3 Campo elettrostatico nei mezzi materiali Introduzione

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1 3 Campo elettrostatico nei mezzi materiali Introduzione Dallo studio delle leggi fondamentali dell elettromagnetismo nello spazio vuoto se ne deduce che la valutazione del campo e.m. è possibile solo quando sono note le distibuzioni delle sorgenti (cariche o correnti elettriche che lo generano. Nella maggior parte delle situazioni reali, però, i fenomeni elettrici e magnetici possono manifestarsi all interno dei mezzi materiali e pertanto è indispensabile considerare anche questo tipo di fenomenologia. fortunatamente, per la valutazione del campo e.m. in presenza di mezzi materiali non è possibile seguire l approccio usato per lo spazio vuoto: la distribuzione di cariche e correnti non è nota a priori e deve essere calcolata contestualmente al campo e.m.. Infatti, un qualunque corpo materiale è composto in ultima analisi da cariche elettriche microscopiche positive e negative mescolate in modo tale che in una regione di spazio piccola la quantità di carica totale è nulla. Inoltre, in funzione della natura fisica del corpo materiale, tali cariche sono più o meno libere di muoversi al suo interno. E quindi chiaro che quando esso è immerso all interno di un campo elettrico, le cariche microscopiche di segno opposto si allontanano le une dalle altre e di conseguenza, venendo meno la neutralità locale della carica, è indotta all interno del corpo una distribuzione di cariche. Quest ultima a sua volta genera un campo elettrico che perturba il campo elettrico applicato il quale modifica di conseguenza la distibuzione di carica all interno del corpo materiale. Inoltre, non bisogna dimenticare che il campo elettrico interno può agire anche sulla distribuzione di carica che genera il campo elettrico applicato. e fosse nota la distribuzione di cariche indotta nel materiale sarebbe possibile riportare il calcolo del campo generato dalle cariche esterne ed interne a quello generato dalle stesse come se agissero nel vuoto. Tale operazione è però vanificata dal fatto che la distribuzione di carica all interno dei corpi è il risulatato sia di equilibri tra le forze elettriche agenti sulle cariche stesse sia di vincoli imposti dalla struttura della materia. Pertanto, non è possibile assegnare a priori né la distribuzione di cariche indotte né il campo risultante. In definitiva, nel trattare l interazione del campo e.m. con un corpo materiale è necessario fare una distinzione tra campo primario e campo interno. Il primo è quello che sarebbe presente nello spazio in assenza del corpo materiale, il secondo è quello realmente presente all interno del corpo materiale ed è fornito dalla sovrapposizione tra il campo primario e il campo generato dalla distribuzione di correnti e cariche elettriche prodotte dal campo primario stesso. Il campo interno ha in generale una struttura molto complessa che dipende dalle proprietà elettriche del corpo, dalla sua forma e dimensioni, dalla configurazione dell ambiente circostante e dalle caratteristiche del campo primario. Per sviluppare una teoria elettrodinamnica dei mezzi materiali continui si dovrebbe, in linea di principio, partire dalla comprensione dei fenomeni elettrici e magnetici 29

