CAPITOLO 19. L avversione al rischio e l utilità attesa

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1 CAPITOLO 19 L avversione al rischio e l utilità attesa In che modo gli individui reagiscono all incertezza Il modello dell utilità attesa Osservazioni conclusive D. Kreps, Microeconomia per manager 1

2 RIASSUNTO DELLA PUNTATA PRECEDENTE Un mercato oligopolista è un mercato dove si fronteggiano poche grandi imprese che interagiscono in modo strategico: il comportamento dei concorrenti influenza direttamente il profitto di ciascuna impresa e quindi per massimizzare il profitto è necessario cercare di anticipare il comportamento delle imprese concorrenti D. Kreps, Microeconomia per manager 2

3 La concorrenza tra imprese oligopoliste può prendere diverse forme: nell oligopolio di Cournot le imprese interagiscono stabilendo simultaneamente quanto produrre e il prezzo è determinato dalla curva di mercato nell oligopolio di Stackelberg le imprese interagiscono sequenzialmente: l impresa leader stabilisce quanto produrre, l impresa follower osserva la scelta dell impresa leader e a sua volta decide quanto produrre, infine il prezzo è determinato dalla curva di mercato nell oligopolio di Bertrand con beni identici le imprese interagiscono stabilendo simultaneamente il prezzo, la quantità venduta da ogni singola impresa è la domanda di mercato se il prezzo è più basso o nulla se il prezzo è più alto, si dividono il mercato se i prezzi sono ugual D. Kreps, Microeconomia per manager 3

4 nell oligopolio di Bertrand con prodotti differenziati le imprese interagiscono stabilendo simultaneamente il prezzo dei propri prodotti, la quantità venduta dipende negativamente dal prezzo dell impresa e positivamente dal prezzo dei concorrenti nell oligopolio di Stackelberg-Bertrand con beni identici le imprese interagiscono sequenzialmente: l impresa leader stabilisce il prezzo, l impresa follower osserva la scelta dell impresa leader e a sua volta decide il prezzo, la quantità venduta da ogni singola impresa è la domanda di mercato se il prezzo è più basso o nulla se il prezzo è più alto, si dividono il mercato se i prezzi sono uguali nell oligopolio di Stackelberg-Bertrand con beni differenziati le imprese interagiscono sequenzialmente: l impresa leader stabilisce il prezzo, l impresa follower osserva la scelta dell impresa leader e a sua volta decide il prezzo, la quantità venduta da ogni singola impresa dipende negativamente dal prezzo dell impresa e positivamente dal prezzo dei concorrenti D. Kreps, Microeconomia per manager 4

5 In conseguenza delle diverse possibilità di interazione strategica nei mercati oligopolistici, gli equilibri di oligopolio hanno proprietà diverse: In un oligopolio alla Cournot la produzione totale è compresa tra la produzione concorrenziale e la produzione di monopolio; le situazioni collusive dove gli oligopolisti si comportano come se fossero un unico monopolio sono migliori per entrambe le imprese, ma sono instabili Un impresa preferisce essere leader, in subordine scegliere simultaneamente, la cosa peggiore è essere follower D. Kreps, Microeconomia per manager 5

6 In un oligopolio alla Bertrand con beni identici la produzione totale è pari alla produzione di concorrenza perfetta e quindi il mercato è Pareto efficiente; le situazioni collusive dove gli oligopolisti si comportano come se fossero un unico monopolio sono migliori per entrambe le imprese, ma sono instabili l equilibrio non varia anche in presenza di un impresa leader In un oligopolio alla Bertrand con beni differenziati la produzione totale è compresa tra la produzione concorrenziale e la produzione di monopolio; le situazioni collusive dove gli oligopolisti si comportano come se fossero un unico monopolio sono migliori per entrambe le imprese, ma sono instabili Un impresa preferisce essere follower, in subordine essere leader, la cosa peggiore è scegliere il prezzo simultaneamente D. Kreps, Microeconomia per manager 6

