Appunti Corso Matematica I modulo Scienze della Formazione Primaria docente L. Parenti

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1 1 CORSO DI LAUREA IN SCIENZA DELLA FORMAZIONE PRIMARIA CORSO DI MATEMATICA I modulo - a.a. 2008/2009 Docente Laura Parenti COMMENTI ALLE ATTIVITÀ SULLA MISURA E I NUMERI Questi appunti, uniti a quelli contenuti nel documento dal nome Appunti del Corso sono un insieme di riflessioni che tengono conto anche delle discussioni in aula e costituiscono una traccia dei temi trattati nel corso, con particolare attenzione agli aspetti didattici associati. COMMENTI ALLE SCHEDE su NUMERI DECIMALI E MISURA A) PROBLEMI EMERSI ATTORNO AL CONCETTO DI NUMERO E DI MISURA: POSSIBILI INTERVENTI DIDATTICI PER SUPERARLI Carenze emerse sul concetto di numero valore posizionale delle cifre (compreso il ruolo dello zero) 1,27 maggiore di 1,8 perché il numero contiene più cifre, 27 è maggiore di 8. confrontano 27 con 8 e non con 80 perché gli zeri dopo la virgola non contano valore dello zero: zero equivale a niente: interpretazione errata, derivata da una errata interpretazione del concetto insiemistico di insieme vuoto consapevolezza che i numeri dopo la virgola sono sottomultipli (frazioni) dell unità Carenze emerse sul concetto di misura numero che indica quante volte l unità di misura scelta si riporta nella grandezza da misurare quantità di spazi uguali compresi tra l inizio e la fine di un segmento (spesso gli alunni contano le tacche e gli indici numerici, non gli spazi compresi tra le tacche) Possibili interventi didattici Creare contesti significativi per i bambini per iniziare a costruire il significato di numero che, a livello adulto, si può sintetizzare come oggetto matematico costituito da una sequenza finita di cifre, eventualmente preceduta dal segno -, seguita dal segno, e da una successione senza fine di cifre. Per esempio utilizzando: righello (intero/rotto/muto) monete, attività con l Euro cilindro graduato facendo attenzione al suono della pronuncia Ogni strumento e contesto ha vantaggi e svantaggi, sarà l insegnante a metterli in luce Possibili interventi didattici Attività di pre-misura: Contare: quanti passi è lunga l aula, quante matite è lungo il banco, (attività di pre-misura associate al concetto di lunghezza), quanti fogli occorrono per ricoprire il banco (attività di pre-misura associata al concetto di area). Tali attività aiutano a costruire i concetti di: misura come numero che indica quante volte l unità di misura scelta si riporta nella grandezza da misurare unità di misura convenzionale: i passi e le matite differiscono da bambino a bambino, hanno lunghezze diverse. Due banchi lunghi 5 matite possono avere lunghezze reali diverse (dipende dalla lunghezza della matita con cui misuro), da qui la necessità di unità di misura oggettive, uguali per tutti, per capirsi e comunicare a distanza. B) ALCUNI COMMENTI ai problemi emersi attorno al concetto di numero: valore posizionale delle cifre (compreso il ruolo dello zero) 1,27 maggiore di 1,8 perché il numero contiene più cifre, 27 è maggiore di 8. - Errore che deriva dall applicazione errata della regola è maggiore il numero con più cifre, spesso insegnata per i numeri interi. Tale regola è infatti corretta solo per i numeri naturali ma diventa fonte di errore e ostacolo cognitivo se si applica ai numeri decimali. E una delle tante regole che si trovano scritte nei sussidiari (magari tra virgolette) o che il bambino impara per la pratica. Compito dell insegnante è sottolineare, nel passaggio ai decimali, che vale solo per i numeri interi positivi (naturali) e non in generale. - La regola 27 è maggiore di 80 perché gli zeri dopo la virgola non contano evidenzia più errori diversi: carenza del significato posizionale delle cifre, della consapevolezza che i numeri dopo la virgola sono frazioni dell unità e del ruolo della cifra zero.