2 3.. Fenomeni di polarizzazione 30 esisteniti nello spazio tra gli atomi e le molecole costituenti il mezzo materiale considerando che, anche per i corpi più densi, i nuclei atomici occupano una piccola parte del volume atomico totale. In queste ipotesi, le regioni di spazio intermolecolari sono sede di campi elettrici, e(r, t, e magnetici, b(r, t, che agiscono praticamente nel vuoto. fortunatamente, una teoria microscopica ha impliciti problemi di natura pratica legati alla presenza di brusche variazioni spaziali e temporali. Infatti, è necessario considerare che i campi sono molto intensi in vicinanza delle cariche e decadono rapidamente nelle regioni intermedie, e che la dinamica degli elettroni induce rapide variazioni temporali. Un modo per superare questi problemi, consiste nel considerare una teoria macroscopica attraverso la quale è possibile ricavare delle grandezze macroscopiche da inserire nelle equazioni di Maxwell. In una teoria di questo tipo, le sorgenti microscopiche del campo elettromagnetico sono modellate con un sistema classico di cariche e correnti nel vuoto che generano dei campi microscopici. i suppone successivamente che le misure effettuate da un osservatore macroscopico corrispondano ad una media, fatta sia rispetto alle coordinate spaziali sia rispetto al tempo, delle grandezze microscopiche. In questo modo, è possibile ignorare le variazioni microscopiche delle grandezze fisiche in quanto mediate su elementi di volume grandi rispetto a quelli molecolari. Un approccio rigoroso per l interpretazione delle proprietà dei mezzi materiali dovrebbe essere fondato sull applicazione della fisica moderna. Tale metodologia è però alquanto complessa perché richiede l uso della meccanica quantistica, per l interpretazione dei fenomeni e.m. a livello microscopico, e della statistica quantistica per l interpretazione delle proprietà macroscopiche della materia. Un secondo approccio, formalmente meno complesso ma ovviamente più limitato, è basato invece sull uso della fisica classica e in particolare sull elettrodinamica classica. Esso trova la sua espressione nelle equazioni di Maxwell ed in particolare le equazioni fondamentali dell elettrodinamica dei mezzi continui sono ottenute per mezzo di una operazione di media sulle equazioni di Maxwell nel vuoto. Questo modo di procedere fu usato per la prima volta da H.A. Lorentz ed è caratterizzato dal fatto che le equazioni che ne scaturiscono non dipendono dalla teoria che descrive le proprietà atomiche della materia ma solo dalla natura fisica del mezzo e dal modo in cui il campo varia nel tempo. 3. Fenomeni di polarizzazione Quando un mezzo materiale è immerso in un campo e.m. i fenomeni macroscopici che si manifestano possono essere inclusi in tre grandi categorie: fenomeni di conduzione elettrica, fenomeni di polarizzazione elettrica e fenomeni di polarizzazione magnetica. Molto spesso può riscontrarsi la presenza significativa di uno solo di tali fenomeni, oppure di più di uno o può accadere che nessuno di essi sia significativo. Nella conduzione elettrica l azione del campo e.m. sui portatori liberi di carica consente loro di muoversi su lunghezze macroscopiche: il risultato è l insorgere di distrubuzioni di cariche e correnti, denominate cariche e correnti libere, che possono essere di tipo superficiale e/o volumetrico. Il fenomeno della polarizzazione elettrica è invece caratterizzato dal campo elettrico di polarizzazione generato dalla distribuzione macroscopica

3 3.. Fenomeni di polarizzazione 3 del momento di dipolo elettrico indotto dall azione dal campo e.m. sul nateriale. Infine, il fenomeno della polarizzazione magnetica è caratterizzato da un campo magnetico di polarizzazione che descrive la distribuzione macroscopica del momento di dipolo magnetico indotto dal campo e.m. agente sul materiale. Nel seguito sarà analizzato più nel dettaglio il fenomeno della polarizzazione elettrica. Un materiale dielettrico è generalmente costituito da molecole globalmente neutre in cui gli elettroni sono legati agli atomi da intense forze che consentono loro solo piccoli spostamenti rispetto alla posizione di equilibrio. Di conseguenza, al contrario dei mezzi conduttori, anche sotto l applicazione di un intenso campo elettrico non ci sono flussi netti di corrente elettrica attraverso un dielettrico. Invece, si osserva sperimentalmente che un dielettrico può influenzare il campo elettrico nelle sue vicinanze. i consideri, per esempio, un condensatore a facce piane parallele caricato con una quantità di carica q. e tra le armature del condensatore c è il vuoto, detta σ = q/a la densità di carica, dove A è l area della lastra, si avrà che le cariche elettriche produrranno all interno del condensatore un campo elettrico E 0 = σ/ϵ 0. e l interstizio tra le due lastre è riempito con un dielettrico, l esperienza dimostra che varia sia il potenziale di ciascuna lastra sia il campo elettrico all interno del condensatore. Tale fenomeno, può essere interpretato corretamente se si ipotizza la comparsa di un campo elettrico all interno del dielettrico. Quest ultimo, a sua volta, può essere associato alla comparsa sulle superfici estreme del dielettrico di cariche superficiali che schermano parzialmente le cariche che si trovano sulle armature del condensatore. Tutto ciò può essere spiegato intuitivamente osservando che in assenza di sollecitazioni esterne il campo elettrico prodotto da un dielettrico è nullo in quanto non essendoci nessuna perturbazione i contributi dovuti alle due cariche opposte si bilanciano. Quando invece in corpo è immerso in un campo elettrico esterno le cariche positive sono sollecitate a spostarsi lungo la direzione del campo, mentre quelle negative nella direzione opposta. Pertanto, anche se complessivamente la carica totale è nulla, gli spostamenti indotti, pur essendo dell ordine delle dimensioni molecolari, alterano la distribuzione di carica di equilibrio e creano dei campi elettrici non nulli all interno del dielettrico. In questa situazione il dielettrico si dice polarizzato. Per valutare il contributo dato al campo elettrico da un dielettrico polarizzato, esso viene guardato come un mezzo avente proprietà variabili con continuità nello spazio. Però, da quanto detto in precedenza, risulta che un elementino infinitesimo di dielettrico polarizzato, pur rimanendo globalmente neutro, in seguito allo spostamento delle cariche acquista un momento di dipolo non nullo. Di conseguenza, lo studio delle proprietà dei dielettrici polarizzati può essere ricondotto alla valutazione del campo elettrico e potenziale prodotto da un dipolo elettrico. 3.. Espansione in serie di multipoli del potenziale elettrostatico Considerando una distribuzione continua di carica elettrica contenuta in una regione limitata di spazio di volume, si vuole ricavare l espressione del potenziale in un generico punto P a grande distanza dalla distribuzione di carica. Come mostrato in figura 3. indicando con r il vettore che collega l origine O del sistema di riferimento con il generico punto P, appartenente alla regione di spazio, con ρ(r la densità di carica di volume

