Cap. 6. Diffusione e trasporto di uno scalare passivo in un moto turbolento

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1 ap. 6. Diffusione e trasporto di uno scalare passivo in un moto turbolento a cura di Luca Dedé Vi sono molti casi di interesse pratico in cui è importante valutare la distribuzione di una quantità scalare, come ad esempio la concentrazione di una sostanza o la temperatura in un fluido in moto. In particolare, risulta interessante studiare, da un punto di vista statistico, la diffusione e il trasporto di tale scalare in un campo di moto turbolento, a partire dai risultati forniti dalla teoria di Kolmogorov per la turbolenza. Se lo scalare in considerazione non ha influenza sulla dinamica del moto del fluido, esso si dice scalare passivo; si noti che la valutazione dell influenza dello scalare sul moto del fluido costituisce un aspetto cruciale per esempio in fluidodinamica sperimentale, in cui nel fluido in moto vengono immessi dei traccianti per scopi di visualizzazione e misura della velocità. Se lo scalare è passivo, alle equazioni di moto del fluido si aggiunge l equazione di diffusione trasporto, per esempio in forma non conservativa: +(v ) α = 0, (6.1) t dove è lo scalare passivo, v è la velocità del fluido e α la diffusività molecolare di nel fluido. Se il numero di Peclét Pe := v l α, dove l è lunghezza caratteristica delle grandi variazioni di, è molto grande (Pe 1) la diffusione è poco rilevante a livello delle grandi scale l, mentre diventa significativa se Pe 1 e Pe < 1. Se inoltre il numero di Reynolds è grande Re 1, allora il flusso è turbolento, vi è separazione delle scale del moto e gli effetti diffusivi sono significativi solo a livello della microscala della turbolenza. La situazione di maggior interesse è perciò quella in cui Pe 1 e Re 1. Se il numero di Reynolds Re è piccolo, il moto del fluido sarà laminare oppure, se turbolento, non sarà ben identificabile la separazione delle scale del moto. Nel seguito si considererà lo studio statistico della distribuzione di uno scalare passivo in un campo di moto turbolento, facendo riferimento a quanto riportato in Davidson (004). Inizialmente verrà affrontato lo studio nelle fluttuazioni locali dello scalare indotte dalla turbolenza, per cui si estenderanno a questo caso i risultati forniti dalla teoria della turbolenza di Kolmogorov. Nel seguito verranno affrontati due problemi legati al tracciamento di una o più particelle nel campo di moto turbolento valutando la distanza percorsa da una particella in un certo tempo dal suo rilascio (problema di Taylor) e l andamento delle dimensioni di una nuvola di punti in funzione del tempo (legge di Richardson). Nella trattazione verranno assunte le seguenti ipotesi: 79

2 APITOLO 6. DIFFUSIONE E TRASPORTO DI UNO SALARE PASSIVO 80 IN UN MOTO TURBOLENTO Figura 6.1: Fluttuazioni locali dello scalare passivo. Re 1 e Pe 1, per cui gli effetti diffusivi sono significativi solo a livello della microscala della turbolenza; campo di velocità medio nullo v = 0 (anche se tale caso si verifica raramente nella realtà permette di semplificare la trattazione statistica che seguirà); turbolenza isotropa e statisticamente stazionaria; fluido incomprimibile ( v = 0). Altre ipotesi aggiuntive verranno specificate per i vari casi in considerazione. 6.1 Fluttuazioni locali dello scalare passivo indotte dalla turbolenza Alcuni risultati interessanti inerenti la diffusione e il trasporto dello scalare passivo in un campo di moto turbolento possono essere ottenuti dall analisi di una situazione particolare, in cui lo scalare, ad un certo istante iniziale, viene distribuito in modo non uniforme all interno del campo di moto (Fig.6.1). L esperienza porta a concludere che dopo un certo tempo lo scalare risulterà uniformemente distribuito all interno del campo di moto, tanto più rapidamente quanto maggiore sarà la turbolenza; tale situazione avviene quando il mescolamento operato dai vortici turbolenti di piccola scala, assieme alla diffusione, elimina le fluttuazioni di. In particolare si è interessati allo studio delle scale spaziali delle fluttuazioni di e al tempo caratteristico per avere mescolamento completo di a partire dalla condizione iniziale di non uniformità. Per la trattazione che seguirà verranno assunte le seguenti ipotesi aggiuntive a quelle definite in precedenza: scalare statisticamente omogeneo e isotropo; = 0, per cui le fluttuazioni implicano valori positivi e negativi per (è un ipotesi conveniente ai fini della trattazione seguente). Una quantità conveniente per la misura della non uniformità dello scalare, e quindi delle fluttuazioni, è costituita dalla varianza di,. A tal proposito, manipolando opportunamente l Eq.(6.1), si puòottenere un equazione di evoluzione per ; moltiplicando entrambi