7 ARGOMENTI DI QUESTA LEZIONE In questa lezione introduciamo il modello dell utilità attesa, il più importante modello descrittivo della scelta individuale in condizioni di incertezza. Alcuni mercati di primaria importanza sono stati creati principalmente allo scopo di aiutare i singoli e le imprese a gestire le incertezze cui essi sono soggetti. Sono i mercati dei: titoli finanziari, assicurazioni, opzioni e operazioni a termine Elaboriamo un modello delle scelte effettuate dai singoli consumatori quando tali scelte presentano conseguenze incerte. D. Kreps, Microeconomia per manager 7

8 SCELTE IN SITUAZIONI DI INCERTEZZA (1) Usiamo il termine rischiose per descrivere quelle situazioni in cui l esito di una scelta è incerto. Ciò che determina l esito di una situazione incerta, o rischiosa, è noto come stato del mondo. Una lotteria è un meccanismo usato per rappresentare situazioni rischiose. Ci sono tre elementi fondamentali in una lotteria: i) L insieme degli stati possibili, gli stati del mondo; ii) Le probabilità connesse a ogni possibile stato del mondo; iii) I valori associati a ogni possibile stato del mondo. D. Kreps, Microeconomia per manager 8

9 SCELTE IN SITUAZIONI DI INCERTEZZA (2) Per semplicità ci concentreremo su lotterie con un numero finito di stati e valori possibili. La probabilità di un certo stato del mondo è una misura della verosimiglianza che questo accada. Se un certo evento non può accadere, la sua probabilità è zero. Se un evento accade sicuramente, la sua probabilità è uno. Se potrebbe accadere, ma non per certo, allora la sua probabilità è fra zero e uno. Per ogni dato processo casuale, le probabilità di tutti gli stati devono sommarsi a uno, perché è certo che uno o l altro degli esiti possibili accadrà. D. Kreps, Microeconomia per manager 9

10 Esempio Se tiri un dado, sei davanti a una situazione di incertezza; in questo caso, la lotteria associata è caratterizzata da: i) Stati o esiti: sei possibili esiti (le sei facce del dado) ii) Probabilità: ogni esito ha la stessa probabilità, pari a 1/6 iii) Valori: per esempio, una somma di euro pari al numero sulla faccia del dado. Possiamo rappresentare questa lotteria con il seguente albero decisionale: 1/6 1/6 1/ /6 1/6 1/ D. Kreps, Microeconomia per manager 10

11 Valore atteso Il valore atteso di una generica variabile casuale X è il valore di X che si realizza in media. Per trovare il valore atteso di X, si deve pesare il valore di X in ogni stato del mondo con la probabilità che quello stato del mondo e quindi il relativo valore - si realizzi. Il valore atteso di una semplice lotteria con due esiti è: EV = ( p) 2 p v1 + 1 v dove p è la probabilità relativa al primo esito, e v j associato all esito j. Se v j = v per j = {1,2}, allora: è il valore ( 1 p) v = v ( p + 1 p) v EV = p v + = D. Kreps, Microeconomia per manager 11 = 1

12 In che modo gli individui reagiscono all incertezza? La scelta dipende da come vengono formulate le opzioni (1) Immaginate che per combattere un epidemia influenzale potete attuare un programma di vaccinazione relativo a 600 persone, scegliendo tra due programmi possibili e tra loro incompatibili: il primo salverà con certezza 400 persone; il secondo ha una probabilità pari a 1/3 di non salvare nessuno e una probabilità pari a 2/3 di salvare 600 persone. Quale programma consigliate? D. Kreps, Microeconomia per manager 12

