Numeri, Gruppi, Polinomi

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1 Alessio Russo Numeri, Gruppi, Polinomi Un introduzione all Algebra II Edizione ARACNE

2 Copyright MMVIII ARACNE editrice S.r.l. via Raffaele Garofalo, 133 A/B Roma (06) ISBN I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: novembre 007 II edizione: settembre 008

3 La vera essenza della Matematica è nella sua libertà. George Cantor

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5 Indice Premessa 5 1 Principio di Induzione e sue Applicazioni Insiemi, relazioni ed applicazioni Numeri Naturali Coefficienti Binomiali Osservazioni finali sul Principio di induzione Aritmetica sui Numeri Interi 3.1 Numeri Interi Divisibilità Massimo Comune Divisore e Minimo Comune Multiplo Numeri Primi e Teorema Fondamentale dell Aritmetica Aritmetica Modulare Congruenza modulo un intero Anello degli interi modulo m Funzione di Eulero ed Equazioni Congruenziali Aritmetica modulare e grandi numeri Piccolo Teorema di Fermat e applicazioni (Crittosistema RSA) Introduzione alla Teoria dei Gruppi Operazioni in un insieme - Semigruppi, Monoidi e Gruppi Sottogruppi Teorema di Lagrange e applicazioni Sottogruppi Normali e Gruppi Quoziente Omomorfismi di Gruppi Gruppi di Permutazioni Azioni di un gruppo e Teorema di Sylow Polinomi Elementi Algebrici e Trascendenti Polinomi in una indeterminata Divisibilità nell anello dei polinomi su un campo Fattorizzazione nell anello dei polinomi su un campo Radici di un polinomio Molteplicità di una radice Fattorizzazione in C[x] e in R[x] Divisibilità e Fattorizzazione in Z[x]

6 4 Indice 6 Ricerca delle radici Campo dei Quozienti e Caratteristica Polinomio minimo ed Estensioni algebriche Campo di spezzamento Risolubilità per radicali e Gruppo di Galois Bibliografia 131 Indice Analitico 13

7 Premessa Questi appunti sono rivolti essenzialmente agli studenti di quei corsi di laurea, quali ad esempio Matematica e Matematica e Informatica, in cui è previsto un insegnamento introduttivo di Algebra. D altra parte, poiché le nozioni trattate sono di largo uso in vari settori della matematica, allora queste note potrebbero essere di qualche utilità anche in quei corsi di laurea di indirizzo scientifico in cui si ha comunque l esigenza di conoscere e di applicare certi concetti di base di tale disciplina. Si è cercato di introdurre l algebra moderna a partire dalla teoria dei numeri. Infatti, i primi tre capitoli sono dedicati rispettivamente, al principio di induzione e a diverse sue applicazioni, all aritmetica dei numeri interi e all aritmetica modulare. Ciò allo scopo di permettere allo studente l acquisizione graduale di nozioni via via più astratte (come ad esempio quella di classe dei resti, quella di struttura algebrica o quella di isomorfismo) motivandole a partire da situazioni a lui ben note. D altra parte, non mancano anche delle applicazioni pratiche degli argomenti sviluppati, come ad esempio il crittosistema RSA, volte a mostrare come l algebra sia utile non solo all interno della matematica. Il quarto capitolo è invece dedicato allo studio delle proprietà elementari dei gruppi, che costituiscono sicuramente uno degli esempi più importanti ed interessanti di struttura algebrica. Nel quinto capitolo vengono presi in esame i polinomi (con particolare riferimento a quelli a coefficienti negli insiemi numerici noti), studiando proprietà di divisibilità e mostrando come per essi sia possibile sviluppare un aritmetica per certi versi simile a quella degli interi. Rispetto alla prima edizione si è aggiunto un paragrafo alla fine del quarto capitolo concernente le azioni di un gruppo su un insieme con un applicazione alla dimostrazione del teorema di Sylow, uno dei risultati più importanti della teoria dei gruppi finiti. Inoltre, la parte riguardante i polinomi è stata ampliata con un capitolo (il sesto ed ultimo del libro) che costituisce un introduzione elementare alla teoria di Galois. La trattazione, spesso arricchita da riferimenti storici, è corredata da numerosi esercizi (circa duecento in questa edizione), molti dei quali completamente risolti, che consentono non solo una verifica puntuale di quanto studiato, ma spesso, costituiscono un approfondimento di problematiche appena accennate nella teoria. Sono naturalmente in debito verso tutte quelle persone che con le loro osservazioni e suggerimenti mi daranno la possibiltà di migliorare questo lavoro. Alessio Russo