4 3.. Fenomeni di polarizzazione 32 R=r-r' P r P z θ r O y x Figura 3.: Potenziale generato da una distribuzione continua di carica ρ(r nel punto P e con r il vettore che collega il punto O con il generico punto di osservazione P, si avrà che il potenziale nel punto P è ϕ(r = ρ(r 4πϵ 0 r r d dove con r r si è indicata la distanza tra P e P. In particolare se θ indica l angolo tra i vettori r e r si ha: r r [ (r ] 2 = r 2 + r 2 2rr cos θ = r + 2 r r r cos θ (3. da cui dove si è posto r r = r + x ( r 2 x = 2 r r r cos θ viluppando in serie di Maclaurin si ottiene = + x 2 x x2 5 6 x (3.2 e sostituendo nella (3. si ottiene [ r r = ( r 2 + r r 2 r r cos θ + 3 ( r ( r 2 cos 2 θ 3 ( r 3 cos θ +...] 8 r 2 r 2 r [ = + r r r cos θ + 3 ( cos2 θ r ( cos3 θ 3 cos θ r ] 2 r 2 r = ( r n P n (θ (3.3 r r n=0

5 3.. Fenomeni di polarizzazione 33 dove P n sono i polinomi di Legendre. Inoltre, osservando che r r = r r cos θ, la (3.3 può essere scritta nella forma più compatta r r = r + ( [ r r r 2 + r ( ] 3 r r 2 r 3 r (3.4 2 r 2 ostituendo la (3.4 nella relazione che fornisce il potenziale e considerando solo i primi tre termini si ha: [ ϕ(r ρ(r d+ ( 4πϵ 0 r r 2 ρ(r r r d+ r [ ( ] ] r 3 ρ(r 3 r r 2 r 2 d 2 r 2 Poiché il vettore r è indipendente dalla variabile d integrazione r è possibile ottenere: [ ϕ(r ρ(r d + r 4πϵ 0 r r 3 ρ(r r d + [ ( ] ] r 3 ρ(r 3 r r 2 r 2 d 2 r 2 ( K0 4πϵ 0 r + K r 2 + K 2 r 3 (3.5 dove K 0 = ρ(r d 3 r = Q K = r r ρ(r r d = r p r [ ( ] K 2 = ρ(r 3 r r 2 r 2 d 2 r 2 (3.6a (3.6b (3.6c Il primo termine che compare nella (3.5 è detto termine di monopolo. Esso fornisce il potenziale che sarebbe prodotto nel punto P se tutta la carica Q, fornita dalla (3.6a, della distribuzione di cariche fosse concentrata nell origine O. Tale termine può essere associato ad una valutazione di prima approssimazione del potenziale misurato da un osservatore a grande distanza dalla distribuzione di carica. i osservi che tale contributo può essere nullo quando nella distribuzione di carica vi è una quantità di carica positiva uguale a quella della carica negativa. In questi casi, tuttavia, non è detto che le azioni elettriche siano nulle, visto che già per il caso più semplice di due cariche puntiformi uguali e contrarie poste ad una certa distanza tra loro, il campo elettrico e il potenziale in un generico punto dello spazio sono in generale non nulli. In tali situazioni, il secondo termine della (3.5 può essere diverso da zero. Esso prende il nome di termine di dipolo e fornisce un contributo che varia con l inverso del quadrato della distanza. In esso interviene la grandezza vettoriale p che prende il nome di momento di dipolo della distribuzione di carica. In particolare, dalla (3.6b si osserva che in questa grandezza è in qualche modo considerata la distribuzione delle cariche all interno del volume. Essa inoltre dipende dal punto rispetto al quale viene calcolata ed in particolare è nulla