13 La scelta dipende da come vengono formulate le opzioni (2) Passate al seguente problema: Per combattere un epidemia occorre scegliere tra due possibili programmi di vaccinazione, e non è possibile attuarli entrambi. Con il primo programma moriranno con certezza 200 persone. Con il secondo vi è una probabilità pari a 2/3 che nessuno muoia e una probabilità di 1/3 che muoiano 600 persone. Quale programma preferite? Le risposte prevalenti sono state il primo programma per la prima formulazione del dilemma e il secondo per la seconda formulazione. Se tuttavia analizzate attentamente le due formulazioni, vi accorgerete che il problema è identico in termini di conseguenze effettive. D. Kreps, Microeconomia per manager 13

14 Meglio scommettere quando le probabilità sono note piuttosto che quando sono ignote (1) Un urna contente 300 palline; 100 rosse, le altre 200 sono alcune blu e alcune verdi. Si vincono 100 se si estrae dall urna una pallina di un dato colore. Le persone preferiranno che tale colore sia il rosso, il blu o il verde? Un numero elevato di persone afferma di essere indifferente tra il blu e il verde e di avere invece una preferenza stretta per il rosso. Queste persone preferiscono scommettere quando le probabilità sono note piuttosto che quando sono ignote. D. Kreps, Microeconomia per manager 14

15 Meglio scommettere quando le probabilità sono note piuttosto che quando sono ignote (2) Gli economisti adottano la seguente terminologia: se una decisione presenta conseguenze incerte, ma le conseguenze possibili e le rispettive probabilità di occorrenza sono oggettivamente note, la situazione implica un rischio o un incertezza oggettiva; quando gli esiti possibili sono noti, ma le relative probabilità di occorrenza non sono oggettivamente note, la situazione implica incertezza o incertezza soggettiva; infine, quando l elenco dei possibili esiti non è chiaramente definito, la situazione implica ambiguità o contingenze impreviste. L esempio delle palline colorate nell urna illustra l avversione all incertezza soggettiva; aggiungiamo inoltre che le persone tendono a essere avverse all azzardo in presenza di contingenze impreviste. D. Kreps, Microeconomia per manager 15

16 L avversione al rischio (1) Gli schemi comportamentali che descriviamo in seguito sono riferiti al contesto più semplice: decisioni prese in condizioni di incertezza oggettiva. Analizziamo situazioni analoghe a una scommessa che offre 100 con una probabilità pari a 0,3 50 con una probabilità pari a 0,2 0 con una probabilità pari a 0,4-200 con una probabilità pari a 0,1. 0, ,2 0,4 0, D. Kreps, Microeconomia per manager 16

17 L avversione al rischio (2) Per qualsiasi scommessa possiamo calcolare il valore monetario atteso (VMA), la media della scommessa, moltiplicando ogni premio possibile per la sua probabilità e poi sommando i risultati. Una persona che preferisce il valore monetario atteso a una scommessa è avversa al rischio. Una persona che è indifferente tra una scommessa e il corrispondente valore monetario atteso invece è neutrale rispetto al rischio; una che preferisce una scommessa al suo valore monetario atteso è propensa al rischio. D. Kreps, Microeconomia per manager 17

18 L avversione al rischio (3) Data una qualsiasi scommessa, possiamo domandare: preferisci la scommessa oppure la somma certa X? Quando X è fissato al livello esatto per cui l individuo è indifferente tra la scommessa e il pagamento certo, affermiamo che X è il certo equivalente (CE) della scommessa per tale persona. Quindi l avversione al rischio implica un certo equivalente inferiore al valore monetario atteso, ossia CE < VMA, la neutralità rispetto al rischio si traduce in CE = VMA e la preferenza per il rischio in CE > VMA. Se CE < VMA, la differenza tra il certo equivalente e il valore monetario atteso, VMA CE, è definita premio di rischio (PR) della scommessa. Maggiore è il premio di rischio, maggiore è, approssimativamente, il livello di avversione al rischio della persona per la scommessa in questione. D. Kreps, Microeconomia per manager 18

