LE VARIABILI CASUALI Una variabile casuale (o aleatoria) è una variabile il cui valore dipende dal risultato di un esperimento casuale.

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1 LE VARIABILI CASUALI Una variabile casuale (o aleatoria) è una variabile il cui valore dipende dal risultato di un esperimento casuale. Esempio 1 Lancio di una moneta tre volte. Ω = {TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC} X=numero di teste nei tre lanci X({TTT}) = 3, X({TTC}) = X({TCT }) = X({CTT}) = 2, X({TCC}) = X({CTC}) = X({CCT }) = 1, X({CCC}) = 0 X assume valori sull insieme {0, 1, 2, 3}. In generale, DEFINIZIONE: Una variabile casuale è una funzione che associa ad ogni elemento di Ω (ad ogni evento elementare) un valore sull asse reale: X(ω) IR. Indicheremo con X la variabile casuale e con x il valore assunto dalla variabile casuale. 31

2 Esempio 2 Lanciamo due dadi Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3),..., (6, 6)} X=somma delle due facce X((1, 1)) = 2, X((1, 2)) = 3, X((1, 3)) = 4,..., X((6, 6)) = 12 X assume i valori sull insieme {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Esempio 3 Verifichiamo la durata di una lampadina Ω = [0, ) X=durata della lampadina: X(ω) = ω. X assume valori su [0, ). La variabile casuale si dice discreta se assume un numero finito o una infinità numerabile di valori (Esempi 1 e 2); si dice continua se assume una infinità non numerabile di valori (Esempio 3). 32

3 LE VARIABILI CASUALI DISCRETE A priori rispetto all esperimento non siamo in grado di prevedere quale valore sarà assunto dalla variabile, ma possiamo associare a ciascuno dei valori della variabile la probabilità che si verifichi. Esempio 1 Lancio di una moneta 3 volte, X=numero di teste nei tre lanci {0, 1, 2, 3}. P(X = 0) = P({CCC} = 1 8 P(X = 1) = P({TCC} {CTC} {CCT }) = 3 8 P(X = 2) = P({TTC} {TCT } {CTT}) = 3 8 P(X = 3) = P({TTT}) = 1 8 Valori di X Tot Probabilità 1/8 3/8 3/8 1/8 1 Quando si fà corrispondere ad ogni valore di X le corrispondenti probabilità si ha una distribuzione di probabilità. 33

4 In generale, Valori di X x 1 x 2... x i... Tot Probabilità p 1 p 2... p i... 1 dove x 1, x 2,... rappresentano i valori che possono essere assunti dalla variabile e p 1, p 2,... le corrispondenti probabilità, ossia p i = P(X = x i ). Naturalmente, deve valere p 1 + p p i +... = 1 DEFINIZIONE: La funzione p che associa ad ogni valore che può essere assunto da X la corrispondente probabilità viene detta funzione di probabilità: p(x) = P(X = x) Esempio 2 Lancio di due dadi, X=somma delle due facce {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. P(X = 2) = P((1, 1)) = 1/36 P(X = 3) = P((1, 2) (2, 1)) = 2/36 P(X = 4) = P((1, 3) (3, 1) (2, 2)) = 3/36... P(X = 11) = P((5, 6) (6, 5)) = 2/36 P(X = 12) = P((6, 6)) = 1 P(X = 1) P(X = 2)... P(X = 11) = 1/36 34

5 X Tot p(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1 II dado I dado p(x) x 35

6 LA FUNZIONE DI RIPARTIZIONE DEFINIZIONE: La funzione ripartizione F di una variabile casuale X (sia continua che discreta) è data da F(x) = P(X x) x IR Si noti l analogia con la funzione di frequenza relativa cumulata. La funzione di frequenza relativa cumulata dava la percentuale di unità con un valore della variabile minore o uguale a x. La funzione di ripartizione dà la probabilità di osservare un valore della variabile minore o uguale a x. Per variabili casuali discrete: La funzione di ripartizione per variabili casuali discrete è a gradini con salti in corrispondenza dei valori che possono essere assunti dalla variabile. Valori di X x 1 x 2... x i... Tot Probabilità p 1 p 2... p i... 1 F(x i ) = P(X x i ) = P(X = x 1 )+...+P(X = x i ) = = p 1 + p p i In generale, qualunque sia x (anche se non coincide con uno dei valori di X) F(x) = i:x i x p i 36

