Campo magnetico terrestre lezione 2. Gaetano Festa

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1 Campo magnetico terrestre lezione 2 Gaetano Festa

2 Osservazioni su B Principalmente dipolare, di origine interna Le sorgenti sono (verosimilmente) contenute nel nucleo terrestre Varia nel tempo su scale comprese tra 1 e 10 8 yr Si inverte nel tempo Presenta escursioni E soggetto ad una deriva occidentale

3 Struttura del nucleo Il nucleo è costituito da una parte esterna fluida ed una interna solida La densità del nucleo è prossima a quella del ferro, ma sono presenti materiali leggeri come Si, O (30% nella parte esterna) Il nucleo esterno è piuttosto omogeneo, con uno strato limite nei primi 100 km. Il nucleo interno presenta un anisotropia e una rotazione differenziata

4 Struttura termica del nucleo Come per il mantello terrestre possiamo assumere che la temperatura aumenta lungo un adiabatica (in sistemi in cui la convezione è vigorosa, l entropia è costante) dt α gt v = dz c S Nucleo interno ed esterno hanno la stessa composizione Nucleo esterno è più ricco di materiale leggero P Fowler, 2005

5 Possibili sorgenti di B (1) Raffreddamento secolare della Terra (2) Energia gravitazionale legata al rilascio di elementi leggeri nel processo di solidificazione del nucleo interno (3) Calore latente rilasciato nel processo di solidificazione del nucleo interno (4) Rilascio di energia dovuta al decadimento radioattivo (K40) (esiste? debole?) (5) Effetti marealie precessionalilegati all influenza del sole e della luna (debole?)

6 Alla lavagna

7 Equazione dell induzione Correnti in un conduttore ohmico (pre-maxwell) j = σ ( E + v B) Equazione pre-maxwell di Ampere B = µ 0j = µ 0 σ ( E + v B) Diffusività magnetica : 1 µ σ B = E + v B 0 η = 1 µ σ 0

8 Equazione per B η B = E + v B E = η B v B Calcoliamo il rotore di questa quantità: E = ( η B) v B Assumiamo la diffusività costante B 2 = η ( ) η B B v B B = 2 η + B v B

9 Campo statico? Se le sorgenti del campo magnetico fossero statiche, allora v=0e l equazione dell induzione diventa l equazione del calore B = η Tempo caratteristico della diffusione (tempo di Cowling) 2 B t diff 2 L = = πη 4 10 yr Moti attuali del nucleo, possibili nella parte fluida (dinamo)

10 Effetto del moto su B B = 2 + η B v B Sia U una velocità caratteristica del sistema, L una lunghezza caratteristica e B un valore caratteristico del campo R m v B UB / L = = = 2 2 η B ηb / L UL η Numero di Raynolds magnetico. UL Rm = = ULσµ = π η (310 )(310 )(0.510 )(4 10 ) 600

11 Conduttore perfetto La dinamo terrestre converte rapidamente energia cinetica in energia magnetica e viceversa. Essa si auto-sostiene perché questo processo è più efficiente della dispersione ohmica. R m = B = v B = B v v B B + v B = B v db dt = B v Ipotesi di un conduttore perfetto:

12 Flusso congelato (frozenflux) Considera un elemento di linea dltrasportata dal fluido dl r r+dl d( dl) = v( r + dl) v( r) = dl v dt d B dt = B v Le linee del campo magnetico evolvono come gli elementi di linea, trasportate dal moto delle particelle.

13 Dinamo Una dinamo usa il moto di un conduttore elettrico attraverso un campo magnetico per produrre corrente elettrica La dinamo terrestre è una dinamo ad auto- eccitazione : non necessita di campi esterni per essere sostenuta, ma viene generata da un debole campo magnetico iniziale.

14 Dinamo cinematiche Teorema di Cowling(anti-dinamo) : Un fluido in rotazione intorno ad un asse non può produrre una dinamo ad autoeccitazione a simmetria assiale. Rappresentazione delle linee di campo : poloidale e toroidale Componente Toroidale Poloidale: meridionale + radiale Toroidale : azimuthale

15 Effetto Alpha Trasformazione del campo da toroidale a poloidale Sono causati da flussi poloidali che posseggono vorticità Questi meccanismi possono anche trasformare un campo toroidale in uno poloidale