19 0, L effetto certezza (A) 0,25 0 (B) 1, PREFERITE LA SCOMMESSA (A) O LA SCOMMESSA (B)? PREFERITE LA SCOMMESSA (C) O LA SCOMMESSA (D)? 0, , (C) 0,325 0 (D) 0,1 0 Comunemente si osserva che viene preferita la scommessa B alla scommessa A e la scommessa C alla scommessa D. D. Kreps, Microeconomia per manager 19

20 0,9 0,75 L effetto certezza ,9 1, (E) 0,1 0, (F) 0,1 0 PREFERITE LA SCOMMESSA (E) O LA SCOMMESSA (F)? Se concentrate la vostra attenzione sulla probabilità pari a 0,9 che la vostra scelta sia incidente e quindi formulate la scelta tra E ed F come una scelta effettiva tra A e B, allora forse F è migliore, in quanto lo è B. Ma la scommessa E offre una probabilità pari a 0,9 0,75 = 0,675 che otteniate e F offre una probabilità pari a 0,9 che otteniate In questi termini, la scommessa E è identica a C e la scommessa F è identica a D. Quindi, non è logico che chi preferisce C a D preferisca anche E a F? La certezza del premio positivo nella scommessa B la rende psicologicamente molto attraente. Tale fenomeno è noto come effetto certezza D. Kreps, Microeconomia per manager 20

21 Consideriamo la scelta tra le scommesse A e B, tra C e D e tra E ed F 0, , A) (B) 0,75 0 0,5 0 PREFERITE LA SCOMMESSA (A) O LA SCOMMESSA (B)? 0, , C) 0,99 (D) 0, (D) Il peso eccessivo delle basse probabilità PREFERITE LA SCOMMESSA (C) O LA SCOMMESSA (D)? 0, ,04 0,75 0 0,96 0 PREFERITE LA SCOMMESSA (E) O LA SCOMMESSA (F)? (E) 0, ,5 0,04 0 0,96 0 D. Kreps, Microeconomia per manager 21

22 Il peso eccessivo delle basse probabilità (2) Viene generalmente preferita B ad A e C a D. Cosa implicano queste preferenze per E ed F? La differenza tra E ed F è che E si trasforma in A con lo 0,04 di probabilità (e altrimenti non offre nulla), F si trasforma in B con probabilità 0,04 In questo caso la preferenza per B non dovrebbe implicare la preferenza per F rispetto a E? D altra parte, se moltiplichiamo tra loro le probabilità, E offre con la probabilità 0,01, esattamente come C, mentre F offre con la probabilità 0,02, esattamente come D. Pertanto, una preferenza per C rispetto a D non dovrebbe tradursi in una preferenza per E rispetto a F? D. Kreps, Microeconomia per manager 22

23 Il peso eccessivo delle basse probabilità (3) Lo schema di preferenze B migliore di A ma C migliore di D viene razionalizzato nel modo seguente: in B e A, uno studio attento delle probabilità e dei premi suggerisce a molte persone che B è migliore; mentre in C o in D la probabilità di ottenere un qualsiasi premio è molto piccola, ma se si è baciati dalla fortuna, perché non vincere invece di ? Il decisore ritiene che non occorra il doppio della fortuna per vincere C rispetto a D, sebbene, obiettivamente, occorra proprio una fortuna doppia D. Kreps, Microeconomia per manager 23

24 Il modello dell utilità attesa (1) Il modello più utilizzato dagli economisti per rappresentare il processo decisionale in presenza di esiti incerti è il modello dell utilità attesa. È abbastanza valido da considerare alcuni dei fenomeni elencati in precedenza, ma ne ignora altri. Iniziamo descrivendone il funzionamento per le scommesse con date probabilità oggettive e premi monetari. Le preferenze di una persona tra tali scommesse sono determinate dalla sua funzione di utilità, che assegna a ogni livello di premio monetario un numero corrispondente, ossia l utilità del premio D. Kreps, Microeconomia per manager 24