7 Esempio Lancio di una moneta 3 volte F(x) x P(X 1) = F(1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 4/8 P(X 2) = F(2) = P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2) = 7/8 Ma vale anche (X 2) = (X > 2) e quindi P(X 2) = 1 P(X > 2) = 1 P(X = 3) = 1 1/8 = 7/8 P(X < 1) = P(X = 0) = 1/8 Da (X > 1) = (X 1), segue che P(X > 1) = 1 P(X 1) = 1 4/8 Da (X 1) = (X < 1), segue che P(X 1) = 1 P(X < 1) = 1 P(X = 0) = 1 1/8 = 7/8 37

8 Media e Varianza di una variabile casuale discreta Sia X tale che Valori di X x 1 x 2... x i... Tot Probabilità p 1 p 2... p i... 1 La media (o valore atteso) di una variabile casuale X discreta è la quantità E(X) = i 1 x i p i Si noti l analogia con la definizione di media di una variabile data in statistica descrittiva, per cui r M(X) = x j f j j=1 Il valore atteso è un indice di tendenza centrale della distribuzione di probabilità della variabile che non necessariamente coincide con uno dei valori che la variabile può effettivamente assumere. Come si vedrà più avanti il valore atteso di X ammette anche questa interpretazione: se l esperimento da cui dipende il valore di X venisse ripetuto un numero molto elevato di volte, E(X) sarebbe la media (in senso statistico) dei valori di X che si ottengono nelle replicazioni dell esperimento. 38

9 La varianza di una variabile casuale discreta X è la quantità Var(X) = V (X) = E(X E(X)) 2 = i 1 (x i E(X)) 2 p i Vale la relazione (già vista in statistica descrittiva) V (X) = E(X 2 ) {E(X)} 2 = i 1 x 2 ip i {E(X)} 2 La varianza è un indice di dispersione: quantifica la tendenza della distribuzione di probabilità di X di concentrarsi attorno alla media. E però espressa nell unità di misura della variabile al quadrato e quindi di difficile interpretazione. Per questo, si ricorre spesso allo scarto quadratico medio. Lo scarto quadratico medio (o deviazione standard) di una variabile casuale X è sqm(x) = V (X) 39

10 TRASFORMAZIONI DI VARIABILI Se da X deriviamo Y attraverso la trasformazione Y = a + bx (cambio di origine e di scala) allora E(Y ) = E(a + bx) = a + be(x) V (Y ) = V (a + bx) = b 2 V (X) ATTENZIONE: Se Y = g(x) non è vero che E(Y ) = g(e(x)). L uguaglianza vale solo se g è una trasformazione di origine e scala come sopra. In generale, E(g(X)) = i 1 g(x i )p i LA STANDARDIZZAZIONE Se alla variabile casuale X applichiamo la trasformazione Z = X E(X) V (X) otteniamo una variabile casuale Z standardizzata, vale a dire E(Z) = 0 V (Z) = 1 40

11 Esempio 1 Lancio di una moneta 3 volte. Si calcolino la media e la varianza del numero di teste che escono in 3 lanci. X=numero di teste uscite nei tre lanci E(X) = = 12 8 = 3 2 Per calcolare la varianza, valutiamo innanzitutto il momento secondo E(X 2 ) = = 24 8 = 3 da cui V (X) = = 3 4 Esempio 2 Lancio di due dadi. Si calcoli il totale atteso delle due facce. X=somma delle due facce. E(X) = = = 7 41

12 Esempio 3 Per una lotteria vengono emessi 3 biglietti con vincita da 1000 û 10 biglietti con vincita da 200 û 100 biglietti con vincita da 5 û 1000 biglietti con vincita da 0 û Calcolare la vincita attesa di una persona che acquista un unico biglietto. Calcolare la varianza della vincita. Soluzione X=vincita in euro dall acquisto di un solo biglietto Valori di X Tot p(x) La vincita attesa è E(X) = Per calcolare la varianza della vincita, determiniamo il momento secondo E(X 2 ) = = 3057, 053 û da cui V (X) = 3057, 053 4, 94 2 = 3032, 65 û 2 = 4, 94 û 42