6 3.. Fenomeni di polarizzazione 34 quando viene calcolata rispetto al baricentro. Invece, nei sistemi a carica totale nulla il momento di dipolo diventa una proprietà intrinseca del sistema in quanto non dipende dal punto rispetto al quale è calcolato. Infatti, se si indica con D lo spostamento rispetto all origine il momento di dipolo è: p = ρ(r ( r D d = ρ(r r d QD = p QD (3.7 e se Q = 0 risulta p = p Il terzo termine della (3.5 prende il nome di momento di quadrupolo della distribuzione. Generalmente, questo termine di ordine superiore è trascurabile rispetto agli altri due. Però, quando entrambi i termini sono nulli il potenziale a grandi distanze è generato dal momento di quadrupolo. In realtà la (3.5 è una approssimazione linitata solo ai primi tre termini dello sviluppo in serie da cui essa deriva. Esistono infatti altri termini di ordine superiore che per gli scopi che ci proponiamo di affrontare possono essere considerati trascurabili Campo elettrico e potenziale prodotti da un dipolo elettrico Come semplice esempio si considerino due cariche puntiformi, aventi rispettivamante carica +q e q, poste a una distanza d una dall altra. i supponga inoltre di posizionare il sistema di riferimento nella posizione occupata dalla carica negativa. Considerando punti dello spazio molto lontani, il potenziale è fornito da una forma semplificata della relazione (3.3 in quanto il termine di monopolo non da nessun contributo (visto che la carica totale del sistema Q è nulla e il termine di quadrupolo, in virtù della sua dipendenza da /r 3, è trascurabile. Pertanto, il potenziale sarà: ϕ(r p r 4πϵ 0 r 3 = p cos θ 4πϵ 0 r 2 (3.8 dove p = qd è il momento di dipolo e θ è l angolo formato dai vettori d e r. Dalla (3.8 si osserva che a grande distanza il potenziale e di conseguenza il campo elettrico non dipendono separatamente da q o da d, ma dal loro prodotto. Di conseguenza, effettuando solo una misura di potenziale non è possibile avere informazioni sulle cariche che costituiscono il sistema. Infatti, anche un dipolo formato dalle cariche +2q e 2q poste alla distanza d/2 induce in punti lontani un potenziale esprimibile dalla (3.8. L approssimazione fatta a proposito di punti lontani vale anche per i punti vicini al dipolo se si considera una schematizzazione limite dove si fa tendere d a zero e si aumenta contemporaneamente la quantità di carica q (al limite fino a renderla infinita in modo che il prodotto qd (modulo del momento di dipolo rimanga costante. Il dipolo caratterizzato dalla proprietà che, per ogni punto dello spazio la loro distanza è grande rispetto alla distanza tra le due cariche è detto dipolo elementare. In questa circostanza, nello sviluppo in serie (3.5 rimane solo il termine di dipolo e quindi la (3.8 si trasforma in una ugualianza. Infatti, il termine di quadrupolo è: [ ] 3(r d 2 q 8πϵ 0 r 5 d2 r 3