25 Il modello dell utilità attesa (2) Consideriamo una generica lotteria V : Ipotizziamo che i consumatori siano in grado di assegnare un livello di utilità a ogni valore possibile attraverso una funzione di utilità (ordinale) u(v j ). Teorema dell utilità attesa: date alcune ipotesi sulle preferenze, l utilità della lotteria V può essere rappresentata dalla seguente funzione di utilità Von Neumann-Morgenstern: V = v v D. Kreps, Microeconomia per manager p ( v ) + ( p) u( v ) Eu U ( V ) p u = = Il teorema dell utilità attesa implica che i consumatori, se chiamati a scegliere fra diverse lotterie, paragoneranno i livelli di utilità attesa Eu associati alle diverse lotterie. p

26 Il modello dell utilità attesa (3) Una funzione di utilità U D. Kreps, Microeconomia per manager 26

27 Il modello dell utilità attesa (4) Supponiamo che l individuo caratterizzato da questa funzione debba scegliere tra le tre scommesse rappresentate nella figura che segue: (X) 0,7 0, (Y) 0,33 0,44 0, (Z) 0,12 0,39 0,21 0, D. Kreps, Microeconomia per manager 27

28 Il modello dell utilità attesa (5) Dinnanzi a questo dilemma, ipotizziamo che il decisore: 1. utilizzi U per convertire ogni premio di ciascuna scommessa disponibile nel corrispondente livello di utilità; 2. calcoli l utilità attesa di ogni scommessa: per ciascuna scommessa si moltiplica la probabilità di ogni premio per l utilità corrispondente e si sommano i prodotti; ad es. l utilità attesa della prima scommessa è (0,7)[2] + (0,3)[1] = [1,7] 3. scelga la scommessa caratterizzata dall utilità attesa maggiore. D. Kreps, Microeconomia per manager 28

29 Il modello dell utilità attesa (6) (X) 0,7 0, (Y) 0,33 0,44 0, (Z) 0,12 0,39 0,21 0, PREFERITE LA SCOMMESSA (X), (Y) oppure (Z)? [1,4+0,3=1,7] (X) 0,7 750 [2] (Y) [1,57] 0, [4] [1,28] 0,44 250[1,35] 0,3 0,23 0 [1] [-1,5] (Z) 0,12 0,39 0,21 0,28 USANDO L UTILITA ATTESA PREFERISCE (X) 1500 [4] 250 [1,35] [0] 0 [1] D. Kreps, Microeconomia per manager 29

30 Il modello dell utilità attesa (7) Secondo il modello dell utilità attesa, un soggetto decisore caratterizzato dalla funzione di utilità della figura precedente dovrebbe scegliere la prima scommessa, in quanto essa ha l utilità attesa maggiore. La funzione di utilità specifica è importante solamente per preservare l ordine delle utilità attese: se U è la funzione di utilità che (insieme all ipotesi di massimizzazione dell utilità attesa) caratterizza le scelte di un dato individuo, allora la funzione V determinata moltiplicando U per una costante positiva e aggiungendo un altra costante porta esattamente alle stesse scelte; in particolare, un livello di utilità nullo non ha alcun significato cardinale. D. Kreps, Microeconomia per manager 30

31 I premi non monetari E facile estendere subito il modello ai premi non monetari: qualsiasi sia la gamma dei premi possibili, la funzione di utilità U assegna a ogni premio un livello di utilità e quindi misuriamo il valore di ogni scommessa in base alla sua utilità attesa. D. Kreps, Microeconomia per manager 31

32 Ricavare i certi equivalenti a partire da una funzione di utilità (1) Poiché la scala della funzione di utilità (le unità di utilità o altro) può essere dilatata o compressa a piacimento, è difficile attribuire un significato alle differenze dei livelli di utilità attesa. Nel caso di premi monetari possiamo ottenere una misura di quanto un offerta sia migliore riconvertendo i livelli di utilità attesa in quantità monetarie. A tal fine si legge la funzione di utilità a ritroso. D. Kreps, Microeconomia per manager 32

