Esponenziazione rapida con le catene di addizione/sottrazione
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- Evelina Lamberti
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1 Esponenziazione rapida con le catene di addizione/sottrazione Ottavio G. Rizzo Università di Milano Parma, 14 novembre 2003 p.1/28
2 Addizioni Sia E un monoide additivo e supponiamo di voler calcolare 12P dove P E. Parma, 14 novembre 2003 p.2/28
3 Addizioni Sia E un monoide additivo e supponiamo di voler calcolare 12P dove P E. Il metodo più ovvio è calcolare 12P = P + P + + P }{{} 12 volte Parma, 14 novembre 2003 p.2/28
4 Addizioni Sia E un monoide additivo e supponiamo di voler calcolare 12P dove P E. Il metodo più ovvio è calcolare 12P = P + P + + P }{{} 12 volte È chiaro, però, che undici addizioni sono troppe: possiamo ad esempio calcolare 12P = P Parma, 14 novembre 2003 p.2/28
5 Addizioni Sia E un monoide additivo e supponiamo di voler calcolare 12P dove P E. Il metodo più ovvio è calcolare 12P = P + P + + P }{{} 12 volte È chiaro, però, che undici addizioni sono troppe: possiamo ad esempio calcolare 12P = 2P Parma, 14 novembre 2003 p.2/28
6 Addizioni Sia E un monoide additivo e supponiamo di voler calcolare 12P dove P E. Il metodo più ovvio è calcolare 12P = P + P + + P }{{} 12 volte È chiaro, però, che undici addizioni sono troppe: possiamo ad esempio calcolare 12P = 2P + P Parma, 14 novembre 2003 p.2/28
7 Addizioni Sia E un monoide additivo e supponiamo di voler calcolare 12P dove P E. Il metodo più ovvio è calcolare 12P = P + P + + P }{{} 12 volte È chiaro, però, che undici addizioni sono troppe: possiamo ad esempio calcolare 12P = 2(2P + P) Parma, 14 novembre 2003 p.2/28
8 Addizioni Sia E un monoide additivo e supponiamo di voler calcolare 12P dove P E. Il metodo più ovvio è calcolare 12P = P + P + + P }{{} 12 volte È chiaro, però, che undici addizioni sono troppe: possiamo ad esempio calcolare 12P = 2 ( 2(2P + P) ) con solo tre raddoppi ed un addizione. Parma, 14 novembre 2003 p.2/28
9 Somma e raddoppia Questo metodo di moltiplicazione si chiama somma e raddoppia. Parma, 14 novembre 2003 p.3/28
10 Somma e raddoppia Questo metodo di moltiplicazione si chiama somma e raddoppia. poni n = (n λ n λ 1 n 0 ) 2, Q = P mentre i = (λ 1)...0: poni Q = 2Q se n i = 1: poni Q = Q + P Parma, 14 novembre 2003 p.3/28
11 Somma e raddoppia Questo metodo di moltiplicazione si chiama somma e raddoppia. poni n = (n λ n λ 1 n 0 ) 2, Q = P mentre i = (λ 1)...0: poni Q = 2Q se n i = 1: poni Q = Q + P Ad esempio: se n = 12 = Q = 2P Q = 6P Q = 12P Q = P Q = 3P Parma, 14 novembre 2003 p.3/28
12 Somma e raddoppia: analisi I Dato n = (n λ n 0 ) 2 con n λ = 1 poniamo: λ(n) = log 2 (n), la lunghezza di n w(n) = #{n i = 1}, il peso di Hamming di n Parma, 14 novembre 2003 p.4/28
13 Somma e raddoppia: analisi I Dato n = (n λ n 0 ) 2 con n λ = 1 poniamo: λ(n) = log 2 (n), la lunghezza di n w(n) = #{n i = 1}, il peso di Hamming di n Se R è il costo di un raddoppio ed S quello di una somma, il costo totale è c(n) = c R (n)r + c S (n)s dove c R (n) = λ(n), c S (n) = w(n) 1 Parma, 14 novembre 2003 p.4/28