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9 Capitolo 1 Principio di Induzione e sue Applicazioni 1.1 Insiemi, relazioni ed applicazioni In questo paragrafo iniziale saranno richiamate rapidamente alcune nozioni elementari di Teoria degli Insiemi utili per il seguito. Il lettore desideroso di approfondire le proprie conoscenze di tali argomenti può far riferimento, tra molti altri validi testi, ad uno dei volumi [], [4], [5] e [8], che spesso sono stati utilizzati nella stesura di queste note. Assumeremo come primitivi i concetti di insieme, elemento ed appartenenza. Dato un insieme S, con la scrittura a S intendiamo che a è un elemento di S, mentre a / S significa che a non appartiene a S. Un insieme può essere definito elencando i suoi elementi fra due parentesi graffe come {x, y, z}, oppure mediante una proprietà caratteristica (cioè soddisfatta da tutti e soli i suoi elementi). Ad esempio, se P è la proprietà essere una vocale dell alfabeto italiano, allora resta determinato l insieme {x x verifica P} = {a, e, i, o, u}. È interessante notare che non ogni proprietà pensabile determina un insieme. Ad esempio, non può esistere l insieme costituito dagli insiemi che non contengono se stessi come elementi (Antinomia di Russell). Infatti, supponiamo per assurdo che un tale insieme esista, e diciamolo R. Allora si arriva subito ad una contraddizione non appena ci chiediamo se R appartiene o meno a se stesso. Queste considerazioni mostrano che quando si studiano gli insiemi seguendo un approccio non formale (come si dice, ingenuo), allora bisogna procedere con una certa cautela, evitando l uso di proprietà non ragionevoli per definire un insieme. Per generiche collezioni di oggetti si preferisce la parola classe in luogo di quella di insieme. Così si parlerà della classe di tutti gli insiemi, in quanto si prova (Antinomia di Cantor) che essa non è un insieme. Siano S e T insiemi. Diremo che S è un sottoinsieme (o parte) di T, e scriveremo S T, se non esiste alcun elemento di S che non appartenga a T. Se S T e T S, allora S e T hanno esattamente gli stessi elementi. Essi sono detti uguali, e si scrive S = T. Ricordiamo anche la notazione S T che sta ad indicare che S T e S T (in tal caso, si dice che S è un sottoinsieme proprio di T ). Se P è una proprietà che risulta falsa per ogni elemento x, come ad esempio x x, allora si conviene che essa determini un insieme privo di elementi, detto un insieme vuoto. Osserviamo che se E è un insieme vuoto, allora E S per ogni insieme S; in caso contrario esisterebbe un elemento di E che non appartiene a S, il che è chiaramente falso. Come conseguenza di ciò, abbiamo che se E ed E sono insiemi vuoti, allora E E e E E, e quindi E = E. Dunque, esiste un unico insieme vuoto. Esso si denota col simbolo. Se S è un insieme, nel seguito denoteremo col simbolo P (S) l insieme di tutti i sottoinsiemi di S. Chiaramente P (S) per ogni insieme S. Siano S e T insiemi. Allora a partire da essi possiamo definire i seguenti insiemi: S T = {x x S e x T },