33 U U ( v 2 ) L equivalente certo EU U ( v 1 ) v 1 CE L equivalente certo è il prospetto senza rischio che genera un livello di utilità pari all utilità attesa della lotteria. v2 D. Kreps, Microeconomia per manager 33 v

34 Una funzione di utilità tipica U Le proprietà della funzione di utilità 1. è crescente: una quantità maggiore di denaro è migliore di una quantità minore; 2. è continua: il valore di una scommessa per il decisore non varia in misura notevole quando i livelli dei premi cambiano in modo continuo; la continuità garantisce che ogni scommessa abbia un certo equivalente; 3. è concava, conformemente a un comportamento avverso al rischio. D. Kreps, Microeconomia per manager 34

35 Avversione al rischio (1) u( v ) 2 u( EV ) Eu =U(V) u( v) u( v ) 1 V = v v v1 EV v2 1 2 U ( V 1 ) p = p Eu = p u EV ( 1 p ) ( v ) + ( 1 p ) u ( v ) 1 = p D. Kreps, Microeconomia per manager 35 v v 2 v

36 Avversione al rischio (2) Quando un consumatore preferisce un prospettiva senza rischio (certa) rispetto a una lotteria rischiosa con lo stesso valore atteso, allora quel consumatore è detto avverso al rischio. U ( EV ) = U,u U ( V ) = u( EV ) Eu u( v) In questo esempio l alternativa certa, EV, è preferita a una lotteria con lo stesso valore atteso. v 1 EV v2 v U ( EV ) > U ( V ) u ( EV ) > Eu D. Kreps, Microeconomia per manager 36

37 Propensione al rischio U,u U ( V ) = U ( EV ) = Eu u( EV ) v 1 EV v2 v Propenso al rischio : ( EV ) < U ( V ) u( EV ) Eu U < D. Kreps, Microeconomia per manager 37

38 Indifferenza al rischio U,u U ( V ) = = U ( EV ) = Eu u( EV ) v 1 EV v2 x Indifferente al rischio : ( EV ) = U ( V ) u( EV ) Eu U = D. Kreps, Microeconomia per manager 38

39 Attitudine al rischio (1) Il grado di avversione al rischio è strettamente legato alla concavità della funzione di utilità u(v); il consumatore è: i) avverso al rischio se la funzione di utilità è strettamente concava; ii) neutrale rispetto al rischio se la funzione di utilità è lineare (cioè concava e convessa allo stesso tempo); iii) amante del rischio strettamente convessa. se la funzione di utilità è Il grado di avversione al rischio è direttamente proporzionale alla curvatura della funzione: più la funzione è concava, più avversi al rischio sono i consumatori. D. Kreps, Microeconomia per manager 39

40 Attitudine al rischio (2) Il modello dell utilità attesa è quindi sufficientemente valido da considerare il fenomeno dell avversione al rischio: occorre semplicemente utilizzare una funzione di utilità concava. Inoltre, sebbene esso possa rappresentare l avversione al rischio, non la implica necessariamente: a seconda della forma della funzione di utilità dell individuo, possiamo avere un comportamento neutrale al rischio o propenso al rischio ugualmente coerente con il modello. E gli altri fattori che vorremmo considerare? A questo riguardo il modello non è generalmente soddisfacente D. Kreps, Microeconomia per manager 40

