intervallo 0, , Errore Max. 0, , km intervallo 3, , Errore Max. 0,

3 CALCOLI Quando si fanno moltiplicazioni, divisioni ed estrazione di radice, il risultato finale non può avere più cifre significative di quante ne abbia il numero con il minor numero di cifre significative. Quando si compiono addizioni e sottrazioni di numeri, il risultato finale non può avere più decimali dell addendo con meno cifre decimali. Il prodotto dei numeri 5,74 e 3,8 (tre e due cifre significative) non può avere più di due cifre significative. Primo metodo: 5,74 x 3,8 = 21,812, ma non tutte le cifre di questo prodotto hanno significato (solo 2). 5,74 può valere per qualsiasi numero compreso tra 5,735 e 5,745, mentre 3,8 può valere per qualunque numero compreso tra 3,75 e 3,85. Il più piccolo valore possibile del prodotto è 5,735 x 3,75 = 21,506 25, e il più grande valore possibile è 5,745 x 3,85 = 22, Il campo dei valori possibili è compreso tra 21, e 22,118 25, che viene rappresentato da 22 che può valere per qualunque numero compreso tra 21,5 e 22,5. ARROTONDAMENTI DI DATI 73,24 x 4,52 = 331,044 = 331 ( tre cifre significative) a f ( tre e due cifre significative) 38, 7 = 6,2209 = 6, / 0, 023 = 72 * 10 8,416 (50) = 420,8 (se 50 è esatto, quattro cifre significative)) 8,416 x 50 = 420,8 (se 50 ha due cifre significative) = 4, ( due cifre significative) 8,35/98 = 0,085 = 8, ( due cifre significative) 28x4,193x182 = 21, = Sommare i numeri 4,35; 8,65; 2,95; 12,45; 6,65; 7,55; 9,75 (a) direttamente, (b) arrotondando al primo decimale secondo la convenzione del numero pari, (c) arrotondando aumentando il numero prima del 5. Soluzione: (a) 4,35 (b) 4,4 (c) 4,4 8,65 8,6 8,7 2,95 3,0 3,0 12,45 12,4 12,5 6,65 6,6 6,7 7,55 7,6 7,6 9,75 9,8 9,8 totale 52,35 totale 52,4 totale 52,7 Si noti che il procedimento (b) è migliore del procedimento (c), poiché gli errori cumulativi di arrotondamento in b) vengono minimizzati

4 CIFRE SIGNIFICATIVE DELLE GRANDEZZE DERIVATE AB = ( 2, 87 ± 0, 01) m BC = ( 1, 349 ± 0, 007 ) m Errore assoluto Errore assoluto L errore deve essere espresso con la stessa precisione del dato. dato ed errore al cm. dato ed errore al mm. AC = AB + BC = 2, , 349 = 4, 219m AC = AB + BC = 0,01 + 0,007 = 0,017 m E assurdo dire che AC =4 m 21 cm 9 mm con errore di 1 cm 7 mm è più logico dire AC = 4 m 22 cm errore 2 cm AC = ( 4, 22 ± 0, 02 ) m Risultato che si sarebbe ottenuto scrivendo AB = (2,87 ± 0,01 ) mm BC = (1,349 ± 0,007 ) m (1,35 ± 0,007) AB + BC = 2,87 + 1,35 = 4,22 ( AB + BC) = 0,01 + 0,007 = 0,017 0,02 AB + BC = ( 4,22 ± 0,02) m Esempio R = C S + 8S 2 C misurato a meno di 1 mm S misurato a meno di 0,1 mm C = ( 3,4 ± 0,1) cm. S = (1,27 ± 0,01) cm. f f f x + y x y C C 1 R C + + S 4S 8S 2 esprimendo i valori di C e S in cm si ottiene R in cm C C 1 R 4S + 8S + 2 = 0,1 0, 01 0, 07 R = 1,77 ± 0,07 1,8 ± 0,1