2 Cifra è un simbolo convenzionale utilizzato per una particolare rappresentazione dei numeri: cifre arabe, romane, ma un numero si può rappresentare con altre convenzioni: suoni, lettere, simboli Il significato posizionale delle cifre, a livello adulto, è evidenziato da successioni del tipo: + a n b n + + a 3 b 3 + a 2 b 2 + a 1 b 1 + a 0 b 0 dove b indica la base di numerazione scelta (cioè il numero di simboli diversi tra loro che possiamo utilizzare per comporre la rappresentazione del numero), noi lavoriamo in base 10 utilizzando 10 cifre distinte: 0, 1, 2, 9. Per i bambini non si costruisce il significato posizionale delle cifre associando alle cifre etichette del tipo u, da,... In questi casi le cifre diventano solo dei segni che corrispondono ad altri segni magici ; occorre costruire la consapevolezza del significato posizionale delle cifre con situazioni di riferimento opportune, cioè dotate di senso per il bambino, con contenuti reali, significativi, accessibili e interessanti. Validi contesti sono il righello, le monete, il cilindro graduato, il suono della pronuncia. valore dello zero: - Alcuni calcolano 1,27 1,8 = 0,47 ". In questi casi il ragionamento sbagliato è del tipo: "7 0 = 7; per fare 2 meno 8 chiedo il prestito all 1, 12-8 = 4; rimane 0 1 che 'non si può fare' quindi è uguale a 0". A molti viene automatico associare al non si può fare lo 0. - gli zeri dopo la virgola non contano, cioè zero equivale a niente, deriva da un interpretazione errata del concetto insiemistico di insieme vuoto. Invece zero è anche zero ordinale è cioè il punto di partenza dei numeri in senso ordinale (indica l estremità del primo spazio da contare sul righello, il primo secondo da cui prendo i tempi di una gara, Occorre che l insegnante evidenzi questa varietà di aspetti che lo zero racchiude in sé. consapevolezza che i numeri dopo la virgola sono frazioni dell unità Spesso a scuola i numeri interi e le frazioni sono trattati separatamente. Ciò dipende dalla scelta dell insegnante di adottare l insiemistica come punto dal quale introdurre il concetto di numero e seguire la classificazione insiemistica dei numeri. E più formativo introdurre attività di pre-misura e misura attraverso le quali i numeri decimali si costruiscono come sottomultipli dell unità di misura scelta. Quindi associare il concetto di numero decimale al concetto di misura. 2 C) POSSIBILI SITUAZIONI DI RIFERIMENTO CHE FAVORISCONO LA COSTRUZIONE DEI CONCETTI DI NUMERO E DI MISURA Analisi del righello e delle monete come strumenti di misura diretta, del cilindro graduato come strumento di misura indiretta per capire loro e loro come strumenti che danno senso a determinati invarianti operatori del concetto di numero decimale e di misura. 1 righello: strumento di misura diretta Righello rotto (vedi foglio di lavoro) E un lavorare sui segmenti (concetto di misura sul versante geometrico): ha un'unità di misura, evidenzia il sistema dell'addizione e della sottrazione (aggiungo/tolgo segmenti) evidenzia la differenza tra contare (le tacche o gli indici numerici delle tacche) e misurare (lo spazio compreso tra le tacche). evidenzia la misura come spazio compreso tra le tacche (devono fare la sottrazione tra l ultimo e il primo indice delle tacche e dividere per il numero di ) potenzia il significato dei numeri decimali, degli ordini di grandezza e delle unità di misura. Righello muto (vedi foglio di lavoro) E un lavorare sui segmenti (concetto di misura sul versante geometrico): attira l attenzione su quante volte l unità di misura è contenuta nel segmento da misurare. Se non ho numeri, sono costretto a ragionare domandandomi: quanti cm ci stanno?, quanti mm. ci stanno? e mi Poiché mancano i numeri, ha sul versante aritmetico e non è gestibile per: - lavorare in scala: riportare