13 Calcoliamo il guadagno atteso di una persona che acquista un unico biglietto, nel caso in cui il costo di un biglietto sia di 5 û. Poniamo G=guadagno in euro di un persona che acquista un unico biglietto Allora, G = X 5 e il guadagno atteso è E(G) = E(X 5) = E(X) 5 = 4, 94 5 = 0, 06 avremmo cioè una perdita attesa, ossia non conviene in media comprare il biglietto della lotteria. Se volessimo la vincita attesa e la varianza della vincita espresse in vecchie lire, piuttosto che in euro, notiamo che Y =vincita in lire dall acquisto di un solo biglietto Y = 1936, 27 X Dalle proprietà della media e della varianza abbiamo che e E(Y ) = 1936, 27 E(X) = 9565, 17 lire V (Y ) = 1936, 27 2 V (X) = 1936, , 65 lire 2 43

14 ALCUNI ESEMPI IMPORTANTI DI VARIABILI CASUALI DISCRETE 1) LA VARIABILE CASUALE UNIFORME DISCRETA (o DISTRIBUZIONE DI PROBA- BILITA UNIFORME) E definita nel modo seguente. X assume un numero finito di valori: {x 1, x 2,..., x n }. E caratterizzata dal fatto che assume ciascuno degli n valori con uguale probabilità 1/n. In sintesi, Valori di X x 1 x 2... x n Tot Probabilità n n... n 1 Si userà la notazione X U{x 1, x 2,..., x n } che si legge X si distribuisce come una variabile uniforme sui valori x 1, x 2,..., x n. Per X U{x 1, x 2,..., x n } vale F(x) = P(X x) = 1 n = num. di x i x n E(X) = n i=1 i:x i x x i 1 n = 1 n V (X) = E(X 2 ) {E(X)} 2 = 1 n n i=1 x i n x 2 i i=1 ( 1 n ) 2 n x i i=1 44

15 Esempio Lancio di un dado. X=faccia del dado {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ogni faccia ha uguale probabilità di uscire, quindi X U{1, 2, 3, 4, 5, 6} e p i = 1 6, i = 1,..., 6. E(X) = V (X) = P(X 3) = F(3) = 3 6 = 3, 5 3, 5 2 = 2, 92 p(x) x F(x) x 45

16 2) LA VARIABILE CASUALE DI BERNOUL- LI Si consideri il seguente esperimento casuale. Si dispone di un lotto di pezzi prodotti da una fabbrica e si sa che la percentuale di pezzi difettosi prodotti dalla fabbrica è pari al 10%. Si estrae un unico pezzo dal lotto. Sia X la variabile casuale così definita { 1 se il pezzo è difettoso X = 0 se il pezzo non è difettoso Allora, o, in modo più sintetico, P(X = 1) = 0, 1 P(X = 0) = (1 0, 1) P(X = x) = 0, 1 x (1 0, 1) (1 x), x = 0, 1 Generalizziamo la situazione. Supponiamo di fare un esperimento che con probabilità p risulta in un evento A e con probabilità 1 p risulta nell evento complementare Ā (possiamo pensare ai due eventi, rispettivamente, come successo e insuccesso ). Sia la variabile casuale X così definita { 1 se si verifica A X = 0 se si verifica Ā Allora, p(x) = P(X = x) = p x (1 p) (1 x), x = 0, 1 46

17 Abbiamo ottenuto la variabile casuale di Bernoulli e la sua funzione di probabilità. Useremo la notazione X Be(p) che si legge X si distribuisce come una variabile di Bernoulli con parametro p. Se X Be(p), si deriva E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V (X) = E(X 2 ) {E(X)} 2 = 1 2 p+0 2 (1 p) p 2 = = p p 2 = p(1 p) Bernoulli, p=0.5 Bernoulli, p=0.1 p(x) p(x) x 0 1 x Bernoulli, p=0.9 p(x) x 47

18 3) LA VARIABILE CASUALE BINOMIALE (O LA DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA BINOMIALE) Ritorniamo all esempio del lotto di pezzi prodotti da una fabbrica. Si supponga di ripetere 5 volte l esperimento di estrarre un pezzo dal lotto (che viene poi rimesso nel lotto). Indichiamo con X i la variabile casuale di Bernoulli { 1 se l i-esimo pezzo estratto è difettoso X i = 0 se l i-esimo pezzo estratto non è difettoso i = 1, 2, 3, 4, 5. Sia X la variabile casuale= numero di pezzi difettosi tra i 5 estratti {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Vale innanzitutto la relazione Proviamo a determinare X = 5 i=1 X i P(X = 3) ossia la probabilità che tra i 5 pezzi estratti vi siano esattamente 3 difettosi. La sequenza (X 1 = 1, X 2 = 1, X 3 = 1, X 4 = 0, X 5 = 0) soddisfa la condizione di avere esattamente 3 pezzi difettosi. P(X 1 = 1 X 2 = 1 X 3 = 1 X 4 = 0 X 5 = 0) = = P(X 1 = 1)P(X 2 = 2)P(X 3 = 1)P(X 4 = 0)P(X 5 = 0) poiché i 5 eventi X 1 = 1, X 2 = 1, X 3 = 1, X 4 = 0, X 5 = 0 essendo riferiti a 5 esperimenti indipendenti sono essi 48