10 8 1 PRINCIPIO DI INDUZIONE E SUE APPLICAZIONI e S T = {x x S o x T } S \ T = {x x S e x / T }. Essi si chiamano rispettivamente, intersezione, unione e differenza di S e T. proprietà che si dimostrano subito a partire dalle definizioni ora date. Siano S, T, V insiemi. Allora: S T = T S e S T = T S (leggi commutative). Elenchiamo ora alcune (S T ) V = S (T V ) e (S T ) V = S (T V ) (leggi associative). S (S T ) = S = S (S T ) (leggi di assorbimento). S (T V ) = (S T ) (S V ) e S (T V ) = (S T ) (S V ) (leggi distributive). S \ (T V ) = (S \ T ) (S \ V ) e S \ (T V ) = (S \ T ) (S \ V ) (leggi di De Morgan). Siano ora x ed y elementi. Si chiama coppia ordinata di prima coordinata x e seconda coordinata y, e si denota col simbolo (x, y), l insieme {{x}, {x, y}}. È facile dimostrare che due coppie ordinate (x 1, y 1 ) e (x, y ) sono uguali se e solo se x 1 = y 1 e x = y. Siano S e T insiemi. Si dice prodotto cartesiano di S e T, e si denota col simbolo S T, l insieme {(x, y) x S, y T }. In particolare, se S = T, il prodotto cartesiano S S vien detto quadrato cartesiano di S e si indica col simbolo S. Il prodotto cartesiano è molto importante perché consente di introdurre il concetto di corrispondenza, che ha come casi particolari le nozioni di applicazione, di relazione di equivalenza e di relazione d ordine. Precisamente, se S e T sono insiemi non vuoti, si dice corrispondenza tra S e T ogni coppia R del tipo (S T, G) dove G è un sottoinsieme di S T, detto grafico di R. Sia R = (S T, G) una corrispondenza fra gli insiemi non vuoti S e T. Se x S e y T, si dice che l elemento x è nella corrispondenza R con y, e si scrive xry, se (x, y) G. Pertanto, G = {(x, y) S T xry}. Sono esempi di corrispondenze fra insiemi non vuoti S e T la corrispondenza vuota (S T, ) e la corrispondenza totale (S T, S T ). Se S e T sono insiemi non vuoti, un applicazione di S in T è una corrispondenza f = (S T, G) tale che per ogni x S il grafico G di f contiene una ed una sola coppia di prima coordinata x, cioè se esiste un unico y T tale che xfy. Se f è un applicazione di S in T, si usa la notazione f : S T. Gli insiemi S e T si dicono rispettivamente, dominio (o insieme di definizione) e codominio dell applicazione. Se x S, allora l unico elemento y T tale che xfy si denota con f(x), e si dice immagine di x tramite f. Facciamo qualche esempio di applicazione. Sia S un insieme non vuoto. L applicazione ι S : x S ι S (x) = x S si dice applicazione identica di S. Siano S e T insiemi non vuoti, e si fissi un elemento c T. Allora l applicazione f : x S f(x) = c T si dice applicazione costante di punto fisso c. Un applicazione f : S T si dice iniettiva se per ogni x 1, x S tali che f(x 1 ) = f(x ), risulta x 1 = x. L applicazione identica di qualunque insieme è ovviamente iniettiva. Inoltre, dato un insieme S, è iniettiva anche l applicazione g : x S {x} P (S).