3 3 risponderò ad esempio, 3 cm e 7 mm contandoli potenzia l aspetto operativo delle proprietà (invarianti operatori): conto quanti cm è lungo, aggiungo i mm che avanzano, evidenzia la misura come numero di parti, indipendentemente dagli indici numerici. (non devono fare la sottrazione tra l ultimo e il primo indice delle tacche, come con il righello rotto) potenzia il significato dei numeri decimali, degli ordini di grandezza e delle unità di misura. Gli alunni vedendo tacche lunghe e corte si interrogano sul loro valore potenzia il valore dello zero come punto di partenza per contare misure e leggere misure - fare la sottrazione di misure. 2 le monete: strumento di misura diretta Attività con l Euro consente di dare comunicazione visiva forte ai numeri decimali, agli ordini di grandezza e alle unità di misura. aiuta in modo forte a distinguere il valore posizionale delle cifre: se ho 2,34 (2 monete da 1, 3 monete da 10 cent e 4 monete da 1 cent), i 3 decimi non sono 3 decimi astratti, ma sono decimi che hanno un forte significato sociale convenzionale. Con le monete abbiamo un referente sociale, ma manca una dimensione percettiva legata al vedere, al fare, al toccare. Le dimensioni di una moneta da 1 non corrispondono a quella di 10 monete da 10 cent (a differenza di quanto accade per il righello) 3 cilindro graduato: strumento di misura indiretta Lunghezze e/o capacità (foglio di lavoro ) simili al righello: ha un'unità di misura, evidenzia il sistema dell'addizione e della sottrazione (aggiungo/tolgo acqua) differente dal righello (in cui gli spazi tra le tacche sono sempre cm o mm): come ogni strumento di misura indiretta, occorre interpretare gli spazi tra le tacche in funzione della scala graduata. potenzia il concetto di equivalenza Si può confondere altezza del liquido con capacità (occorre evitare ciò facendo vedere cilindri con basi differenti) D) ALCUNI COMMENTI ATTORNO AL CONCETTO DI MISURA: Alcune grandezze si possono misurare in modo diretto, altre in modo indiretto. Misure dirette: le misure dei segmenti. Infatti, si possono ottenere direttamente con strumenti di misura adeguati (ad esempio usando il righello nel caso di segmenti di pochi cm) Misure indirette si ottengono: leggendo delle lunghezze su una scala graduata: le temperature atmosferiche, con alcuni tipi di termometri; le capacità, con i cilindri graduati; i pesi, con alcuni tipi di bilance, facendo dei calcoli a partire da misure dirette. Per esempio, si pensi alla misura "reale" di un percorso a zig zag ricavato dalla misura di lunghezze su una cartina in scala, moltiplicate per il fattore di scala e poi sommate; un area, Altri esempi e riflessioni didattiche sulle misure indirette: Il peso di una merce è una misura diretta o indiretta? Dipende dal tipo di bilancia. se la bilancia ha due piatti, il peso è una misura diretta perché misuro il peso della merce su un piatto mettendo dei pesi sull'altro piatto e cercando la posizione d equilibrio dei piatti se la bilancia è ad un piatto di tipo analogico (indice-ago che ruota su una scala graduata), il peso è una misura indiretta se la bilancia è ad un piatto di tipo digitale, il peso è una misura indiretta. l'area di una superficie rettangolare è una misura diretta o indiretta? L'area è considerata generalmente una misura indiretta per calcolo. Nell esempio del rettangolo misuro le lunghezze dei lati (quindi misure dirette) e poi le moltiplico tra loro (quindi misura indiretta). Potrebbe diventare diretta? Sì, per

4 esempio una superficie piana si può ricoprire di piastrelle e dare la misura dell'area in numero di piastrelle. In questo caso l area è una misura diretta. Questo esempio è anche un'occasione importante per dare significato al prodotto con i numeri decimali: una piastrella di lati 0,2 m e 0,3 m (ovvero 20 cm e 30 cm) ha area 0,06 m 2 e no 0,6 m 2. Altro metodo di misurazione indiretta. Per superfici piccole e irregolari, si può ricoprire la superficie con pezzi di compensato o con ceci o altro e poi pesare sia il materiale con cui si è ricoperta la superficie (peso totale), sia il materiale con cui si è ricoperta l unità di misura di superficie (per esempio, 1 dm 2 ). Supponiamo di ricoprire un banco rettangolare con cartoncino (o compensato): Peso totale della superficie = 60 g. Peso dell'unità di misura, 1 dm 2, = 5 g. Possiamo allora dire che 60 g. : 5 g. = 12, cioè sono necessarie 12 unità di misura per ricoprire tutto (oppure l unità di misura sta 12 volte nella superficie totale ). Quindi l area della superficie è 12 volte l area dell unità di misura cioè dm 2 = 12 dm 2 La misura è indiretta perché si confrontano (attraverso il rapporto) due pesi e non due superfici. La temperatura è sempre una misura indiretta? Sì anche per i termometri a quadrante circolare (che misurano i