3 6.1. FLUTTUAZIONI LOALI DELLO SALARE PASSIVO INDOTTE DALLA TURBOLENZA 81 i membri dell Eq.(6.1) per, sommando e sottraendo il termine α e aggiungendo un termine 1 v, essendo v = 0, si ottiene: t +(v ) + 1 v = α +α α, (6.) da cui, riarrangiando i termini: t ( )+ [(1 )v] = [α ] α. (6.3) Applicando l operazione di media all equazione precedente ed osservando che grazie all ipotesi di omogeneità di i termini con la divergenza sono nulli, si ottiene: ( ) d 1 dt = α ; (6.4) tale equazione descrive la diffusione di tra zone a positivo a negativo ed esprime il fatto che le fluttuazioni di vengono distrutte ad un tasso proporzionale a: ε := α, (6.5) per cui ε rappresenta il rateo di distruzione della varianza di, ovvero delle fluttuazioni di. A prima vista la convezione, e quindi la turbolenza, sembra non avere influenza sulla dissipazione di in quanto non entra direttamente nell Eq.(6.5). Tuttavia la convezione e la turbolenza giocano un ruolo fondamentale nella generazione di, per cui, tanto più marcata è la turbolenza, maggiore è il termine ε e quindi la dissipazione delle fluttuazioni di. Questo fenomeno può essere evidenziato con un esempio pratico: si pensi ad esempio di disporre della crema (che rappresenta lo scalare ) al centro di una tazza di caffè. In assenza di moto convettivo la crema diffonde molto lentamente nella tazza; se invece il caffè viene mescolato con un cucchianino, la crema viene dispersa e si formano dei filamenti di crema (più in generale di ) tanto più marcati quanto maggiore è la convezione. Quando tali filamenti sono molto fini la diffusione può finalmente intervenire diffondendo la crema, ovvero dissipando le fluttuazioni di. A questo punto si vuole caratterizzare la scala spaziale delle fluttuazioni di. A questo proposito, definendoη come la lunghezza caratteristica della scala delle più rapide variazioni spaziali di, ovvero l analogo lunghezza caratteristica della microscala di Kolmogorov η per la turbolenza, il rateo di dissipazione della varianza ε può essere stimato come: [ ] (δ)η ε α, (6.6) η dove (δ) η rappresenta la variazione caratteristica di sulla distanza η ; si osservi che η può essere vista come la lunghezza caratteristica alla quale la diffusione e il trasporto di diventano comparabili. Sulla base di queste considerazioni si può ipotizzare che η e ε giochino lo stesso ruolo che η e ε hanno nella teoria della cascata di vortici di Richardson per la turbolenza, dove ε rappresenta il flusso di energia cinetica turbolenta. Ovvero si ipotizza che resti invariato a livello delle scale più grandi della microscala η, per cui la varianza, e quindi le fluttuazioni di, vengono trasportate a livello della scala η, dove vengono dissipate per diffusione ad un rateo ε. Allo stesso modo si ipotizza che a livello delle scale

4 APITOLO 6. DIFFUSIONE E TRASPORTO DI UNO SALARE PASSIVO 8 IN UN MOTO TURBOLENTO maggiori di η i dettagli della cascata siano indipendenti dalla diffusività α. Analogamente alla lunghezza caratteristica della scala integrale della turbolenza l si considera la lunghezza caratteristica delle più grandi variazioni spaziali di, l. Si osservi che tale teoria, anche se non universalmente riconosciuta, ha trovato conferma in alcuni esperimenti. A questo punto si vuole ricavare l analoga della legge dei due terzi di Kolmogorov per lo scalare passivo ; si ricorda tale legge, valida nella banda inerziale η r l per turbolenza isotropa: S (r) = (δv) ε 3r 3. (6.7) Per lo scalare passivo si considera la seguente funzione di struttura: S := (δ) = ((x+r) (x)) (6.8) che grazie all ipotesi di isotropia di è indipendente dall orientazione e dipende spazialmente solo da r (S (r)). Si vuole valutare tale funzione di struttura per lo scalare passivo all interno della banda inerziale convettiva, definita da: η max := max{η,η c } r l min := min{l,l }; (6.9) all interno di tale banda si verificano: la dominanza delle forze d inerzia su quelle viscose (r > η), la dominanza della convezione di sulla diffusione, per cui localmente Pe > 1 (r > η ) e la dipendenza dalle grandi scale solo dal flusso di energia cinetica turbolenta ε e dal rateo di dissipazione delle fluttuazioni di, ε (r < l e r < l ). Quindi, nella banda inerziale-convettiva S dipende solo da r, ε e ε, per cui: sulla base di considerazioni dimensionali ed osservando che: si ottiene: S = f(r,ε,ε ); (6.10) [ε] = V 3 L, [r] = L, [ε ] = α L, [α] = LV, (6.11) S ε ε 1 3r 3, (6.1) dato che ε scala come ; dalla presedente si nota come la legge di Kolmogorov dei due-terzi si estende al caso dello scalare passivo. Più in generale vale la seguente legge per la funzione di struttura dello scalare passivo di ordine p: S p ε p ε p 6 r p 3. (6.13) Si osservi che, pur valendo la legge dei due terzi all interno della banda inerziale convettiva, si può in prima approssimazione, estrapolare il risultato ai limiti della banda, ovvero: (S ) ηmax ε ε 1 3 η 3 max, (S ) l min ε ε 1 3l 3 min. (6.14) A questo punto si vuole determinare la lunghezza caratteristica delle più rapide variazioni spaziali di, ovvero η. A tal proposito risulta conveniente definire il numero di Schmidt come: Sm := ν α, (6.15)