11 1.1 Insiemi, relazioni ed applicazioni 9 Sia f : S T un applicazione, e sia X un sottoinsieme di S. Resta allora definito il sottoinsieme f(x) di T costituito dalle immagini tramite f di tutti gli elementi di X. L applicazione f si dice suriettiva se f(s) = T, cioè se per ogni y T esiste almeno un elemento x S tale che f(x) = y. L applicazione identica di un qualunque insieme è chiaramente suriettiva, mentre quella costante lo è se e solo se il suo codominio è costituito dal solo punto fisso. Siano S e T insiemi non vuoti. Allora l applicazione f : (x, y) S T x S è suriettiva, ma non è iniettiva non appena T ha almeno due elementi. Riguardo alle applicazioni suriettive è interessante segnalare un notevole teorema di Cantor che assicura che dato un insieme non vuoto S non esiste nessuna applicazione suriettiva di S in P (S). Infine, ricordiamo che un applicazione f : S T si dice biettiva se essa è iniettiva e suriettiva, cioè se per ogni y T esiste un unico x S tale che f(x) = y. In tal caso, si dice anche che gli insiemi S e T sono equipotenti. Se f : S T è un applicazione biettiva, allora resta definita l applicazione g : T S che ad ogni y T associa l unico elemento x S tale che f(x) = y. L applicazione g si dice inversa di f, e si denota col simbolo f 1. Sia S un insieme non vuoto. Si dice relazione binariain S una qualunque corrispondenza R = (S, G). Le più importanti relazioni binarie sono quella di equivalenza e quella d ordine. Precisamente, una relazione binaria R = (S, G) in un insieme S si dice di equivalenza se verifica le seguenti proprietà: xrx per ogni x S (riflessiva). Se x e y sono elementi di S tali che xry, allora si ha yrx (simmetrica). Se x, y e z sono elementi di S tali che xry e yrz, allora xrz (transitiva). Invece, R si dice relazione d ordine se è riflessiva, transitiva e per ogni x, y S tali che xry e yrx, risulta x = y (proprietà asimmetrica). Ovviamente, se S è un insieme non vuoto l applicazione identica ι S di S è una relazione di equivalenza, detta uguaglianza in S. Inoltre, un esempio notevole di relazione di equivalenza che sarà ampiamente studiato nel Capitolo 3, è dato dalla cosiddetta congruenza modulo un numero intero che è definita al modo seguente. Sia m un numero intero. Allora due qualunque numeri interi a e b si dicono congrui modulo m, e si scrive a m b (oppure a b(modm)), se esiste un intero t tale che a b = mt. Sia R = (S, G) una relazione di equivalenza in un insieme non vuoto S. Allora per ogni x S resta determinato il sottoinsieme [x] R = {y S xry} di S, detto classe di equivalenza di x rispetto a R. Non è difficile dimostrare che l insieme di tutte le classi di equivalenza degli elementi di S rispetto a R (detto insieme quoziente e denotato col simbolo S/R) costituisce una partizione di S (si ricorda che una partizione di un insieme non vuoto S è un insieme di parti non vuote di S a due a due disgiunte e tali che la loro unione coincide con S). Sia R = (S, G) una relazione d ordine in un insieme non vuoto S, e siano x e y elementi di S. Per convenzione si pone x y (oppure y x) se e solo se xry. Pertanto, dalla definizione si ottiene x x per ogni x S. Se x e y sono elementi di S tali che x y e y x, allora x = y. Se x, y e z sono elementi di S tali che x y e y z, allora x z. Inoltre, se x, y S, con la scrittura x < y si intende che x y e x y. Quando in un insieme non vuoto S è definita una relazione d ordine, allora la coppia (S, ) si dice insieme ordinato. Sia

12 10 1 PRINCIPIO DI INDUZIONE E SUE APPLICAZIONI S un insieme non vuoto. Per ogni X, Y P (S) poniamo X Y se e solo se X Y. Allora la coppia (P (S), ) è un insieme ordinato. Sia (S, ) un insieme ordinato, e siano x e y elementi di S. Si dice che x e y sono confrontabili se x y oppure y x. In particolare, se due qualunque elementi di S sono confrontabili, allora (S, ) si chiama insieme totalmente ordinato (o catena). Ad esempio, sia S = {a, b, c, d, e}. Allora (P (S), ) non è totalmente ordinato, mentre l insieme ({{a}, {a, b}, {a, b, c}}, ) lo è. Ricordiamo poi, che se (S, ) è un insieme ordinato, si dice minimo (rispettivamente, massimo) di S un elemento m, se esiste, di S tale che m x (rispettivamente, x m) per ogni x S. In tal caso, si scrive m = mins (rispettivamente, m = maxs). Ovviamente, se S è un insieme, allora l insieme ordinato (P (S), ) possiede il minimo ed il massimo che sono rispettivamente, e S. D altra parte, osserviamo che se S ha almeno due elementi, allora l insieme ordinato (P (S) \ {, S}, ) è privo di minimo e di massimo. Un insieme ordinato (S, ) si dice bene ordinato se ogni parte non vuota di S è dotata di minimo. Si prova subito che ogni insieme bene ordinato è totalmente ordinato. Si dimostra poi che in ogni insieme non vuoto è possibile definire una relazione di buon ordine. Tale risultato, noto come teorema di Zermelo, è equivalente ad una importante proposizione della teoria degli insiemi, l assioma della scelta. Sia (S, ) un insieme ordinato, e sia X un sottoinsieme non vuoto di S. Un elemento a S si dice minorante (rispettivamente, maggiorante) di X se per ogni x X risulta a x (rispettivamente, x a). Il sottoinsieme X si dice inferiormente limitato (rispettivamente, superiormente limitato) se possiede almeno un minorante (rispettivamente, un maggiorante). Se X è una parte inferiormente limitata (rispettivamente, superiormente limitata) di un insieme ordinato (S, ), allora l eventuale massimo dei minoranti (rispettivamente, l eventuale minimo dei maggioranti) di X si dice estremo inferiore (rispettivamente, estremo superiore) di X. Infine, un insieme ordinato (S, ) si dice completo se ogni sua parte superiormente limitata ammette estremo superiore. Non è difficile dimostrare che (S, ) è completo se e solo se ogni parte inferiormente limitata di S ammette estremo inferiore. Ad esempio, se S è un insieme, allora l insieme ordinato (P (S), ) è completo. 1. Numeri Naturali Nell impostazione assiomatica della teoria degli insiemi si assume l esistenza di un insieme infinito (cioè di un insieme non vuoto che sia equipotente ad una sua parte propria). Si può dimostrare (cfr.[4], Teorema 1.11.) che questa affermazione, nota come assioma di Cantor, è equivalente a quella che asserisce l esistenza di un insieme naturalmente ordinato privo di massimo. Ricordiamo che se S è un insieme non vuoto, una relazione d ordine in S si dice relazione d ordine naturale se ogni parte non vuota di S è dotata di minimo e, se superiormente limitata, anche di massimo. In tal caso, la coppia (S, ) si dice insieme naturalmente ordinato. Sia (S, ) un insieme naturalmente ordinato, e sia x S \ {maxs}. Si chiama successivo di x, e si denota col simbolo succ x, l elemento di S così definito: succ x = min{y S x < y}. Se invece x S \ {mins}, si dice precedente di x, e si denota col simbolo prec x, l elemento di S così definito: prec x = max{y S y < x}. Ovviamente, se x S \ {mins}, allora risulta succ(prec x) = x, mentre se x S \ {maxs}, si ha prec(succ x) = x. Da ciò segue subito che se x 1, x S \ {maxs} e succ x 1 = succ x, allora x 1 = x. È interessante notare che se (S, ) e (S, ) sono insiemi naturalmente ordinati privi di massimo, allora si prova che esiste un unica applicazione biettiva e crescente (detta similitudine) di S in S