19 stessi indipendenti. Allora, P(X 1 = 1 X 2 = 1 X 3 = 1 X 4 = 0 X 5 = 0) = 0, 1 3 (1 0, 1) (5 3) Anche la sequenza (X 1 = 1, X 2 = 0, X 3 = 1, X 4 = 1, X 5 = 0) peró soddisfa la condizione di avere esattamente 3 pezzi difettosi, come pure la sequenza(x 1 = 1, X 2 = 0, X 3 = 0, X 4 = 1, X 5 = 1). In generale, tutte le sequenza con 3 uno e 2 zero soddisfano la condizione di avere esattamente 3 pezzi difettosi. Per l indipendenza dei 5 esperimenti, ognuna delle sequenze ha probabilità 0, 1 3 (1 0, 1) (5 3). Per determinare P(X = 3) ci basta quindi sapere quante sono le sequenze che hanno 3 uno e 2 zero. Questo è equivalente a determinare in quanti modi possiamo disporre i 3 uno sulle 5 posizioni della sequenza, ossia ( 5 3 ) = 5! 3!(5 3)! = 5! 3!2! = = 10 La risposta al quesito iniziale è ( ) 5 P(X = 3) = 0, 1 3 (1 0, 1) (5 3) 3 Se vogliamo calcolare la probabilità di estrarre esattamente 2 pezzi difettosi, seguendo lo stesso tipo di ragionamento si ottiene ( ) 5 P(X = 2) = 0, 1 2 (1 0, 1) (5 2) = 10 0, 1 2 (1 0, 1) (5 2) 2 Più in generale, ( ) 5 P(X = x) = 0, 1 x (1 0, 1) (5 x), x = 0, 1, 2, 3, 4, 5. x 49

20 Generalizziamo e supponiamo di fare n estrazioni (con reinserimento) dal lotto di pezzi prodotti. Poniamo X=numero di pezzi difettosi tra gli n estratti {0,1,2,..., n}. Con una semplice estensione dei risultati precedenti, si ha ( ) n P(X = x) = 0, 1 x (1 0, 1) (n x), x = 0, 1, 2,..., n. x 50

21 Pensiamo ora ad un esperimento generico che può risultare nell evento A ( successo ) con probabilità p o nell evento Ā ( insuccesso ) con probabilità 1 p. Pensiamo di ripetere l esperimento n volte in modo indipendente. Indichiamo con X i la variabile casuale di Bernoulli che descrive il risultato dell i-esimo esperimento: { 1 se si verifica A X i = 0 se si verifica Ā i = 1, 2...,n. Poniamo X=numero di successi nelle n replicazioni indipendenti dell esperimento {0,1,2,..., n}. Vale innanzitutto la relazione n X = i=1 Per quanto visto, la probabilità di avere esattamente x successi negli n esperimenti è ( ) n p(x) = P(X = x) = p x (1 p) (n x), x = 0, 1, 2,..., n. x Abbiamo ottenuto la variabile casuale binomiale e la sua funzione di probabilità. Si usa la notazione X Bin(n, p) che si legge X si distribuisce come una variabile casuale binomiale con parametri p e n. X Bin(n, p) descrive il numero di successi in n esperimenti (o prove) indipendenti, dove ad ogni esperimento (o prova) si ha una probabilità pari a p di osservare un successo. 51 X i

22 Per n = 1 (viene eseguito un unico esperimento) Bin(1, p) coincide con Be(p). PROPOSIZIONE: Se X Bin(n, p), allora E(X) = np V (X) = np(1 p) DIMOSTRAZIONE: Si veda Forcina e Stanghellini pag Binomiale, n=20,p=0.5 Binomiale, n=20,p=0.2 p(x) simmetria p(x) asimmetria a dx x x Binomiale, n=20,p=0.8 p(x) asimmetria a sx x 52