14 Somma e raddoppia: analisi II Poniamo C(e) = 2 e 2 e 1 n=0 c(n) C (e) = 2 1 e 2 e 1 n=2 e 1 c(n) = 2C(e) C(e 1) e analogamente per C R, C R, C S e C S. Parma, 14 novembre 2003 p.5/28
15 Somma e raddoppia: analisi II Poniamo C(e) = 2 e 2 e 1 n=0 c(n) C (e) = 2 1 e 2 e 1 n=2 e 1 c(n) = 2C(e) C(e 1) e analogamente per C R, C R, C S e C S. Chiaramente C R (e) = e 1 Parma, 14 novembre 2003 p.5/28
16 Somma e raddoppia: analisi II Poniamo C(e) = 2 e 2 e 1 n=0 c(n) C (e) = 2 1 e 2 e 1 n=2 e 1 c(n) = 2C(e) C(e 1) e analogamente per C R, C R, C S e C S. Chiaramente mentre C R (e) = 1 e 1 2 e C R (e) = e 1 i=1 i2 i = e e 1 Parma, 14 novembre 2003 p.5/28
17 Somma e raddoppia: analisi III Se λ(n) = e 1, scriviamo n = 2 e 1 + n con λ(n ) < e 1. Parma, 14 novembre 2003 p.6/28
18 Somma e raddoppia: analisi III Se λ(n) = e 1, scriviamo n = 2 e 1 + n con λ(n ) < e 1. Quindi c S (2 e 1 ) = 0 mentre c S (n) = 1 + c S (n ) se n 0. Parma, 14 novembre 2003 p.6/28
19 Somma e raddoppia: analisi III Se λ(n) = e 1, scriviamo n = 2 e 1 + n con λ(n ) < e 1. Quindi c S (2 e 1 ) = 0 mentre c S (n) = 1 + c S (n ) se n 0. Segue che C S (e) = C S (e 1) + 1 2, C(2) = 0 Parma, 14 novembre 2003 p.6/28
20 Somma e raddoppia: analisi III Se λ(n) = e 1, scriviamo n = 2 e 1 + n con λ(n ) < e 1. Quindi c S (2 e 1 ) = 0 mentre c S (n) = 1 + c S (n ) se n 0. Segue che C S (e) = C S (e 1) + 1 2, C(2) = 0 Svolgendo la definizione ricorsiva: C S (e) = e 2 1, C S (e) = e 1 2 Parma, 14 novembre 2003 p.6/28
21 Somma e raddoppia: analisi IV Infine: C (e) = (e 1)R + e 1 2 S Parma, 14 novembre 2003 p.7/28
22 Somma e raddoppia: analisi IV Infine: C (e) = (e 1)R + e 1 2 S Il costo dei raddoppi (e 1)R è ineliminabile Parma, 14 novembre 2003 p.7/28
23 Somma e raddoppia: analisi IV Infine: C (e) = (e 1)R + e 1 2 S Il costo dei raddoppi (e 1)R è ineliminabile Il costo delle somme e 1 2 S è migliorabile Parma, 14 novembre 2003 p.7/28
24 Catene di addizione Parma, 14 novembre 2003 p.8/28
25 Catene di addizione Una catena d addizione per n N è: a 0, a 1,..., a l dove a 0 = 1, a l = n e, se i 1, a i = a j + a k con j, k < i Parma, 14 novembre 2003 p.9/28
26 Catene di addizione Una catena d addizione per n N è: a 0, a 1,..., a l dove a 0 = 1, a l = n e, se i 1, a i = a j + a k con j, k < i Ad esempio: 1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 6 = 3 + 3, 12 = Parma, 14 novembre 2003 p.9/28
27 Catene di addizione Una catena d addizione per n N è: a 0, a 1,..., a l dove a 0 = 1, a l = n e, se i 1, a i = a j + a k con j, k < i Ad esempio: 1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 6 = 3 + 3, 12 = Per motivi pratici, c interessano catene di addizioni in cui, fissato J Z finito (precalcoli) { 2a i 1 raddoppi a i = a i 1 + a j, j J somme Parma, 14 novembre 2003 p.9/28
28 Catene di addizione Una catena d addizione per n N è: a 0, a 1,..., a l dove a 0 = 1, a l = n e, se i 1, a i = a j + a k con j, k < i Ad esempio: 1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 6 = 3 + 3, 12 = Per motivi pratici, c interessano catene di addizioni in cui, fissato J Z finito (precalcoli) { 2a i 1 raddoppi a i = a i 1 + a j, j J somme «Somma e raddoppia» è una catena d addizione con J = {1}: cioè nessun precalcolo. Parma, 14 novembre 2003 p.9/28