13 1. Numeri Naturali 11 (cfr. [4], Teorema ). D altra parte, una simitudine f : S S fra insiemi naturalmente ordinati privi di massimo (S, ) e (S, ) si caratterizza mediante le proprietà f(mins) = mins e f(succ x) = succ f(x) per ogni x S (cfr. [4], Lemma ). Pertanto, una similitudine fra insiemi naturalmente ordinati e privi di massimo mostra che insiemi siffatti sono dal punto di vista strutturale equivalenti. Fissiamo, una volta per tutte, un insieme naturalmente ordinato e privo di massimo che denoteremo col simbolo (N 0, ). Gli elementi di N 0 saranno chiamati numeri naturali, mentre la relazione si dice relazione d ordine naturale in N 0, e si pone: 0 = minn 0 (zero) 1 = succ 0 (uno). Inoltre, per ogni n N 0 si pone n + 1 = succ n, e se n 0, allora n 1 = prec n. Infine, si ponga N = N 0 \ {0}. Ovviamente, (N, ) è naturalmente ordinato e privo di massimo, e per quanto detto in precedenza, esiste un unica similitudine di N 0 in N, che è chiaramente l applicazione f : n N 0 succ n N. In particolare, N 0 è infinito. Sia n N, e si ponga I n = {1,,..., n}. Si dimostra (cfr. [4], Teorema 1.1.6) che se X è un insieme non vuoto finito (cioè non equipotente a nessuna sua parte propria), allora esiste un unico n N tale che X è equipotente a I n. Il numero n si dice ordine di X, e si scrive X = n. Infine, si ricorda che un insieme S si dice numerabile se è equipotente a N. Non è questa la sede per studiare in modo rigoroso l aritmetica in N 0 (a tale scopo si può consultare [4]). Invece, riflettiamo sul fatto che dalla definizione di insieme naturalmente ordinato si ha che ogni parte non vuota di N 0 ha minimo. D ora in poi, tale proprietà di N 0 sarà per noi un assioma. 1.1 (Principio del buon ordinamento) Sia X un sottoinsieme non vuoto di N 0. Allora X ha minimo. In altre parole, N 0 è bene ordinato. Si utilizzerà la 1.1 per provare il seguente fondamentale risultato. 1. (Principio di induzione) Siano k N 0 e U = {n N 0 k n}. Sia poi X un sottoinsieme di U tale che (i) k X; (ii) ogni volta che X contiene un naturale n, allora anche n + 1 X. Allora X = U. Dimostrazione Per assurdo, sia X U. Allora l insieme Y = U \ X è non vuoto, e quindi per 1.1 esiste il minimo m di Y. Per (i) m k, sicché m 1 U, e per la minimalità di m, si ha m 1 X. La (ii) allora comporta che m = (m 1) + 1 X. Questa contraddizione prova che X = U. Il Principio di induzione è uno strumento dimostrativo molto utile. Vediamo come può essere utilizzato. Sia k un fissato numero naturale e si assuma che per ogni naturale n k ci sia una proposizione P n che è vera o falsa. Inoltre, si abbia La nozione di ordine può essere generalizzata ad un arbitrario insieme. Ciò si ottiene considerando la relazione di equipotenza in un insieme U di insiemi, che è chiaramente, una relazione di equivalenza. Se S è un elemento di U, si dice ordine (o numero cardinale) di S, e si denota ancora col simbolo S, la classe di equivalenza di S rispetto alla relazione di equipotenza. Poiché, come si è ricordato, se S è finito, allora esiste un unico n tale che S è equipotente a I n, allora è naturale identificare n con l ordine di S.

