Determinazione dell indice di rifrazione di un prisma di vetro con uno spettroscopio.

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1 1 Deterinazione dell indice di rifrazione di un prisa di vetro con uno spettroscopio. Fisichella Vincenzo Cenni Teorici. Quando un fascio di luce incide sulla superficie di separazione tra due ezzi trasparenti diversi, da origine ad un fascio riflesso e ad un fascio che penetra nel secondo ezzo. Il raggio luinoso che penetra nel secondo ezzo viene deviato: si dice che viene rifratto. Il raggio incidente, quello riflesso e quello rifratto giacciono tutti nello stesso piano. angolo di rifrazione dipende dalle proprietà dei due ezzi e dall angolo del raggio incidente. Adesso ci proponiao di studiare analiticaente cosa accade quando un raggio di luce colpisce la superficie di un prisa di ateriale rifrangente, per esepio vetro. Indichiao con f l angolo del prisa e supponiao che il piano del prisa sia, coe in figura, norale al suo spigolo. Il raggio considerato subisce la rifrazione una volta in B, nel passare dall aria al vetro, e una volta in C, nel passare dal vetro all aria. In B si ha: ed in C: sen i = n sen r (1) 1 sen r = sen i n (2) avendo indicato con n l indice di rifrazione del prisa rispetto all aria per la frequenza della radiazione usata. Il raggio che eerge dal prisa è deviato, rispetto al raggio incidente, di un angolo δ = i r + i r (3) coe si vede considerando il triangolo BCD e osservando che l angolo in B è ( r) quello in C è ( i r ) e quello in D è ( π δ ). a (3) si può anche scrivere: i, dato che dal triangolo ABC si ha: δ = i + i ϕ (4)

2 2 ossia: π π ϕ + r + r = π 2 2 (5) ϕ = r + r (6) Vediao adesso coe varia l angolo di deviazione d in funzione dell angolo di incidenza i della luce sul prisa, e precisaente cerchiao se esiste un valore di i per cui d è inio. A tale scopo calcoliao la derivata di d rispetto ad i: differenziando la (4) si ha: d δ = di + di (7) dato che f è costante. Per espriere d i a ezzo di di, differenziao le (1) e (2): di = n cosr dr 1 cosr dr = di n da cui tenendo conto della (6), cosr cosr di = n dr = n 1 dr = di n cosr cosr di = di cosr ( dr ) che introdotta nella (7) da: dδ di cosr = 1 cosr (8) a (8) è nulla per i = i e r = r ossia quando il percorso del raggio è sietrico rispetto alla bisettrice dell angolo f del prisa. Il corrispondente valore di d, che da ora in poi indichereo con d si ottiene dalla (4) ponendo i = i δ = 2 i ϕ (9) e rappresenta la inia deviazione che il raggio può subire passando attraverso il prisa considerato. angolo di rifrazione corrispondente alla deviazione inia si ottiene dalla (6) ponendo r = r ossia r = ϕ 2. Se l indice di rifrazione è noto, il corrispondente angolo di incidenza si ricava dalla (1)

3 3 ϕ i = arc sen n sen 2 e la (9) può essere usata per prevedere il valore di d. Se invece è noto d si può far uso della (9) per ricavare i: δ +ϕ i = 2 e ricordando che i ed r sono legati dalla (1) si ottiene δ ϕ sen + n = 2 (1) ϕ sen 2 che rappresenta la relazione che consentirà di deterinare l indice di rifrazione del prisa in questo esperiento. Descrizione dell Esperienza. Questa esperienza si svolge in due fasi; la fase iniziale è dedicata alla essa a punto dello spettroscopio, quella finale alla esecuzione delle isure. 1. Messa a punto dello Spettroscopio. o spettroscopio è uno struento che consente la visione di righe spettrali di una deterinata sorgente luinosa, questo è forato da un colliatore, una piattafora rotante, un cannocchiale rotante e ovviaente un prisa. Il colliatore ha il copito di rendere paralleli i raggi che provengono dalla sorgente e che passano attraverso una fenditura posta sul piano focale della lente convergente interna al colliatore. Il cannocchiale deve forare un iagine virtuale alla distanza della visione distinta quando è colpito dai raggi paralleli uscenti dal prisa. Pertanto si capisce che colliatore e cannocchiale devono essere sullo stesso asse ottico e quindi la piattafora deve giacere sul piano ottico che peretta di distinguere le righe prodotte dal prisa posto su di essa. In prio luogo si ette a fuoco la croce di riferiento dell oculare e si punta col cannocchiale un oggetto