7 3.. Fenomeni di polarizzazione 35 dl r dθ p P θ a θ p r p θ θ p a r (a (b Figura 3.2: Campo elettrico del dipolo elettrico che contenendo la dipendenza da qd 2 tenderà a zero quando d tende a zero e qd è mantenuto costante. Analogamente, anche i termini di multipolo di ordine superiore tenderanno a zero visto che contengono i prodotti qd 3, qd 4 ecc. Dalla (3.8 si osserva ancora che il potenziale prodotto dal dipolo decresce più rapidamente con la distanza rispetto a quello generato da una carica puntiforme e che le superfici equipotenziali non sono più sferiche come accadeva per le cariche puntiformi. La prima osservazione è giustificata dal fatto che essendo il sistema costituito da due cariche di segno opposto, esse tendono a compensare i loro effetti, mentre la seconda considerazione è giustificabile osservando che nella (3.8 compare la funzione cos θ. Infatti, considerando la superficie sferica di raggio r e con centro nel dipolo elementare, il potenziale passa dal valore p/(4πϵ 0 r 2 al valore nullo quando l angolo θ varia da 0 a π/2. Da quanto detto risulta evidente che il campo elettrico generato dal dipolo non è radiale, ma oltre al componente radiale E r possiede anche quello trasversale E θ. Infatti, ricordando che E = ϕ, il campo elettrico lungo una determinate direzione è dato dalla derivata fatta rispetto alla direzione considerata cambiata di segno. Pertanto, come illustrato in figura 3.2(a e osservando che dl = rdθ si ha: E r = ϕ r a r = p cos θ ( 2p cos θ 4πϵ 0 r r 2 a r = 4πϵ 0 r 3 a r E θ = ϕ l a l = ϕ r θ a θ = p sin θ 4πϵ 0 r 3 a θ da cui E = E r + E θ = 4πϵ 0 r 3 (2p cos θa r + p sin θa θ componendo il vettore p lungo le direzioni a r e a θ (vedi figura 3.2(b si ha: p = p cos θa r p sin θa θ da cui p sin θa θ = p cos θa r p

8 3.. Fenomeni di polarizzazione 36 ostituendo quanto ottenuto nell espressione del campo elettrico si ottiene: E = 4πϵ 0 r 3 (3p cos θa r p = = [ 3(r pr 4πϵ 0 r 5 p ] r 3 4πϵ 0 r 3 [3(p a ra r p] (3.9 Dalla (3.9 si osserva che anche il campo elettrico generato da un dipolo si annulla più rapidamente di quello generato dalla carica puntiforme. Inoltre, visto che esso possiede sia il componente radiale sia quello trasverso, muovendosi su una superficie sferica la direzione del campo non coincide con quella del raggio vettore e il modulo passa da p/(2πϵ 0 r 3 a p/(4πϵ 0 r 3 quando l angolo θ va da 0 a π/2. Infatti, per θ = 0, essendo i vettori p e r paralleli, il prodotto scalare p a r è uguale a p, mentre per θ = π/2, essendo p e r ortogonali, si ha che p a r è nullo Campo elettrico e potenziale generato da distribuzioni di polarizzazione Anche se il concetto di dipolo elementare fa riferimento a una schematizzazione limite, esso risulta essere molto utile nel momento in cui si vogliono analizzare sistemi, come ad esempio atomi e molecole, che pur avendo una carica totale nulla possono presentare un momento di dipolo diverso da zero oppure ne possono acquistare uno per effetto di sollecitazioni esterne. Da un punto di vista macroscopico, un dielettrico non polarizzato può essere visto come un continuo avente densità di carica elettrica nulla in ogni suo punto in quanto il baricentro della carica positiva coincide con quello della carica negativa. L applicazione di un campo elettrico esterno invece perturba tale condizione di equilibrio generando delle deformazioni nella distribuzione di atomi che a loro volta inducono la formazione di dipoli. Pertanto, visto il numero elevato di atomi un modello adatto a trattare un dielettrico è quello di schematizzarlo per mezzo di una distribuzione continua di dipoli e perciò il contributo macroscopico dato dal materiale al campo elettrico può essere valutato riferendosi ad una distribuzione continua caratterizzata dal vettore di polarizzazione P dato dalla relazione P = dp d = lim p 0 = p 0N (3.0 Quindi come per la distribuzione continua di carica è possibile esprimere la carica per unità di volume con la funzione scalare ρ(r, anche la distribuzione continua di dipoli può essere caratterizzata da una funzione vettoriale P(r che individua il momento di dipolo per unità di volume. i vuole ora calcolare il contributo dato al campo elettrico e al potenziale da una distribuzione nota di polarizzazione. In un primo momento, si farà l ipotesi che la polarizzazione sia un dato del problema e che, una volta polarizzato il mezzo, essa sussiste anche quando svanisce l effetto del campo elettrico esterno. Tale ipotesi, consente di analizzare solo gli effetti associati alla polarizzazione del mezzo. uccessivamente, sarà