29 Lunghezza delle catene Dato n, vogliamo trovare una catena 1, a 1,..., a l = n di lunghezza minima l(n). Parma, 14 novembre 2003 p.10/28
30 Lunghezza delle catene Dato n, vogliamo trovare una catena 1, a 1,..., a l = n di lunghezza minima l(n). Abbiamo: a i 2 i, quindi l(n) λ(n) Parma, 14 novembre 2003 p.10/28
31 Lunghezza delle catene Dato n, vogliamo trovare una catena 1, a 1,..., a l = n di lunghezza minima l(n). Abbiamo: a i 2 i, quindi l(n) λ(n) l(n) λ(n) + w(n) 1: somma e raddoppia Parma, 14 novembre 2003 p.10/28
32 Lunghezza delle catene Dato n, vogliamo trovare una catena 1, a 1,..., a l = n di lunghezza minima l(n). Abbiamo: a i 2 i, quindi l(n) λ(n) l(n) λ(n) + w(n) 1: somma e raddoppia l(n) [Brauer, 39] lim n λ(n) = 1 Parma, 14 novembre 2003 p.10/28
33 Lunghezza delle catene Dato n, vogliamo trovare una catena 1, a 1,..., a l = n di lunghezza minima l(n). Abbiamo: a i 2 i, quindi l(n) λ(n) l(n) λ(n) + w(n) 1: somma e raddoppia l(n) [Brauer, 39] lim n λ(n) = 1 [Erdős, 60] Per quasi ogni n, l(n) è asintotica a λ(n) + λ(n) λ ( λ(n) ) Parma, 14 novembre 2003 p.10/28
34 Catene in pratica Applicazioni pratiche: Fattorizzazione su N Crittografia Parma, 14 novembre 2003 p.11/28
35 Catene in pratica Applicazioni pratiche: Fattorizzazione su N Monoide: Campi finiti Crittografia Curve ellittiche Parma, 14 novembre 2003 p.11/28
36 Catene in pratica Applicazioni pratiche: Fattorizzazione su N Monoide: Campi finiti Hardware: Calcolatori Crittografia Curve ellittiche Smart card Parma, 14 novembre 2003 p.11/28
37 Catene in pratica Applicazioni pratiche: Fattorizzazione su N Monoide: Campi finiti Hardware: Calcolatori Crittografia Curve ellittiche Smart card Requisiti diversi! Parma, 14 novembre 2003 p.11/28
38 Altri algoritmi Parma, 14 novembre 2003 p.12/28
39 Espansione 2 k -aria precalcola tp per t = k 1 poni n = (n Λ n Λ 1 n 0 ) 2 k, Q = n Λ P mentre i = (Λ 1)...0: poni Q = 2 k Q se n i 0: poni Q = Q + n i P Parma, 14 novembre 2003 p.13/28
40 Espansione 2 k -aria precalcola tp per t = k 1 poni n = (n Λ n Λ 1 n 0 ) 2 k, Q = n Λ P mentre i = (Λ 1)...0: poni Q = 2 k Q se n i 0: poni Q = Q + n i P Ad esempio: se k = 3 e n = 229 = = = = = 5 Q = 8 3P = 24P Q = 8 28P = 224P Q = 3P Q = (4 + 24)P = 28P Q = ( )P = 225P Parma, 14 novembre 2003 p.13/28
41 Espansione 2 k -aria: analisi I Precalcoli: 2 k 2 operazioni Parma, 14 novembre 2003 p.14/28
42 Espansione 2 k -aria: analisi I Precalcoli: 2 k 2 operazioni In realtà: 2 k 1 1; basta precalcolare tp con t dispari e raddoppiare in modo opportuno Parma, 14 novembre 2003 p.14/28
43 Espansione 2 k -aria: analisi I Precalcoli: 2 k 2 operazioni In realtà: 2 k 1 1; basta precalcolare tp con t dispari e raddoppiare in modo opportuno ( ) λ(n) + 1 Raddoppi: k 1 λ(n) k k Parma, 14 novembre 2003 p.14/28
44 Espansione 2 k -aria: analisi I Precalcoli: 2 k 2 operazioni In realtà: 2 k 1 1; basta precalcolare tp con t dispari e raddoppiare in modo opportuno ( ) λ(n) + 1 Raddoppi: k 1 λ(n) k k Somme: #{n i 0} 1 dove n = (n Λ n Λ 1 n 0 ) 2 k Parma, 14 novembre 2003 p.14/28