5 In un litro di aria ci sono molecole. Esprimi questo numero nella notazione esponenziale con base 10. R: 3*1022 Scrivi il numero 0, , utilizzando la notazione esponenziale con base 10. R: 1, La massa del Sole è M 0 = 1,989 x kg. La massa di un protone è m p = 1,673 x kg. Qual è l ordine di grandezza del rapporto M 0 /m p? R: 1057 In un floppy disc da 3 1/2, i dati sono registrati sulle due superfici magnetiche comprese all incirca tra 2 e 4 cm dal centro. Sul dischetto possono essere memorizzati fino a un milione e mezzo di caratteri. Quanto è grande, in media, l area occupata da un carattere, in mm 2? R: 0,005 mm2 Due rotoli di filo di rame hanno lo stesso peso. Il primo filo ha un diametro di 1 mm, l altro di 0,4 mm. Che rapporto c è tra le lunghezze? Se il primo è lungo 100 m, quanto è lungo il secondo? R: 625 m Una finestra è larga 140 cm, e dista 4,5 m dalla parete opposta di una stanza. Stando accostati alla parete opposta, si osserva, in direzione perpendicolare alla parete, un campanile lontano, proprio allineato al bordo destro della finestra. Per vedere lo stesso campanile allineato con il bordo sinistro bisogna spostarsi di 143 cm. A che distanza si può stimare il campanile? R: 210 m Una certa sostanza assorbe l umidità dell aria in proporzione alla sua superficie. Avendone a disposizione un volume cubico di spigolo l, per ottenere un maggior effetto deumidificante conviene o no tagliare il cubo in N cubetti più piccoli? R: si Versando una goccia di acido oleico (fortemente diluito in un solvente volatile) su una superficie d acqua, questo galleggia e si espande formando uno strato superficiale approssimativamente circolare. Si può ritenere che l espansione termini quando lo spessore dello strato è dell ordine di grandezza delle dimensioni molecolari, mentre il solvente è completamente evaporato. Sia q la frazione in volume di acido oleico nella soluzione, r il raggio della goccia ed R il raggio dello strato superficiale. Scrivi l espressione che esprime l ordine di grandezza delle dimensioni molecolari dell acido oleico. R: 4r 3 q/(3r 2 ) Due grandezze sono tra loro inversamente proporzionali: y = k/x. Si eseguono 4 misure ottenendo la seguente tabella: x 1,20 2,15 3,00 4,10 y 2,68 1,48 1,08 0,77 Stima il valore della costante k. Suggerimento: conviene riportare in un grafico il prodotto xy e stimarne il valore medio. R:3,2

6 La distanza tra Milano e Roma rilevata da una tabella di un atlante stradale, è di 574 km. Quali possono essere i fattori di indeterminazione? Che significato ha questo numero? Un orologio va avanti di 10 minuti al giorno. Quale errore si compie misurando con questo orologio, subito dopo averlo regolato, una durata di 3 ore? E una misura sbagliata per eccesso o per difetto? Si tratta di un errore casuale o sistematico? R: 75 secondi per eccesso, sistematico Per determinare il volume medio di un fagiolo si può pensare di riempire di fagioli un vasetto nota (V ± V) e successivamente di contare i fagioli contenuti (N). Quali tipi di errore si commettono? Come si può ovviare? E noto che misurando l intervallo di tempo tra un lampo e il tuono si può stimare la distanza del temporale. Discuti la precisione della misura, gli eventuali errori casuali e quelli sistematici. Quale delle seguenti misure è più precisa: (5730 ± 1) m, (34,5 ± 0,1)m, (10,25 ± 0,01) m? R: la prima Quale delle due misure di tempo è più precisa: (12,0 ± 0,2) oppure (2400 ± 30) s? Calcola l errore relativo percentuale delle due misure. R: la seconda: 1,7%; 1,3%. Due studenti misurano la lunghezza di due matite con due strumenti diversi. Il primo studente trova che la sua matita misura (15,0 ± 0,5) cm, l altro studente afferma di aver misurato (14,80 ± 0,25) cm. Calcola l errore relativo percentuale delle due misure. R: 3,3%; 1,7%. Il tachimetro di un automobile funziona attraverso la misura del tempo di rotazione delle ruote. Se le ruote non sono gonfiate in modo corretto che tipo di errore si produce? Stima tale errore. R: un errore sistematico di qualche percento Il diametro di un palloncino viene misurato per tre giorni consecutivi, utilizzando metodi e strumenti diversi. Il primo giorno si trova (32,2 ± 0,8) cm; il secondo (31,1 ± 0,8) cm; il terzo (30,7 ± 1,5) cm. Si può affermare con certezza che il palloncino si sta sgonfiando? R: No, per quanto sia probabile Nel misurare una lunghezza il cui valore è 12 m, si è compiuto un errore relativo percentuale del 5%. Qual è l intervallo di incertezza della misura? R: ±0,6 m La misura di un intervallo di tempo ha dato come risultato 15,6 s con un errore relativo percentuale del 2%. Calcola l intervallo di incertezza associato a questa misura. R: ±0,3 s