9 3.. Fenomeni di polarizzazione 37 a n P(r R=r-r' A z r Q r O y x Figura 3.3: Camp elettrico e potenziale prodotti da una distribuzione di polarizzazione ricavato il campo elettrico totale come sovvrapposizione tra il campo elettrico esterno e il campo elettrico dovuto alla polarizzazione. Facendo riferimento alla figura 3.3, sia la regione di spazio che contiene la polarizzazione P. Detto O il punto che individua l origine del sistema di riferimento, indicando con r il raggio vettore che collega O al punto A, dove si vuole calcolare il potenziale, e con r il raggio vettore che collega O al generico punto Q della distribuzione, si avrà che la funzione vettoriale P è una funzione di r. uddividendo in tanti volumi infinitesimi d, ogni singolo volumetto avrà momento di dipolo dp = Pd. Tale dipolo produce nel punto A il potenziale elementare dϕ(r = 4πϵ 0 dp (r r r r 3 = 4πϵ 0 P(r (r r r r 3 d e sovrapponendo gli effetti si avrà che il potenziale ϕ prodotto in A dall intera distribuzione di polarizzazioe è: ϕ(r = P(r (r r 4πϵ 0 r r 3 d (3. Ma r r ( ( r r 3 = r r = r r e quindi ϕ(r = ( P(r 4πϵ 0 r r d (3.2 Dall identità vettoriale (fa = A f + f A si ha che ( P(r ( r r = P(r r r + r r P(r da cui si ricava ( P(r r r ( P(r = r r r r P(r

10 3.. Fenomeni di polarizzazione 38 ostituendo quanto ottenuto nella (3.2 si ottiene: ϕ(r = ( P(r 4πϵ 0 r r d 4πϵ 0 r r P (r d da cui, applicando il teorema della divergenza, si ricava: ϕ(r = P(r a n 4πϵ 0 r r d P(r 4πϵ 0 r r d = σ p (r 4πϵ 0 r r d + ρ p (r 4πϵ 0 r r d = ϕ (r + ϕ 2 (r (3.3 dove è la superficie che delimita il volume e a n è la normale a tale superficie. Quindi il potenziale ϕ è dato dalla sovrapposizione dei potenziali che sarebbero generati da una distribuzione di carica sulla superficie con densità superficiale e da una distribuzione di cariche volumetriche con densità σ p (r = P(r a n = P n (3.4 ρ p (r = P(r (3.5 Il campo elettrico può essere ricavato come gradiente rispetto alla coordinata r del potenziale ϕ(r e cioé: E(r = σ p (r r r 4πϵ 0 r r 3 d + 4πϵ 0 ρ p (r r r r r 3 d (3.6 I risultati ottenuti sono di notevole importanza perchè evidenziano la possibilità di descrivere la polarizzazione tramite una distribuzione di cariche sulla superficie con densità σ p e nel volume con densità ρ p. Dalla (3.4 si osserva che quando il dielettrico è polarizzato la carica superficiale di polarizzazione è sempre presente. Dalla (3.5 si vede invece che la carica di polarizzazione distribuita nel volume è presente solo quando P 0. Nei casi in cui P è uniformemente distribuito (P = costante in tutto il dielettrico occorre considerare solo le cariche presenti sulle superfici più esterne visto che P = 0. Tale sistuazione si verifica in tutti i dielettrici lineari e omogenei. Per meglio chiarire l aspetto fisico di questo tipo di equivalenza può essere utile fare delle considerazioni più intuitive. L esistenza di carica sulla superficie del dielettrico può essere spiegata osservando che la polarizzazione di ciascun atomo genera uno spostamento relativo delle cariche elettriche. Infatti, il momento di dipolo p 0 di ogni singolo atomo può essere pensato come generato da due cariche elementari +q 0 e q 0 poste ad una distanza d. Come illustrato in figura 3.4, all interno del dielettrico tali spostamenti non danno luogo a nessun accumulo di carica perché per ogni carica di un certo segno esiste nelle immediate vicinanze una carica di segno opposto. ulla superficie esterna del dielettrico si può avere invece un eccesso di carica visto che non è presente nelle immediate vicinanze una uguale