45 Espansione 2 k -aria: analisi I Precalcoli: 2 k 2 operazioni In realtà: 2 k 1 1; basta precalcolare tp con t dispari e raddoppiare in modo opportuno ( ) λ(n) + 1 Raddoppi: k 1 λ(n) k k Somme: #{n i 0} 1 dove n = (n Λ n Λ 1 n 0 ) 2 k Memoria: 2 k 1 (o meglio: 2 k 1 ) punti Parma, 14 novembre 2003 p.14/28
46 Espansione 2 k -aria: analisi II Considerando i precalcoli, C S (e) 2k 1 + ( k ) e 1 k Parma, 14 novembre 2003 p.15/28
47 Espansione 2 k -aria: analisi II Considerando i precalcoli, C S (e) 2k 1 + ( k ) e 1 k Per minimizzare C S (e) prendiamo k minimo t. c. k(k + 1)2 2k 2 k+1 k 2 e 1 Parma, 14 novembre 2003 p.15/28
48 Espansione 2 k -aria: analisi II Considerando i precalcoli, C S (e) 2k 1 + ( k ) e 1 k Per minimizzare C S (e) prendiamo k minimo t. c. k(k + 1)2 2k 2 k+1 k 2 e 1 La scelta migliore per k è quindi 1 se e 9, 2 se e 25, oppure 6 se 538 < e Parma, 14 novembre 2003 p.15/28
49 Catene di addizione/sottrazione La migliore catena d addizione per 15 è 1,2,3,6,7,14,15 di lunghezza 6 Parma, 14 novembre 2003 p.16/28
50 Catene di addizione/sottrazione La migliore catena d addizione per 15 è 1,2,3,6,7,14,15 di lunghezza 6 Se ammettiamo che a i = a j ± a k otteniamo la catena 1,2,4,8,16,15 = 16 1 di lunghezza 5 Parma, 14 novembre 2003 p.16/28
51 Catene di addizione/sottrazione La migliore catena d addizione per 15 è 1,2,3,6,7,14,15 di lunghezza 6 Se ammettiamo che a i = a j ± a k otteniamo la catena 1,2,4,8,16,15 = 16 1 di lunghezza 5 Catene siffatte sono dette di addizione/sottrazione. Sono utili solo se l inversione costa poco: ad esempio per le curve ellitiche. Parma, 14 novembre 2003 p.16/28
52 Bit segnati Per realizzare un catena di A/S rappresentiamo l intero n con bit segnati: n = λ i=0 n i 2 i con n i { 1= 1,0,+1} e n λ = 1 e implementiamo «somma e raddoppia» con le ovvie variazioni. Parma, 14 novembre 2003 p.17/28
53 Bit segnati Per realizzare un catena di A/S rappresentiamo l intero n con bit segnati: n = λ i=0 n i 2 i con n i { 1= 1,0,+1} e n λ = 1 e implementiamo «somma e raddoppia» con le ovvie variazioni. Vantaggi Nessun precalcolo; il peso segnato è inferiore a quello standard Parma, 14 novembre 2003 p.17/28
54 Bit segnati Per realizzare un catena di A/S rappresentiamo l intero n con bit segnati: n = λ i=0 n i 2 i con n i { 1= 1,0,+1} e n λ = 1 e implementiamo «somma e raddoppia» con le ovvie variazioni. Vantaggi Nessun precalcolo; il peso segnato è inferiore a quello standard Svantaggi La rappresentazione non è unica Parma, 14 novembre 2003 p.17/28
55 Bit segnati: esempio Scriviamo 23 = = = 32 9: Q = 2P Q = 4P Q = 6P Q = 12P Q = 24P Q = P Q = 3P Q = 23P Parma, 14 novembre 2003 p.18/28
56 Bit segnati: esempio Scriviamo 23 = = = 32 9: Q = 2P Q = 4P Q = 6P Q = 12P Q = 24P Q = P Q = 3P Q = 23P Oppure scriviamo 23 = = 24 1: Q = 2P Q = 6P Q = 12P Q = 24P Q = P Q = 3P Q = 23P Parma, 14 novembre 2003 p.18/28
57 NAF modificata Diciamo che la rappresentazione n = λ i=0 n i2 i con bit segnati è in forma non adiacente modificata se i < λ, n i 0 n i 1 = 0 e n λ 1 1 Ad esempio 23 = Parma, 14 novembre 2003 p.19/28