7 Supponi di aver misurato dieci volte la durata del periodo di oscillazione di un pendolo e di aver trovato i seguenti valori (in secondi): 15,21; 15,43; 15,32; 15,50; 15,61; 15,45; 15,61; 15,24 15,55; 15,48; Calcalo il valore attendibile della misura, l intervallo di incertezza associato alla misura e l errore assoluto. R: 15,4 sec; 0,4 sec; 0,2 sec. Il tempo di caduta di un oggetto viene misurato 50 volte con un sistema capace di apprezzare il centesimo di secondo. La tabella indica quante volte si è ottenuto uno stesso valore: valori (in s) 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 n. di volte Disegna l istogramma delle frequenze e determina il valore medio del tempo di caduta e l errore massimo relativo. R: 1,22 sec; 0,04 sec. Il volume di un piccolo oggetto pesante può essere misurato lasciando cadere l oggetto in una provetta graduata in mm e contenente acqua. Il diametro interno della provetta misura 30 mm e il livello dell acqua sale da 98 a 112 mm. Con quale errore percentuali si determina il volume del piccolo oggetto se i valori dati sono affetti da un errore di ± 0,5 mm? R: 10% circa Due grandezze X e Y sono legate dalla relazione Y = k X n. Verifica che, se X è nota con un errore relativo, allora l errore relativo su Y è n. Applica il risultato al calcolo del volume di un cubo il cui spigolo è (12 ± 0,3) cm. R: (1728±130) cm3 Il pavimento di una stanza misura 4,71 m in una direzione e 6,12 m nell altra. Calcola la sua area con il numero corretto di cifre significative. R: 28,8 m2 Il lato di un quadrato misura 0,135 m. Come si esprime la lunghezza della sua diagonale con il corretto numero di cifre significative? R: 0,1914 m Un giornale sportivo, riportando la vittoria di un ciclista, dice che questi ha percorso i 113 km della tappa in 2 ore 36 minuti e 41 secondi, alla media di 43,272 km/h. E corretta questa affermazione? R: No, la media è (43±0,2)km/h Una sfera rotola lungo un piano inclinato. La lunghezza del piano, misurata con un asta graduata in mm, risulta 1,780 m. Il tempo impiegato dalla sfera per percorrere il piano viene misurato con un cronometro: per maggiore precisione, la misura viene ripetuta 20 volte, ottenendo i seguenti valori (in secondi): 0,70 0,69 0,68 0,74 0,71 0,71 0,69 0,70 0,71 0,68 0,69 0,70 0,70 0,66 0,70 0,71 0,68 0,69 0,69 0,72 Qual è l errore relativo percentuale commesso nel determinare la lunghezza del piano? Qual è il valore più probabile del tempo impiegato e con quale incertezza ha tale valore? Qual è il valore della velocità media della sfera (ottenuta dividendo la lunghezza del piano per il tempo impiegato), espresso con il numero corretto di cifre significative? R: 0,03%; (0,70±0,02) sec; 2,6 m/sec

8 Su un foglio trasparente traccia una sottile linea chiusa, ben definita, di forma qualunque. Ponendo il trasparente su un foglio quadrettato (con quadretti da 1 cm, da 5 mm, da 4 mm, e su carta millimetrata), stabilisci una procedura per valutare l area compresa entro la curva chiusa e stima l errore associato. Le misure ottenute con i diversi metodi risultano compatibili entro gli errori stimati. Un automobilista viaggia in autostrada mantenendo costante la velocità; il tachimetro indica 120 km/h con un indeterminazione del 5 %. La lunghezza del percorso è desumibile da una carta stradale, sommando un certo numero di distanze parziali espresse in km: 5,20, 15, 38, 7, 25, 21, 14, 37, 8. Quanto tempo impiegherà l automobilista? R: tra 1h 28m e 1h 42m Si usa una livella a bolla lunga 30 cm per stabilire se la superficie di un tavolo da 150 cm è piana. La bolla, per un angolo di 0,5 rispetto orizzontale, si sposta di 1 mm. Se spostamenti della bolla minori di 1/5 mm sono inapprezzabili, quanto può essere il dislivello tra i due estremi del tavolo, se la livella appare sempre in piano? R: 2,6 mm Si ipotizza che tra due grandezze x e y valga la relazione y = kx 3 con k costante, pari a 5,0. Si misurano quindi i seguenti valori delle due grandezze, in un sistema coerente di unità di misura, intendendo che tutte le cifre riportate siano significative X y 1,23 9,23 2,46 73,8 5,8 1,01 x ,1 8,36 x 10 3 Che cosa si può dire circa la verifica sperimentale della legge