23 Esempio 1 Negli anni si è osservato che la probabilità di laurearsi di uno studente iscritto alla Facoltà di Economia è pari a 0,35. All inizio di un anno accademico vengono estratti a sorte 10 numeri di matricola di studenti iscritti al I anno. Determinare la probabilità che dei 10 studenti così selezionati, se ne laurino 1. nessuno 2. esattamente 2 3. almeno uno Soluzione Poniamo X=numero di studenti che si laureano tra i 10 estratti Si noti che le estrazioni sono senza reinserimento. Tuttavia, essendo la popolazione degli studenti iscritti al I anno di Economia molto più ampia del numero di estrazioni eseguite, le estrazioni non modificano di fatto la composizione della popolazione, e possono essere trattate come se fossero con reinserimento. In altri termini, stiamo eseguendo 10 prove (le 10 estrazioni) indipendenti. Ad ogni estrazione, abbiamo una probabilità pari a 0,35 di trovare uno studente che arriverà alla laurea ( successo ). Allora, X Bin(10; 0, 35) e p(x) = P(X = x) = ( 10 x ) 0, 35 x (1 0, 35) (10 x) 53

24 1. P(X = 0) = ( ) 10 0, 35 0 (1 0, 35) (10 0) = 10! 0 0!10! 1 0, 6510 = = 0, P(X = 2) = ( ) 10 0, 35 2 (1 0, 35) (10 2) = 10! 2 2!8! 0, 352 0, 65 8 = = 45 0, , (X 1) = (X < 1) P(X 1) = 1 P(X < 1) = 1 P(X = 0) = 1 0, Esempio 2 Una Banca ha finanziato 10 imprese. Sapendo che la probabilità che una impresa sia insolvente è pari a 0,2, e assumendo che le imprese si comportino in modo indipendente, si determini la probabilità che al massimo due imprese finanziate siano insolventi. Soluzione Possiamo vedere i 10 finanziamenti come 10 esperimenti indipendenti, dato che le imprese si comportano in modo indipendente. Allora, posto X=numero di imprese insolventi tra le 10 finanziate, X Bin(10, 0, 2) e la probabilità cercata è P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = ( ) ( ) ( ) , 2 0 0, , 2 1 0, , 2 2 0, 8 8 =

25 = 0, , 2 0, , 2 2 0, 8 8 = 0, 302 Si noti che avremmo ottenuto la stessa soluzione con il seguente procedimento. Posto Y =numero di imprese solventi tra le 10 finanziate, Y Bin(10, 0, 8) e la probabilità cercata è P(Y 8) = P(Y = 8) + P(Y = 9) + P(Y = 10) Esercizio (per casa) La squadra A ha probabilità di vittoria 2/3 ogni volta che gioca. Se A gioca quattro partite, determinare la probabilità che essa vinca 1. 2 partite 2. almeno una partita 3. più della metà delle partite 55

26 LE VARIABILI CASUALI CONTINUE Le variabili casuali continue assumono una infinità non numerabile di valori. Ad esempio, X=durata di una lampadina [0, ). In statistica descrittiva, per variabili continue avevamo... In probabilità, per una variabile casuale continua X abbiamo una funzione di densità di probabilità f(x) tale che: f(x) P(X<x) x l area al di sotto di f da sino ad un punto fissato x è pari a P(X x) = P(X < x), ossia la funzione di ripartizione nel punto x è F(x) = P(X x) = P(X < x) = x f(y)dy 56

27 La funzione di densità f(x) deve essere tale che 1. f(x) 0 2. f(x)dx = 1 Inoltre, da segue che F(x) = x f(y)dy f(x) = F (x) P(a X b) = F(b) F(a) = b a f(x)dx 57

28 I QUANTILI Il quantile α (x α ) è quel valore che lascia alla sua sinistra una probabilità pari ad α: f(x) F(x) 1.0 α α 0.0 x α x 0.0 x α x e x α : x α = F(x α ) = α xα In particolare, la mediana è x 0,5 = Me = f(x)dx = α Me f(x)dx = 0, 5 58