14 1 1 PRINCIPIO DI INDUZIONE E SUE APPLICAZIONI (i) P k è vera; (ii) se P n è vera, allora anche P n+1 è vera. Allora possiamo concludere che P n è vera per ogni n k. Infatti, si ponga X = {n N 0 k n e P n è vera}. Ovviamente X verifica le ipotesi del Principio di induzione e quindi X = {n N 0 k n}. Prima di fare qualche esempio, ricordiamo che i punti (i) e (ii) di 1. si dicono rispettivamente, base induttiva e passo induttivo. Essi rappresentano i due momenti di una qualunque dimostrazione per induzione. Ad esempio, per ogni naturale n si consideri la proposizione seguente: P n : La somma degli angoli interni di un poligono convesso di n + lati è n angoli piatti. Proviamo che tale affermazione è vera per ogni n N. A tale scopo, si ponga X = {n N P n è vera}. Dalla geometria sappiamo che P 1 è vera (perché la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto). Si supponga poi che P n sia vera (cioè che n X), e mostriamo che anche P n+1 è vera. Ovviamente, il poligono convesso di n + 3 lati è almeno un quadrilatero. Indichiamo con A 1, A,..., A n, A n+1, A n+, A n+3 i vertici di tale poligono tali che per ogni i {1,,..., n + 3} A i e A i+1 siano consecutivi. Si consideri la diagonale A 1 A n+. Allora, per il passo induttivo, la somma degli angoli interni del poligono (di n + lati) A 1 A... A n+ è data da n angoli piatti. D altra parte, la somma degli angoli interni del triangolo A 1 A n+ A n+3 è un angolo piatto, e perciò P n+1 è vera (cioè n + 1 X). Per la 1. P n è vera per ogni n N. 1.3 (Somma dei primi n numeri naturali) Per ogni n N, la somma n dei primi n numeri naturali è data da n(n+1). Dimostrazione Per ogni n N, si denoti con P n l affermazione La somma n è uguale a n(n+1). Si ponga poi X = {n N P n è vera}. Ovviamente, 1 X, in quanto 1(1+1) = 1. Sia poi n un numero naturale tale che n X, e mostriamo che anche n + 1 X. Si ha: n + (n + 1) = = n(n + 1) + (n + 1) n(n + 1) = + (n + 1) = (n + 1)(n + ). Dunque, anche P n+1 è vera, cioè n + 1 X. Allora, per 1. è X = N. La 1.3 può essere utilizzata per dedurre la formula della somma dei primi n + 1 numeri di una progressione aritmetica a + (a + d) + (a + d) (a + nd) +... Si ha infatti 1.4 a + (a + d) + (a + d) (a + nd) = = (n + 1)a + ( n)d = (n + 1)a + = (a + nd)(n + 1). n(n + 1) d = In altre parole, si sommano il primo e l ultimo termine, si moltiplica il risultato per il numero dei termini e si divide infine per. Ovviamente 1.3 è un caso particolare di (Somma dei primi n numeri naturali dispari) Per ogni n N, la somma n 1 dei primi n numeri naturali dispari è data da n.