16 Effetto Omega Trasformazione del campo da poloidale a toroidale Sono causati da moti toroidali differenziali

17 Teoria del campo medio B = 2 + η B v B Supponiamo che i campi possano separarsi in un contributo medio ed una perturbazione v = v + v ' 0 B = B + B 0 ' Questo è possibile quando i campi sono caratterizzati da due scale spaziali, una grande L ed una piccola L, e stiamo investigando il comportamento del campo a lunghezze intermedie : L << l << L < v >= v ; < v ' >= 0 0 < B >= B ; < B ' >= 0 0 Fluttuazioni casuali

18 Teoria del campo medio Sostituiamo e mediamo Semplificando B B0 B ' < >= η B0 + < η B ' > + < v + v ' ( B + B ') > 0 ( ) = η B + v B + < v B > Forza elettromotrice derivante dai moti a piccola scala ' ' ε

19 Teoria della turbolenza Come rappresentiamo la FEM in funzione del campo medio? Sviluppo di Taylor Teoria della turbolenza : B 0 B ε α β 0 j i = B0 i + ijk +... x k ε = αb β B 0 0 = ( v B + αb ) + ( η + β ) B α: contributo rigenerativo del campo medio β: diffusività di turbolenza

20 Soluzioni di Beltrami Supponiamo di avere un campo magnetico medio in un fluido fermo a grande scala (v 0 =0). Cerchiamo una soluzione di Beltrami: B B B = KB = α KB + η 2 0 e 0 Calcoliamo l espressione per il Laplaciano B = B = K B = K B B

21 Campo crescente Sostituendo otteniamo: B 0 = K( α η K) B e 0 Per separazione di variabili α > η K e 1 B 0 = K ( ek ) t Ce α η Il campo cresce esponenzialmente K L Il campo cresce se la scala spaziale del campo medio è sufficientemente grande

22 Dinamo sperimentali -1 Dinamo di Riga 3 cilindri coassiali di 3 m Il sodio liquido è accelerato verso il basso da un propellente, e produce un flusso con elicità Ha prodotto una dinamo ad autoeccitazione nel 2000 con Rm~20

23 Dinamo sperimentali -2 Dinamo di Karlsruhe 52 array con cilindro interno a flusso verticale ed esterno con elicità Il sodio è immesso all interno dei cilindri Ha prodotto una dinamo ad autoeccitazione nel 2000 che riproduce la teoria del campo medio

24 Dinamo sperimentali -3 Dinamo 3m Maryland Sferadisodioliquido Ancorain costruzione, ma prometterm~ 680!

25 Dinamo dinamiche Equazioni del sistema B = 2 η + B v B v + v v + 2( Ω v) + 2 Ω Ω r = P αtg + J B + ν v ρ ρ 0 0 v = 0 B = 0 Eq. dell induzione Eq. di Navier-Stokes Incompressibilità Eq. di Maxwell (III) T v 2 T0 κ T Eq. di Fourier + =

26 VL 8 R ν = 10 ν VL 7 Pe = 10 Numero di Peclet k Mp Numeri adimensionali t VL = D m Moto del fluido fortemente turbolento Numero di Raynolds Numero di Massa di Peclet Ec Ro 2 ν v ν = 10 2 ω v L ω v v V = 10 ω v Lω 14 8 Numero di Eckman Numero di Rossby

27 B = 2 η + MAC Waves B v B v P 1 + 2( Ω v) = + g + J B ρ ρ Onde MAC (Magnetiche -Archimedeiche Coriolis) τ MAC = Ωµ ρl B yr / Dell ordine di grandezza della deriva occidentale

28 Modelli numerici Nel 1995 Glatzmeiere Roberts produssero il primo modello numerico di una dinamo ad autoeccitazione con campo prevalentemente dipolare e inversioni

29 Cilindro tangente

30 Cartucciere La dinamo è prodotta dalla convezione nelle colonne di fluido esterne al nucleo interno

31 Meccanismi di auto-sostentamento

32 Simulazioni del campo

33 Età del nucleo interno Un paradosso? Le osservazioni in superficie indicano che il campo magnetico ha ca 3.5 Gyr. Senzala presenzadel nulceointerno, imodelli attualinon sonoin gradodiprodurreunadinamoad autoeccitazione Età del nucleo interno > 3.5Gyr I modellitermicidiraffreddamentodellaterra indicanochela nascitadel nucleointernoè dell ordinedi1gyr, assumendola presenzadipotassioradioattivo, siarrivaal piùa 1.5 Gyr Età del nucleo interno < 1.5Gyr