29 Esempio Si consideri la funzione f(x) = kx 3 0 < x < 10 (E implicito con la precedente notazione che f(x) = 0 al di fuori dell intervallo (0, 10).) 1. Determinare k tale che f(x) sia una funzione di densità di probabilità. 2. Determinare la probabilità che 3 < X < 8 3. Determinare il quantile 0,95: x 0,95. Soluzione 1. f(x) 0 e quindi k 0. Inoltre 2. da cui ossia + f(x)dx = 10 0 kx 3 dx = 1 k x = k = k 2500 = 1 k = 1 { f(x) = x3 0 < x < 10 0 altrove P(3 < X < 8) = = x 3 x4 dx = = 3 = 0, 402

30 3. x 0,95 : F(x 0,95 ) = 0, 95 ossia x0,95 x0,95 0 e quindi 0 x 3 dx = 0, x 3 x4 dx = x0,95 = x 4 0, = 0, 95 x 0,95 = (0, ) 1 4 = 9, 87 60

31 Il valore atteso (o media) di una variabile casuale X continua è La varianza di X è E(X) = + xf(x)dx Var(X) = E(X E(X)) 2 = E(X 2 ) {E(X)} 2 = = + Lo scarto quadratico medio è x 2 f(x)dx {E(X)} 2 sqm(x) = Var(X) Valgono per media e varianza le stesse proprietà viste per le variabili casuali discrete. In particolare, con Z = X E(X) Var(X) si ottiene una variabile Z standardizzata, con E(Z) = 0 e Var(Z) = 1. Esempio Riprendiamo l esempio precedente. E(X) = = E(X 2 ) = + 10 x xf(x)dx = 10 0 x x dx = dx = x = 8 x 2 x3 x6 dx = = 66, 67 0 V (X) = 66, = 2, 67 61

32 ALCUNI ESEMPI IMPORTANTI DI VARIABILI CASUALI CONTINUE Variabile casuale uniforme continua Fissiamo un intervallo su IR: [a, b]. La variabile casuale uniforme continua sull intervallo [a, b] (si userà la notazione X U[a, b]) ha funzione di densità f(x) = { 1 b a a x b 0 altrove f(x) 1/(b a) 0.0 a b x 62

33 La funzione di ripartizione di X è x 0 x < a F(x) = f(y)dy = x 1 (x a) a b ady = b a a x b 1 x > b F(x) a b x Media e varianza sono E(X) = b a x b a dx = x 2 2(b a) b = b + a a 2 (E(X 2 ) per casa) V (X) = (b a)

34 Esempio Il tasso di interesse annuo applicato da una banca varia tra il 4% e il 6% e si distribuisce come una variabile casuale uniforme. Un cliente scelto a caso ha depositato 1000û nella banca. Si calcoli 1. la probabilità che l anno successivo disponga di almeno 1050û. Affinché egli disponga di almeno 1050û, gli deve essere stato applicato un tasso almeno pari a 5%. Posto, T =tasso U[0, 04, 0, 06], si ha P(T 0, 05) = 1 P(T < 0, 05) = 1 P(T 0, 05) = (0, 05 0, 04) = 1 F(0, 05) = 1 (0, 06 0, 04) = 1 2 In altri termini M e = 0, il valore atteso del capitale di cui disporrà dopo un anno e la varianza. Posto, C=capitale dopo un anno: C = T E(C) = E( T) = E(T) = 0, , 06 = = V (C) = V ( T) = V (T) = = (0, 06 0, 04)2 12 =

35 Variabile casuale normale (o di Gauss o gaussiana) Nasce come distribuzione degli errori accidentali. Viene indicata con X N(µ, σ 2 ) e la sua funzione di densità è f(x) = 1 σ 2π exp { 1 2σ2(x µ)2 } x IR Si ha + E(X) = x 1 { σ 2π exp 1 } 2σ2(x µ)2 dx = µ + { V (X) = (x µ) 2 1 σ 2π exp 1 } 2σ2(x µ)2 dx = σ 2 La funzione di densità della variabile casuale normale ha una forma a campana, è simmetrica attorno a µ, e la sua dispersione attorno a µ aumenta al crescere di σ 2. f(x) x 65

36 f(x) x Un caso particolare si ha quando µ = 0 e σ 2 = 1. X N(0, 1) viene chiamata normale standardizzata e viene generalmente indicata con Z. La sua funzione di densità è f(z) = 1 exp { 12 } 2π z2, z IR Naturalmente, E(Z) = 0 V (Z) = 1 f(x) 0 0, x 66