gradi centigradi a partire dai gradi sessagesimali dovuti alla rotazione di una lancetta) e per quelli digitali. E) CHE COSA E UN CONCETTO? Secondo la teoria di Vergnaud, un concetto è una terna di insiemi: gli invarianti operatori (per esempio proprietà, regole), le situazioni di riferimento (contesti) e le espressioni linguistiche (linguaggio specifico). Per l'approccio ai concetti matematici si possono evidenziare due piani ideologici (e di scelte pedagogiche) diversi: possiamo utilizzare un approccio slegato dall esperienza esterna alla scuola oppure possiamo partire dall esperienza esterna alla scuola e aiutare i bambini a razionalizzarla, costruendo i concetti utili a tal fine. ANALISI DELLE PROPRIETÀ (invarianti operatori) RIGUARDANTI I NUMERI E LA LORO RAPPRESENTAZIONE SIMBOLICA DECIMALE - POSIZIONALE Gli invarianti operatori principali sono: 1. valore posizionale delle cifre Il valore di una cifra dipende dal numero rappresentato dalla cifra e dalla posizione della cifra nel numero. Dove con cifra intendiamo un simbolo convenzionale utilizzato per una particolare rappresentazione dei numeri: cifre arabe (32), romane (XXXII), Un numero si può rappresentare con altre convenzioni: suoni, lettere (trentadue), simboli. Quindi abbiamo l esempio di un concetto (numero) che si può trovare in diverse situazioni di riferimento, che ha diverse proprietà, che ha diverse rappresentazioni linguistiche (pag. 32, strada numero 32, 32 cm, 32 anni, ) 2. regole del funzionamento della virgola per il posizionamento: - separa la parte intera dalla parte decimale - spostandola a destra si moltiplica il numero per 10, a sinistra si divide per 10 per la sintassi - se la virgola è seguita SOLO da zeri si può omettere - se la virgola è preceduta SOLO da zeri se ne scrive uno soltanto - ogni numero può contenere una sola virgola (conseguenza del fatto che la virgola separa parte intera da parte decimale) 3. tecniche di calcolo (schemi) e comprensione Consideriamo l esempio della sottrazione in colonna. Per eseguire la sottrazione in colonna occorre possedere la tecnica standard (o meglio lo schema) dell incolonnamento dei numeri decimali: bisogna cioè sapere che si devono confrontare centinaia con centinaia, decine con decine, unità con unità (con gli eventuali riporti). Analogamente, per tutte le operazioni aritmetiche occorre conoscere le tecniche standard di calcolo scritto (gli schemi). Nella terminologia di Piaget, ripresa da Vergnaud, uno schema è un comportamento umano, invariante per classi di situazioni simili. Si tratta di quei comportamenti ai quali si arriva per adattamento; sono quei comportamenti che hanno come fondamento le proprietà, cioè gli invarianti operatori dei concetti. Nella padronanza degli schemi di calcolo (tecnica del calcolo scritto della sottrazione, divisione, ) un tempo erano importanti rapidità, efficacia, esecuzione "automatica, senza pensarci troppo". Oggi, con gli strumenti di calcolo disponibili, il problema è completamente ribaltato: occorre molta più comprensione e controllo. Nei programmi del 1985 della scuola elementare si dice che le tecniche di calcolo dovranno essere imparate comprendendole. 4

5 Contesti di riferimento per la comprensione delle operazioni: righello, monete (abaco delle monete) e cilindri graduati sono utili per comprendere somma e differenza; le monete( e l'abaco delle monete) aiutano a capire anche l'operazione di riporto. Tale operazione non è più meccanica ma è prendere in prestito, per esempio, 1 Euro e farlo diventare 10 monete da 10 centesimi. Rallenta il calcolo perché devo pensare a quello che sto facendo, però mi garantisce un riferimento significativo. L'idea è quindi che all'inizio si punti su comprensione e controllo e gradualmente si automatizzi il procedimento. Nell'impostazione di Vergnaud il riferimento al senso deve rimanere permanente nella padronanza dei concetti e l'astrazione va riferita non al concetto ma alla situazione di riferimento (cioè una persona possiede un concetto a livello astratto se è in grado di disporre di situazioni di riferimento caratterizzate da un buon grado di astrazione). Ad esempio, si può chiedere "in quanti modi si può rappresentare 10 con le monete degli Euro e con i numeri?" Ho creato il ponte verso il distacco dal riferimento concreto. 5