11 3.2. Teorema di Gauss in presenza di dielettrici 39 l a n a n +P n2 -P n Figura 3.4: Carica superficiale di polarizzazione P quantità di carica di segno opposto. Tale eccesso di carica è dovuto agli atomi che si trovano distribuiti all interno di uno spessore l. Per quanto riguarda la carica volumetrica di polarizzazione la spiegazione è meno immediata. e la lastra dielettrica piana di figura 3.4 ha una densità di polarizzazione che cresce durante il passaggio dalla superficie inferiore a quella superiore, la densità di carica superficiale sulle due faccie estreme non sarà più la stessa. Infatti, sulla superficie inferiore ci sarà una carica negativa con densità σ p = P n, mentre su quella superiore ci sarà una carica positiva con densità σ p2 = P n2. Essendo P n2 > P n, e quindi σ p2 > σ p, il numero di cariche positive sarà maggiore di quelle negative per il semplice motivo che le due superfici sono uguali. Dovendo però il dielettrico avere una carica complessiva nulla occorre che al suo interno sia distribuita una quantità di carica negativa tale da rendere nulla la carica complessiva. La situazione appena descritta può essere infatti schematizzata immaginando di suddividere il materiale, con sezioni perpendicolari alla direzione di polarizzazione, in elementi sufficientemente piccoli da considerare la polarizzazione uniforme all interno di ognuno di essi. Di conseguenza, ogni elemento può essere sostituito da due distribuzioni di carica superficiale di segno opposto e di uguale quantità sulle due superfici estreme. Considerando due elementi contigui, sulla superficie di separazione si localizzaranno una quantità di carica positiva e una negativa. Quella positiva si ha quando la superficie di separazione si pensa appartenente all elementino inferiore, quella negativa si ha quando la superficie di separazione si pensa appartenente all elementino superiore. ommando algebricamente queste due quantità di carica si ottiene un eccesso di carica negativa dovuta al fatto che il modulo di P nell elementino superiore è maggiore di quello nell elementino inferiore. Pertanto, applicando lo stesso ragionamento per tutti gli elementini si avrà un eccesso di carica negativa distribuita all interno del volume. 3.2 Teorema di Gauss in presenza di dielettrici Nei casi pratici in cui un materiale dielettrico è sottoposto all azione di un campo elettrico generato da cariche libere, è molto utile estendere in teorema di Gauss ricavato nel caso particolare dello spazio vuoto. Come detto in precedenza, l azione di un campo elettrico su un dielettrico induce una polarizzazione che può essere valutata considerando le cariche di polarizzazione superficiale e volumetrica. Di conseguenza, il teorema di

12 3.2. Teorema di Gauss in presenza di dielettrici 40 dielettrico Q L Figura 3.5: Teorema di Gauss in un dielettrico Gauss nekl vuoto deve valere anche in un generico dielettrico purchè si consideri, oltre alla carica libera, la carica di polarizzazione, Q p. A tale scopo, si consideri una superficie chiusa posta all interno del dielettrico che delimita una regione di spazio di volume che contiene una carica libera Q L. i ipotizzi inoltre che questa carica libera sia posta sulla superficie di un conduttore (vedi Fig Per il teorema di Gauss si ha E a n d = Q L + Q p (3.7 ϵ 0 dove la carica di polarizzazione Q p è data da Q p = σ p d + ρ p d = P a n d + div Pd (3.8 Nella (3.8 l integrale di superficie è esteso solo su perchè questa è la sola superficie limite del dielettrico sulla quale si può localizzare la distribuzione superficiale di carica. Inoltre, la superficie non è considerata perchè essa non è una superficie limite del dielettrico. Dal teorema della divergenza si ha div Pd = P a n d = P a n d P a n d + che sostituita nella (3.8 fornisce la relazione Q p = P a n d (3.9 ostituendo la (3.9 nella (3.7 si ricava in definitiva ϵ 0 E a n d = Q L P a n d da cui (ϵ 0 E + P a n d = Q L (3.20

13 3.2. Teorema di Gauss in presenza di dielettrici 4 Definendo un nuovo campo macroscopico D detto induzione elettrica D = ϵ 0 E + P (3.2 è possibile esprimere il teorema di Gauss in presenza di dielettrici come D a n d = Q L (3.22 Immaginando inoltre che la carica libera possa essere espressa in termini di una densita volumetrica di carica ρ contenuta in, e considerando il teorema della divergenza si ha D a n d = div Dd = ρd da cui si ottiene la forma differenziale del teorema di Gauss in presenza di dielettrici div D = ρ (3.23