58 NAF modificata Diciamo che la rappresentazione n = λ i=0 n i2 i con bit segnati è in forma non adiacente modificata se i < λ, n i 0 n i 1 = 0 e n λ 1 1 Ad esempio 23 = Teorema Per ogni n N, la NAF modificata è unica, ha la stessa lunghezza di n ed è di peso minimo Parma, 14 novembre 2003 p.19/28
59 NAF modificata Diciamo che la rappresentazione n = λ i=0 n i2 i con bit segnati è in forma non adiacente modificata se i < λ, n i 0 n i 1 = 0 e n λ 1 1 Ad esempio 23 = Teorema Per ogni n N, la NAF modificata è unica, ha la stessa lunghezza di n ed è di peso minimo Il calcolo della NAF modificata è semplice ed è simile a quello per le frazioni continue Parma, 14 novembre 2003 p.19/28
60 NAF modificata: analisi Wieb Bosma (2001) dimostra che, per la NAF modificata: C S (e) = e 3 5 ( ) ( 1)e e e C S (e) = e ( 1)e 9 2 e 1 Parma, 14 novembre 2003 p.20/28
61 Finestre scorrevoli Fissiamo k > 1 e precalcoliamo tp con t = k 1 dispari Parma, 14 novembre 2003 p.21/28
62 Finestre scorrevoli Fissiamo k > 1 e precalcoliamo tp con t = k 1 dispari Suddividiamo, a partire da sinistra, l espansione binaria di n in finestre di lunghezza al più k della forma 1 1 Parma, 14 novembre 2003 p.21/28
63 Finestre scorrevoli Fissiamo k > 1 e precalcoliamo tp con t = k 1 dispari Suddividiamo, a partire da sinistra, l espansione binaria di n in finestre di lunghezza al più k della forma 1 1 Calcoliamo np come al solito. Parma, 14 novembre 2003 p.21/28
64 Finestre scorrevoli Fissiamo k > 1 e precalcoliamo tp con t = k 1 dispari Suddividiamo, a partire da sinistra, l espansione binaria di n in finestre di lunghezza al più k della forma 1 1 Calcoliamo np come al solito. Ad esempio: se k = 3 e n = 565 = = = 5 Q = 8P Q = 4 8P = 32P Q = 2 35P = 70P Q = 8 70P = 560P Q = P Q = (3 + 32)P = 35P Q = ( )P = 565P Parma, 14 novembre 2003 p.21/28
65 Finestre scorrevoli: analisi I Raddoppi: come al solito Parma, 14 novembre 2003 p.22/28
66 Finestre scorrevoli: analisi I Raddoppi: come al solito Somme: Scriviamo n = ν2 ε + n dove ν < 2 k dispari e λ(n ) λ(n) k. Parma, 14 novembre 2003 p.22/28
67 Finestre scorrevoli: analisi I Raddoppi: come al solito Somme: Scriviamo n = ν2 ε + n dove ν < 2 k dispari e λ(n ) λ(n) k. Allora c S (n) = 0 se n = 0 e c S (n) = 1 + c S (n ) sennò. Parma, 14 novembre 2003 p.22/28
68 Finestre scorrevoli: analisi I Raddoppi: come al solito Somme: Scriviamo n = ν2 ε + n dove ν < 2 k dispari e λ(n ) λ(n) k. Allora c S (n) = 0 se n = 0 e c S (n) = 1 + c S (n ) sennò. Quindi C S (e) = 0 se e k mentre C S (e) = C S(e 1) + C S (e k) e k+1 se e > k Parma, 14 novembre 2003 p.22/28
69 Finestre scorrevoli: analisi I Raddoppi: come al solito Somme: Scriviamo n = ν2 ε + n dove ν < 2 k dispari e λ(n ) λ(n) k. Allora c S (n) = 0 se n = 0 e c S (n) = 1 + c S (n ) sennò. Quindi C S (e) = 0 se e k mentre C S (e) = C S(e 1) + C S (e k) e k+1 se e > k Brutta ricorsione! Parma, 14 novembre 2003 p.22/28
70 Finestre scorrevoli: analisi II Fissiamo k = 2. Posto δ e = 2 e C S (e) otteniamo δ e = δ e 1 + 2δ e e 1 2, con δ 1 = δ 2 = 0 Parma, 14 novembre 2003 p.23/28