41 Gli effetti di percezione In un certo senso, il modello dell utilità attesa è agnostico rispetto a tali questioni. Se per il decisore è diverso inquadrare una scommessa in termini di guadagni o perdite nette derivanti anziché in termini di saldo bancario netto, allora nei nostri modelli dobbiamo prestare attenzione a presentare i premi conformemente alla funzione di utilità del decisore, prima di procedere. Soddisfare tale condizione può essere difficile in pratica, perlomeno se i decisori non adottano sistematicamente un dato tipo di inquadramento delle scelte. Anche se il modello, in principio, è abbastanza flessibile da considerare almeno alcuni effetti di percezione, raramente viene utilizzato in questo modo D. Kreps, Microeconomia per manager 41

42 L incertezza soggettiva e l avversione nei confronti delle probabilità ignote (1) La maggior parte dei modelli utilizzati dagli economisti semplicemente non ammette la possibilità che il decisore non conosca tutti gli esiti possibili. La spiegazione delle contingenze impreviste rappresenta una delle maggiori sfide irrisolte dei modelli microeconomici D. Kreps, Microeconomia per manager 42

43 L incertezza soggettiva e l avversione nei confronti delle probabilità ignote (2) Per ciò che concerne l incertezza soggettiva, la procedura standard dei modelli economici consiste nell ipotizzare che il decisore: 1. assegni delle probabilità ai diversi esiti possibili; 2. consideri le probabilità soggettive esattamente come quelle oggettive. L assegnazione delle probabilità è soggettiva, ossia dipende dal giudizio del decisore. Alcune persone (forse la maggioranza) sono avverse alle scommesse in cui le probabilità di occorrenza degli esiti sono soggettive: è il paradosso di Ellsberg D. Kreps, Microeconomia per manager 43

44 L effetto certezza e il peso eccessivo delle basse probabilità Per ciò che concerne l effetto certezza e il peso eccessivo delle basse probabilità, il modello dell utilità attesa semplicemente non considera questi due fenomeni. D. Kreps, Microeconomia per manager 44

45 L avversione al rischio decrescente (e costante) (1) L ultimo dei fattori che vorremmo fosse considerato da un modello descrittivo è il concetto per cui all aumentare della ricchezza dell individuo, il livello di avversione al rischio diminuisce. Non tutte le funzioni di utilità previste dal modello dell utilità attesa, neppure quelle concave, considerano questo aspetto. Tuttavia non è difficile controllare se una data funzione di utilità possiede tale proprietà. Supponiamo di avere un decisore che scelga tra scommesse con premi monetari massimizzando l utilità attesa della funzione di utilità U. Se la funzione λ( x) = U '( x) è decrescente, allora U porta a scelte che sono sempre meno avverse al rischio a mano a mano che il livello base di ricchezza del decisore aumenta U ''( x) D. Kreps, Microeconomia per manager 45

46 L avversione al rischio decrescente (e costante) (2) La curvatura di una funzione in un punto è data dal rapporto della sua derivata seconda rispetto alla prima (davanti a tale rapporto è stato aggiunto un segno negativo perché U è concava, per cui la derivata seconda è negativa). Un avversione al rischio decrescente corrisponde quindi a una curvatura decrescente Un caso particolare importante di funzione di utilità avversa al rischio è quello in cui il suddetto rapporto è costante. Le funzioni U che soddisfano tale condizione sono le funzioni: dove A è una costante positiva e B è una costante qualsiasi. La costante λ è definita coefficiente di avversione al rischio dell individuo. U ( x) = Ae λ x + B D. Kreps, Microeconomia per manager 46

47 Osservazioni conclusive (1) Il modello dell utilità attesa può rappresentare il fenomeno di base dell avversione al rischio e ci consente di analizzare anche un avversione al rischio decrescente e costante. Possiamo inoltre adeguarlo per comprendere alcuni effetti di inquadramento, sebbene pochi modelli economici considerino effettivamente tali effetti. Il modello dell utilità attesa non è tuttavia abbastanza flessibile da contemplare l avversione per le probabilità ignote o l incertezza soggettiva, l effetto certezza o il peso eccessivo delle basse probabilità. Pertanto non è un modello descrittivo perfetto. D. Kreps, Microeconomia per manager 47