37 GENESI DELLA DISTRIBUZIONE NORMALE Nel 1796, il fisico tedesco Gauss nota che le sue misurazioni relative al movimento dei corpi celesti, verosimilmente affette da errore, mostrano un istogramma al cui profilo si adatta estremamente bene la densità della variabile casuale normale. Nel 1846, lo scienziato francese Quetelet osserva che la stessa distribuzione di probabilità si adatta bene anche alla distribuzione osservata delle circonferenze toraciche di un collettivo molto ampio di soldati scozzesi. Sostiene di aver scoperto il meccanismo che governa la variabilità umana. La distribuzione normale è fondamentale in statistica: è in grado di descrivere con buona approssimazione il comportamento di un numero sorprendentemente elevato di fenomeni di natura molto diversa tra loro; (vedremo che) la somma di un numero elevato di v.c. si distribuisce in modo normale. Per questo motivo, la normale si adatta alla descrizione di una gran quantità di fenomeni che possono essere letti come somma di un certo numero di fenomeni componenti. 67

38 La variabile casuale normale gode di una proprietà di chiusura rispetto a trasformazioni lineari. Se X N(µ, σ 2 ), posto sappiamo che Y = a + bx E(Y ) = a + bµ V (Y ) = b 2 σ 2 ma vale qualcosa di più, ossia Questo implica Y N(a + bµ, b 2 σ 2 ) 1. se X N(µ, σ 2 ), allora 2. se Z N(0, 1) Z = X µ σ N(0, 1) X = µ + σz N(µ, σ 2 ) 68

39 Per X N(µ, σ 2 ), la funzione di ripartizione è x { 1 F(x) = P(X x) = σ 2π exp 1 } 2σ2(y µ)2 Purtroppo, l integrale non ammette una soluzione esplicita e deve essere determinato numericamente. Tuttavia, possiamo in parte risolvere il problema notando che ( X µ F(x) = P(X x) = P x µ ) = = P dove Z N(0, 1) e ( Z x µ ) σ Φ(z) = P(Z z) σ σ ( ) x µ = Φ σ è la funzione di ripartizione della normale standardizzata. Se conosciamo Φ(z) per ogni z possiamo allora calcolare F(x) tramite la precendente equazione. dy 69

40 I valori di Φ(z) sono tabulati (Tavole della distribuzione normale) per diversi valori di z. Ad esempio, Φ(0) = 0, 5 Φ(0, 05) = 0, 5199 Φ(1, 57) = 0, 9418 Φ(3, 48) = 0, 9997 Si noti che nelle tavole non è, ad esempio, riportato il valore di Φ(5). Questo perché Φ(3, 49) = 0, 9998 e, sapendo che Φ( ) = 1, possiamo concludere che Φ(5) è approssimabile con 1. Inoltre, nelle tavole non sono precisati i valori di Φ(z) per z < 0, ma dalla simmetria attorno allo 0 della densità di Z N(0, 1), troviamo che, ad esempio, Φ( 1, 2) = 1 Φ(1, 2) = 1 0, 8849 e, più in generale, Φ( z) = 1 Φ(z) f(z) z 0 z 70

41 Indicheremo con z α il quantile α della normale standardizzata Z: z α : Φ(z α ) = α Ancora per la simmetria attorno allo 0 della funzione di densità della normale standardizzata Z z 1 α = z α Questa equazione è utile per trovare i quantili negativi di Z (z α per α < 0, 5) che non sono direttamente riportati nelle tavole. Ad esempio, z 0,2 = z 0,8 = 0, 84 f(z) α z α 0 z 1 α α 71

42 Esempi 1. X N(5, 100) P(X 6) = P ( X ) 10 = P(Z 0, 1) = Φ(0, 1) = 0, 5398 ( X 5 P(X 3) = P 3 5 ) = = P(Z 0, 2) = Φ( 0, 2) = 1 Φ(0, 2) = 1 0, Se X N(µ, σ 2 ) ( ) ( ) b µ a µ P(a X b) = F(b) F(a) = Φ Φ σ σ Data X N(4, 9) = ( ) ( ) 7, P(4 X 7, 9) = Φ Φ 3 3 = Φ(1, 3) Φ(0) = 0, , 5 = ( ) ( ) 7, P(0 X 7, 9) = Φ Φ = 3 3 = Φ(1, 3) Φ( 1, 33) = 0, 9032 [1 Φ(1, 33)] = 0, , 9082 ( ) 8, 4 4 P(X 8, 4) = 1 P(X 8, 4) = 1 Φ 3 = 1 Φ(1, 47) = 1, 9292 = 72