71 Finestre scorrevoli: analisi II Fissiamo k = 2. Posto δ e = 2 e C S (e) otteniamo δ e = δ e 1 + 2δ e e 1 2, con δ 1 = δ 2 = 0 basata, a sua volta, sulla pseudo-fibonacci a e = a e 1 + 2a e 2, con a 0 = 1, a 1 = 1 che vale a e = ( 2 e+1 + ( 1) e) /3. Parma, 14 novembre 2003 p.23/28
72 Finestre scorrevoli: analisi II Fissiamo k = 2. Posto δ e = 2 e C S (e) otteniamo δ e = δ e 1 + 2δ e e 1 2, con δ 1 = δ 2 = 0 basata, a sua volta, sulla pseudo-fibonacci a e = a e 1 + 2a e 2, con a 0 = 1, a 1 = 1 che vale a e = ( 2 e+1 + ( 1) e) /3. E quindi δ e = (3e 8)2e ( 1) e Parma, 14 novembre 2003 p.23/28
73 Finestre scorrevoli: analisi III Considerando il precalcolo 3P, otteniamo per k = 2: C S (e) = 1 3 e + 1 ( ) ( 1)e e C S (e) = 1 3 e ( 1)e 9 2 e 2 Parma, 14 novembre 2003 p.24/28
74 Finestre scorrevoli: analisi III Considerando il precalcolo 3P, otteniamo per k = 2: C S (e) = 1 3 e + 1 ( ) ( 1)e e Se k 3: C S (e) = 1 3 e ( 1)e 9 2 e 2 Parma, 14 novembre 2003 p.24/28
75 Finestre scorrevoli: analisi III Considerando il precalcolo 3P, otteniamo per k = 2: C S (e) = 1 3 e + 1 ( ) ( 1)e e C S (e) = 1 3 e ( 1)e 9 2 e 2 Se k 3: Continua... Parma, 14 novembre 2003 p.24/28
76 Confrontiamo le prestazioni e C R (e) Parma, 14 novembre 2003 p.25/28
77 Confrontiamo le prestazioni e C R (e) C S (e) con S&R C S (e) con 2k, k = C S (e) con 2k, k ottimale C S (e) con NAF mod C S (e) con finestre sc. k = Parma, 14 novembre 2003 p.25/28
78 Confrontiamo le prestazioni e C R (e) C S (e) con S&R C S (e) con 2k, k = C S (e) con 2k, k ottimale C S (e) con NAF mod C S (e) con finestre sc. k = In pratica, consigliamo di usare l algoritmo 2 k per un valore opportuno di k Henri COHEN Parma, 14 novembre 2003 p.25/28
79 FINE Parma, 14 novembre 2003 p.26/28
80 PUBBLICITÀ Parma, 14 novembre 2003 p.27/28
81 Convegno Giornate di Matematica Industriale A Workshop on Coding Theory & Criptography Milano, 1 dicembre Parleranno: M. Sala, UCC Cork W. Wolfowich, Roma F. Osnato, STMicroelectronics M. Albanese, Politecnico di Milano R. Caldelli, Università di Firenze Scadenze: Registrazione 24 novembre J. Golić, Telecom Italia Lab G. Bertoni, Politecnico di Milano R. Avanzi, IEM Essen Poster 21 novembre Parma, 14 novembre 2003 p.28/28
Conversione di base. Conversione decimale binario. Si calcolano i resti delle divisioni per due
Conversione di base Dato N>0 intero convertirlo in base b dividiamo N per b, otteniamo un quoto Q 0 ed un resto R 0 dividiamo Q 0 per b, otteniamo un quoto Q 1 ed un resto R 1 ripetiamo finché Q n < b
LIMITI - ESERCIZI SVOLTI
LIMITI - ESERCIZI SVOLTI ) Verificare mediante la definizione di ite che a) 3 5) = b) = + ) c) 3n n + n+ = + d) 3+ = 3. ) Calcolare utilizzando i teoremi sull algebra dei iti a) 3 + ) b) + c) 0 + d) ±
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Lauree scientifiche Crittografia. RSA CRT Emanuele Cesena emanuele.cesena @ gmail.com Sommario RSA Complessità RSA CRT Crittoanalisi di RSA CRT RSA in pillole Chiave pubblica: intero n = p q di 1024 bit,
Rappresentazione di numeri relativi (interi con segno) Rappresentazione di numeri interi relativi (con N bit) Segno e Valore Assoluto
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