5 6.1. FLUTTUAZIONI LOALI DELLO SALARE PASSIVO INDOTTE DALLA TURBOLENZA 83 ovvero il rapporto tra la viscosità cinematica del fluido e il coefficiente di diffusione dello scalare. Se Sm > 1 la diffusione di è meno efficace della diffusione per vortici, per cui filamenti di sono trasportati dai vortici di piccola scala; al contrario se Sm < 1 la diffusione di avverrà anche a livello dei vortici della scala inerziale. Si osservi che se Sm > 1 si può ipotizzare che η > η, mentre se Sm < 1 si avrà η > η; sinteticamente si scrive: Sm > 1 η max η > η e la banda per η < r < η si dice banda viscosa convettiva; Sm < 1 η max η > η e la banda per η < r < η si dice banda inerziale diffusiva; analogamente se r < η min := min{η,η } la banda è detta viscosa diffusiva. Nel caso in cui Sm > 1 da considerazioni teoriche ed esperimenti numerici si rileva che: η ( α η )1, (6.16) v dove v è la velocità caratteristica della miscroscala di Kolmogorov; dato che in questa banda localmente Re 1, si ha v ν η, per cui: ( α η η ν)1 = η Sm 1. (6.17) Se invece Sm < 1 si ha localmente Pe = v η α 1, essendo v la velocità caratteristica delle fluttuazioni di sulla scala η ; dato che r > η vale u ε 1 3η 1 3, dove u rappresenta la velocità caratteristica dei vortici della banda inerziale, per cui, essendo η > η, si ha: α v ε η 3 η. (6.18) Dato che a livello della microscala di Kolmogorov Re 1, per cui v ν ν3 η, si ha ε, da cui η 4 v νη 1 3 η 4 3 ed infine: ( α 4 η η ν)3 = η Sm 3 4. (6.19) Infine resta da determinare il tempo caratteristico della dissipazione delle fluttuazioni di, ovvero del mescolamento di ; a tal proposito si ipotizzi che l < l. Sulla base di questa ipotesi si ritiene valida la legge dei due terzi per lo scalare passivo, per cui: da cui, essendo ε V 3 l, da analisi dimensionali si ottiene: S ε ε 1 3 l 3, (6.0) ε Vl 1 3 l 3, (6.1) dove, essendo v = 0, V rappresenta la velocità caratteristica dei vortici di larga scala. Riprendendo l Eq.(6.4) si ha: ( d 1 ) = ε Vl 1 3l 3, (6.) dt

6 APITOLO 6. DIFFUSIONE E TRASPORTO DI UNO SALARE PASSIVO 84 IN UN MOTO TURBOLENTO Figura 6.: Diffusione di Taylor: evoluzione della nuvola di particelle rilasciate in modo continuo. da cui il tempo caratteristico del mescolamento è valutabile come: T l1 3l 3 V. (6.3) Se in galleria del vento viene utilizzata una griglia riscaldata per generare turbolenza e fluttuazioni dello scalare si ha l l, per cui: ( d 1 ) V dt l, (6.4) che fornisce un risultato del tutto analogo al rateo di dissipazione di energia in un flusso turbolento che decade liberamente: ( d 1 v ) = ε V v. (6.5) dt l 6. Diffusione di Taylor di una singola particella Il problema di Taylor (191) consiste nel determinare la distanza percorsa in media da una particella quando viene immessa in un campo di moto turbolento. In particolare risulta interessante valutare l andamento di tale distanza in funzione del tempo immediatamente dopo il suo rilascio, per cui l effetto rilevante è dato dalla microscala di Kolmogorov della turbolenza. Tale risultato è importante per alcuni problemi pratici come ad esempio la dispersione di un inquinante emesso in modo continuo in atmosfera (Fig.6.). Per determinare l andamento della distanza percorsa dalla particella in funzione del tempo si può sfruttare l analogia con un problema più semplice, ovvero il problema del cammino casuale o del marinaio ubriaco. Tale problema consiste nel determinare la distanza percorsa in media dalla particella a partire da un punto iniziale dopo un numero N di passi di lunghezza L ognuno in direzione casuale. Sia R N il vettore che indica la posizione assunta dalla particella