43 3. Se X N(µ, 16), quale è la media di µ tale che P(X 4, 5) = 0, 85? ( ) 4, 5 µ 0, 85 = P(X 4, 5) = Φ 4 Questo implica che (4, 5 µ)/4 è il quantile 0,85 della normale standardizzata, ossia 4, 5 µ = z 0,85 4 Dalle tavole della normale, si deduce che z 0,85 = 1, 04 e quindi 4, 5 µ = 1, 04 4 Risolvendo l equazione rispetto a µ si ottiene, µ = 4, 5 4 1, 04 = 0, Se X N(µ, σ 2 ), quali sono i valori di µ e σ tali che P(X 10) = 0, 9772 e P(X 5) = 0, 5478 Dai due vincoli imposti, abbiamo che ( ) 10 µ P(X 10) = Φ = 0, 9772 σ ossia e ossia 10 µ = z 0,9772 = 2, 00 σ ( ) 5 µ P(X 5) = Φ = 0, 5478 σ 5 µ σ = z 0,5478 = 0, 12 73

44 A questo punto abbiamo il sistema di equazioni { 10 µ σ = 2 5 µ σ = 0, 12 e risolvendolo rispetto a µ e σ si ottiene µ = 4, 68 e σ = 2, 66. Esercizio Il peso delle scatole di pelati di una azienda si distribuisce secondo una normale di media 1kg e deviazione standard 0,009kg. Si calcoli 1. la probabilità che una scatola scelta a caso pesi meno di 980gr. Posto X=peso in kg di una scatola estratta a caso N(1, 0, ). ( ) 0, 98 1 P(X 0, 98) = Φ = Φ( 2, 22) = 0, 009 = 1 Φ(2, 22) = 1 0, 9868 = 0, la probabilità che fra 10 scatole scelte a caso ve ne siano almeno 2 che pesano meno di 980gr. Pensiamo all esperimento in questo modo. Dalla popolazione di tutte le scatole ne estraiamo 10 e a ogni estrazione verifichiamo se la scatola pesa meno di 980gr oppure no. Se pesa meno registriamo un successo, altrimenti un insuccesso. Le estrazioni sono senza reinserimento, ma la popolazione da cui facciamo l estrazioni è molto più ampia del numero 74

45 di estrazioni (di fatto infinita) per cui è come se facessimo delle estrazioni con reinserimento. Possiamo allora pensare all esperimento come se fosse costituito da 10 prove indipendenti. Posto N = numero di scatole tra le 10 estratte che pesa meno di 180gr Bin(10, p = P(X 0, 98) = 0, 0132). La probabilità cercata è allora P(N 2) = 1 P(N < 2) = 1 P(N = 0) P(N = 1) = ( ) 10 = 1 0, (1 0, 0132) ( ) 10 0, (1 0, 0132) 9 1 Per casa calcolare la probabilità che fra le 10 scatole estratte a caso nessuna pesi meno di 980gr e la probabilità che almeno una pesi meno di 980gr. 75

46 Esercizio Le sfere di acciaio prodotte da una fabbrica hanno un diametro che segue la distribuzione normale. Si supponga che il 20% delle sfere abbia un diametro inferiore a 1,2cm e che il 10% abbia un diametro maggiore di 1,4cm. 1. Si calcolino il valore atteso e la varianza della distribuzione del diametro delle sfere. Sia X = diametro in cm di una sfera estratta a caso N(µ, σ 2 ) Dalle indicazioni del problema e P(X 1, 2) = 0, 2 P(X 1, 4) = 0, 1 Allora, ( ) 1, 2 µ P(X 1, 2) = Φ = 0, 2 σ ossia 1, 2 µ = z 0,2 = z 0,8 = 0, 84 σ e ( ) 1, 4 µ P(X 1, 4) = Φ = 0, 9 σ ossia 1, 4 µ = z 0,9 = 1, 28 σ Otteniamo il sistema { 1,2 µ σ = 0, 84 1,4 µ σ = 1, 28 76

47 e risolvendolo rispetto a µ e σ si deriva µ = 1, 28cm e σ=0,094cm. 2. Sulla base dei risultati precedenti si determini la probabilità che il diametro di una sfera sia maggiore di 1,5cm ( ) 1, 5 1, 28 P(X > 1, 5) = 1 P(X 1, 5) = 1 Φ 0, 094 = 1 Φ(2, 34) = 1 0, 9904 = 77