48 Osservazioni conclusive (2) Occorre tuttavia ammettere che si tratta di un modello molto buono, soprattutto perché contempla un altro fenomeno comportamentale ossia una sorta di neutralità nei confronti del rischio per scommesse in scala ridotta che riveste una notevole importanza in economia, come vedremo tra due lezioni. Questo modello svolge inoltre un altro ruolo importante, in quanto costituisce la base della teoria normativa del processo decisionale in condizioni di incertezza, argomento che analizzeremo nella prossima lezione. D. Kreps, Microeconomia per manager 48

49 Riepilogo A partire da questa lezione prendiamo in considerazione anche l incertezza. Il primo passo in questa direzione consiste nel presentare il modello dell utilità attesa, il modello principale utilizzato in economia per rappresentare la scelta degli individui in condizioni di incertezza. Iniziamo catalogando gli schemi comportamentali che vorremmo considerare in un buon modello descrittivo: 1. gli effetti di inquadramento, 2. l avversione all incertezza soggettiva e all ambiguità, 3. l avversione al rischio e (spesso) l avversione al rischio decrescente all aumentare della ricchezza, 4. l effetto certezza e il peso eccessivo delle basse probabilità. D. Kreps, Microeconomia per manager 49

50 Nel modello dell utilità attesa 1. una funzione di utilità (U maiuscola) assegna un dato valore di utilità a ogni premio possibile; 2. per ogni scommessa si calcola l utilità attesa (si moltiplica l utilità di ogni premio possibile per la probabilità di occorrenza e successivamente si sommano i prodotti) e 3. la scommessa scelta sarà quella caratterizzata dall utilità attesa maggiore. Non si ammette ambiguità e si ipotizza che l individuo calcoli le probabilità soggettive dove necessario per utilizzarle esattamente come probabilità oggettive. D. Kreps, Microeconomia per manager 50

51 Quando i premi sono monetari, la funzione di utilità può essere rappresentata graficamente. La funzione di utilità (in tali grafici) è quasi sempre crescente e continua. Nella maggior parte dei modelli economici è anche concava, riflettendo l avversione al rischio (le funzioni lineari corrispondono alla neutralità al rischio e quelle convesse alla preferenza per il rischio). Il valore delle unità della funzione di utilità non ha alcun significato particolare, e la scala su cui vengono misurate può essere spostata, allungata o compressa in modo uniforme senza modificare il comportamento di scelta dell individuo. D. Kreps, Microeconomia per manager 51

52 Il modello dell utilità attesa 1. non ci offre esplicitamente la possibilità di considerare gli effetti di percezione; 2. ignora completamente l avversione all incertezza soggettiva e all ambiguità; 3. ignora l effetto certezza e il peso eccessivo delle basse probabilità 4. per una funzione di utilità concava, considera l avversione al rischio D. Kreps, Microeconomia per manager 52

53 Se U è concava e se λ(x) = U (x)/u (x) è decrescente, il livello di avversione al rischio diminuisce all aumentare della ricchezza. Se U (x)/u (x) è la costante λ, allora la funzione di utilità ha un avversione al rischio costante, ossia la scelta dell individuo tra le scommesse non è influenzata dal suo livello di ricchezza; le funzioni di utilità che possiedono questa proprietà sono del tipo U ( x) = Ae λ x + B per le costanti A > 0 e B. D. Kreps, Microeconomia per manager 53

54 L utilità (u minuscola) costituisce il modello di base della scelta del consumatore, indicizzando ogni oggetto di base con una misura ordinale della sua desiderabilità. La funzione di utilità (U maiuscola) di questa lezione indicizza i premi, ma tale indicizzazione costituisce solamente una fase del calcolo dell utilità attesa delle scommesse, che in questo caso costituiscono gli oggetti di base della scelta. D. Kreps, Microeconomia per manager 54