4 4 lontano (l ideale sarebbe all infinito) ettendolo a fuoco. Dopo aver fatto stabilizzare la sorgente luinosa si passa alla regolazione del colliatore allineando a questo il cannocchiale in odo da osservare la fenditura e traite la vite presente nel colliatore ettere a fuoco l iagine. È iportante anche l apiezza della fenditura, grandi apiezze non perettono di centrare perfettaente la fenditura sulla croce, piccole apiezze danno righe poco visibili. a essa in piano della piattafora è un operazione più delicata: segnato il valore per cui il cannocchiale si trova allineato col colliatore e ontata la piattafora ad un altezza che perette ai raggi di attraversare a età il prisa, bisogna ruotare di 9 verso sinistra il cannocchiale e subito dopo ruotare la piattafora finché la faccia del prisa non si trovi a 45 con l asse ottico; in questo odo si avrà l iagine della fenditura riflessa sul cannocchiale e ciò perette, alzando o abbassando la piattafora, di centrare l iagine sulla croce. e stesse operazioni vanno ripetute ruotando il cannocchiale di 18 finché la piattafora non sarà allineata ovvero fino a quando l iagine non sarà centrata in altezza sia osservandola da destra che da sinistra. In fine resta il posizionaento del prisa; questa è un operazione relativaente seplice infatti affinché i raggi rifratti siano osservabili è bene che il fascio incidente fori un angolo apio rispetto alla norale della faccia in esae e quando tale angolo sarà corretto attraverso il cannocchiale saranno visibili le righe; a questo punto bloccare la piattafora, lo spettroscopio è pronto per l esperiento. 2. Esecuzione delle Misure. raggio incidente piattafora raggi rifratti sorgente colliatore faccia opaca Ho condotto l esperienza utilizzando una lapada al ercurio e la pria operazione effettuata, dopo aver costatato la presenza delle righe, è stata la deterinazione dell angolo per cui si verifica la inia deviazione, operazione che ho effettuato ediante la rotazione della piattafora finché lo spostaento delle fenditure non ha invertito la direzione del oto. Fissata saldaente la piattafora ho coinciato a rilevare gli angoli, destro e sinistro, delle prie quattro righe: cannocchiale occhio dell' osservatore? Giallo 46,18 ±,17 226,8 ±,17 Verde 46,5 ±,17 226,42 ±,17 Blu 47,42 ±,17 227,33 ±,17 Viola 48,67 ±,17 228,58 ±,17 Il passo successivo è stato quello di deterinare lo zero delle isure precedenteente rilevate e pertanto dopo aver riosso il prisa dalla piattafora,

5 5 preoccupandoi che questa non si uovesse, ho centrato l iagine della fenditura sulla croce ed ho rilevato i seguenti angoli: 354,97 ±,17 174,95 ±,17 Per questioni pratiche ho preferito fare i calcoli = 5,5 ±, 17. Utilizzando la relazione: utilizzando il valore δ = ( ) + ( ) 2 che non è altro che un operazione di edia, e successivaente la (1) sapendo che f è 6 ho tabulato i valori di deviazione inia e indice di rifrazione per ciascuna riga:? δ n Giallo 51,18 ±,34 1,65±,24 Verde 51,51 ±,34 1,653±,24 Blu 52,425 ±,34 1,662±,24 Viola 53,675 ±,34 1,674±,24 Gli errori su δ sono stati calcolati ediante la: δ = δ ε δ + = ε δ + ε 1,17 4 =,34 2 δ + ε = a differenza degli errori su n per cui è bene fare una breve precisazione, infatti differenziando logariticaente la (1) otteniao l errore relativo assio su n: dn/n = dlnsen[(δ + f )/2] dlnsen(f /2) n/n = ctg[(δ + f )/2][( δ+ f )/2] ctg(f /2) f /2 e poiché δ e f sono all incirca uguali, ponendo δ = f = ε, si ha: n/n = ctg[(δ + f )/2]ε ctg(f /2)ε/2 Dalla (9) risulta che (δ + f )/2 è l angolo di incidenza che è sepre inore di 9 e, poiché δ ed f sono positivi, possiao scrivere:

6 6 < ctg[(δ + f )/2] < ctg(f /2) per cui sicuraente deve essere: n/n < ctg(f /2)ε/2 Per il prisa che ho utilizzato nell esperienza l angolo f = 6 allora: n/n <,86ε e quindi n,86nε o spettroscopio del laboratorio ha ε = 1 =,17 pertanto, sostituendo alla precedente relazione i rispettivi indici di rifrazione di ciascuna riga, ottengo le indeterinazioni riportate in tabella. Successivaente ho preso una seconda serie di isure allo scopo di far coincidere e rispettivaente con e 18 : in questo caso non potevo peretteri di ruotare la piattafora pertanto ho tolto il prisa, puntato il cannocchiale sulla fenditura per rilevare lo zero ed in questo punto ho fissato lo zero del nonio della piattafora. icordando i dati presi precedenteente ho posizionato il cannocchiale nella posizione (approssiativa) in cui si vedano le righe della serie precedente ed a questo punto, posizionato il prisa sulla piattafora, ho cercato l angolo di deviazione inia ruotando lentaente ed accurataente il prisa e non la piattafora e trovato quest angolo ho fissato il prisa. Da questo punto in poi ho condotto l esperienza in aniera analoga alla precedente serie di dati trovando i valori che riporto nella tabella qui di seguito:? δ Giallo 51,33 ±,17 231,23 ±,17 51,28 ±,34 1,651±,24 Verde 51,7 ±,17 231,62 ±,17 51,66 ±,34 1,655±,24 Blu 52,5 ±,17 232,45 ±,17 52,475 ±,34 1,663±,24 Viola 53,85 ±,17 233,8 ±,17 53,825 ±,34 1,676±,25 Ovviaente anche tutti gli errori sono stati calcolati in aniera analoga. Mettendo a confronto le due serie di isure si nota una differenza solo sulla terza cifra deciale:? n (I serie) n (II serie) Giallo 1,65±,24 1,651±,24 Verde 1,653±,24 1,655±,24 Blu 1,662±,24 1,663±,24 Viola 1,674±,24 1,676±,25 n Conclusioni.

7 7 Mediante fotocaera digitale sono riuscito a rilevare le iagini delle fenditure in entrabe le serie di dati: esse sono rispettivaente la pria e la seconda serie di dati ed in ordine possiao distinguere le righe: gialla, verde, blu e viola. Da notare che nella pria serie la fotocaera non è riuscita a visualizzare la riga del viola. In definitiva, dal valore degli indici di rifrazione calcolati posso afferare, in erito a quanto tabulato a pagina 1153 del secondo volue di fisica Serway, che il ateriale in esae è vetro Flint. Inoltre vorrei ricordare la dipendenza dell indice di rifrazione dalla lunghezza d onda infatti, coe si evince dai dati sopra tabulati, al diinuire della lunghezza d onda si ha un auento del suddetto indice.

8 Bibliografia. Serway Beichner Fisica volue II, EdiSES, Napoli. Aaldi Bizzarri Fisica Generale II, Zanichelli, Bologna.. icao - Guida alle esperientazioni di fisica, Abrosiana, Milano. J.. Taylor - Introduzione all analisi degli errori, Zanichelli, Bologna. F. Tyler - A laboratory anual of phisics, E. Arnould, ondon. Prof. N. Arena - Appunti del corso di laboratorio II, A.A