7 6.3. PROBLEMA DI RIHARDSON PER LA DIFFUSIONE DI DUE PARTIELLE 85 al passo N e sia L N il vettore che rappresenta lo spostamento di lunghezza L in direzione casuale della particella al passo N, per cui: La distanza al quadrato diventa: R N = R N 1 +L N. (6.6) R N = R N 1 +R N 1 L N +L N, (6.7) da cui mediando ed essendo R N 1 L N = 0 dato che la direzione dello spostamento risulta indipendente dalla posizione assunta dalla particella, si ha: R N = R N 1 +L. (6.8) Procedendo ricorsivamente si ottiene: R N = N L, (6.9) da cui la distanza percorsa in media vale: R N 1 L. (6.30) Si osservi come tale distanza non è nulla pur essendo ogni spostamento in direzione casuale. Analogamente si può supporre che l effetto della turbolenza di piccola scala sulla distanza percorsada unaparticella a partire dal puntodel suo rilascio sia analogo a quello del cammino casuale, per cui: R t 1. (6.31) Tale risultato è confermato da analisi teoriche ed esperimenti, tuttavia non vale per gli istanti di tempo immediatamente dopo il rilascio della particella, per cui: R t, t 0; (6.3) ciò è giustificato dal fatto che per tempi piccoli la particella si muove all incirca con la sua velocità iniziale, per cui R V 0 t. Si osservi che questi risultati possono essere applicati alla valutazione del raggio di una nuvola di uno scalare che viene rilasciato continuamente in un funzione del tempo, almeno finché la dimensione della nuvola non diventa comparabile con quella dei vortici della banda inerziale. 6.3 Problema di Richardson per la diffusione di due particelle Un altro problema consiste nella valutazione della distanza relativa di due particelle immesse in un fluido; tale problema corrisponde a determinare il diametro di una nuvola di particelle (o di ) rilasciate in modo discreto nel tempo, in modo da creare nuvole distinte di particelle (Fig.6.3). In Fig.6.4 si mostra come il diametro della nuvola di particelle venga modificato in presenza di turbolenza. Se il diametro R di tale nuvola è comparabile con la lunghezza caratteristica della microscala della turbolenza η (Fig.6.4 caso A), l effetto sarà sostanzialmente quello di dilatare la nuvola senza perturbarne sostanzialmente la forma originaria. In questo caso

8 APITOLO 6. DIFFUSIONE E TRASPORTO DI UNO SALARE PASSIVO 86 IN UN MOTO TURBOLENTO Figura 6.3: Problema di Richardson: evoluzione delle nuvole di particelle rilasciate in modo discreto. Figura 6.4: Problema di Richardson: effetto dei vortici della microscala (caso A), della scala inerziale (caso B) e di larga scala (caso ) sulla nuvola di punti. l andamento nel tempo del diametro della nuvola può essere determinato in maniera analoga al problema della diffusione di Taylor (Sec.6.), per cui: R t 1. (6.33) Se invece η R l, ovvero se il diametro della nuvola ha dimensione tale da cadere nella banda inerziale, la forma della nuvola verrà perturbata in maniera evidente (Fig.6.4 caso B). Al fine di determinare l andamento del diametro, si ricorda che nella banda inerziale u ε 1 3R3, 1 da cui si deduce che: dr dt u 3R 1 3, ε1 (6.34) da cui: dr ε 1 3R 4 3, (6.35) dt

9 6.3. PROBLEMA DI RIHARDSON PER LA DIFFUSIONE DI DUE PARTIELLE 87 che viene detta legge dei quattro terzi di Richardson; dalla precedente si ottiene infine che il diametro varia nel tempo secondo il seguente legame: R ε t 3. (6.36) Infine, se il diametro assume dimensione comparabile con quella dei vortici di larga scala (anche a causa dei vortici della banda inerziale), l effetto più evidente della turbolenza di grande scala sarà quello di trasportare la nuvola (Fig.6.4 caso ), la cui forma viene al tempo stesso alterata dai vortici di scala più piccola (della banda inerziale e microscala). Per questo motivo si può supporre che il diametro si comporti come nel caso di turbolenza di piccola scala, per cui: R t 1. (6.37)

10 APITOLO 6. DIFFUSIONE E TRASPORTO DI UNO SALARE PASSIVO 88 IN UN MOTO TURBOLENTO